Estudo das Energias e Funções de Onda em um Ponto Quântico Cilíndrico Study of Energies and Wave Functions in a Cylindrical Quantum Dot

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1 4 Estudo das Eergias e Fuções de Oda em um Poto Quâtico Cilídrico Study of Eergies ad Wave Fuctios i a Cylidrical Quatum Dot Sílvio José Prado Faculdade de Ciêcias Itegradas do Potal FACIP UFU, Uberlâdia, MG. Resumo este trabalho são calculadas a estrutura eletrôica e as fuções de oda de um poto quâtico cilídrico de CdTe. O modelo utiliado para realiar o cálculo se baseia o Hamiltoiao k.p 8 8 de Kae- Weiler, o qual leva em cosideração a forte mistura etre as badas de codução e de valêcia, assim como permite estudar o cojuto de simetrias associadas com estes estados eletrôicos. Observe-se que, uma ve defiido um cilidro de altura H, ao variar o raio o caráter do segudo e terceiro íveis de eergia da bada de valêcia sofrem mudaças etre os estados de buraco pesado e buraco leve, devido a cruametos e ati-cruametos etre os íveis de eergia. Palavras-chave Poto quâtico cilídrico. Estrutura eletrôica. Fuções de oda. Hamiltoiao k.p. Simetrias. Abstract I this work I calculate the electroic structure ad wave fuctios of a cylidrical quatum dot of CdTe. The model used to perform the calculatio is based o the Hamiltoia 8 8 k.p Kae-Weiler, which takes ito accout the strog mixig betwee the coductio bad ad valece, as well as allows to study the set of symmetries associated with these electroic states. I ote that, oce defied a cylider of height H, to vary the radius the character of the secod ad third eergy levels of valece bad udergo chages betwee the states of heavy hole ad light hole, due to aticrossigs ad crossigs betwee eergy levels. Keywords Cylidrical quatum dot, Electroic structure, k.p Hamiltoia; Symmetries. I INTRODUÇÃO Os potos quâticos (PQ s) semicodutores têm sido itesivamete ivestigados devido as suas propriedades ópticas e elétricas depedetes do tamaho. O cofiameto sprado@potal.ufu.br espacial leva a quatiação de todos os graus de liberdade do elétro, faedo com que seu espectro de eergia seja semelhate ao de um átomo, ou seja, cosiste de um cojuto discreto de autovalores, este fato é que está o grade iteresse do poto de vista da física fudametal, como este caso em que foi feito um estudo das eergias, fuções de odas e da idetificação dos estados eletrôicos, que são objetos de estudo em cursos de Física Modera e Mecâica Quâtica, assim como para as possíveis aplicações em microeletrôica e dispositivos opto-eletrôicos tais como diodos emissores de lu (PRADO, 00). Para compreeder e iterpretar os resultados experimetais é ecessário um estudo da depedêcia dos íveis de eergia com o tamaho do poto quâtico e sobre as simetrias espaciais. A teoria de massa efetiva tem forecido bos resultados a descrição da estrutura eletrôica em potos quâticos (NORIS et al., 996). Várias versões desta teoria usado diferetes aproximações têm sido formuladas para aoestruturas tipo bulk, como bleda de ico (ic-blede) e vurtita (wurtite). Foi escolhido usar o modelo k.p 8 8 de Kae- Weiler (KANE, 966), para estudar todos os diferetes aspectos da iteração etre as badas de codução, valêcia e spi-órbita assim como as simetrias dos estados eletrôicos (SERCE; VAHAA, 990). ISSN: Vol. N.º (00)

