Investigação Operacional. Modelos de Previsão

Ivesigação Operacioal Modelos de Previsão Liceciaura em Egeharia Civil Liceciaura em Egeharia do Terriório Liceciaura em Egeharia e Arquiecura Naval I. Irodução à previsão Objecivos II. III. IV. Méodos qualiaivos e quaiaivos Méodos causais e ão causais Caracerísicas das séries croológicas V. Medida do erro de previsão VI. VII. VIII. Séries esacioárias Modelo de Médias Móveis Modelo de Alisameo Expoecial Simples Séries com edêcia Modelo de Hol Modelo de Regressão Liear Simples Série com edêcia e sazoalidade Modelo de Decomposição Clássica Modelo de Hol-Wiers

Irodução à previsão Previsões porquê? Surgem em múliplos aspecos da acividade humaa em paricular a veree do plaeameo O Egeheiro Civil Quado projeca uma rede viária precisa de prever o volume de ráfego que a vai soliciar No dimesioameo de ifra-esruuras faz projecções demográficas e prevê ídices de uilização O Gesor com base em esimaivas da procura fuura de um dado produo Esabelece plaos de produção e de aprovisioameo/gesão de socks Dimesioa os recursos humaos... 3 Cosumo mesal de eergia em Porugal (997-006) Cosumo (MWh) 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 500 0 0 40 60 80 00 0 40 Mês Caracerização: Série com edêcia crescee (liear), sazoalidade aual (período: meses), ampliude das oscilações crescee, compoee aleaória (padrão de evolução ão se repee exacamee). 4

Méodos Qualiaivos e Quaiaivos Os méodos de previsão podem ser classificados em dois grades grupos: Qualiaivos Dispesam dados quaiaivos Asseam em juízos subjecivos e especulações baseadas a experiêcia e a iuição de especialisas e o esabelecimeo de ceários e/ou paralelismos com siuações semelhaes São perfeiamee jusificáveis quado ão se dispõe de dados sobre o passado Mas ambém quado se verificaram alerações sigificaivas o coexo passado => ivalidam a hipóese de repeição dos padrões de comporameo passados 5 Méodos Qualiaivos e Quaiaivos Os méodos de previsão podem ser classificados em dois grades grupos: Quaiaivos Asseam a maipulação maemáica de dados hisóricos (quaificados) e procuram projecar o fuuro padrões de comporameo que se ideificam os dados sobre o passado. Asseam ambém o pressuposo da esabilidade desses padrões de comporameo 6 3

Méodos Qualiaivos e Quaiaivos Esabilidade Os méodos quaiaivos asseam uma hipóese fudameal: prevalecem o fuuro as codições que deermiaram o passado a evolução da variável 7 Méodos Causais e Não Causais Apeas cosideraremos os méodos quaiaivos e dero deses apeas dois grupos: Méodos Causais Com base em dados hisóricos, procura-se relacioar a variável (Y), sobre a qual se preede fazer previsões, com ouras variáveis que possam explicar o comporameo de Y A parir das variáveis explicaivas, devidamee correlacioadas com a variável Y aravés de écicas esaísicas, é possível deermiar o comporameo fuuro de Y As variáveis explicaivas fucioam como causas que deermiam o comporameo de Y A hipóese de esabilidade, eses méodos, garae que se maerão esáveis as relações (de causa-efeio) ere variáveis explicaivas e a prever 8 4

Méodos Causais e Não Causais Cosideraremos apeas os méodos quaiaivos e dero deses apeas dois grupos: Méodos Não Causais Asseam apeas a aálise da série de valores passados da variável a prever (Y) Procuram caracerizar a forma de evolução de Y E projecar o fuuro esses padrões de comporameo A hipóese de esabilidade, eses méodos, garae que se maerão esáveis os padrões de comporameo ideificados a série de valores passados 9 Caracerísicas das Séries Croológicas Série croológica (ou emporal): Um cojuo ordeado de valores de uma dada variável observados em iervalos regulares de empo: Y o isae ( =,, 3,..) Na aálise de uma série croológica passada, do seu comporameo, é possível, uilizado méodos ão causais, prever a evolução de Y =>caracerização sumária de comporameos ípicos de séries croológicas 0 5

Caracerísicas das Séries Croológicas Série croológica ruído braco Série puramee aleaória Resula de oscilações aleaórias em oro de um deermiado valor, que se desiga por ível 4 3 0 9 8 Y = µ + ε ível da série, =,, 3,, resíduo aleaório (variável aleaória de média ula) 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 Caracerísicas das Séries Croológicas Série croológica Série esacioária 400 00 000 800 600 400 00 0 3 4 5 6 7 8 9 0 6

