SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS DESENVOLVIDO ATRAVÉS DA RESUMO LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO JAVA¹ Deis C. L. Costa² Edso C. Cruz Guilherme D. Silva Diogo Souza Robhyso Deys O presete artigo forece o ecadeameto etre a Matemática Fiaceira e a liguagem computacioal, proporcioado otimização ao cálculo fiaceiro. O trabalho aborda coceitos de Sistema de Amortização Fracês detro de um cotexto de pagametos de curto prazo. Destaca-se a operação da Tabela Price, com a utilização de um simulador a liguagem de programação Java. As teorias e os resultados são mostrados de forma que o usuário utilize o programa de forma eficiete. O processo da Matemática Fiaceira apresetado é idicado aos cursos de graduação e especialização em Admiistração, Ciêcias Cotábeis e Ecoomia e também com referecias para profissioais que atuam as áreas fiaceira e comercial. Palavras-chave: Fiaceira, Amortização, Price ABSTRACT This article provides the sequece betwee the Fiacial Mathematics ad computer laguage, allowig optimizatio of fiacial calculatio. The work addresses otios of Frech System of Amortizatio withi a cotext of short-term paymets. It is the operatio of the Price table, usig a simulator i the Java programmig laguage. The theories ad the results are displayed so that the user the program efficietly. The process of the Fiacial Mathematics preseted is give to udergraduate courses ad specializatio i Busiess Admiistratio, Accoutig ad Ecoomics Scieces ad also with refereces to professioals who work i the areas of fiace ad trade. Key-words: Fiacial, Amortizatio, Price. ¹ Trabalho publicado a revista admiistradores.com. ² Docetes da faculdade de Castahal FCAT. 1
1. INTRODUÇÃO Da forma como era imagiado o ciema e as previsões acadêmicas, o futuro uca chegou. Não se vê robôs falates e pesates como o filme Guerra as estrelas. A previsão que os aos 9 os computadores deveriam recohecer images, compreeder a fala humaa e esboçar pesametos, ão deu certo. Etretato, o mudo da computação fez surgir programas que resolvem algus problemas de forma muito mais eficiete que o humao. Esse outro futuro ão estava os filmes, mas está ao osso redor. Programas que agregam algum tipo de cohecimeto humao estam a pleo vapor. Ora sob a forma de sistemas para diagósticos em medicia, ora a forma de lógica ebulosa em máquias de lavar roupa, ou aplicados o recohecimeto de images de satélite, eles estão espalhados pelo mudo cotidiao. Dessa forma, as iformações coseguidas juto a um especialista são utilizadas de várias maeiras o programa com a fialidade de resolver problemas complexos. O cérebro humao é cosiderado o mais fasciate processador baseado em carboo existete, sedo composto por aproximadamete 1 bilhões eurôios, todas as fuções e movimetos do orgaismo estão relacioados ao fucioameto destas pequeas células. Os eurôios estão coectados us aos outros através de siapses, e jutos formam uma grade rede. As siapses trasmitem estímulos através de diferetes cocetrações de Na+ (Sódio) e K+ (Potássio), e o resultado disto pode ser estedido por todo o corpo humao. Esta grade rede proporcioa uma fabulosa capacidade de processameto e armazeameto de iformação. Iformação do tipo fiaceira, por exemplo. O efoque fiaceiro pode ser expresso sob o poto de vista ecoômico, pelo poto de vista da produção, ou aida, sob o poto de vista admiistrativo. Etretato, quado tempo se perde efetuado cálculos aritméticos com as equações fiaceiras? Esse tempo poderia ser melhor aproveitado em aálises fiaceiras e ão em cálculos fiaceiros. Um dos aspectos relevates da Matemática Fiaceira é o de cosiderar os valores em seu mometo o tempo. E o uso do computador otimiza a iterpretação desse aspecto. A liguagem computacioal abordada esse trabalho forece istrumetos para a elaboração e avaliação de empréstimos e para tomada de decisão diate de alterativas fiaceiras. É útil iclusive o cotidiao das pessoas, propiciado uma técica de simulação com maior poder de decisão diate da alocação do próprio diheiro. Essa ova forma de abordar as operações fiaceiras está logicamete relacioada com as equações da Matemática Fiaceira e explicitada de maeira a permitir que o usuário gahe autoomia para resolver problemas relacioados ao Sistema de Amortização Fracês. Essa abordagem atede às ecessidades dos diferetes públicos e permite ao usuário adequar-se à ferrameta de programação Java. 2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA A amortização é um processo fiaceiro pelo qual uma dívida é paga progressivamete por meio de parcelas de modo que ao térmio do prazo estipulado 2
