AS CONCEPÇÕES DOS ALUNOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS AO UTILIZAREM O COMPUTADOR NO ESTUDO DE FUNÇÕES

AS CONCEPÇÕES DOS ALUNOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS AO UTILIZAREM O COMPUTADOR NO ESTUDO DE FUNÇÕES Recibido: 02/12/2006 Acepado: 06/03/2007 Norma Suely Gomes Allevao normallev@uol.com.br UNESP- Rio Claro/SP/Brasil Resumo O objeivo dese rabalho é apresenar e analisar um conjuno de dados em que os alunos manifesaram suas concepções sobre resolução de problemas ao uilizarem o sofware Winplo na resolução de problemas fechados relacionados ao esudo de funções. A pesquisa foi realizada com alunos da disciplina Maemáica, minisrada no primeiro ano de um curso superior de Adminisração de Empresas. Foi desenvolvida seguindo a abordagem qualiaiva e a colea de dados foi feia, essencialmene, por observação-paricipane em aula. Os dados mosram que os alunos possuem a concepção de que para resolver um problema é preciso calcular, desenvolver e regisrar algébrica ou numericamene um raciocínio, não considerando a observação e inerpreação de gráficos como processos legíimos de resolução de problemas. A parir daí é desenvolvida uma reflexão acerca da imporância da visualização e das represenações múliplas nos ambienes de ensino e aprendizagem de Maemáica em que são uilizadas Tecnologias Informáicas. Palavras-chave: Resolução de problemas, Compuadores, Funções. Absrac The aim of his paper is o presen and analyze a se of daa in which he sudens express heir concepions regarding problem solving when using he sofware Winplo o solve closed-ended problems relaed o he sudy of funcions. The research was conduced wih firs-year Business Adminisraion sudens enrolled in a mahemaics course. I was developed using a qualiaive approach, wih he daa collecion consising mainly of paricipan-observaion in he classroom. Sudens concepions, as revealed in he daa, is ha o resolve a problem, i is necessary o calculae, develop, and record one s reasoning algebraically or numerically, wihou considering observaion and inerpreaion of graphs as legiimae processes in problem-solving. A reflecion is developed regarding he imporance of visualizaion and muliple represenaions in mahemaics eaching and learning environmens where informaion echnology is used. Key words: Problem-solving, Compuers, Funcions. Resumen El objeivo de ese rabajo es presenar y analizar un conjuno de daos a ravés de los cuales los alumnos manifesaron sus concepciones sobre la resolución de problemas cuando uilizan el sofware Winplo en la solución de problemas cerrados relacionados con el esudio de funciones. La invesigación fue realizada con alumnos que cursan la disciplina Maemáica, imparida en el primer año de un curso superior de Adminisración de Empresas. Ese esudio fue desarrollado siguiendo un procedimieno cualiaivo y la recopilación de daos fue realizada esencialmene a ravés de la observación de los paricipanes en las clases. Los daos muesran que los alumnos ienen la concepción de que para resolver un problema es necesario calcular, desarrollar y regisrar algebraica o numéricamene un raciocinio, ellos no consideran la observación y la inerpreación de gráficos como procesos legíimos de solución de problemas. A parir de ese hecho se desarrollada una reflexión sobre la imporancia de la visualización y de las represenaciones múliplas en ambienes de enseñanza y aprendizaje de Maemáica en los cuales son uilizadas Tecnologías de Informáica Palabras claves: Resolución de problemas, compuadoras, funciones.

Norma Suely Gomes Allevao Inrodução Ese rabalho preende apresenar alguns resulados de uma pesquisa de douorado (ALLEVATO; 2005) que analisou de que forma os alunos relacionam o que fazem na sala de aula, quando uilizam lápis e papel, com o que fazem no laboraório de informáica, quando esão uilizando o compuador na resolução de problemas fechados sobre funções. A pesquisa foi desenvolvida com alunos da disciplina Maemáica, minisrada no primeiro ano de um curso superior de Adminisração de Empresas. Inicialmene é feia uma breve apresenação do conexo em que se desenvolveu a pesquisa e dos procedimenos meodológicos adoados. Na seção 3 são expliciadas brevemene algumas idéias de auores que foram referência para o presene esudo. Em seguida é apresenado um conjuno de dados em que os alunos manifesaram suas concepções sobre resolução de problemas ao uilizarem o sofware Winplo 1 na resolução de problemas fechados relacionados ao esudo de funções. Enão, na seção 5, é feio um aprofundameno das idéias de alguns auores apresenados na seção 3, ou seja, os dados são analisados à luz de esudos relacionados à resolução de problemas e à uilização dos compuadores na Educação Maemáica. Finalmene são ecidas algumas considerações finais. O Conexo e Alguns Aspecos Meodológicos A pesquisa foi realizada, aravés de observação-paricipane, em sala de aula. O professor responsável pela urma fundamena seu ensino em resolução de problemas e, para aender aos propósios da pesquisa, propôs-se a dividir suas aulas realizando meade delas na sala de aula convencional e a oura meade no laboraório de informáica. No laboraório, os alunos resolveram problemas fechados, uilizando o sofware Winplo 1. Um problema é fechado quando ano a siuação inicial como o objeivo final (resposa) do problema são pré-deerminados (PEHKONEN; 2003). Em conraparida, aberos são aqueles em que o processo ou o final ou a formulação de novos problemas são aberos (VAN DE WALLE; 2001). O Winplo é um sofware gráfico, grauio, disponível em poruguês e volado ao esudo de funções de uma ou duas variáveis, derivadas, inegrais, equações diferenciais e ouros assunos. O regisro dos dados foi feio por meio de gravações, documenos elaborados pelos alunos e diário de campo. As gravações conêm os diálogos realizados enre os alunos e o pesquisador nas aulas de laboraório, durane as aividades de resolução de problemas, com a uilização do compuador. Isso foi possível porque nesas aulas a pesquisadora, auora dese arigo, era ambém uma auxiliar do professor da urma e o ajudava a aender os alunos em suas dúvidas relacionadas à Maemáica ou à uilização do sofware. Os problemas resolvidos eram enregues pelos alunos, ao professor, por escrio, consiuindo-se em documenos que ambém foram fone de dados. Um diário de campo foi elaborado após cada observação, consiuindo-se num relao escrio do que o invesigador ouve, vê e pensa durane e após a colea de dados. Segundo Bogdan e Biklen (1994) "as noas de campo são fundamenais para a observação paricipane" (p.150). Elas coném idéias, reflexões, impressões e percepções, bem como padrões que emergem dos dados. 1 hp://mah.exeer.edu/rparris/winplo.hml.