Caracerísicas das Séries Croológicas Série croológica Série com edêcia 70 60 50 40 30 0 0 00 0 5 0 5 0 5 A edêcia de crescimeo a que se sobrepõe algum ruído aleaório Y Com a axa de crescimeo µ = µ = µ + ε + τ Taxa de crescimeo da série A exisêcia de edêcia uma série leva a que o correlograma surjam auocorrelações sigificaivas que se prologam aé valores elevados de k 3 Caracerísicas das Séries Croológicas Série croológica Série com edêcia e sazoalidade 00 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Sazoalidade: caracerísicas de periodicidade fixa que levam a valores elevados ou baixos Tedêcia + sazoalidade Y ível = µ + φ Compoee sazoal + ε Resíduo aleaório 4 7

Medida do Erro de Previsão A selecção do méodo de previsão mais adequado, quado exisem várias aleraivas, deve ser feia à luz de criérios que depederão do coexo Um dos criérios é a comparação da precisão das previsões resulaes Defie-se o erro de previsão para o isae e = Y Y Uma vez que ão é possível avaliar o erro para isaes fuuros, o habiual é avaliar o erro de previsão para os isaes cohecidos, passados, cosruidose assim um série de erros de previsão e i Será eão preferível o méodo que coduza a meores erros o passado, esperado que o fuuro o modelo se compore ambém comparaivamee melhor que as a aleraivas 5 Medida do Erro de Previsão Quesão: ão havedo um erro sigular mas uma série de erros, como cocluir que um dado méodo coduz a meores erros? Necessidade de uma medida de síese dos erros calculados A média simples dos erros de previsão ão é uma medida adequada Há um efeio compesador ere erros posiivos e egaivos Para se eviar ese efeio de compesação, é corree recorrer-se a uma de duas medidas de síese dos erros de previsão i. Erro Absoluo Médio ii. Erro Quadráico Médio EAM = EQM = i= i= Y Y Y Y 6 8

Medida do Erro de Previsão O EQM é a mais popular medida de síese dos erros de previsão É obviamee preferível o modelo de previsão que coduza a um meor EQM Adicioalmee, o EQM é habiualmee uilizado como esimaiva da variâcia dos erros de previsão, σ e Na verdade, admiido que a média dos erros de previsão é ula e = σ e = i= e 0 i (ei e) = i= i= e i = EQM 7 Medida do Erro de Previsão Ese resulado é muias vezes uilizado o esabelecimeo de iervalos de cofiaça para valores fuuros da variável a prever Para al, é corree admiir-se a hipóese de que os erros de previsão êm uma disribuição ormal de média ula, com a esimaiva da sua variâcia igual a EQM Desa hipóese resula que os limies do iervalo de cofiaça são dados por Margem de icereza associada à previsão, para um grau de cofiaça (-α) ± que P[Z>Z α/ ]=α/ É o valor da variável ormal padrão Z al Y Zα EQM 8 9

Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Irodução Séries esacioárias Uma primeira aproximação média de odas as observações: Fucioaria se a série fosse puramee aleaória (ruído braco) Preocupação é miimizar o EQM Críica: A média dá igual imporâcia/peso a odas as observações passadas Caso a série apresee mudaças locais de ível => é mais recomedável dar maior peso às observações mais recees, orado o méodo mais sesível às mudaças mais recees do comporameo da série 9 Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Média Móvel: : média das úlimas N observações (comprimeo N) = ( Y + Y +... + Y N+ ) N Traado-se de uma série esacioária Y + k Y + k = k =,,3,... Ode é a previsão para o isae +k (ou k períodos adiae) 0 0

Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Defiição complea do modelo => especificar o úmero de ermos N uilizados o cálculo da média móvel Não exise um processo direco Simular a aplicação do modelo para diferees valores de N e verificar para qual o modelo se compora melhor Ou seja, para que valor de N o EQM é meor! (criério mais uilizado) Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Médias Móveis Ariméicas N=3 N=6 N=7 Observações Y Média Previsão Erro Média Previsão Erro Média Previsão Erro Ỹ Y-Ỹ Ỹ Y-Ỹ Ỹ Y-Ỹ 5 9 3 7 0.3 4 9 5.0 0.3 -.3 5 6 7.3 5.0.0 6 5.3 7.3-6.3 7.8 7 9.3 5.3 5.7 7. 7.8 3. 8.3 8 3 5.0 9.3-6.3 6. 7. -4. 6.6 8.3-5.3 9 5 6.3 5.0 0.0 5.8 6. -. 6.0 6.6 -.6 0 6.7 6.3 5.7 8.0 5.8 6. 6.7 6.0 6.0 8 5.0 6.7-8.7 5.0 8.0-0.0 6.6 6.7-8.7 6 8.7 5.0.0 7.5 5.0.0 6.6 6.6 9.4 3 6 6.7 8.7 -.7 6.7 7.5 -.5 7.3 6.6-0.6 4 4.0 6.7 7.3 8.5 6.7 7.3 7.7 7.3 6.7 5 4 8.0.0-8.0 8.3 8.5-4.5 7.9 7.7-3.7 6 6.3 8.0 8.0 9.0 8.3 7.7 9.4 7.9 8. 7 4 8.0.3-7.3 0.0 9.0-5.0 8.3 9.4-5.4 8 6 8.7 8.0 -.0 8.3 0.0-4.0 9.4 8.3 -.3 9 7 5.7 8.7 -.7 8.5 8.3 -.3 8. 9.4 -.4 0 3 5.3 5.7 -.7 6.7 8.5-5.5 7.7 8. -5. EQM 49.8 35.4 3.6

Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis 30 Observações 5 Média Movel N=3 0 5 0 Média Movel N=6 Média Movel N=7 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Não sedo deermiável direcamee o valor de N, é possível fazer as seguies observações geéricas: Quao maior N Mais esáveis são as previsões Mas o modelo é meos sesível às alerações recees da série O que é icoveiee quado se verificam alerações esáveis de ível da série Mas reduzir valor de N Tora o modelo mais sesível Icoveiee o caso das alerações recees serem puramee aleaórias O Valor ideal de N só pode ser ecorado por simulação (esaio) sobre a série hisórica 4

Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Médias móveis pesadas Modelo que dá mais imporâcia/peso às observações passadas mais recees em derimeo das mais aigas = a 0Y + ay +... + a N Y N+ Em que a i é o peso aribuído à observação do isae -i Tipicamee os pesos são decrescees com a aiguidade das observações e a sua soma é uiária! a 0 > a N i= 0 >... > a a i = N 5 Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Médias móveis pesadas Para defiir compleamee o modelo há que seleccioar: i. O Número N de ermos a cosiderar o cálculo da média ii. Os valores a aribuir aos diferees pesos a i A selecção é feia como o caso aerior Simulação com diferees valores de N Criério mais covecioal combiação de valores que miimiza o EQM Pode ser um processo peoso a ão ser que se crie um processo para sisemaizar o cálculo dos pesos a i 6 3

Séries Esacioárias - Modelos de Médias Móveis Médias móveis pesadas Com calcular os pesos em fução de um úmero reduzido de parâmeros: a = βa i i ( β < ) Nese caso diz-se que os pesos apreseam um decaimeo expoecial a 0 = a = a Y + βa Y 0 0 = + N ( Y + βy +β Y +... +β Y ) N i= i β 0 +... + β a N 0 Y N+ = N+ 7 Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Aplicável ambém a séries localmee esacioárias, sedo o ível da série é esimado pela expressão: = αy + ( α) A fórmula é recursiva Cosae de amorecimeo α esá limiada a [0,] 8 4

Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Aplicado-se sucessivamee a expressão aerior para esimar os íveis de isaes progressivamee mais aigos, obém-se Fialmee = αy + ( α) = αy + α( α)y = αy + α( α)y = αy + α( α)y [ αy + ( α) ] = αy + α( α)y + ( α) + ( α) [ αy + ( α) ] Cosise afial uma média móvel pesada (úmero ifiio de ermos) sedo o peso para o isae i i a = α( α 9 + α( α) i ) Y + α( α) 3 + ( α) Y 3 3 i +... + α( α) Y i Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Para que ese sisema de pesos seja legíimo, a sua soma em que ser uiária, o que é verificado, pois os pesos cosiuem uma progressão geomérica de razão r = (- α), com α < a 0 α = = r ( α) O sisema de pesos fica apeas depedee de um só parâmero α: Decaimeo expoecial dos pesos com a aiguidade das observações A redução dos pesos é ão mais rápida quao mais elevado for o valor de α 30 5

Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Vaages sobre as médias móveis ariméicas: Depede de um só parâmero α - iroduz grade variedade o modelo resulae Para valores reduzidos de α, os pesos são quase uiformes, equivalee a médias móveis ariméicas, esável Para valores elevados de α, os pesos decaem muio rapidamee, as observações mais recees iflueciam efecivamee o cálculo da média, o modelo adapa-se rapidamee a aleração do ível da série Basa apeas cohecer o valor da média móvel o isae aerior para se calcular o valor seguie Vaagem em ermos de implemeação compuacioal de modelos de previsão, ao em ermos de exigêcia de cálculo como de armazeameo 3 Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Para uma série localmee esacioária, a previsão para k períodos à free é baseada a esimaiva do ível o isae Y + k = = αy + ( α) Como é covecioal, o valor da cosae de amorecimeo α é escolhido de modo a miimizar o EQM aravés de esaio (simulação) sobre a série hisórica de observações da variável 3 6

Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo expoecial simples Dado que é uma fórmula de recorrêcia => é ecessário arbirar um ível iicial Problema de iicialização Se a iicialização ão for crieriosa, a ifluêcia da má iicialização pode perdurar durae algum empo => os possíveis erros de previsão ão se podem aribuir ao modelo Procedimeo de iicialização, divisão em 3 secções:. Secção: primeiras K observações com base as quais é feia a iicialização, omeadamee a média ariméica das primeiras K observações (frequeemee K = ).Secção: L observações seguies, para ajusar o modelo, elimiado o efeio da iicialização (o exemplo L=5) 3.Para as resaes observações podemos cosiderar que o modelo fucioa em pleo, sedo possível calcular o EQM e avaliar o desempeho do modelo 33 Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial Amorecimeo Expoecial Simples α = 0. α = 0.7 Observações Y Nível Previsão Erro Nível Previsão Erro Ỹ Y-Ỹ Ỹ Y-Ỹ 5 5.0 5.0 9 3.8 5.0 0.8 5.0 3 7.4 3.8 8. 0.8 4 9 9.8.4.7 8. 5 6.0 9.8.7.7 6 9.0.0-0.0 4..7-0.7 7 9.4 9.0.0 9.0 4. 6.8 8 3 8. 9.4-6.4 4.8 9.0-6.0 9 5 7.5 8. -3. 4.9 4.8 0. 0 8.4 7.5 4.5 9.9 4.9 7. 8 6.3 8.4-0.4.6 9.9 -.9 6 8.3 6.3 9.7.7.6 4.4 3 6 7.8 8.3 -.3 7.7.7-5.7 4 4 9.0 7.8 6.. 7.7 6.3 5 4 8.0 9.0-5.0 6.4. -8. 6 6 9.6 8.0 8.0 3. 6.4 9.6 7 4 8.5 9.6-5.6 6.7 3. -9. 8 6 8.0 8.5 -.5 6. 6.7-0.7 9 7 7.8 8.0 -.0 6.8 6. 0.8 0 3 6.8 7.8-4.8 4. 6.8-3.8 EQM 38. 6.6 34 7

Séries Esacioárias - Modelos de Amorecimeo Expoecial 30 Observações 5 α = 0. 0 5 0 α = 0.7 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 35 Série com Tedêcia Os modelos já apreseados são adequados a séries localmee esacioárias, mas desajusados para séries com ouras caracerísicas omeadamee quado apreseam edêcia 300 50 00 50 00 50 0 Observações a=0, α = 0. a=0,5 α = 0.5 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 36 8

Série com Tedêcia As previsões uilizado o modelo de alisameo expoecial pecam sisemaicamee por defeio: Sedo a série crescee, o modelo prevê que o próximo passo seja a média dos aeriores Quao maior for o α => meor é o peso dos ermos da série mais aigos O modelo a uilizar para resolver a edêcia da série depede do comporameo da própria série: Comporameo liear (axa de variação de ível cosae) => modelo de amorecimeo expoecial duplo Caso a edêcia apresee ouros ipo de evolução (quadráicos, cúbicos,...) => modelos de amorecimeo de grau superior 37 Série com Tedêcia Modelo de Hol Para séries com edêcia que apreseem uma axa de variação de ível cosae Previsão para isaes fuuros (K passos à free) Y + k = + k b k =,,3,... O modelo de Hol recorre a duas equações de acualização (k=): i. Uma para o ível = αy + ( α)( + b ), com 0 α ii. Oura para a edêcia b β( ) + ( β)b, = com 0 β 38 9

Série com Tedêcia Modelo de Hol A equação para o ível pode ser jusificada pelo seguie i. No isae aerior (-) esimou-se um ível ( - ) e uma edêcia (b - ). Somado esas duas parcelas obém-se a esimaiva do ível o isae presee () produzida os isae precedee ii. Esa esimaiva é acualizada icorporado o cohecimeo da observação o isae presee (Y ) iii.obviamee dado um peso α e (- α) respecivamee O mesmo raciocíio pode ser uilizado o cálculo da edêcia 39 Série com Tedêcia Modelo de Hol Iicialização: Simples (grosseira) = Y b = 0 Mais refiada = Y b = Y - Y Caso as primeiras observações ão sejam suficiee => média ariméicas ere os primeiros ermos. Aida mais refiado: aplicar regressão liear às primeiras observações e esimar b 40 0

Exemplo Série com Tedêcia Modelo de Hol α = β = 0, Y b Yprev Erro 9 9,0 0,0 68 36,8 39,0 9,0 39,0 3 50 70,6 38,0 75,8-5,8 4 94 05,7 37,4 08,6-4,6 5 74 9,3 34,6 43, -69, 6 33 57,7 33,4 63,9-30,9 7 06 74, 30,0 9, -85, 8 30 89, 7,0 304, -74, 9 84 309,8 5,7 36,3-3,3 0 79 34, 3,5 335,5-56,5 66 33,4 0, 347,7-8,7 34 344,0 8,7 35,6-37,6 3 355 36, 8,4 36,7-7,7 4 98 363,3 5, 379,6-8,6 5 359 374,5 4,3 378,4-9,4 6 404 39,9 5,0 388,9 5, 7 35 395,7,7 406,8-55,8 8 40 408,7,8 408,4,6 9 378 4,8,0 4,5-43,5 0 458 430,7,4 43,8 34, 443, 4 Série com Tedêcia Modelo de Hol 500 450 400 350 300 50 00 50 00 50 0 Y Yprev, 0.7 Yprev, 0. Yprev, 0,5 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 4

