MODELO MATEMÁTICO DO COMPORTAMENTO DE PÉ DE UMA PRÓTESE PARA AMPUTADOS ABAIXO DO JOELHO

MODELO MATEMÁTICO DO COMPORTAMENTO DE PÉ DE UMA PRÓTESE PARA AMPUTADOS ABAIXO DO JOELHO J. P. SILVA 1*, B. A. RODRIGUES 1, J. C. S. CASADO 2, S. K. CORREIA 2, J. V. C. SILVA 2, T. DIAS 1 e S. S. R. F. ROSA 1 1 Uiversidade de Brasília 2 Uiversidade Federal de Alagoas joziae.eg@gmail.com* Artigo submetido em fevereiro/2016 e aceito em maio/2016 DOI: 10.15628/holos.2016.4191 RESUMO O desevolvimeto de próteses atropomórficas é uma área de pesquisa que vem chamado a ateção dos cetros de pesquisa o mudo iteiro. A aplicação de cohecimetos a área da robótica tem torado estes dispositivos cada vez mais iteligetes. As próteses robóticas para membros iferiores possuem uma maior complexidade, pois elas podem iflueciar substacialmete a postura e mobilidade de seu usuário. As ferrametas matemáticas empregadas o desevolvimeto de robôs podem ser aplicadas o modelameto de próteses e possuem grade importâcia para a implemetação de seu cotrole. Este trabalho desevolve um modelo matemático aplicado a uma prótese de pé robótico com 2 graus de liberdade. O algoritmo de Deavit-Harteberg é uma ferrameta bastate eficaz a represetação de sua ciemática de ode podem ser extraidas diversas relações que permitem relacioar orietação e posição. A orietação do pé com relação ao solo pode ser tomada por sesores de ultrassom. A marcha humaa também é um grade fator o cotrole de uma prótese de pé robótico e pode ser aalisada como critério de comportameto do pé. PALAVRAS-CHAVE: Próteses Robóticas. Modelo Matemático. Marcha Humaa. Ciemática. MATHEMATICAL MODEL OF FOOT BEHAVIOR OF AN IMPLANT TO BELOW THE KNEE AMPUTEES ABSTRACT The developmet of athropomorphic prosthesis is a area of research that has attracted the attetio of research ceters worldwide. The applicatio of kowledge i the robotics field has made icreasigly itelliget devices. The robotic prostheses for lower limbs have a greater complexity because they ca substatially ifluece the posture ad mobility of its user. The mathematical tools used i the developmet of robots ca be applied to the modelig of prosthesis ad has great importace for the implemetatio of their cotrol. This paper develops a mathematical model applied to a robotic foot prosthesis with 2 degrees of freedom. The Deavit- Harteberg algorithm is a very effective tool i a represetatio where kiematic ca extract various relatioships that allow relatig orietatio ad positio. Ultrasoud sesors ca make the orietatio of the foot with relatio the groud. The huma gait is also a major factor i the cotrol of a robotic foot prosthesis ad ca be aalyzed as stadig behavior criterio. KEYWORDS: Robotic Prosthetics. Mathematical Model. Huma Gait. Kiematics. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 31

1 INTRODUÇÃO Desde a atiguidade, o homem procura substituir membros perdidos por dispositivos costruídos de forma criativa (CASSEMIRO, 2002). Com o avaço da tecologia as mais diversas áreas do cohecimeto, as próteses têm se torado cada vez mais iteligetes e sofisticadas. Isso se deve pricipalmete ao desevolvimeto eletrôico, que possibilitou a elaboração de sistemas que permitem a iteração de próteses robóticas com o ambiete. Com isso, o desevolvimeto de próteses robóticas atropomórficas tem sido objeto de estudo para os grades cetros de pesquisas do mudo. À priori, a dedicação dos pesquisadores o estudo e desevolvimeto de próteses atropomórficas foi voltada para o de braços robóticos (BLAYA e HERR, 2004). Equato próteses de braço robótico podiam ser cotroladas com mais facilidade através da potêcia exercida pelo corpo ou captura de Siais Eletromiográficos (EMG), as próteses para membros iferiores ifluem sigificativamete o movimeto e a postura do usuário. Este tipo de dispositivo é objeto de estudo deste trabalho. A robótica bípede é uma grade aliada o campo do desevolvimeto de próteses de membros iferiores. Isto porque muitos dos temas abordados para a implemetação de robôs bípedes podem ser aplicados o desevolvimeto de dispositivos que visam auxiliar a locomoção de pessoas com deficiêcia. Muitas das ferrametas matemáticas empregadas para modelar robôs podem ser aplicadas em próteses e outros dispositivos auxiliares. Gomes (2009) utilizou o Zero Momet Poit (ZMP) como critério para traçar trajetórias do padrão de marcha dos membros de uma órtese robótica. O mesmo critério é usado por Huag et al (1999), Park e Kim (1998) e Ferreira, Crisóstomo e Coimbra(2003) para o desevolvimeto de robôs bípedes. Ferrametas matemáticas tem sido amplamete difudidas os últimos aos, e sua utilização o ambiete idustrial, cotribui para melhorias o processo de produção de modo a evitar gastos excessivos de recursos e desperdícios de produção (WAVRZYNCZAK, 2016). A represetação de Deavit-Harteberg (represetação D-H) é a pricipal ferrameta para modelar a ciemática de robôs. Esta represetação segue um algoritmo bastate sistemático para relacioar um elemeto termial como um referecial fixo. Ela é muito utilizada para modelar maipuladores robóticos (CASSEMIRO, 2002; SANTOS, 2004). Esta represetação é bastate eficiete para maipuladores robóticos com até 6 Graus de Liberdade (GL) (CASSEMIRO, 2002). Cascão et al (2005) aplicou esta ferrameta o modelo de uma prótese atropomórfica para amputados acima do joelho. Outra forma meos rigorosa é o uso de refereciais locais em cada juta do maipulador robótico. Alves (2009) simulou um pé em uma ferrameta de matemática computacioal através deste método. Um dos grades desafios a elaboração de uma prótese para membros iferiores é traçar um modelo de comportameto do pé durate o camihar. A grade variável para este tema é o tipo de gait humao executado. Gait é o termo usado para desigar um ciclo de movimeto das peras de um aimal ou robô (FERREIRA, CRISÓSTOMO e COIMBRA, 2003). Assim, ão se pode traçar um padrão úico de movimetos, mas é possível ecotrar relações etre cada forma de gait através da biomecâica do movimeto. Popovic e Eglehart (2004) ivestigaram que os mometos agulares primitivos com seus respectivos gaits ormalizados depedetes possuem suas distribuições ivariates com a velocidade. Para modelar o comportameto de um pé, Brasil (2008) assumiu que a sola do pé e o solo poderiam ser iterpretados como dois plaos quaisquer, assim, projetou potos distitos do pé o solo para a obteção de suas distâcias e dos âgulos do plao da sola. Outra variate para traçar modelos de comportameto do pé é a topologia do solo. O tipo de terreo tem bastate ifluêcia sobre o gait. Ji et al (2000) propuseram que a idetificação do solo poderia HOLOS, Ao 32, Vol. 3 32