2 5 II TEORIA Para realiar este estudo teórico foi utiliado o Hamiltoiao k.p 8 8 de Kae-Weiler (PRADO, 00, SERCE; VAHAA. 990), o qual leva em cosideração exatamete a iteração etre as badas de codução e de valêcia e cosidera as cotribuições de badas remotas. Os estados dos elétros e dos buracos em um poto quâtico cilídrico (PQC) podem ser caracteriados pelos autoestados do mometo agular total defiido pela soma dos estados de Bloch, J, e do mometo agular,, da fução evelope. Detro do modelo k.p, estes estados podem ser escritos como uma expasão liear a forma de uma fução espior de oito compoetes. Devido à impossibilidade de resolver o problema exato, algumas aproximações são ecessárias, tais como: (i) Uso de um modelo de barreira de potecial ifiita, pois para os potos quâticos crescidos em matri vítrea, os portadores de carga do material semicodutor ecotram uma difereça de eergia a iterface semicodutorvidro da ordem de,0 ev, torado este aproximação bastate boa. (ii) O Hamiltoiao k.p apreseta iversão de simetria e a estrutura dos operadores permite determiar uma simetria ierete, a qual por sua ve permite a separação do espaço de Hilbert em quatro subespaços ortogoais. Para satisfaer a simetria de iversão dos operadores da diagoal e fora da diagoal o Hamiltoiao, cada subespaço deve ser formado por uma combiação especial de fuções pares e ímpares (ver as equações () e (4)). Cosiderado o Hamiltoiao completo, existem termos que quebram a simetria de iversão, ão permitido a separação do subespaço de Hilbert em quatro subespaços, que possibilitam a idetificação dos estados eletrôicos e simplificam o cálculo computacioal. (iii) A compoete do mometo agular = h M da fução de oda evelope é um bom úmero quâtico. As fuções de oda para qualquer estado eletrôico são represetadas por um espior de oito compoetes. Um cojuto completo de autofuções para o Hamiltoiao k.p para um PQ cilídrico pode ser expadido em termos do produto das fuções periódicas de Bloch J, J em k=0 e das fuções evelope. A fução de oda foi expadida em termos das soluções exatas dos operadores da diagoal para cada tipo de portador. Cada compoete do espior tem a forma F ±,, m ( ρ, φ, ) =Φ ( ρ, φ) f ± ( ), ( ode o termo situado o plao é dado por, ± iφ e Φ ( ρ, φ) = A, J ( k ρ), sedo A, l, a π costate de ormaliação da fução de Bessel J ( x ). O termo depedete em é dado por mπ f + ( ) = cos( ), m =,, 5,..., H H mπ f e ( ) = s ( ), m =, 4, 6,..., () H H ode H represeta a meia-altura do cilidro. Devido à simetria ierete ao método k.p e à geometria cilídrica do poto quâtico, os subespaços podem ser costruídos como uma combiação especial de fuções pares, (, ) + Φ l ρ φ e f ( ), e ímpares, Φ (, ) l+ ρ φ e f ( ). A forma geral do cojuto de espiores que formam os subespaços é (PRADO, 00) ψ ( ρ) = I ( II ),, m, m + + C, (+ f e (+ m + + C,+ f hh + m + C, (+ f lh (+ m + C, (+ f so (+ m C, + f e + m C, (+ f hh (+ m + C,+ f lh + m + C, + f so + () ISSN: Vol. N.º (00)

3 6 e ψ III ( IV ) ( ρ) =,, m, m + + C, (+ f e + m + + C, (+ f hh (+ m + C, + f lh + m + C,+ f so + m C, + f e (+ m C,+ f hh + m + C,(+ f lh (+ m + C, (+ f so (+, (4) m ode C, são costates a serem determiadas. De acordo com o modelo, os estados () e (4) devem satisfaer a seguite codição de cotoro: I ( II ), III ( IV ) ψ,, m ( ρ R, φ, H ) = 0, tato o raio R do cilidro, quato a meia-altura H e, portato o úmero de oda que aparece em cada fução Φ ( ρ, φ) é dado por l l l k = µ R ode µ é o -ésimo ero da fução de Bessel. A ordem imposta sobre o úmero quâtico orbital m as equações () e (4) é determiada pelos elemetos fora da diagoal do Hamiltoiao k.p. Os operadores ˆP± mudam a paridade da fução de Bessel, equato que ± P muda a paridade da fução ˆ f ( ). O acoplameto etre a bada de codução e a bada de valêcia e a mistura de estados a bada de valêcia aparecem devido às cotribuições dos termos fora da diagoal do Hamiltoiao. O cálculo da estrutura eletrôica foi feito para um poto quâtico cilídrico semicodutor de CdTe, com meia-altura H = 00 Ǻ. Como o poto quâtico é simétrico