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples A regressão liear é uma écica esaísica que permie esabelecer relações ere variáveis aravés das quais se procura esimar (prever) uma delas (a variável depedee) quado se supõe cohecidas as resaes (variáveis idepedees ou explicaivas): A procura de um produo usado o preço respecivo com variável explicaiva O cuso de maueção de auomóveis em fução da aiguidade do veículo O volume de vedas de um arigo aravés do ivesimeo em publicidade O peso da pessoa a parir da sua alura Neses exemplos recorre-se apeas a um variável explicaiva 43 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Na Regressão Liear simples (RLS) a variável depedee (Y) é uma fução liear da variável idepedee (ou explicaiva, X): Y = α + βx Para medir o grau de relacioameo (liear) ere variáveis o coeficiee de correlação ρ cov[x, Y] ρ = σ σ ρ = ± : relacioameo perfeiamee liear ρ = 0: variáveis liearmee idepedees X Y covariâcia Desvio-padrão 44

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Quado 0 < ρ < => a variável idepedee X coém alguma iformação sobre Y Nesas circusâcias é mais correco reescrever a equação aerior a seguie forma ε = 0 caso ρ = Três hipóeses habiuais: Y = α + βx + ε i. O seu valor médio é ulo: E[ε] = 0 Erro, desvio, ruído, resíduo ii. Os resíduos são idepedees e a sua variâcia ão depede de X (σ ε é cosae) iii. O resíduo em uma disribuição ormal Valor médio de ε =0! Valor esperado(médio) de Y dado X E[Y / X] = E[ α + βx + ε] = α + βx 45 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Esimação do parâmeros A parir de algumas observações (pares de observações de X e Y) os parâmeros α e β podem ser esimados Para al é habiual a uilização dos Méodos dos Míimos Quadrados (MMQ), que se baseia a aplicação do criério da miimização da soma do quadrado dos erros (ou desvios) SE = i= e i = i= Yi Y Regra de esimação dos parâmeros, que resula do criério do MMQ resula a aplicação das derivadas para ecorar um míimo para SE SE = o α e = i= Yi α βx Erro ou desvio associado à esimaiva de Y SE = 0 β i 46 3

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Uma vez resolvido o sisema de equações β = O coeficiee de correlação ere as duas variáveis pode ambém ser esimado ( Xi X)( Yi Y) ( X X) α = Y βx i = X Y XY i X i i X Média dos valores observados de X e Y ( Xi X)( Yi Y) XiYi = ( Xi X) ( Yi Y) Xi X ρ XY = Y Y i 47 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples X(alura) Y(peso) 59 58 6 69 63 59 67 64 67 70 68 76 70 64 70 7 70 8 7 76 74 8 77 7 80 89 8 79 85 96 Y(Peso) 05 95 85 75 β =.93 65 α = 30.43 ρ = 0.833 55 55 65 75 85 X (Alura) 48 4

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples y ρ = y y ρ = 0.8 ρ = y ρ = 0.6 x x y ρ = 0 x x y ρ = 0 x x 49 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples No caso da RLS, a variâcia e a soma do EQM podem ser esimadas por: σ ε SE = ei = = e i Yi = ρ α+ βx [ ( Yi Y) ] i 50 5

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Precisão das esimaivas: iervalos de cofiaça e de predição Quado se procura caracerizar uma população com base uma amosra poderão esar associados erros como cosequêcia da aural variabilidade dos resulados amosrais É ecessário porao quaificar essa margem de erro, esabelecedo iervalos de cofiaça É possível mosrar que T = σ ε [ ] Y0 E Y + 0 ( X0 X) ( X X) i ~ 5 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Precisão das esimaivas: iervalos de cofiaça e de predição T em uma variedade aleaória represeável por uma disribuição -sude com (-) graus de liberdade, sedo a dimesão da amosra Dese modo, fixado arbirariamee um grau de cofiaça (-γ) pode esabelecer-se que: P [ γ T γ ] = γ Em que γ/ é um parâmero exraído da disribuição -sude (com os graus adequados da amosra), de modo a que P[T > γ ] = γ ou P[T < γ ] = γ 5 6