ser feita através da aálise de EMG que são usados o cotrole do mometo resistivo de próteses para amputados acima do joelho. O estudo das características atropomórficas do pé humao também tem fudametal importâcia para elaborar e implemetar próteses para membros iferiores. Rosa et al (2014) mostra que uma aálise diâmica usado um modelo matemático de cotrole juto com técicas como a itegração umérica, o deslocameto histórico, velocidade, aceleração, retrato de fase, a bacia de atração e bifurcação diagrama é apresetado mostram que a pressão em determiados potos da região platar causam ulcerações. Para Borges Filho e Almeida (2004), o pé humao possui características úicas, e que toram este membro um traço marcate os seres humaos. Este trabalho tem como objetivo a modelagem matemática de uma prótese atropomórfica de pé robótico. Serão abordados coceitos relacioados à modelagem ciemática, diâmica do camihar, orietação espacial do pé e estudo da marcha humaa. Também será apresetado um protótipo e um modelo para a prótese a ser implemetada. 2 CARACTERÍSTICAS ANTROPOMÓRFICAS DA MARCHA E DO PÉ 2.1 Locomoção Humaa Etre os mamíferos, o modo de locomoção terrestre bípede a passos largos é úico da liha evolutiva humaa e pode ter sido a mudaça chave que torou possível a evolução de outras características distitamete humaas (BORGES FILHO e ALMEIDA, 2004). Durate a locomoção há uma série de forças atuado o corpo. A sola do pé é a região que sofre a força de reação do solo o período de cotato. A Figura 1 mostra o comportameto da força que se aplica o solo durate este cotato. Figura 1: Força aplicada ao solo e suas compoetes. Fote: (NADALIN, 2010). Esta força foi medida em experimetos através de diamômetros adaptados em uma plataforma móvel. A Figura 2 apreseta as compoetes x e y desta força durate o ciclo de camihar de uma pessoa adado devagar, adado rápido e corredo. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 33

Figura 2: Comportameto das compoetes da força aplicada ao solo durate um ciclo de marcha leta (à esquerda), rápida (ao meio) e corredo (à direita). Fote: (NADALIN, 2010) Aalisado os dados apresetados pela Figura 2, pode-se cocluir que a queda da itesidade da força o meio do período das amostrages se deve pelo fato de que este mometo, o iício do cotato com o solo, o pé exerce uma força que resulta da força peso do corpo com a força do impulso tomado para movimetar o corpo. No fial do cotato, o pé provoca uma força de impulso para deslocar o corpo ovamete. 2.2 Características do Pé Humao O pé é cosiderado a parte mais tipicamete humaa da aatomia do homem, costituido o sial pricipal e distito que separa o homem de outros aimais (locomoção humaa). A sola do pé tem a característica de se adaptar a tipologia do solo de modo a permitir o melhor apoio ao corpo durate o camihar. Pisar sobre uma superfície estimula os receptores de pressão situados as platas dos pés, causado uma cotração reflexa dos membros extesores. Isto é cohecido como reflexo de cotração dos extesores cuja utilidade é evidete a locomoção e postura ereta, cotribuido para a mauteção desta. Na posição ereta, o peso distribui-se uiformemete etre o dorso do pé e o calcahar. Sob a tesão de sustetação de peso, o pé se aloga e se alarga ligeiramete. O pé possui dois apoios: o apoio calcâeo e o apoio frotal da região proximal aos dedos. A Figura 3 mostra como ficam os ossos do pé o fial do cotato com o solo. Ao tocar o solo, a força exercida pelo peso corporal chega ao seu valor máximo o calcahar coforme o outro pé deixa o solo. À medida que a região de apoio do pé aumeta, a força aplicada sobre ele permaece costate. Quado a região de apoio dimiui a pressão do cotato vai para o apoio frotal. Figura 3: Ossos do pé o fial do cotato com o solo. Fote: (NADALIN, 2010). O pé humao pode executar dois tipos de movimetos fudametais os de eversão/iversão e os de platificação/dorsificação (BRASIL, 2009). Estes movimetos garatem ao pé dois graus de liberdade que lhe permite atuar esfericamete em sua juta. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 34