a direção, a paridade da fução de oda também é itroduida como um úmero quâtico. Os estados para um dado úmero, s quâtico f, são deotados por X ode é o m ídice do estado que eumera os íveis de eergia do meor para o maior, X represeta o valor mais baixo de o cojuto das bases para os estados das badas de codução e de valêcia, s represeta o spi para cima (up) ou para baixo (dow) e m represeta o úmero ( ) quâtico relativo à fução f + que aparece as equações () e (4). Estados pertecetes ao mesmo subespaço ão podem se cruar, como será mostrado a Figura para os íveis de eergia. O esquema de diagoaliação utiliado permite idetificar facilmete os íveis de eergia, ou seja, qual o seu caráter domiate em relação aos compoetes dos espiores () e (4). III RESUTADOS E DISCUSSÃO Os parâmetros para o CdTe usados o cálculo são a eergia do gap E g =,6069 ev, eergia da iteração spi-órbita 0 = 0,95 ev. Os parâmetros de uttiger γ = 5,7, γ =,67, γ =,98, a ão-parabolicidade da bada de codução ( + F) =,4, a massa efetiva do elétro m e = 0,09m 0, e o parâmetro de Kae de acoplameto das badas de coduçãovalêcia E p = 7,9 ev (PRADO et. al., 00). Para realiar o cálculo umérico cada subespaço foi costruído com relação aos úmeros quâticos e m. A covergêcia dos valores uméricos foi atigida usado matries de tamaho 8N 0 8N 0, com N 0 0, para um erro de,5 e V as eergias. Na FIG. é mostrado o espectro de eergia para o poto quâtico cilídrico de CdTe, calculado o poto Γ e plotados como fução do iverso do raio, para um valor de H =,0A, ode A = 00Ǻ. Nessa figura, assim como a FIG. estão plotados as eergias referetes aos subespaços I e IV, pois as eergias referetes aos subespaços I (III) e II (IV) são degeeradas. Como esperado as eergias aumetam a bada de codução coforme o raio dimiui, e dimiuem para a bada de valêcia. ISSN: Vol. N.º (00)

4 7 Os estados da bada de valêcia exibem um comportameto mais iteressate, do que aquele dos estados da bada de codução, como o cruameto e o ati-cruameto do segudo, terceiro e quarto íveis de eergia. Primeiro, observa-se a FIG. que o ível de eergia fudametal desta bada é caracteriado como um estado de buraco pesado, sedo represetado como hh (IV) ( lh (III)) e ão troca de caráter coforme o raio dimiui. Segudo, a FIG., a qual é uma ampliação da região marcada com um círculo a FIG., ode ocorre o ati-cruameto etre os íveis de eergia da bada de valêcia em toro de /R = 0,87A (5 Ǻ), o estado é caracteriado como lh (I) ( lh (II)), tato ates quato após o cruameto. Etretato o segudo ível de eergia represetado como lh (I) ( lh (II)) troca de caráter após o aticruameto passado a ser hh (I) ( hh (II)). Terceiro, o cruameto etre os íveis de eergia mecioados ocorrem etre íveis pertecetes a subespaços diferetes, como previsto, este fato implica que o segudo ível de eergia, muda coforme o raio do PQ dimiui, ou seja, para R < 5Ǻ (/R = 0,87 A), o caráter domiate do terceiro ível é lh (I) ( lh (II)), e acima deste valor passa a ser lh (IV) ( lh III), ou seja, trocado de caráter a região ode R 5Ǻ (0,8A). As figuras a, b e 4a e 4b, mostram as eergias e as fuções de oda, dadas pela equação ( a direção, em ρ = 0, ou seja, o cetro do cilidro. Estas figuras são para R = 0,5A,,0A,,5A e,50a, respectivamete. Nas figuras, o primeiro estado da bada de codução tem dois ós situados as tampas do cilidro, ou seja, e H = ±,0A, e ehum atió como esperado para o ível fudametal. Esta fução de oda represeta um elétro do subespaço I com úmeros quâticos, = 0, m = e spi para cima, e (I), ou um estado com = 0, m = e spi para baixo, e (II), vido do subespaço II, pois como foi mecioado os íveis de eergia dos subespaços I e II são degeerados. Figura. Espectro de eergia de elétros e buracos para um poto quâtico cilídrico de CdTe, com H =,0A (00 Ǻ) plotado em fução do iverso do raio. As lihas sólidas (potilhadas) represetam os estados referetes ao subespaço I (IV). Figura. Ampliação da região marcada com um círculo a figura, bada de valêcia, mostrado o cruameto e o ati-cruameto etre os íveis de eergia discutidos o texto. ISSN: Vol. N.º (00)