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Precisão das esimaivas: iervalos de cofiaça e de predição Obém-se, eão, para o valor médio σ + [ ] 0 0 P γ γ ε Y E Y ( X0 X) ( X X) i = γ Rearrajado a expressão, obém-se os limies do iervalo de cofiaça γ Y0 ± σε ( X0 X) ( X X) + i 53 Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Precisão das esimaivas: iervalos de cofiaça e de predição Para esimar o valor de Y (e ão a sua média) para um dado valor da variável explicaiva X 0 T = σ ε + Y Y 0 0 ~ + ( X0 X) ( X X) i Rearrajado a expressão, obém-se os limies do iervalo de cofiaça Y0 ± σε γ + ( X0 X) ( X X) + i 54 7

Série com Tedêcia Regressão Liear Simples Precisão das esimaivas: iervalos de cofiaça e de predição Iervalos de cofiaça para os parâmeros α e β Rearrajado as expressões, obém-se os limies do iervalo de T cofiaça α = α± σ ε γ σ ε + α α + X ( X X) i X ~ β± T β = σ ε β β ( X X) γ ε ( X X) ( X X) i σ i i ~ 55 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica: méodo que pare do pressuposo de que a série emporal iegra quaro compoees básicas: Tedêcia reflece uma evolução global do seido do crescimeo/decrescimeo do ível da série Sazoalidade cosise uma fluuação periódica da variável que, com periodicidade fixa (o ciclo sazoal), provoca a elevação (ou descida) dos valores da variável relaivamee ao ível local da série Ciclicidade reflece movimeos oscilaórios de médio prazo da série que afecam a sua edêcia global. Traa-se de movimeos sem periodicidade fixa, apeas deecáveis para séries logas Compoee aleaória de carácer emieemee imprevisível O méodo cosise em ideificar e isolar cada um dos compoees da série e ecorar processos adequados para esimar cada um deles. 56 8

Série com Tedêcia e Sazoalidade Médias Móveis Ceradas Uma média móvel cerada (o isae ), M, é defiida como a média ariméica das observações da variável uma vizihaça (cerada o empo) do isae A vizihaça é defiida pelo comprimeo N da média Comprimeo ímpar M N Comprimeo par ( Y + Y +... + Y +... + Y + Y ), N = = + + + + M = Y + Y +... + Y +... + Y + + Y + N =, N 57 Série com Tedêcia e Sazoalidade Médias Móveis Ceradas As médias móveis ceradas apreseam duas propriedades: - Aeuação ou, aé, elimiação das fluuações de carácer aleaório da série origial 350 300 50 00 50 00 50 0 Y N=3 N=6 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 58 9

Série com Tedêcia e Sazoalidade Médias Móveis Ceradas As médias móveis ceradas apreseam duas propriedades: - Elimiação das oscilações de carácer periódico da série, como a sazoalidade, quado o comprimeo da média móvel cerada é igual ao período dessas oscilações (ciclo sazoal) 800 700 600 500 400 300 00 00 0 Y N=3 N=4 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 59 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Nese modelo admie-se que os ermos da série croológica são uma fução adiiva das quaro compoees ideificadas Tedêcia o isae Y = T + S + C + ε Compoee sazoal o isae Compoee cíclica o isae Compoee aleaória o isae 60 30

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Uma média móvel cerada de comprimeo adequado (igual ao ciclo sazoal) elimia (ao meos em pare) a aleaoriedade da série origial e a sazoalidade da série origial => a série móvel fica reduzida a M = T + C A compoee cíclica em um carácer irregular, ipicamee de médio a logo prazo: Os méodo esaísico falham as previsões a logo prazo Deve-se recorrer a méodos subjecivos Apeas é possível quado se dispõe de séries logas 6 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Para modelar a edêcia, o procedimeo habiual cosise em Admiir que esa compoee é fução de => T = f() e Uilizar os valores da série de média móveis ceradas M para esimar os parâmeros dessa fução A selecção da forma da fução f() deverá resular de uma observação crieriosa do adameo da série de médias móveis ceradas: poliomial (modelo liear simples é o mais uilizado) Expoecial Logarímica Ec. Observado a úlima figura (a e b esimados aravés de écicas esaísicas de RLS) = a + b T 6 3

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Observado a úlima figura (a e b esimados aravés de écicas esaísicas de RLS) = a + b T 500 400 300 00 N=4 T 3 5 7 9 3 5 7 9 63 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Os desvios observados a úlima figura podem ser aribuídos à ifluêcia da compoee aleaória que aida possam subsisir a média móvel ou aé à exisêcia de compoee cíclica, que pode ser isolada, como resula da equação C = M T A preseça da compoee cíclica é deecável quado os desvios em relação à edêcia ão apresearem um carácer aleaório mas, aes, apreseam um padrão em que o sial desses desvios perdura ialerado durae iervalos de empo sigificaivos. Para o caso, verificam-se desvios sisemaicamee: Posiivos: ere os isaes 3 e 7 Negaivos: ere os isaes 8 e 3 De ovo posiivos: ere os isaes 4 e 7 64 3