3 MATERIAIS E MÉTODOS 3.1 Modelo ciemático Existem diversos métodos para se obter o modelo ciemático de um sistema. Na robótica idustrial, existem dois métodos muito utilizados: o método de vetores locais e a represetação de Deavit-Harteberg (D-H). Para este trabalho, optou-se pela represetação D-H por motivo de coveção sistemática e pela facilidade de usá-lo. Para o caso de um sistema mais complexo é recomedado o uso de vetores locais (CASSEMIRO, 2002). O modelo ciemático se divide em três tópicos: Ciemática direta, ciemática iversa e ciemática diferecial. 3.1.1 Ciemática direta A ciemática direta preocupa-se em traçar a posição de um membro termial com respeito a um sistema de coordeadas iicial em fução dos âgulos das m jutas. Este trabalho assume que a prótese robótica pé que é proposta possua dois Graus de Liberdade (GL s). A Figura 4 mostra um deseho CAD simplificado da prótese proposta. A metodologia proposta para modelar os movimetos da prótese o espaço foi a represetação de D-H (CASSEMIRO, 2002; CRAIG, 2005). Este método se apoia em 4 parâmetros chamados de q,a l e d. A Tabela 1 mostra o valor dos parâmetros adotados os 2 GL's da prótese. Figura 4: Simplificação de uma prótese com 2 GL s Tabela 1: Parâmetro D-H da prótese robótica. Elo θ i α i l i d i 1 θ 1 90º 0 0 2 θ 2 0 l 0 Em que θ i é o âgulo de cada um dos i-ésimos elos, α i é o âgulo de torção de uma juta a outra, l i é o comprimeto etre cada juta e d i é o comprimeto ao logo do eixo da juta. Substituido estes parâmetros a matriz de trasformação homogêea pode-se obter a matriz de trasformação geral da prótese de pé robótico deotado pela Equação (1), formada pelas Equações (2), (3) e (4)Erro! Idicador ão defiido.. A Figura 5 mostra a represetação geométrica dos elos aalisados para se obter os parâmetros de Deavit-Harteberg. i 1 T i HOLOS, Ao 32, Vol. 3 35

T 2 0 = [ R 2 0 p 2 0 0 1 ] (1) cos θ 1 cos θ 2 cos θ 1 si θ 2 si θ 1 R 0 2 = [ si θ 1 cos θ 2 si θ 1 si θ 2 cos θ 1 ] si θ 2 cos θ 2 0 l cos θ 1 cos θ 2 p 2 0 = [ l si θ 1 cos θ 2 ] l si θ 2 (2) (3) 0 = [0 0 0] (4) Figura 5: Represetação geométrica dos elos aalisados para se obter os parâmetros de Deavit-Harteberg. 3.1.2 Ciemática Iversa A ciemática direta resulta em expressões que descrevem o movimeto da prótese robótica, etretato é iteressate saber quais valores de θ i devem ser usados de maeira a posicioar o pé em determiado poto do espaço. Assim, se percebe a ecessidade de se obter relações etre o espaço cartesiao e o espaço das jutas. A relação etre o espaço cartesiao e o espaço das jutas pode ser obtido através da matriz que deota o setido e a posição o espaço descritos pela Equação (5). Desevolver as relações etre a ciemática direta e a iversa em sempre pode gerar uma solução. Mas devido à cofiguração dos graus de liberdade da prótese, foi possível chegar às Equações (6) e (7). s a p [ 0 0 0 1 ] (5) θ 1 = ta 1 ( p y p x ) θ 2 = ta 1 ( z s z ) Observe que as Equações (6) e (7) foi usada a fução iversa da tagete para se obter os âgulos do espaço das jutas. Este tipo de fução figura uma meor imprecisão umérica comparada com as fuções seo e cosseo (SANTOS, 2004) sedo, portato, mais eficiete para ser empregada. (6) (7) HOLOS, Ao 32, Vol. 3 36

3.1.3 Ciemática Diferecial A ciemática diferecial procura relacioar as variações agulares com as lieares da prótese. A matriz jacobiaa mostra-se útil o ituito de se obter uma relação etre as velocidades de seu espaço operacioal ou cartesiao com as velocidades do espaço das jutas. Sua obteção pode ser feita de maeira aalítica através dos icremetos sofridos por uma determiada trajetória coforme a Figura 6. Figura 6: Represetação dos icremetos lieares e agulares a prótese. Para obter o jacobiao do pé robótico com 2 GL's deve-se calcular as derivadas parciais e obter a diferecial total do vetor posição do extremo da prótese ode sua trajetória é descrita através da Equação (1) pelo vetor p 20. Dessa forma, se obtém o gradiete dos movimetos que a prótese poderá realizar o espaço operacioal. O resultado do processo de derivação resulta a Equação (8). dp = J. dq (8) A partir da jacobiaa da prótese é possível obter os icremetos a serem adicioados ao vetor posição do pé a partir dos icremetos agulares. Etretato, se deseja obter um cojuto de coordeadas de icremetos agulares a partir de uma fução cartesiaa da trajetória desta prótese cujos icremetos são defiidos por dp. Assim, o vetor dq de icremetos agulares pode ser obtido pela Equação (9). dq = J. dp (9) Ode J é o iverso da matriz jacobiaa da prótese. Como J é uma matriz quadrada do tipo 3x2 ão é possível iverte-la pelos métodos covecioais, sedo ecessário recorrer ao uso da psudoiversa de uma matriz, que este caso é deomiada J + (ANTON e RORRES, 2001). Pela cofiguração deste caso, podese ecotrar sua iversa pela Equação (10). J + = (J T J). J T (10) Uma vez obtido este vetor, pode-se cotrolar a prótese através de icremetos que podem satisfazer as Equações (11) e (12) e adicioar os icremetos através da Equação (13) que se trata de uma aproximação pela da série de Taylor (LEITHOLD, 1994). lim si θ = 0 θ dθ lim si θ = 0 θ dθ P i = P i 1 + J. dq (11) (12) (13) HOLOS, Ao 32, Vol. 3 37