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... Apore Teórico Na Educação Maemáica, várias pesquisas já foram e ouras esão sendo realizadas, que raam da inserção das ecnologias de informáicas (TI) nos ambienes de ensino e aprendizagem. É basane exensa e variada a produção cienífica nesa linha. No presene rabalho, o foco será colocado, paricularmene, em uma dessas ecnologias: o compuador. A lieraura mosra que a maneira de uilizá-lo no ensino de Maemáica foi gradualmene modificada ao longo do empo, à medida que os esudos forneciam novos subsídios à sua uilização por alunos e professores. Também os enfoques pedagógicos esão se modificando e os professores êm experimenado momenos de insabilidade em suas práicas (BORBA; PENTEADO, 2001). Assim, orna-se premene discuir refleir sobre alguns aspecos como: finalidades e formas de uilização; aspecos emergenes; vanagens e limiações; aiudes dos alunos e professores em siuações de ensino de Maemáica em que é uilizado o compuador. De qualquer modo, as observações feias nos esudos já realizados são quase unânimes na percepção de que o comporameno dos esudanes que usam essa ecnologia informáica (TI) parecia diferene dos demais, ou seja, daqueles que não inham conao com ela. Em linhas gerais, essas pesquisas razem evidências de que a uilização dos compuadores nos ambienes de ensino de Maemáica conduz os esudanes a modos de pensar e de consruir conhecimeno que são ípicos do ambiene informáico e, por vezes, favoráveis à aprendizagem de coneúdos ou à compreensão de conceios maemáicos. Tais pesquisas desacam aspecos como o uso regular de represenações múliplas, a manifesação de concepções acerca da Maemáica e dos coneúdos maemáicos, a ênfase na visualização, enre ouros. Tall (1989) comena que, em geral, os maemáicos acrediam que a naureza dos objeos com que rabalham é deerminada por conceios imuáveis, cuja realidade independe de faores culurais. Em Maemáica, hisoricamene, elemenos conceiuais êm conquisado supremacia sobre os observáveis. Enreano, o caráer observável dos objeos produzidos ou processados pelas TI esá, cada vez mais, ganhando desaque. Relacionam-se a isso as percepções de Villarreal (1999) e Borba e Villarreal (2005) no que se refere aos esilos de abordar os coneúdos maemáicos. Mesmo na presença do compuador, há alunos que se mosram claramene mais propensos a pensar algebricamene, demonsrando que conservam raços de um ensino que, radicionalmene, enfaiza aspecos algébricos. Essa ênfase no algébrico pode ser associada às compreensões de Tall (1989): elas represenam "velhas" forças que coexisem com as "novas", nesse paricular, represenadas pelas possibilidades visuais que as TI oferecem. Ceramene, ese aspeco esá relacionado, ambém, com a possibilidade de "fazer Maemáica à mão ou com uma ecnologia informáica". Os esilos, de saber e pensar, caracerísicos da culura informáica, podem ser condenados, ignorados ou não ser percebidos por não saisfazerem aos criérios e definições caracerísicos de um empo em que prevalecia a escria. É o caso da imagem, recurso fundamenal das ecnologias informáicas, das quais o compuador ocupa, nese rabalho, posição de desaque. A abordagem visual de um conceio ou objeo, em Maemáica ou em qualquer oura área do conhecimeno, pode ser considerada, hoje, como um dos elemenos que caracerizam novos esilos de consrução do conhecimeno. (BORBA; VILLARREAL, 2005). Na pesquisa desenvolvida por Villarreal (1999), há um exenso esudo sobre visualização que, embora seja um processo basane privilegiado pelo ambiene compuacional, é, muias vezes, menosprezado denro da Educação Maemáica. Ela apresena episódios em que duplas de alunas uilizavam o sofware Derive, uma

Norma Suely Gomes Allevao ecnologia CAS 2 que possibilia manipulação simbólica, consrução de gráficos e abelas com facilidade. Os relaos e análises desenvolvidos sugerem que a abordagem visual proporcionada pelo compuador não era naural para as alunas, que recorriam, com freqüência, ao lápis e papel para resolver alguns conflios. Enreano, as imagens fornecidas pelo compuador permiiram quesionar suas concepções e, a parir daí, foi possível pensar nos conceios de maneira mais ampla. A seguir a auora apresena criérios para caracerizar as abordagens algébrica e geomérica: Abordagem algébrica Preferencia por resoluções analíicas quando resoluções gráficas ambém são possíveis. Dificuldade para esabelecer inerpreações gráficas das resoluções analíicas. Quando uma resolução gráfica é pedida, há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico. Facilidade para formular conjecuras e refuações ou gerar explicações a parir de fórmulas e equações. (VILLAREAL, 1999; p.337) Abordagem visual Emprego de informações gráficas para resolver uma quesão maemáica que ambem poderia ser abordada algebraicamene. Dificuldade para esabelecer inerpreações algébricas das resoluções gráficas. Quando resoluções gráficas são soliciadas, não há necessidade de uma passagem prévia pelo algébrico. Facilidade para formular conjecuras e refuações ou dar explicações a parir de informações gráficas. (VILLAREAL, 1999; p.339) A possibilidade de coordenar represenações múliplas (gráficas, numéricas e algébricas), que é favorecida pelo compuador, foi assinalada por Borba (1995), que afirma que a Maemáica visual ou discrea pode ser uilizada como recurso para arair aqueles esudanes que rejeiam, explicia ou impliciamene, a hegemonia da Álgebra. O auor apresena um episódio em que o aluno desenvolveu um deerminado raciocínio denro dos domínios da represenação algébrica que o levou a supor que a equação y = (x+5) 2 + 3(x+5) + 5 represenava uma ranslação, do gráfico de y = x 2 + 3x + 5, de 5 unidades para a direia. Enreano, a represenação gráfica e a abela, fornecidas pelo Funcion Probe 3, chocou-se com sua suposição, que parecia ão cera na represenação algébrica, olhada isoladamene. O desenrolar do episódio mosra como essa ensão, oferecida pelos recursos do compuador, gerou no aluno, aiudes favoráveis de busca e invesigação. Também as represenações múliplas foram desaque nos experimenos conduzidos por Villarreal (1999), onde se percebe claramene quano as conexões enre represenações ajudaram as esudanes a esclarecer as 2 CAS (compuer algebra sysem) - Sisemas de compuação algébrica são programas que, em conrase com os programas de compuação numérica, permiem cálculos maemáicos com expressões simbólicas ou, como são ambém chamadas, expressões algébricas. 3 Programa do ipo CAS, idealizado para ser uilizado em compuadores Macinosh.