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Comporameos dos desvios dese ipo poderão idicar a exisêcia de ciclicidade, embora a duração dos ciclos devam ser mais dilaadas o empo => séries logas Aliás, ão é geralmee simples a ideificação da compoee cíclica que muias vezes se cofude com variações aleaórias da edêcia => pelo que, correemee, em séries curas é igorada Para isolar a compoee sazoal Começa-se por cosruir a série auxiliar X, iclui apeas as compoees sazoais e aleaória X = Y M Calcula-se a média dos valores de X para cada uma das esações (elimiação ou aeuação da compoee aleaória) => desa forma esima-se a compoee sazoal para cada esação do ciclo sazoal 65 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo De referir que, para ese modelo adiivo, a soma dos ídices sazoais deverá ser ula Caso ão seja, as esimaivas dos ídices sazoais podem ser corrigidas aravés da expressão Esimaiva corrigida do ídice sazoal da esação j S' j = S j S j S S j j 66 33

Série com Tedêcia e Sazoalidade: Decomposição clássica - Modelo Adiivo Observações Médias Difereças Tedêcia Previsão Erro Ao Trimesre Y M X=Y-M T Y_prev Y-Y_prev 990 3,00 08,98-0,63 5,63,00 3,65 96,87 5,3 3 3 495,00 39,50 55,50 38,3 55,99-57,99 4 4 98,00 54,50-56,50 5,98 94,68 3,3 99 5 74,00 79,5-05,5 67,64 38,03 35,97 6 90,00 96,5-6,5 8,3 55,53 34,47 3 7 65,00 30,88 33,3 96,98 6,66 3,34 4 8 4,00 305,88-9,88 3,64 53,35-39,35 99 9 03,00 3,00-08,00 36,3 96,69 6,3 0 93,00 39,00-36,00 340,97 34,0 -,0 3 653,00 344,38 308,63 355,64 670,3-7,3 4 30,00 353,63-33,63 370,30 3,0 7,99 993 3 0,00 378,50-58,50 384,97 55,36-35,36 4 350,00 405,5-55,5 399,63 37,86 -,86 3 5 795,00 43,88 37,3 44,30 78,98 66,0 4 6 39,00 445,3-53,3 48,97 370,67,33 994 7 97,00 45,38-54,38 443,63 4,0-7,0 8 443,00 453,50-0,50 458,30 43,5,48 3 9 75,00 47,96 787,64-35,64 4 0 45,00 487,63 49,33,67 Avaliação dos ÍNDICES SAZONAIS Trimesre-> 3 4 990 55,5-56,5 99-05,3-6,3 33, -9,9 Ao 99-08,0-36,0 308,6-33,6 993-58,5-55,3 37, -53, 994-54,4-0,5 Soma Soma Médias -3,5-7,0 3, -58,8-5, 69,4 67 ÍNDICES SAZONAIS corrigidos -9,6-6,8 34,7-58,3 0,0 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo 900 Y 700 Y_prev 500 300 00-00 4 7 0 3 6 9 68 34

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Para o exemplo que emos vido a uilizar, calcular as previsões para os rimesre,, 3 e 4 a) Tedêcia (T = 94.3 + 4.67 ) T =94.3 +4.67 x = 50.34 T =94.3 +4.67 x = 57.0 T 3 =94.3 +4.67 x 3 = 53.6 T 4 =94.3 +4.67 x 4 = 546.3 b) Sazoalidade (ver quadro ) S = -9.6 (ª esação ou rimesre) S = -6.8 (ª esação ou rimesre S 3 = 34.7 (3ª esação ou rimesre) S 4 = -58.3 (4ª esação ou rimesre) 69 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição clássica - Modelo Adiivo Para o exemplo que emos vido a uilizar, calcular as previsões para os rimesre,, 3 e 4 a) Ciclicidade: igorada b) Previsões Yprev =T + S = 7.7 Yprev = 490. Yprev 3 = 846.3 Yprev 4 = 488.0 70 35

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição Clássica - Modelo Muliplicaivo Nese modelo, admie-se que os ermos da série croológica resulam do produo das quaro compoees: Y = T S C ε Cada ermo em o sigificado idicado a propósio do modelo adiivo O modelo muliplicaivo é mais adequado que o adiivo quado a série croológica a ampliude das oscilações sazoais aumea com o ível da série (esimado aravés da edêcia), aplicado-se o mesmo pricípio às compoees cíclicas e aleaória 7 Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição Clássica - Modelo Muliplicaivo Procedimeo para isolar cada uma das compoees é semelhae ao modelo aerior: Começa-se por cosruir a série de médias ceradas (comprimeo igual ao ciclo sazoal) M = T C A edêcia é igualmee modelada por uma fução de, f(), sedo os parâmeros desa fução esimados com base os valores da série de médias móveis A ciclicidade pode ser isolada avaliado o coeficiee M C = T 7 36