3.2 Modelo Diâmico 3.2.1 O ZMP critério de estabilidade Um critério que é usado com bastate frequêcia para cotrolar a marcha de robôs bípedes é o poto de mometo ulo ou Zero Momet Poit (ZPM). Em Ferreira, Crisóstomo e Coimbra (2003), o ZMP é defiido como o poto o solo ode a soma de todos os mometos de força é ula. A Figura 7 mostra o ZMP de um robô estático. Figura 7: ZMP de um robô bípede. Existe uma região estável que pode ser deomiada como margem de estabilidade e que a distâcia do ZMP (Figura 8) à froteira desta região é usada como um idicador de qualidade para este critério (HU- ANG et al, 1999). Se o ZMP estiver detro do polígoo de cotato (PARK e KIM, 1998; FERREIRA, CRISTOMO e COIMBRA, 2003), diz-se que o robô está estável. O grau de estabilidade aumeta quado a meor distâcia etre o poto e a froteira é máxima. O ZMP pode ser obtido através das Equações (14) e (15) a qual resultam as compoetes das coordeadas do plao (x, y) ode se projeta o poto. x zmp = y zmp = m igx i m i g m igy i m i g (14) (15) Figura 8: Polígoo de estabilidade do ZMP. Estas equações cotemplam apeas o mometo causado pelo peso dos vários membros do bípede, etretato despreza os efeitos da aceleração liear e agular. Assim, elas se aplicam a um bípede estático. Para um corpo diâmico, as Equações (16) e (17) cosideram o mometo causado pela traslação e rotação de cada corpo. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 38

x zmp = m i(z + g)x i m i x z i I iy α iy m i g y zmp = m i(z + g)y i m i y z i I ix α ix m i g (16) (17) Em que m i é a massa do i-ésimo elemeto do bípede, I iy e I ix são as acelerações agulares do i-ésimos elemetos, aceleração gravitacioal e é o último elemeto do bípede. ẍ, ÿ, z são as acelerações lieares, a iy e a ix são as iercias dos i-ésimos elemetos, g é a Apesar de ser bastate utilizado, o ZMP possui algus defeitos como, por exemplo, de o camihar baseado ele tede a ser vite vezes mais dispedioso que o camihar humao. Isso por que o ser humao cosegue aproveitar melhor a eergia ciética e potecial durate o camihar (HEINEN e OSÓRIO, 2001). Etretato, em Hirukawa et al (2006) uma vatagem vista o ZMP é a facilidade para traçar o poto um plao horizotal. 3.2.2 ZMP e a Força Aplicada ao Solo Estaticamete, uma pessoa ou qualquer sistema de locomoção bípede, ou outros tipos de sistemas de locomoção, tem seu peso dividido por etre os membros que estão em fase de apoio coforme. Assim, a força que atua em cada um dos membros, a mesma direção da força peso, satisfaz a igualdade a Equação (18). (18) F P = F i Em que F i é a força aplicada o i-ésimo membro, é o úmero de membros em apoio e F P é a força peso do idivíduo. Caso a igualdade da Equação (18) ão seja satisfeita, podemos dizer que o ZMP do sistema ão está o polígoo de cotato, podedo caracterizar um mometo de istabilidade do bípede. A partir da equação aterior podemos estabelecer um critério de qualidade de estabilidade do bípede dado por (19), ode 0 k 1. F i F P = k (19) Mas durate o ciclo de camihar, para se mater estável é ecessário observar a relação etre a força aplicada o solo pela pera o iício da fase de apoio e com a força que a mesma atua sobre o solo o fial de sua fase de apoio. A Figura 9 mostra a ação das duas forças. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 39

Figura 9: Forças atuates durate o camihar. Visto que, durate o ciclo de camihar depede da relação etre F o e F f deota um deslocameto do ZMP que pode ser iterpretado da seguite forma: 1. Se F o < F f, o ZMP é deslocado para um poto mais a frete do seu atual poto relativo; 2. Se F o > F f, o ZMP é deslocado para um poto mais atrás do seu atual poto relativo; 3. Se F o = F f, o ZMP é matido em equilibrio a mesma posição relativa. Como critério de qualidade de equilíbrio o plao frotal, a relação que podemos tomar para avaliar a estabilidade do ZMP o polígoo de cotato é satisfeita pela relação dada a Equação (20). 0 F f F o + F f 1 Note que, a Equação (19), quado o corpo está com equilíbrio elevado, k se aproxima de 0.5, pois esse mometo, a força tede a se dividir igualmete etre os membros em cotato com o solo. No caso da Equação (20), quado esta relação atige 0.5, pode-se dizer que o ZMP está uma região de alta estabilidade diâmica, pois o itervalo etre 0 e 1 pode ser tratado como um espaço uitário limitado pela distâcia etre os pés. (20) 3.3 Modelo De Pêdulo Ivertido O pêdulo pode ser usado para aalisar a força que um bípede aplica sobre o solo e pode ajudar a compreeder as relações etre o ZMP e esta força. Este modelo cosiste o método do pedulo duplo que relacioa a aceleração da pera que ão está em cotato com a aceleração a qual o corpo é submetido durate o camihar. Para obter este modelo, assume-se que a pera que ão está em cotato com o solo pode ser aalisada como um pêdulo ormal, etretato a outra pera é tomada como um pêdulo ivertido, pois a massa deste pêdulo é a massa do bípede. A Figura 10 apreseta a cofiguração do bípede e a represetação do sistema em questão. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 40