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... noções de função derivada e rea angene. Esses exemplos, enre ouros enconrados na lieraura (ALLEVATO, 2005; BENEDETTI, 2003), mosram a imporância do rabalho com as represenações múliplas, proporcionadas pelo compuador, e com as relações que as vinculam. Pode-se, aravés delas, conecar domínios que, de oura forma, permaneceriam separados, porém, se conecados, geram compreensões mais amplas e compleas. Acrescene-se a eses o fao de que, nos ambienes em que o compuador esá disponível, ele pode ser empregado na análise da validade ou mesmo da correção de concepções que os alunos possuem a respeio de deerminados conceios maemáicos uma vez que, na presença do compuador, os alunos freqüenemene manifesam suas compreensões acerca de deerminados conceios. Villarreal (1999) percebeu, por exemplo, a presença, em várias esudanes, da concepção de que uma rea angene é uma rea que oca a curva em um só pono. Talvez essa concepção seja a manifesação da presença de uma imagem conceiual demasiadamene simplificada (TALL; 1989), e que pode ser ampliada com o auxilio do compuador. Mais especificamene sobre a resolução de problemas e as várias represenações de um objeo maemáico, Pierce e Sacey (2001) advogam que sua exploração a parir de várias perspecivas, aumena a profundidade da compreensão de conceios por pare dos alunos. Soma-se a isso o fao de que, na busca pela solução de um problema, a combinação de diversas abordagens possibiliada pelos CAS, exige muio menos esforço. Os esudanes devem ser encorajados a moverem-se enre as represenações a fim de enconrar a informação procurada. Dese modo, cabe ao professor elaborar aividades desafiadoras, problemas que possibiliem ao esudane não somene uilizar, mas de fao irar proveio das possibilidades que o compuador oferece. Os problemas devem esimular a exploração e a invesigação, bem como a elaboração de conjecuras por pare do aluno. A concepção de Schoenfeld (1989) sobre a aividade maemáica é a de que os maemáicos gasam seu empo dando senido 4 às coisas. Ele acredia que fazer Maemáica é "dar senido 4 e inclui inernalizar a eséica da Maemáica, analisar e compreender, perceber as esruuras e as relações esruurais, ou seja, perceber como as coisas se combinam. No conexo da uilização das TI no ensino, êm sido foremene recomendadas as aividades de naureza invesigaiva bem como a proposição de problemas aberos. Pehkonen (2003) considera dois ipos de problemas, apresenando a seguine caracerização: nos problemas fechados ano a siuação inicial como o objeivo final (resposa) do problema são pré-deerminados. Se a siuação inicial ou o objeivo final (ou ambos) deixam "espaço" para o resolvedor fazer escolhas, enão se em um problema abero. Van de Walle (2001) considera que os problemas aberos devem ser uilizados quando o objeivo é realizar explorações maemáicas. Ele apresena o seguine criério: os problemas são aberos quando o processo é abero (são explorados múliplos caminhos para a solução), o final é abero (há múliplas resposas correas a serem descoberas), a formulação de novos problemas é abera (os alunos exploram novos problemas relacionados ao problema dado). 4 Senido: razão de ser, cabimeno, lógica. Fazer senido: ser compreensível, ser lógico. Ter senido: ser concebível, ser aceiável. (FERREIRA, 1986)

Norma Suely Gomes Allevao Emergem, enão, idéias sobre a possibilidade de considerar a resolução de problemas como um meio de ensinar Maemáica. Elas esão associadas às idéias do consruivismo, segundo as quais os esudanes não mais são considerados como recipienes vazios a serem preenchidos, aravés da aprendizagem, com informações fragmenadas e desconexas. Anes, são seres pensanes aos quais deve-se proporcionar, aravés do ensino, oporunidades de inerprear siuações ou problemas e de relembrar conhecimenos aneriores a fim de consruir novos conhecimenos. (ONUCHIC,1999, 2003; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005; SANTOS, 2002) Apresenação e análise dos dados Nesa seção são apresenados alguns momenos em que os alunos manifesaram suas concepções sobre resolução de problemas. Especificamene, são mosrados alguns diálogos, em que os alunos expressaram compreensões sobre resolver os problemas, no ocane às duas formas que esavam vivenciando: sem compuador e com compuador. Esas concepções norearam foremene as aividades realizadas pelos alunos durane as aulas no laboraório e embora, na maior pare do empo, elas se fizessem presenes apenas suil e aciamene, são apresenados aqui alguns momenos em que elas foram expliciadas pelos alunos. Os faos a seguir ocorreram numa aula que foi dedicada a problemas envolvendo função exponencial. Na sala de aula, ou seja, anes de se dirigirem ao laboraório de informáica, o professor colocou na lousa as seguines funções de receia oal (R ) e cuso oal (C ) 5 : R C = 4 q + 1 = 9.2 q 4 6 Problema 1: Envolvendo funções exponenciais; resolvido em sala de aula. O professor relembrou rapidamene algumas caracerísicas básicas das funções exponenciais simples, como o fao de serem crescenes ou decrescenes se a base for um número maior que 1 ou enre 0 e 1, respecivamene; falou das inerseções com os eixos, da concavidade, e fez os esboços na lousa: y=a x y y y=a x 0<a<1 decrescene x a>1 crescene x Figura 1. Escoços dos gráficos das funções exponenciais. Enão reornou ao problema proposo dizendo que a primeira coisa que fariam seria deerminar o pono de nivelameno e, para isso, eriam que igualar as expressões das funções. Ele ia falando e resolvendo algebricamene, na lousa: 5 O professor sempre propunha problemas aplicados à área de negócios. Funções de receia, cuso, lucro, ofera e demanda eram muio uilizadas.