o débito seja liquidado. Estas parcelas ou prestações são obtidas através da soma de duas partes: a quota de amortização e os juros correspodetes aos saldos do empréstimo aida ão amortizados. O sistema de amortização foi criado o século XVIII pelo filósofo, teólogo e matemático iglês Richard Price, icorporado a teoria de juros compostos os empréstimos de pagametos iguais e sucessivos. A deomiação Tabela Price é utilizada somete o Brasil, visto que em outros países é cohecido por Sistema Fracês de Amortização, devido ao fato de ter se desevolvido efetivamete a Fraça, o século XIX. Este sistema se caracteriza pelo pagameto de prestações de valor costate, periódicas e sucessivas. O valor dos juros pagos, a cada prestação, é decrescete, já que os mesmos icidem sobre o saldo devedor que decresce à medida que mais prestações são pagas. Assim, as amortizações são crescetes ao logo do processo. Importate salietar que a época em que foi criada a Tabela Price, ão existiam em mesmo calculadoras, sedo os cálculos realizados por istrumetos rudimetares que ão permitiriam o cálculo expoecial dos juros compostos. O presete trabalho dará um salto o tempo e irá implemetar o Sistema Fracês de Amortização através da liguagem computacioal Java. O método utiliza a icorporação de juros sobre juros, propiciado, desta forma, o equilíbrio etre o que se paga por um empréstimo e o que se recebe por ele. Assim ão se pode afastar a idéia da capitalização dos juros de uma importâcia emprestada o caso de quem paga e proporcioar a liquidez cotratada de quem recebe as parcelas, possibilitado ao credor reemprestar o que recebeu, obtedo dessa forma a capitalização de vários tomadores que ão sejam o iicial, o que ão é ilegal. Os regimes de capitalização demostram como os juros são formados e sucessivamete icorporados ao capital o decorrer do tempo. Nesta coceituação podem ser idetificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou liear) e composto (ou expoecial). O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescedo os juros de forma liear ao logo do tempo. Neste critério, os juros somete icidem sobre o capital iicial da operação (aplicação ou empréstimo), ão se registrado juros sobre o saldo dos juros acumulados. O regime de capitalização composta icorpora ao capital ão somete os juros referetes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o mometo aterior. É um comportameto equivalete a uma progressão geométrica (PG) o qual os juros icidem sempre sobre o saldo apurado o iício do período correspodete (e ão uicamete sobre o capital iicial). 3. METODOLOGIA Neste trabalho o sistema de amortização é tratado iicialmete de maeira aalítica, em que se explora o embasameto teórico e deduzem-se as expressões matemáticas utilizadas a solução de problemas fiaceiros. Tradicioalmete usase a máquia de calcular HP-12C, ou o aplicativo da Microsoft, Excel. Cotudo, esse artigo explorará os coteúdos da liguagem de programação Java. 3
O Sistema de Amortização Fracês, ou simplesmete, Tabela Price, apreseta como pricipal característica as parcelas costates. Cada parcela, ou pagameto, é composto por dois elemetos distitos: A amortização e juro. Como a parcela ão se altera são esses elemetos que variam. O 1º termo de forma crescete e o 2º de maeira decrescete. A figura 1 mostra a simulação de um empréstimo de R$ 1, que deverá ser pago em 12 meses, a uma taxa de 2% ao mês. 1 Amortizações 9 8 7 2 4 6 8 1 12 Nº de Períodos 2 15 Juros 1 5 2 4 6 8 1 12 Nº de Períodos Figura 1: Represeta o comportameto da amortização e dos juros. O Sistema Fracês utiliza o modelo de capitalização composta, cujo capital acumula-se expoecialmete da seguite maeira: Cosidere que o valor presete P seja aplicado a uma taxa de juros i e permaeça capitalizado durate períodos. Ao fial desse tempo o motate M será acumulado com base o seguite raciocíio: Nº de Períodos Capital Acumulado M = P.(1 + i) 1 1 4 M = P.(1 + i) 2 2 M = P.(1 + i) 3 3 M = P.(1 + i)...... M = P.(1 + i) Sedo assim, podemos afirmar que o Motate M referete à aplicação do capital P durate períodos a uma taxa de juros i pode ser estimado pela expressão M = P.(1 + i) A figura 2 mostra o comportameto expoecial do motate em fução do úmero de períodos. O gráfico foi gerado a partir de um capital de R$ 1,, aplicado a uma taxa de 2% ao mês durate um período de 18 meses. A quatidade de meses ressalta a curvatura da fução expoecial. Com valores (1)