Figura 10: Cofiguração do bípede deste modelo (acima) e represetação de pêdulo ivertido (abaixo). A massa em que a aceleração resultate será submetida é a soma das massas de todos os membros e também é a massa do pêdulo ivertido. Esta massa pode ser cocetrada em um úico poto que pode ser ecotrado as Equações (21) e (22). No caso do pêdulo comum, a massa é dada pela soma das massas de todos os elemetos da pera e o comprimeto deste pêdulo é a distâcia etre o cetro de massa da pera até o cetro de massa do corpo do bípede. CM x = CM y = m ix i m i m iy i m i (21) (22) A projeção dos comprimetos d e b a Figura 13 podem ser obtidos a partir das Equações (23) a (26). Por meio delas é possível chegar às equações que descrevem as compoetes da força exercida o solo pelo bípede o plao sagital descritas pelas Equações (27) e (28). d x = D si γ 3 + l 2 si γ 2 + l 1 si γ 1 d y = D cos γ 3 + l 2 cos γ 2 + l 1 cos γ 1 b x = D si γ 3 + ( m 3l 3 si β 1 + (m 4 + m 5 )l 4 si β 2 m 3 + m 4 + m 5 ) b y = D cos γ 3 + ( (m 3 + m 5 )l 3 cos β 1 + m 4 l 4 cos β 2 m 3 + m 4 + m 5 ) F x = (d x + b x) m i (23) (24) (25) (26) (27) (28) F x = (d y + b y 2g) m i HOLOS, Ao 32, Vol. 3 41

Ode m i é a massa do i-ésimo membro, d x e d y são as compoetes do vetor comprimeto do pedulo ivertido, b x b y são as compoetes do vetor comprimeto do pedulo γ i e β i são os i-ésimos agulos etre o eixo y e os vários membros do bípede. 3.4 Modelo de Marcha A passada ou ciclo de marcha é defiido como sedo a duração ou o espaço do eveto da pera até o mesmo eveto da mesma pera o cotato seguite. Pode-se dividir o ciclo de passo em duas pricipais fases: Fase de oscilação: vai do período em que o pé deixa o cotato com o solo até o mometo de um ovo cotato pela mesma pera; Fase de apoio: cosiste o período que vai do istate iicial do cotato com o solo até o istate fial do cotato da mesma pera. Estas duas fases podem ser aalisadas através do coceito de deslocameto virtual e empregar sistemas de eergia e trabalho como fuções de coordeadas geeralizadas para a obteção de um cojuto de equações difereciais de seguda ordem do movimeto. Este método é realizado através da Lagrageaa de um sistema. A Lagrageaa do bípede é modelada a fase de oscilação e a fase de apoio. Em ambas as fases, assumiu-se que as articulações da pera são cosideradas jutas, que o comprimeto dos seguimetos permaece costate durate o movimeto e que as massas dos membros são cocetradas o cetro de gravidade. 3.4.1 Fase de Oscilação Nesta fase, as coordeadas geeralizadas são dadas pelos âgulos formados etre a coxa e a rela ortogoal à parte superior do corpo e etre o joelho e a mesma reta ortogoal. As massas da coxa da pera e do pé são cosideradas este mometo A Figura 11 mostra como é a cofiguração do sistema em questão. Figura 11: Cofiguração do sistema aalisado em fase de oscilação. Este modelo permite chegar ao sistema de equações que são agrupadas a forma matricial descritas a Equação (29). Esta equação o permite chegar às forças geeralizadas do espaço das jutas. Q oc = Aq + Bq + Cq (29) HOLOS, Ao 32, Vol. 3 42

Ode Q oc é o vetor de torques etre as jutas do bípede a fase de oscilação, em que q, q e q são os vetores aceleração, velocidade e agulos em πrad do modelo, m 1 é a massa da coxa, m 2 é são a massa da pera somada à massa pé, r 1 e r 2 são as distacias etre os elos de cada juta e o poto do cetro de massa de cada membro, l 1 e l 2 são os comprimetos de cada membro, θ 1 e θ 2 são os agulos ocorretes a coxa e a pera respectivamete e g é a aceleração gravitacioal. 3.4.2 Fase de Apoio Nesta fase, as coordeadas geeralizadas compreedem-se os âgulos formados pelos âgulos etre a reta paralela à sola do pé com a pera, coxa e a parte superior do corpo. Nesta fase o sistema sofre uma força de reação vida do solo. As massas da pera, coxa e da região acima do quadril. A Figura 12 ilustra a cofiguração adotada. Figura 12: Cofiguração do sistema aalisado em fase de apoio. A partir da modelagem esta fase e da mecâica lagrageaa, é permitido chegar ao sistema de equações cuja forma matricial é descrita pela Equação (30) com estrutura similar à Equação (31). Q ap = M + N + O (30) Ode Q ap é o vetor de torques etre as jutas a fase de apoio, q, q e q são os vetores aceleração, velocidade e âgulos do modelo. 3.5 Modelo de Orietação da Prótese Durate o camihar, o moitorameto da distâcia e do âgulo etre a prótese e o solo ocorrerá através de uma série de sesores e receptores ultrassôicos colocados a sola do pé. Esta medição será feita através de pulsos. Na Figura 13, os receptores são represetados por Rx1 e Rx2 e o emissor por Tx um espaço bidimesioal. Figura 13: Represetação dos sesores durate a reflexão dos pulsos. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 43