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... R = C 4 q+1 4 = 9. 2 q 6 4 q+1 9. 2 q + 2 = 0 Nese pono o professor chamou a aenção dos alunos para a possibilidade de ransformar o ermo da esquerda da equação em um rinômio do 2 o grau, e coninuou: (2 2 ) q+1 9.2 q + 2 = 0 2 2q+2 9.2 q + 2 = 0 2 2q.2 2 9.2 q + 2 = 0 (2 q ) 2.4 9.2 q + 2 = 0 Fazendo 2 q = y obeve 4y 2 9.y + 2 = 0. Deu um empo para os alunos copiarem e seguiu com a resolução do problema, agora encaminhando-se à equação do 2 o grau: Δ = b 2 ac y 1 = 2 e calculou os valores de q: Δ = 49 2 q 1 y 1 = 2 1 = q 1 = 1 y 2 = 1 q 2 4 2 y 2 = 1 4 = q 2 2 2-2 = 2 q 2 = -2 O professor lembrou aos alunos que a solução q 2 = -2 deveria ser descarada uma vez que q significa quanidade e não poderia ser um número negaivo. Enão concluiu que o pono de nivelameno é obido de q 1 = 1. Escreveu na lousa: P = (1, 12) e coninuou: Pr: Agora vamos para o gráfico. Dizendo isso, seguiu monando duas abelas auxiliares: R = 4 q+1 4 C = 9. 2 q 6 q R q C 0 0 0 3 1 12 1 12 Anes de esboçar o gráfico disse aos alunos que para desenhar um gráfico "direiinho" era preciso "conhecer a curva". O professor sempre requisiava a paricipação de um ou ouro aluno ou da urma em geral. Os alunos respondiam às suas pergunas opinando e sugerindo procedimenos e resulados. Pariram, enão, para analisar como ficaria o gráfico se a função receia fosse dada apenas por R 1 = 4 q+1. O professor pergunou como seria o gráfico se q assumisse valores muio grandes (posiivos), ou muio pequenos (negaivos).

Norma Suely Gomes Allevao Concluíram que, para valores de q "cada vez maiores" a função R ambém seria um número posiivo "cada vez maior". Ou seja, que a função R 1 + quando q +. Para valores negaivos de q os alunos iveram dificuldade; apresenaram resposas erradas sugerindo que a função R 1 = 4 q+1 iria para. O professor reomou o gráfico da função exponencial esboçado no início da aula, indicou com uma sea o lugar do gráfico que esavam analisando: y y=a x Figura 2. Esboço do gráfico da funcão exponencial crescene (a>1). O professor explicou que, quando q assume valores "cada vez menores" (negaivos) na função R 1 = 4 q+1, 1 + 1 o resulado é equivalene ao obido quando q cresce indefinidamene na função. E ese quociene, obido da divisão do número 1 por valores posiivos que crescem indefinidamene, formariam uma seqüência de números que se aproxima de 0 (zero). Ou seja, que a função R 1 0 quando q. Enão, professor e alunos, concluíram que o gráfico da função R 1 = 4 q+1 fica muio próximo do eixo das abscissas para valores negaivos de q, e que o gráfico da função R = 4 q+1 4 "desce" quaro unidades em relação àquele. Parindo da função C 1 =9.2 q, professor e alunos desenvolveram raciocínio semelhane para C 9.2 6 compreenderem como se compora a função = q. Enão o professor esboçou o gráfico, reforçou que a siuação em esudo, envolvendo funções de receia e cuso, exigia que considerassem a represenação no primeiro quadrane e complemenou seus comenários desacando que algumas regiões deerminadas por essas curvas represenavam siuações de lucro e ouras de prejuízo: x q 4

B As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... R C lucro.(1,12) prejuíz o 3-4 - 6 Gráfico 1. Gráfico das funções C = 9.2 q - 6 e R = 4 q+1-4; feio na lousa, pelo professor. Para esclarecer melhor suas conclusões sobre lucro e prejuízo, o professor sugeriu aos alunos que esimassem quais seriam os valores das funções R e C para q = 2, q = 3, q = 4, ec. Embora sem escrever na lousa, esas esimaivas foram feias. Em conjuno, o professor e os alunos foram calculando menalmene os valores dessas funções para alguns valores de q. E para cada um deles o professor ia pergunando: Pr: Qual é maior: R ou C? Com isso encerrou a resolução dese problema. Na segunda pare da aula, agora no laboraório de informáica, o problema proposo para ser resolvido uilizando o Winplo foi: Problema do mercado de ações Fernanda diz a Pedro que, no mercado de ações, sabe-se que a renabilidade das ações da empresa A é descria pela lei R A = 4 e da empresa B pela lei R B = 10.2-16, onde é o empo em meses a parir de 1 da Janeiro de 2001. Pede-se: a. Os ponos onde as renabilidades são iguais. b. Escoçar o gráfico de R A e R B. B c. Qual a melhor escolha da renabilidade se o dinheiro fircar disponible aé o 10 mes? Como de cosume, a orienação era a de que fizessem "udo" no compuador e regisrassem apenas as resposas na folha que seria enregue para o professor. Os alunos pariram logo para o desenho do gráfico das funções (iem (b) do problema) e para a deerminação de seus ponos de inerseção, necessários para responder ao iem (a). O gráfico obido foi: 0

B Norma Suely Gomes Allevao 100 R A =4^ 80 R B =10.2^-16 60 40 20 20 1 2 3 4 GRÁFICO 2 Gráfico das funções R A = 4 e R B = 10.2 16 obido no Winplo. Uma vez que o conexo de aplicação a que se refere ese problema - renabilidade - é diferene daquele do problema resolvido aneriormene na sala de aula, as dúvidas levanadas esavam relacionadas ao iem (c): qual a melhor escolha da renabilidade se o dinheiro ficar disponível aé o 10 o mês? O diálogo a seguir esá relacionado a essa quesão. Nele a sílaba Pe represena o pesquisador e as leras A, B, C... são uilizadas para os alunos: A: Nesse iem (c), na verdade, eu vou er que fazer o quê? Eu vou er que subsiuir [valores], não é? Pe: Há duas maneiras de fazer. A: É? Pe: Você pode calcular qual é a renabilidade aé o 10 o mês com a empresa A, depois calcular com a empresa B e verificar onde rende mais. A pesquisadora confirmou que poderiam resolver por subsiuição: escolheriam valores para e com eles calculariam os valores das funções R A e R B para compará-los. Mas indiquei ambém a possibilidade de inerprearem o gráfico: Pe: E ouro jeio é, como vocês já êm o gráfico prono, simplesmene olhar no gráfico. Também dá, sem calcular mais nada. A: Tá, mas aí... Aí eu não esou enendendo! Enão os alunos foram quesionados para que, a parir de suposições feias sobre valores específicos de empo, observassem e inerpreassem o gráfico que inham obido com o Winplo: Pe: Suponham que vocês ivessem dois meses para aplicar o dinheiro; daqui a dois meses vocês êm que pagar uma dívida. Em qual empresa você colocaria: na empresa A ou na empresa B? A: Na B. Pe: Por que? Por que você acha que é a empresa B?