elevados para o úmero de períodos a fução expoecial irá se difereciar, de forma mais efetiva, de uma fução liear. 4 35 3 25 Motate 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Nº de Períodos Figura 2: Represeta o comportameto do motate do decorrer do tempo. Os juros simples são efetuados de forma liear, equato que os juros compostos são implemetados por uma fução expoecial, o que garate uma capitalização mais veloz o decorrer do tempo. Graficamete podemos verificar tal difereça a figura 3. 4 35 Juros Compostos Juros Simples 3 25 Motate 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Nº de Períodos Figura 3: Represeta o comportameto de dois modelos de capitalização 5
No caso da amortização através do sistema Fracês, temos o processo de uma liquidação de um empréstimo por meio de pagametos periódicos. Ou seja, o valor pricipal P será gerado por aplicações iguais a R. Nesse sistema, R represeta as prestações que já embutem a amortização do pricipal e os juros. Aaliticamete podemos represetar o sistema da seguite forma: após colocarmos R em evidêcia teremos: 1 2 em que os termos detro dos colchetes represetam uma progressão geométrica. Nessa P.G. temos a 1 como o 1º termo e q como a razão da progressão. O -ésimo termo pode ser calculado através da expressão sedo e M = R + i + R + i + R + i + + R + i 1 2.(1 ).(1 ).(1 )....(1 ) M = R.[(1 + i) + (1 + i) + (1 + i) +... + (1 + i) ] a = a. q 1 1 a = (1 + i).(1 + i) a 1 1 = (1 + i) = 1 q = (1 + i) (2) (3), (4) (5) (6) A soma dos termos de uma PG fiita pode ser estimada pela equação a1.( q 1) S q 1 Substituido as equações 4, 5 e 6 em 7, teremos: = (7) S = (1 + i) 1 (1 + i). (1 + i) 1 (1 + i) 1 S = i Dessa forma, podemos dizer que o motate M gerado por aplicações iguais a R a uma taxa de juros i pode ser determiado pela equação M (1 + i) 1 = R. i (8) (9) 6
Como foi demostrado a equação (1), o motate M pode ser estimado por uma úica aplicação. Sedo assim, podemos igualar as equações (1) e (9) e cocluirmos que o pricipal P pode ser represetado por uma série de pagametos periódicos cujos valores são iguais a R. Para o Sistema de Amortização Fracês, o iteressate é ecotrar o valor das parcelas R que amortizarão o empréstimo P. Dessa forma a equação (1) será utilizada sob a forma 4. ESTRATÉGIA (1 + i) 1 P.(1 + i) = R. i (1 + i) 1 P = R. (1 + i). i (1 + i). i R = P. (1 + i) 1 Frequetemete, as operações fiaceiras os empréstimos são calculados utilizado a calculadora HP-12C ou o aplicativo da Microsoft, Excel. Esse artigo propõe a utilização de uma ova estratégia: A liguagem de programação chamada Java. Java é uma liguagem para págias da Web, desevolvida pela Netscape. Com essa liguagem, é possível adicioar recursos diâmicos às págias HTML, ou seja, é possível ao iterauta iteragir com a págia, seja respodedo equetes, seja respodedo pergutas eletrôicas, seja vedo coteúdo radômico, efim. O Java permite a criação de várias aplicações para págias Web. Como se ão bastasse, um usuário com bos cohecimetos o assuto pode até melhorar o visual das págias. Em sua essêcia, a liguagem Java atua iserida o meio do código HTML de págias Web. Essa iserção pode ser feita de várias formas, desde a iclusão de código uma área determiada ou a iserção em vários potos da págia. Tudo depede da utilidade ecessária. Quado o avegador de Iteret "lê" a págia e se possuir tal recurso, deve "eteder" as istruções do Java e executá-las. O fato do Java ão exigir a istalação de softwares especiais para execução (assim como ocorre com liguages mais sofisticadas, como PHP e ASP) o fez ter grade popularidade, já que qualquer págia HTML pode coter recursos em JavaScript. Tudo depede, basicamete, da capacidade do avegador em eteder as istruções (hoje em dia, praticamete todos os avegadores possuem essa aptidão). Como essa liguagem é bem simples, todos podem apredê-la, basta um pouco de votade. Porém, é ecessário ter cohecimeto razoável de HTML, caso cotrário, o apredizado é praticamete impossível. Quem cohece HTML, aprederá Java sem muito esforço. Se você já cohece uma liguagem de programação, saiba que o Java é possível usar variáveis (cujos valores ficam 7 (1) (11)