As medições são baseadas distâcia etre os pulsos emitidos (CASCÃO et al, 2005). A distâcia percorrida por cada um dos pulsos é dada pelas Equações (32) e (33). O espaço etre cada pulso emitido é dado pela Equação (31). d 1 = d 2 = t = 2d + 2b ta γ si α 1 2d + 3b ta γ si α 2 2b si γ (si α)v (31) (32) (33) Ode b é a distâcia etre os trasdutores, v é a velocidade do som o ar, α = {α 1 ; α 2 } é o âgulo de icidecia dos pulsos o solo, d = t.v 2 é a distacia do pé ao solo e d 1 e d 2 que podem ser escritos como d 1 = L 1a + L 1b e d 2 = L 2a + L 2b são as distacias atuais geradas pelo deslocameto agular do pé. 3.5.1 Trajetórias da pera durate o camihar Através de estudos utilizado coceitos vetoriais, procurou-se estudar o camihar humao por meio das trajetórias de um gait que a pera pode fazer durate o camihar. Isso possibilitaria o etedimeto do comportameto do pé humao e o estudo de seus movimetos. A priori procurou-se compreeder quais as possibilidades de movimeto que a pera poderia realizar em um espaço de coordeadas bidimesioal. Dividiu-se a pera em coxa, pera e pé, coforme a Figura 14. Etretato, se assumiu este estudo apeas os movimetos da coxa e da pera para a obteção das trajetórias. Figura 14: Cofiguração da pera para traçar as trajetórias da pera. Para a obteção das trajetórias da coxa e da pera, fixou-se a origem dos movimetos a jução da coxa com a bacia deotada a Figura 18 por a, mas a o referecial de origem foi istalado o poto ao extremo da pera quado ela está ereta coforme o que foi deotado a imagem aterior. A obteção das fórmulas que descrevem as trajetórias foram feitas por meio de equações paramétricas a partir de relações de projeção de potos os eixos x e y e relações trigoométricas. As Equações (34) e (35) descrevem o movimeto da coxa e as Equações (36) e (37) descrevem o movimeto da pera de maeira paramétrica. C x = c. si φ (34) HOLOS, Ao 32, Vol. 3 44

C y = D c. cos φ P x = C x + p. si α P x = C y p. cos α (35) (36) (37) Ode C x e C y são as posições em x e y da coxa, P x e P y são as posições em x e y da pera, c é o comprimeto da coxa, D é a posição em y da origem da coxa, p é o comprimeto da pera e φ e α são os agulos qua a coxa e a pera, respectivamete, realizam com relação ao eixo y. Tomou-se como fução agular da pera a coxa, com respeito ao tempo, as Equações (38) e (39). φ = ρ si(πt) ( cos(πt) + cos(πt)). ρ α = φ 2 (38) (39) 3.6 Modelo Bípede em Três Dimesões Ao logo do desevolvimeto desta pesquisa, foram cohecidas ovas ferrametas matemáticas que permitiram escrever de maeira mais eficiete e mais prática o modelo ciemático de um sistema com vários graus de liberdade. Para modelar um bípede, foi utilizado o algoritmo de Deavit-Harteberg para relacioar vários sistemas de coordeas com um sistema fixo como origem. Para modelar o bípede, plaejou-se seus graus de liberdade de maeira similar ao robô utilizado em Ferreira, Crisóstomo e Coimbra (2003), coforme a cofiguração ilustrada a Figura 15. A Tabela 2 mostra os parâmetros D-H obtidos da esta figura da pera esquerda com referêcia ao quadril. Figura 15: Modelo geométrico da pera de um bípede com referêcia ao quadril. Tabela 2: Parâmetros D-H do bípede. elo θ i α i l i d i 1 0 0 l 1 0 2 Var + π 0 l 2 0 2 3 Var - π π 0 0 2 2 4 Var 0 l 4 0 5 Var 0 l 5 0 6 Var π 0 0 2 7 Var 0 l 7 0 HOLOS, Ao 32, Vol. 3 45