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... A: Porque ela esá pra cima do... do... da empresa A. Pe: Exaamene. Porque ela [a curva] esá pra cima da A. E se você ivesse que, daqui a 15 dias, pagar sua dívida...? Você deixaria o dinheiro aplicado durane meio mês; em qual empresa você colocaria, na A ou na B? A: Hummm... Ah! Meio? B: Ah, sim, seria na... A e B:...na A. Pe: Seria na empresa A. E vocês precisaram calcular pra saber isso? B: Ah! Enendi!! Pe: E se você ivesse 4 meses, em qual você deixaria: na A ou na B? B: Na A. Porque na A rende mais. A: [Eu deixaria] na B. Nese momeno houve uma discordância enre os dois alunos paricipanes da dupla. A forma como o gráfico, da função R B, B se apresenava na ela gerou dúvida. Ele se mosrava à direia do gráfico da função RA na pare em que x > 3, e a aluna A achou que, por isso, o valor de R B era maior que o de R A : 100 R A =4^ 80 R B =10.2^-16 60 40 20 1 2 3 4 20 Gráfico 3 Gráfico das funções R A = 4 e R B = 10.2 16 obido no Winplo,com desaque para >3. Pe: Olhem qual esá pra cima daqui pra cá [para x>3]. A: Ah, é o vermelho [R A ]! É verdade. Pe: Você esá vendo? Vai mudar o comporameno à direia de =3. De 3 pra lá, o A esá pra cima do B. A: E, no caso, enre esses dois ponos aqui, você coloca na empresa B. [A aluna mosrava os ponos de abscissas x = 1 e x = 3] Pe: Isso! É só enre esses dois que o B esá pra cima do A.

Norma Suely Gomes Allevao Mas o aluno B ainda esava reicene: B: Tá, mas... E pergunou: B: Enão é só responder se é R A ou R B? B E o cálculo? Pe: Se o problema esá pergunando qual é a melhor escolha, a parir da observação do gráfico... é a empresa al. Não precisa calcular, enendeu? Vocês podem calcular, mas não precisam. É noório como em vários momenos daquela aula os alunos quesionaram a "validade" da inerpreação gráfica como recurso para responder ao iem (c) do problema. Não sem razão. Haviam ido um considerável rabalho, naquele caso essencialmene algébrico, para resolver um problema semelhane (Problema 1) na sala de aula, alguns minuos anes. Na ocasião, ambém chegaram ao gráfico, mas a inerpreação não foi feia a parir dele. As razões para isso não são óbvias ou explícias. Uma jusificaiva possível seria a fala de precisão e, conseqüenemene, de confiabilidade dos gráficos que fazemos à mão. Mas é fao que, na ausência de recursos informáicos, o ensino de Maemáica e, especificamene, a resolução de problemas maemáicos êm sido feios por caminhos essencialmene algébricos e/ou numéricos. E, em geral, os problemas não envolvem quesões para inerprear gráficos. Lembremos que, ao final da resolução do problema 1, para raar de quesões relaivas ao lucro ou prejuízo, o professor sugeriu que os alunos calculassem, por subsiuição, os valores das funções R e C para alguns valores de q (variável independene). E a relação desses resulados obidos com os gráficos, ou a relação desses resulados com as posições relaivas das curvas que represenam as funções consideradas, não foram desacadas, embora já esivessem de posse dos gráficos. Esa práica reforça a idéia de que é preciso "calcular" para resolver um problema maemáico. O diálogo apresenado é um exemplo, escolhido enre anos ouros, em que os alunos manifesaram esranheza diane da possibilidade de apresenar a solução de um problema sem er "calculado nada". No diálogo com uma oura dupla, esa idéia de que é preciso calcular ambém se manifesou, embora de um modo um pouquinho diferene: C: Professora, nossa dúvida é assim: quando ele pede "qual é a melhor escolha da renabilidade se o dinheiro ficar disponível aé o 10 o mês", isso vai ser subsiuído aqui [no caderno]? Ou a gene em que subsiuir no raço...? Pe: Qual é a diferença enre subsiuir aqui ou no raço? Tem diferença? C: Não, acho que não. A aluna esava pergunando se devia subsiuir valores de nas expressões das funções e calcular à mão ou uilizando o sofware. No Winplo há uma janela chamada raço que possibilia, movendo a barra de rolagem, que vejamos, acompanhando um cursor que se movimena sobre o gráfico, o percurso descrio pelos ponos ao percorrermos alguns valores da variável independene:

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... Coordenadas do pono 100 80 R =4^ A R =10.2^-16 B 60 40 20 Barra de rolagem 20 1 2 3 4 Cursor FIGURA 3 Janela raço, no Winplo, e gráfico das funções R = e R = 10.2 16 A 4 B Uilizando esa janela, ambém podemos calcular a imagem de valores específicos da variável independene; basa digiar ese valor na linha de comando de x e o Winplo reorna o valor da função y correspondene: FIGURA 4 Imagens da janela raço, no Winplo, com os valores das imagens de =2 para cada uma das funções R = R B = 10.2 16 A 4 Esa era a oura possibilidade que a aluna via, além de subsiuir e calcular à mão, para deerminar a melhor renabilidade ao longo dos 10 meses de que falava o problema. De qualquer modo, ela achava que inha que calcular as imagens para legiimar sua resposa à quesão. A inerpreação do gráfico não era cogiada. Uma oura aluna, após um diálogo basane semelhane ao primeiro aqui apresenado, em que lhe expliquei como inerprear o gráfico, disse: D: Enão, aqui no compuador eu enendi. Aqui udo bem! Mas como que você confirma isso...? E não muio diferene foi a indagação do aluno que paricipou de um ouro diálogo, ambém sobre o mesmo problema. Após enender como responder à quesão analisando o gráfico ele pergunou em om de exclamação: E: Mas como é que eu vou... como é que eu vou demonsrar que é a empresa B? Ou seja, para eses alunos "ler e inerprear" o gráfico não era considerado um processo seguro, ano que eles queriam algum modo de confirmar o que haviam obido pela observação do gráfico. Além disso, quano rabalho inham feio para resolver o primeiro problema proposo naquele dia de aula, em que esavam sem o sofware! Ouros episódios ocorreram em que os alunos se manifesavam nese senido, iso é, sugerindo que