armazeados somete o tempo de execução do script), utilizar figuras, evetos do mouse e do teclado, e o mais importate, criar fuções. Essas fuções podem ser iseridas para efetuarem cálculos fiaceiros de amortização, por exemplo. E é dessa forma que esse trabalho apresetará uma ova maeira de aplicação do Sistema de amortização Fracês. Será possível simular a amortização de um empréstimo utilizado todo o processo aalítico das equações que formulam o feômeo e aalisar umericamete o processo de forma olie. É possível efetuar o dowload do simulador do sistema de amortização. Acesse o sítio descrito a seguir: http://discovirtual.uol.com.br/disco_virtual/deisclcosta/amortizacao A seha de visitação é price. Para efetuar a simulação de uma amortização isira os valores que formam as codições iiciais do método: Valor do empréstimo (P), valor da taxa de juros (i) e úmero de períodos (). Dessa forma, serão apresetados todos os valores referetes ao seu empréstimo: Valor total a ser pago, valor total dos juros e valor total da amortização. O algoritmo computacioal da equação (11) está represetado pelo cojuto de comados que podem facilmete ser replicados. Se por um acaso o programa ão rodar a sua máquia, você terá de istalar o JDK (Java Developer Kit), dispoível a iteret. 5. RESULTADOS OBTIDOS Supoha que um cliete de um baco deseje emprestar R$ 1., do baco e amortizar a dívida em 6 parcelas mesais através do Sistema Fracês de Amortização. Sabedo que o baco cobra uma taxa de 2% ao mês, mostraremos a plailha de amortização. Figura 4: Iterface do simulador para os seguites dados: P=R$1.,; i=2% a.m.; =6 m. 8
Verifique como os dados deverão ser iseridos: Valor do empréstimo (1), taxa de juros (2), período em meses (6). Em seguida é só clicar em calcular. Caso o usuário deseje efetuar outras simulações, ele deverá clicar em limpar campos. Uma pessoa deseja comprar um automóvel o valor de R$ 4.. O seu carro usado servirá de etrada o egócio, cujo valor é de R$ 15.,. Sabe-se que a taxa de juros do fiaciameto é de 2,62% ao mês. Apresetaremos a plailha de amortização para 36 meses. Figura 5: Iterface do simulador para P=R$25.,; i=2.62% a.m., =24 m. É importate lembrar que os valores decimais deverão ser separados por poto e os moetários ão poderão apresetar o R$. Da mesma forma que ão se deve iserir o símbolo percetual (%) o simulador. São cosiderados os istates de tempo de a 6 meses, a mesma uidade da taxa de juros (% ao mês). Assim, será possível simular iúmeros evetos de amortização via tabela Price. Vale observar que o ome parcela é utilizado para represetar o pagameto acrescido de juros. Descosiderado-se impostos e ecargos referetes a cada período. Fialmete, damos o ome de plailha a um quadro demostrativo em que comparecem, em cada istate de tempo, as parcelas, os juros, as amortizações e as atualizações do saldo devedor. Quado se utiliza a deomiação Tabela Price e o período de pagameto dos juros ão coicide com o período da taxa, é coveção coverter essa taxa do período de capitalização, por proporcioalidade, como os juros simples. Dessa forma, uma taxa de 24% ao ao, com pagametos mesais de juros, correspode a uma taxa mesal de 2% ao mês, ou seja, 24% i = 2% a. m. 12m = 9
6. CONCLUSÃO O objetivo desse trabalho é forecer as idéias iiciais do uso da liguagem de programação Java a resolução de problemas que evolvem o Sistema de Amortização Fracês, mais especificamete, a Tabela Price. As pricipais fuções fiaceiras utilizadas o método são: valor do empréstimo (P), taxa de juros (i), úmero de períodos (), amortização (A) e saldo devedor. É importate observar que o Sistema Fracês de Amortização ão implica ecessariamete prestações mesais, como geralmete se etede. As prestações podem ser trimestrais, semestrais ou auais; basta que sejam iguais, periódicas, sucessivas e de termos vecidos. Coclui-se, também, que a tabela Price ão implica ecessariamete em taxas de juros de 1% ao mês (ou de 12% ao ao), podedo ser defiida para qualquer taxa. Esse trabalho foi desevolvido o setido de trasmitir cohecimetos, ão simplesmete mostrá-los. Assim, há uma grade preocupação em relacioar algoritmos computacioais com algoritmos matemáticos. Detro dessa aálise, a parte teórica foi desevolvida com equações da Matemática Fiaceira, sedo apresetadas somete as demostrações absolutamete ecessárias. A iterface de simulação do sistema de amortização poderá ser adquirida por qualquer usuário que ão possua a calculadora HP-12C, e será muito importate o uso profissioal quato em aulas dos cursos de Admiistração, Ciêcias Cotábeis e Ecoomia. 7. REFERÊNCIAS BATISTELA, Cláudia, Matemática Fiaceira. PUCRS-Faculdade de Matemática, 28. BAUER, U. R. Matemática fiaceira fudametal. São Paulo: Atlas, 23. FARO, C, Egeharia Ecoômica. 3ª Ed. São Paulo: Atlas, 1979. 1