Em que θ i é o âgulo de cada um dos i-ésimos elos, α i é o âgulo de torção de uma juta a outra, l i é o comprimeto etre cada juta e d i é o comprimeto ao logo do eixo da juta. A partir destes dados, pode-se modelar a posição de cada pera a partir de matrizes de trasformação. A pera esquerda do bípede foi modelada da coforme (40), (41) e (42). O modelo da pera direita pode ser obtido trocado o sial de l 1. Ode C, P e T são o vetor de localização coxa, pera e pé respectivamete. C = B 1 0. B 2 1. B 3 0. B 4 3 r P = B 1 0. B 2 1. B 3 0 B 4 3. B 5 4. r T = B 1 0. B 2 1. B 3 0. B 4 3. B 5 4. B 6 5. B 7 6. r (40) (41) (42) Com este modelo, é possível simular a maior parte dos movimetos possíveis de um bípede humao possuido apeas o padrão de marcha executado durate o camihar. Assim, é possível obter relações de força e velocidade de acordo com o tipo de camihar. 4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 4.1 Projeto de um Modelo de Prótese Após estudos sobre as características aatômicas do pé humao e a iteção de projetar uma prótese que possua características aatômicas similares as do pé humao, projetou-se uma prótese robótica baseada a estrutura de um pé humaoide. Para se estudar de maeira pratica sobre a estrutura do pé durate o movimeto, foi costruído um protótipo utilizado eletrodos de solda elétrica. Este protótipo é costituído de uma estrutura rígida que poderia abrager a região calcâea, os segmetos similares aos metatarsos e estruturas que visão simular os dedos. A Figura 16-a) mostra o protótipo costruído. A adaptação do protótipo ao solo se dá por meio dos dedos que foram costruídos para se acomodarem ao solo do mesmo modo que os dedos do pé humao em mesmas codições. Para isto, foram implemetadas estruturas aálogas aos tedões do pé humao que fazem o papel de mater os dedos sempre flexioados para frete. Na Figura 16-b), pode-se visualizar o comportameto do protótipo submetido a uma força que dobra os dedos para cima. A Figura 16-c) mostra a adaptação do protótipo ao solo quado submetido a uma irregularidade a região dos dedos. a) b) c) Figura 16: Protótipo implemetado a) Visualização superior; b) Submetido a uma força e c) Adaptação ao solo quado submetido a uma irregularidade a região dos dedos. Fote: (Autoria Própria) HOLOS, Ao 32, Vol. 3 46

A partir deste modelo, foi projetada uma versão mais robusta com características similares. Procurou-se reduzir o úmero de modo que apeas três exercessem o papel dos cico. Etão, utilizado de uma ferrameta CAD, projetou-se uma versão mais realista da prótese que este trabalho propõe. O deseho foi desevolvido através do software CATIA V5 R19 e é ilustrado pela Figura 17. Figura 17: Modelo desevolvido em uma ferrameta CAD. Este modelo foi projetado para se acomodar ao solo e absorver parte da força peso do usuário se deformado parcialmete o arco do plao sagital do pé. Os êmbolos localizados a parte de cima da prótese servem de tedões para mater os dedos do pé sempre a mesma posição e se deformarem quado exercida uma força e permitido um melhor apoio durate o camihar. 4.2 Simulações em Matlab Através do desevolvimeto deste trabalho, foi possível obter algus ambietes de simulação que os permitem visualizar a aplicação dos modelos propostos a fim de se obter dados ou simplesmete possuir uma estrutura a ser cotrolada para a prótese robótica. A estrutura de cada simulação foi costruída utilizado como ferrameta um ambiete computacioal de liguagem matemática com recurso de gráficos. A ferrameta utilizada foi o Matlab R2008. As técicas de costrução de modelos foram feitas através de técicas da álgebra matricial para a descrição de polígoos o espaço tridimesioal que são a base da computação gráfica (ato). Para verificar o comportameto da prótese robótica em fução dos âgulos que poderiam ser posicioados os acioadores, costruiu-se um modelo de pé virtual em que o sistema referecial da origem se localiza o torozelo. A Figura 18 ilustra os mometos de simulação da ciemática do pé ode foram adicioados 0 e 0 em a, 15 e 0 em b, 0 e 30 em c e -15 e 30 em d em θ 1 e θ 2 respectivamete, ode θ 1 represeta o âgulo que o pé realiza o plao frotal e θ 2 é o âgulo realizado o plao sagital. Figura 18: Simulação da prótese. O modelo mostra como o pé irá se portar em fução dos âgulos adicioados. Como visto ateriormete, o modelo diferecial os permitirá obter os icremetos agulares ou lieares da prótese através da jacobiaa do pé. Além disso, o modelo diferecial tem grade importâcia HOLOS, Ao 32, Vol. 3 47

a malha de cotrole de posição da prótese. A simulação diferecial aqui implemetada cosiste a obteção dos âgulos por meio da diferecial do vetor posição, que remete a um poto qualquer a sola do pé, ode a atualização da posição se dá pela Equação (13). A Figura 19-a) apreseta uma trajetória gerada e o resultado obtido é o valor dos âgulos θ 1 e θ 2 do pé que descrevem este movimeto. Este resultado é ilustrado pela Figura 19-b). A equação que descreve o vetor posição esta simulação é descrita pela Equação (43). cos (kt) p = [ 0 si(kt) ] (43) a) b) Figura 19. Resultados obtidos o Matlab a) Âgulos obtidos através dos icremetos lieares sofridos; b) Trajetória gerada esta simulação. Para este referecial, a sola do pé seria um plao ormal ao plao (x,y). Fote: (Autoria Própria) Utilizado dos mesmos pricípios das simulações ateriores, implemetou-se um modelo que pudesse devolver as distâcias que seriam obtidas por sesores ultrassom localizados a sola do pé durate a trajetória do camihar. A Figura 32 mostra um istate de simulação do pé em uma trajetória simular parametrizada as Equações (44), (45), (46). A Figura 20 apreseta o resultado da medição de quatro sesores com um ruído de 3mm. X = 0 Y = 50 cos(kt) Z = 10 si(kt) (44) (45) (46) a) b) Figura 20: Medição das distâcias a) Istate de simulação do modelo de orietação; b) Medições das distâcias médias etre o emissor e cada receptor. Fote: (Autoria Própria) Um modelo bípede também foi implemetado em um ambiete virtual. Este modelo possui 12 GL s e é costituído de pés, pera, coxa e quadril. Além disso, existe uma massa virtual acima do quadril que HOLOS, Ao 32, Vol. 3 48