Norma Suely Gomes Allevao esavam achando que inham que fazer algo mais, além de "olhar para o compuador para enconrar a resposa". Quando uma aluna enava ajusar a área de gráfico para as funções do problema 3: q q d o = 64 8p 2p = 10p + 5p PROBLEMA 3 Envolvendo funções quadráicas; resolvido no laboraório. foi orienada para que consulasse a abela de valores da função que o próprio sofware fornecia. Enão a aluna pergunou em om de exclamação: F: Eu posso pegar esses números? Pe: Sim; a abela faz você ver porque o gráfico não esá aparecendo. Porque ele precisava desses números, e olha o seu onde esá! E na seqüência do diálogo a aluna disse: F: Mas... não é melhor fazer na mão e depois passar para cá [para o compuador]? Ou não? Em ouro diálogo desa mesma aula um aluno pergunou: G: Aqui não precisa fazer cona? É só localizar no gráfico e responder? Ouras resposas dadas pelos alunos, em ouros momenos, ao serem orienados a ober as resposas pelo Winplo, foram: I: Só isso [que é para fazer]? e J: Enão, mas eu quero saber sem o Winplo! Conforme se em salienado em muios rabalhos, relacionar aspecos algébricos e gráficos é uma práica recomendável, que pode auxiliar os alunos a ampliar suas compreensões a respeio de deerminados conceios relacionados a funções. Enreano, é procedene desacar que a aluna que proferiu esa úlima fala não inha, ainda, resolvido o problema no compuador. Ela queria não só, saber como fazer "sem o Winplo", mas queria fazer primeiro sem ele. Neses episódios apresenados, e em muios ouros momenos, os alunos expressaram sua concepção de que para resolver um problema é preciso "fazer conas". Eles se mosraram basane receosos em responder às soliciações dos problemas apresenando apenas as conclusões obidas pela observação e inerpreação de gráficos. E não só isso. Em geral achavam que isso era muio pouco rabalho para resolver um problema. Mosraram-se admirados pelo fao de erem obido a resposa somene a parir do gráfico e de sua inerpreação. As expressões: Só isso [que é para fazer]? e Não precisa fazer cona? e Enão é só responder se é R A ou R B? B E o cálculo? e ouras desa naureza esiveram muio presenes. Na afirmação: Mas eu quero saber sem o Winplo! o om da aluna sugere, inclusive, uma cera fala de confiança nos resulados ou conclusões obidas somene a parir da análise dos gráficos. Esa aluna, ambém em ouras ocasiões, demonsrou que se sene insegura em não realizar algum cálculo, ou algum rabalho algébrico adicional, que desse susenação e confirmasse o que obivera pelo Winplo. É procedene considerar que a fala de confiança manifesada pelos alunos pode esar relacionada, ambém, à sua pouca familiaridade com a uilização do compuador como mediador em aividades de resolução de problemas maemáicos. Esou considerando esa pouca familiaridade no senido de que a experiência que 2 2

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... eses alunos vivenciaram naquele semesre em que realizei a pesquisa era a primeira em que inham um sofware em aulas de Maemáica. É cero que o problema 3, cujo objeivo era esboçar os gráficos da funções e deerminar os ponos de inersecção, é consideravelmene limiado para o conexo do laboraório de Informáica, iso é, para ser resolvido com a uilização do sofware, no senido de que exigiu muio pouco rabalho maemáico, por pare dos alunos. Conas, procedimenos algébricos, raciocínio maemáico ou inerpreação de resulados, foram elemenos praicamene ausenes nas aividades dos alunos. O mesmo já não ocorreu com o problema 2. A presença do iem (c), soliciando que os alunos analisassem "qual a melhor escolha da renabilidade se o dinheiro ficar disponível aé o 10 o mês", levou os alunos, apoiados pelas inervenções feias pela pesquisadora e pelo professor, a praicar um procedimeno ao qual não esavam habiuados: a inerpreação de gráficos. E desaque-se que muias inervenções e diálogos, ais como os apresenados aqui, foram realizados naquele dia, durane a resolução daquele problema. Ele se consiuiu numa evidene oporunidade de os alunos experimenarem mais uma forma de resolver problemas, qual seja, pensando maemaicamene. Os ambienes informáicos favorecem aividades de naureza inerpreaiva, uma vez que desobrigam os alunos de realizarem arefas essencialmene mecânicas e/ou operacionais. Nese caso, a inerpreação eve fore apoio na visualização, aspeco que ambém em sido desacado no conexo da uilização de compuadores no esudo de funções. O raciocínio desenvolvido pelos alunos ao inerprearem os gráficos para responder ao problema não se maerializa na forma de regisro escrio das seqüências de expressões algébricas ou numéricas. Enreano, embora pareça que os próprios alunos não os considerem como al, as reflexões e o raciocínio conduzidos na inerpreação dos gráficos perencem não somene a uma imporane, mas fundamenal, verene da aividade maemáica que deve ser, ano quano possível, desenvolvida nos alunos: a habilidade de pensar maemaicamene. Se um ensino hisoricamene realizado sob a hegemonia da Álgebra conduz os alunos a considerá-la como único insrumeno na resolução de problemas e, se é desejo modificar isso, uma possibilidade seria propor problemas soliciando que os alunos realizassem um rabalho mais analíico e inerpreaivo. Assim, é saluar que se considere a possibilidade de propor problemas com quesões soliciando análise de gráficos e, possivelmene, quesões que somene possam ser respondidas a parir deles. Análise dos dados em relação à lieraura Na pesquisa desenvolvida por Villarreal (1999), ao esudar o pensameno maemáico dos esudanes quando uilizam ecnologias informáicas (TI), ambém foram desacadas algumas concepções sobre deerminados conceios ou coneúdos maemáicos que repeidamene os alunos manifesaram enquano uilizavam o compuador em aividades visando o esudo de derivadas. Foram expliciadas concepções sobre reas angenes, sinal da derivada e exremos de funções. Nos dados que foram apresenados no presene esudo, porém, uma concepção que se mosrou basane presene nos alunos refere-se aos processos, ou seja, é a de que para resolver um problema é preciso calcular, desenvolver e regisrar algébrica ou numericamene um raciocínio. E isso se mosrou aravés da surpresa que os alunos manifesavam quando lhes era apresenada a possibilidade de responder às quesões dos problemas a parir da visualização, compreensão e inerpreação dos gráficos de funções. A surpresa dos alunos é causada pelo que se êm chamado na lieraura de "confrono" enre crenças e concepções ípicas de um ensino feio nos moldes dios radicionais e as que se apresenam com a chegada das