5 8 A fução de oda do segudo ível é semelhate a do primeiro ível, pois ela advém do subespaço IV, ode o elétro de meor eergia tem os úmeros quâticos =, m = e spi para baixo, portato ele tem eergia meor do que o estado do elétro com spi para cima do mesmo subespaço que apreseta os seguites valores de = 0 e m =. ogo o ível de eergia fudametal deve ter úmero quâtico m igual a. Na bada de valêcia observa-se que o estado fudametal, buraco pesado, subespaço IV, com =0, m = e spi para baixo, assim como o estado fudametal da bada de codução tem dois ós e ehum atió, para todos os valores de R mecioados. O segudo estado para R = 0,5A, FIG. a, tem um atió e dois ós e advém do subespaço I, como pode ser visto a FIG. (/R=A). Este estado tem os seguites úmeros quâticos = 0, m = e spi para baixo, como o estado fudametal deve ter m =, este ível de eergia represeta um estado excitado, já o terceiro ível aparece do subespaço IV e como pode ser visto a figura represeta o primeiro estado da bada de buraco leve. Na FIG. b, ode /R =,0A, observa-se que o segudo e o terceiro estados pertecem ao subespaço I, assim como a FIG. 4a, e represetam os estados excitados das badas de buraco pesado e leve, respectivamete, ou seja, como mecioado as fuções de oda tem um atió. A FIG. 4a é para a região de aticruameto etre os segudo e o terceiro íveis de eergia (/R = 0,87A). Quado o raio aumeta para /R =,5A, FIG. 4b, o segudo estado cotiua a se buraco leve e o terceiro estado passa a ser buraco leve como a FIG. a. Figura. Espectro de eergia e fuções de oda em para ρ=0, plotado em fução da altura do cilidro. A figura (a) é para um PQC de raio 0,5A e a figura (b) para um PQ de raio,0a. Figura. 4. O mesmo da FIG., agora para raios de,5a e,50a, respectivamete figuras a e b. ISSN: Vol. N.º (00)

6 9 IV CONCUSÕES Neste trabalho foram calculadas a estrutura eletrôica e as fuções de oda de um poto quâtico cilídrico de CdTe. Para realiar o cálculo foi utiliado o Hamiltoiao k.p de oito badas. Os resultados mostram que as fuções de oda estão de acordo com os resultados ecotrados os livros didáticos de Mecâica Quâtica, para um poço com barreira de potecial ifiita. Outro resultado importate observado as figuras e é que, dado um cilidro com uma certa altura fixa H, para valores de R (raio) que variam de R< H (cilidro estreito e alto ) a R> H (cilidro largo e baixo ) o caráter do segudo e terceiro íveis de eergia da bada de valêcia sofrem mudaças. REFERÊNCIAS KANE, E. O., Semicoductor ad Semimetals, Willardso, R.K. e Beer, A.C., eds. (Academic Press, New York, 966), vol., p.75. UTTINGER, J. M. e KOHN, W., Motio of Electros ad Holes i Perturbed Periodic Fields, Physical. Review. Vol. 97, p. 869, 955. NORIS, D. J. et al. Sie depedece of excito fie structure i CdSe quatum dots, Physical Review B, Vol. 5, p. 47 (996). PRADO, S. J., Efeitos de tesão em um poto quâtico cilídrico auto-orgaiado, aceito para publicação, Ciêcia e Egeharia, ISSN X; ISSN eletrôico , 00. PRADO, S. J. et al. Optical trasitios i a sigle CdTe spherical quatum dot, Physical Review B, Vol. 68, p , 00. SERCE, P. C. e VAHAA, K. J., Aalytical formalism for determiig quatum-wire ad quatum-dot bad structure i the multibad evelope-fuctio approximatio. Physical Review. B, Vol. 4, 690, 990. ISSN: Vol. N.º (00)