substitui a massa da região superior do corpo. Ele é capaz de simular um camihar com características similares as do ser humao. Como resultado da simulação, são apresetados os torques obtidos em cada juta. A Figura 21-a) mostra o ambiete de simulação em questão e a Figura 21-b) mostra os torques obtidos em cada juta a fase de oscilação e a fase de apoio. A Tabela 3 apreseta as cofigurações de massa e dimesões do bípede. Tabela 3 - Cofiguração das dimesões e massa do bípede simulado. Membro Tamaho (m) Cetro de massa (oscilação)(m) Cetro de massa (apoio)(m) Massa (kg) Quadril 0,250 0,250 38,44 Coxa 0,314 0,136 0,178 5,67 Pera 0,425 0,213 0,241 2,64 a) b) Figura 21 - Modelo bípede implemetado em ambiete virtual a) Istate de simulação do modelo bípede implemetado; b) Amostras dos torques em cada juta a fase de oscilação (à esquerda) e a fase de apoio (à direita). Fote: (Autoria Própria) Aida por este modelo, comparou-se o torque do pé em fução do âgulo o plao sagital obtido com o medido em experimetos de laboratório apresetados em (artigo do torque em fução do agulo). Isso permite iferir uma difereça etre os dados adquiridos em simulação e os extraídos de um camihar real, que pode ser causado pela icompatibilidade etre o camihar do bípede simulado com o camihar humao e a massa corporal etre elas, etretato, ota-se uma relativa similaridade o comportameto do torque em relação ao âgulo. A Figura 22 mostra os dois gráficos do torque do pé em fução do âgulo o plao sagital. Figura 22: Comparação etre o comportameto do torque do pé obtido este trabalho (esquerda) e em laboratório (direita) (AU, DILWORTH e HERR, 2006). Há uma verossimilhaça com relação ao comportameto dos troques cujas discrepâcias podem estar relacioadas às difereças etre os gaits e as dimesões etre cada experimeto. HOLOS, Ao 32, Vol. 3 49

As simulações puderam mostrar que os modelos propostos atedem de maeira satisfatória as codições em que foram submetidos. O modelo de orietação do pé pode servir de parâmetro para o ajuste de posição o modelo ciemático ode as medições obtidas avaliarão se a prótese estará em fase de oscilação ou de apoio. No caso da fase de apoio, o comportameto do torque aqui obtido poderá servir de orma para o a força exercida pelos acioadores. 5 CONCLUSÃO O modelo ciemático aqui implemetado é uma estrutura e tem grade importâcia para o cotrole da prótese uma vez que toda a diâmica iserida o pé afetará diretamete seu comportameto e sua orietação, ode os sesores ultrassom que serão implemetados podem permitir relacioar o sistema de coordeadas da prótese com o sistema de coordeadas do meio extero. Toda diâmica do camihar relacioadas ao ZMP já é algo itríseco o ser humao uma vez que seu equilíbrio durate o camihar depede das forças que o impulsioam cotra as que o impedem de se locomover. Nisto, o modelo de pêdulo ivertido pode forecer estas forças. Com o modelo de marcha, pode-se perceber que a evolução dos torques a fase de oscilação e de apoio podem cotribuir para o cotrole resposável pelo icremeto de forças a prótese a fim de torar a diâmica do camihar mais realista e permitir uma melhor iteração etre o pé e o usuário. Por meio dos estudos realizados, também foi possível compreeder as características atropomórficas do pé e elaborar um protótipo com capacidade de se acomodar ao solo e, possivelmete, permitir um melhor apoio ao pisar os mais diversos tipos de terreo. Espera-se com o que foi desevolvido, o modelo do comportameto do pé obtido possa servir para futuros estudos relacioados a próteses robóticas e somar cohecimetos para a biomecâica dos membros iferiores. 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. ALVES, Eduardo S. Implemetação de uma Simulação para Estimação de Postura com Relação ao Solo de uma Prótese Robótica. Uiversidade de Brasília Departameto de Egeharia Elétrica. Moografia de graduação, 2009. 2. ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra liear com aplicações. Bookma, 2001. 3. AU, Samuel K.; DILWORTH, Peter; HERR, Hugh. A akle-foot emulatio system for the study of huma walkig biomechaics. I: Robotics ad Automatio, 2006. ICRA 2006. Proceedigs 2006 IEEE Iteratioal Coferece o. IEEE, 2006. p. 2939-2945. 4. BLAYA, Joaqui A.; HERR, Hugh. Adaptive cotrol of a variable-impedace akle-foot orthosis to assist drop-foot gait. Neural Systems ad Rehabilitatio Egieerig, IEEE Trasactios o, v. 12,. 1, p. 24-31, 2004. 5. BRASIL, D. A. Cotrole de orietação do pé de uma prótese robótica para amputados acima do joelho. Moografia de graduação, p. 13, 2008. 6. CASCÃO JR, Carlos Alberto et al. Estudo e desevolvimeto de uma prótese ativa de pera comadada por siais eletromiográficos. VII Simpósio Brasileiro de Automação Iteligete, 2005. 7. CASSEMIRO, Eda Rodrigues. Metodologia para desevolvimeto de dispositivos biomecâicos para aplicação em próteses atropomórficas. 2002. 8. CRAIG, Joh J. Itroductio to robotics: mechaics ad cotrol. Upper Saddle River: Pearso Pretice Hall, 2005. 9. FERREIRA, J. P.; CRISÓSTOMO, M.; COIMBRA, Atóio P. Decreasig the dyamic stability calculatio HOLOS, Ao 32, Vol. 3 50

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