Norma Suely Gomes Allevao ecnologias informáicas (TI). Tal confrono foi analisado por alguns auores, sob variadas perspecivas. Reomemos as idéias de Tall (1989), segundo as quais isso ocorre porque, hisoricamene, os elemenos conceiuais êm ganhado supremacia sobre os observáveis, porém eses úlimos são os que êm ganhado desaque com a presença das TI. O caráer observável dos objeos produzidos ou processados pelo compuador foi desacado, ambém, nas análises dos episódios apresenados por Villarreal (1999). Em seu esudo sobre visualização, a auora verificou que, de fao, a abordagem visual proporcionada pelo compuador não é naural para os alunos que, nos experimenos que realizou, recorriam com freqüência ao lápis e papel para resolver alguns conflios. Eses conflios eram causados pelo confrono enre (a) suas concepções aneriores a respeio de deerminado objeo maemáico e as imagens fornecidas pelo compuador, ou enre (b) sua vivência com um ensino de Maemáica essencialmene algébrico, e as possibilidades visuais de apresenar ais objeos uilizando o compuador, ou mesmo enre (c) a uilização do lápis e papel e a do compuador. No ocane à visualização Borba (1995) ressala que deva ser encarada como um modo paricular de conhecer, denre ouros, que fazem pare da aividade maemáica. É possível perceber neses esudos uma caracerísica comum: eles consideram a visualização como uma forma de abordar, especificamene, os objeos maemáicos, e analisam como esa abordagem pode ser aproveiada para complemenar as demais abordagens possíveis (algébrica, numérica, ou oura) e, dese modo, promover uma compreensão maemáica mais abrangene dos coneúdos maemáicos. (BORBA; VILLARREAL, 2005). No presene arigo são razidas as concepções manifesadas pelos alunos a respeio da resolução de problemas. A legiimidade do processo de visualização é que foi, de cera forma, quesionada pelos alunos. Os alunos demonsraram esranheza quano à validade de considerar a inerpreação obida pela análise dos gráficos como processo suficiene para a resolução dos problemas. E eseve presene, nos episódios aqui apresenados, um conflio gerado pela não necessidade do regisro escrio dese processo, ou seja, de como foram obidas as soluções. Não sem razão os alunos apresenaram esas concepções. E, somando-se às aneriores, uma jusificaiva pode ser enconrada nas análises que Schoenfeld (1989) desenvolve sobre os aspecos culurais e cogniivos nos ambienes de ensino. Ele afirma que as salas de aula são meios sociais, são microcosmos culurais, onde conjunos de crenças e valores são perpeuados pelas práicas e riuais do dia-a dia. Assim, a percepção que os esudanes êm, sobre a que se refere a Maemáica, é deerminado pela culura da Maemáica escolar, pelo ambiene de aprendizagem. Paricularize-se esas considerações sobre "a que se refere a Maemáica" para "a que se refere a resolução de problemas". A experiência que os alunos desa pesquisa inham com resolução de problemas foi que os levou às concepções que manifesavam: a exclusividade do lápis e papel; a ênfase nos processos algébricos de resolução e na manipulação de écnicas operaórias, os escassos momenos dedicados à inerpreação gráfica; enre ouros faores que em geral configuram o ensino, podem ê-los levado a abraçar essas concepções. A de se considerar, ambém, conforme saliena Tall (1989), que alguns novos elemenos que nos foram razidos pela chegada das TI já foram incorporados e rapidamene se ornaram pare de uma nova culura. Ouros, ais como o uso do compuador para auxiliar ou mesmo promover a aprendizagem, esão sujeios à lacuna culural, iso é, eles levam algum empo para se ornar pare da culura. Os alunos, nese esudo, esavam sendo inroduzidos ao uso do compuador naquele momeno. É naural que possuam concepções que rouxeram de suas experiências aneriores e que ocorram momenos de insabilidade gerados, por vezes, por uma misura

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... que resula da "fusão do velho com o novo", conforme diz Tall (1989). De qualquer modo, quano a ese aspeco da inerpreação de gráficos, os faos aqui analisados esão, novamene, em sinonia com as idéias de Schoenfeld (1989), segundo as quais dominar os procedimenos formais da Maemáica é diferene de aprender Maemáica que, por sua vez, é diferene de pensar maemaicamene. Da forma como enende, os alunos devem ser levados a essa erceira aiude, ou seja, a de pensar maemaicamene. Nese esudo, ao analisarem e inerprearem os gráficos para chegarem às soluções das quesões proposas nos problemas, os alunos praicaram uma forma de pensameno maemáico. A de se reafirmar que, nese caso, as inerpreações iveram fore apoio na visualização, aspeco de relevância nos ambienes em que há a uilização do compuador. Onuchic (1999) assevera que se deve proporcionar aos alunos, aravés do ensino, oporunidades de inerprear siuações ou problemas e de relembrar conhecimenos aneriores a fim de consruir novos conhecimenos (ONUCHIC,1999, 2003; ONUCHIC; ALLEVATO, 2005; SANTOS, 2002). Suas afirmações ambém expliciam a crença de que a verdadeira força da resolução de problemas não se resringe ao domínio de paricularidades écnicas ou de conceios, mas visa ao enendimeno de como se relacionam e dos princípios que os unifica. Considerações finais Ese rabalho coném uma pequena pare das reflexões que foram desenvolvidas durane a pesquisa de douorado realizada pela auora; uma melhor compreensão desses resulados pode ser obida recorrendo-se ao exo original (ALLEVATO; 2005). As quesões analisadas e discuidas aqui podem ineressar a pesquisadores que invesigam sobre ecnologias informáicas ou sobre resolução de problemas, ano quano de professores que almejam repensar e, quem sabe, renovar sua práica. Os episódios e aspecos analisados nese arigo refleem uma experiência inicial de uilização de sofware em aula, ano para o professor como para os alunos. Isso pode ser observado no fao de o professor propor problemas, no laboraório, semelhanes ao de sala de aula. Isso é o que geralmene ocorre em experiências iniciais desse ipo. Os professores ransferem suas práicas já crisalizadas para o novo conexo (BORBA; PENTEADO, 2001). No ocane à inserção de ecnologias informáicas no ensino, muio se em falado da necessidade de propor, aos alunos, aividades especialmene preparadas para ese conexo. A proposição de problemas aberos (VAN DE WALLE, 2001; PEHKONEN, 2003) é a mais recene correne no ocane à resolução de problemas, e as ecnologias informáicas êm sido aponadas como favoráveis à exploração de coneúdos e idéias maemáicas a parir dese ipo de problemas. Esa seria a configuração ideal para promover o desenvolvimeno de habilidades na uilização de novas formas de resolução de problemas e possibiliar um melhor aproveiameno dos recursos informáicos disponíveis. Porém, ela nem sempre corresponde à realidade, ou seja, nem sempre professores e alunos esão habiliados para iso. Ese esudo reraa, porano, a realidade de sala de aula, razendo circunsâncias em que se vêem alunos e professores nos momenos de ransição, em que se ena implemenar inovações às práicas. E, quano aos aspecos analisados nas aividades dos alunos, ambém são ípicos de quem esá se familiarizando com o novo recurso, no caso, o sofware Winplo. São aspecos, porém, que precisam ser considerados por inerferirem na resolução dos problemas, pelos alunos. Os faos ocorridos nesa pesquisa

Norma Suely Gomes Allevao sugerem, no enano, que a experiência possibiliou criar novas relações, aprofundar compreensões dos alunos sobre os coneúdos esudados, e repensar suas concepções sobre resolução de problemas maemáicos. Finalmene, vale salienar que, embora a resolução de problemas seja uma consane no dia-a-dia de pesquisadores, professores e alunos de Maemáica, é preciso refleir melhor sobre seus objeivos e formas de implemenação; esenda-se iso às ecnologias informáicas nos ambienes de ensino. Ese rabalho é uma enaiva de conribuir para esa reflexão. Referências Allevao, N. S. G. (2005) Associando o Compuador à Resolução de Problemas Fechados: Análise de uma Experiência. Tese de Douorado para obenção do íulo de Douora em Educação Maemáica, Insiuo de Geociências e Ciências Exaas, Universidade Esadual Paulisa Julio de Mesquia Filho, Rio Claro, Brasil. Gpimem Digial, 7, pp.1-370. Benedei, F. C. (2003). Funções, Sofware gráfico e Coleivos Pensanes. Disseração de Mesrado para obenção do íulo de Mesre em Educação Maemáica, Insiuo de Geociências e Ciências Exaas, Universidade Esadual Paulisa, Rio Claro, Brasil. Bogdan, R. & Biklen, S. (1994). Invesigação Qualiaiva em Educação: uma inrodução à eoria e aos méodos. Lisboa: Poro Ediora. Borba, M. C. (1995) Funções, represenações múliplas e visualização na Educação Maemáica. En Anais do 1 o Seminário Inernacional de Educação Maemáica do Rio de Janeiro. (pp.71-90). Rio de Janeiro: IM - UFRJ. Borba, M. C. & Peneado, M. G. (2001). Informáica e Educação Maemáica. Belo Horizone: Auênica. Borba, M. C. & Villarreal, E. M. (2005). Humans-wih-Media and he Reorganizaion of Mahemaical Thinking. New York: Springer. Ferreira. A. B. H. (1986). Novo Dicionário Aurélio da Língua Poruguesa. (2ª ed.) Rio de Janeiro: Nova Froneira. Onuchic, L. R. (1999) Ensino-aprendizagem de Maemáica aravés da resolução de problemas. En Bicudo, M. A. V. (Comp.). Pesquisa em Educação Maemáica (pp.199-220). São Paulo, SP: Ediora UNESP. Onuchic, L. R. (2003) Ensino de Maemáica aravés da Resolução de Problemas e Modelagem Maemáica. En Anais da 11 a Conferência Ineramericana de Educação Maemáica. (pp.1-11). Blumenau: Universidade Regional de Blumenau. Onuchic, L. R. & Allevao, N. S. G. (2005) Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de maemáica aravés da resolução de problemas. En Bicudo, M. A. V. & Borba, M. C. (Comp.). Educação Maemáica - pesquisa em movimeno. (2 a Edição, pp. 213-231). São Paulo, SP: Corez. Pehkonem, E. (2003) Sae-of-he-Ar in Problem Solving: Focus on Open Problems. En Proceedings of ProMah 2003. (pp. 93-111). Berlin: Verlag Franzbecker. Pierce, R. & Sacey, K. (2001). Observaions on Sudens' Responses o Learning in a CAS Environmen. Mahemaics Educaion Research Journal, pp. 28-46. Sanos, M. C. (2002). Algumas concepções sobre o ensino-aprendizagem de maemáica. Educação Maemáica em Revisa, pp.11-15. Schoenfeld, A. H. (1989). Problem Solving in Conex. En Charles, R. I.; Silver, E. A. (Eds.) The Teaching and Assessing of Mahemaical Problem Solving. (pp. 82-92). Virginia: Laurence Erlbaum Associaes. Tall, D. (1989). Concep Images, Generic Organizers, Compuers, and Curriculum Change. For he Learning of Mahemaics, pp.37-42. Van De Walle, J. A. (2001). Teaching Through Problem Solving. En Van De Walle, J. A. (Ed.). Elemenary and Middle School Mahemaics. (pp. 40-61). New York: Longman.

As concepções dos alunos sobre resolução de problemas... Villarreal, M. E. (1999). O pensameno maemáico de esudanes universiários de Cálculo e ecnologias informáicas. Tese de Douorado para obenção do íulo de Douora em Educação Maemáica, Insiuo de Geociências e Ciências Exaas, Universidade Esadual Paulisa Julio de Mesquia Filho, Rio Claro, Brasil. A auora Norma Suely Gomes Allevao Licenciada e Bacharel em Maemáica, Mesre em Maemáica Pura pela UEL - Universidade Esadual de Londrina/PR/Brasil; Douora em Educação Maemáica pela UNESP - Universidade Esadual Julio de Mesquia Filho de Rio Claro/SP/Brasil. Professora, pesquisadora e membro do GREMAP Grupo de Esudos em Maemáica Aplicada do Cenro Universiário Salesiano - UNISAL, Campinas/SP/Brasil. Membro do GTERP Grupo de Trabalho e Esudo em Resolução de Problemas e do GPIMEM Grupo de Pesquisa em Informáica, ouras Mídias e Educação Maemáica da UNESP- Rio Claro/SP/Brasil. Linhas de invesigação: Resolução de Problemas e Tecnologias Informáicas na Educação Maemáica. normallev@uol.com.br