Série com Tedêcia e Sazoalidade Decomposição Clássica - Modelo Muliplicaivo Procedimeo para isolar cada uma das compoees é semelhae ao modelo aerior: Para esimar os facores sazoais é cosruída uma série C auxiliar X Y X = M Nese caso, a soma dos facores sazoais deverá ser igual à duração do ciclo sazoal (aual = ) Para corrigir as esimaivas dos facores sazoais, basa muliplicar cada uma das esimaivas pelo facor correcivo D duração do ciclo sazoal D D S j j= 73 Exesão do modelo de Hol => para além da edêcia, ambém cosidera a sazoalidade No modelo adiivo há rês equações de acualização:. Nível Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers - Modelo Adiivo. Tedêcia 3. Ídices sazoais ( Y f ) + ( α)( + b ), com 0 α = α s b = β( ) + ( β)b, f = γ(y ) + ( γ)f s, s duração do ciclo sazoal com com 0 β 0 γ 74 37

Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers - Modelo Adiivo Dese modo as previsões para isaes fuuros (k passos adiae): Y + k = + k b + f + k m s m = m = ec... < k s s < k s 75 Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers - Modelo Muliplicaivo Y = µ φ + ε ível sazoalidade ruído aleaório Mais adequado para séries em que a ampliude das fluuações sazoais é proporcioal ao ível da série No modelo muliplicaivo, as 3 equações de acualização são:. Nível. Tedêcia 3. Ídices sazoais Y α f + ( α)( + b = s b = β( ) + ( β)b, f Y = γ + ( γ)f s, com ), com com 0 γ 0 α 0 β 76 38

Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers - Modelo Muliplicaivo Dese modo as previsões para isaes fuuros (k passos adiae): Y + k = ( + k b ) f k m s + m = m = ec... < k s s < k s 77 Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers Iicialização, o procedimeo mais simples, cosise em uilizar as primeiras s observações: b f f j j s s s = Y s = 0 = ( Y ) s = j Yj = s, para o modelo adiivo, com j =,,,s, para o modelo muliplicaivo, com j =,,,s 78 39

Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers Iicialização, um procedimeo mais elaborado, cosise em ajusar um modelo de regressão liear às primeiras s observações (Y = a + c ): b f f j j s s = a + c s = c = Y j Yj = a + c j ( a + c j), para o modelo adiivo, com j =,,,s, para o modelo muliplicaivo, com j =,,,s 79 Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers A opimização das cosaes de amorecimeo α, β e γ é mais uma vez feia aravés de simulação sobre a série de valores hisóricos Mas agora a arefa é mais complicada 3 parâmeros a opimizar! Como idicação de carácer geral, pode idicar-se ser práica habiual fazer α > β > γ, por se admiir que a sazoalidade é mais esável que a edêcia, e esa mais esável que o ível. 80 40

Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers Aplicação do modelo Hol-Wiers adiivo (α = 0., β = 0. e γ = 0.3) b s = 4.67 Y b f Y_prev Y-Y_prev 3 09.0-77.0 3.6 -.6 3 495 38.3 56.7 4 98 53.0 4.67-55.0 = 94.3 + 4.67 f =Y = = Y (94.3 + 4.67 ) 5 74 64.3 4.34-8.0 90.7-6.7 6 90 83. 4.80-6. 67.0 3.0 7 65 30. 6.00 7. 554.7 60.3 8 4 34.7 4.86-68.7 7. -57. 9 03 30.4 3.95-9.9 48.6-45.6 0 93 37.3 3.4-4.6 38. -35. 653 348.8 4.07 8. 6.7 4.3 30 368.0 4.58-6.5 94. 5.8 3 0 368.5 3.7-08.9 90.7-70.7 4 350 378..83-8.7 367. -7. 5 795 45.6 5.9 30.5 67..9 6 39 435.6 5.76-56.8 368.4 3.6 7 97 44.3 4.85-9.8 4.5-45.5 8 443 458. 4.94-7.6 438.5 4.5 9 75 466.7 4.3 303.0 783.5-3.5 0 45 486.6 4.86-50. 44. 7.9 8.6 498.7 3 834. 4 48.0 8 Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers Aplicação do modelo Hol-Wiers adiivo (α = 0., β = 0. e γ = 0.3) 900 Y Y_prev 600 300 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 8 4

Série com Tedêcia e Sazoalidade Modelo de Hol-Wiers O modelo de Hol-Wiers pode adapar-se a séries com caracerísicas diversas: Para uma série que ão apresea edêcia basa subsiuir b por zero Se a série ão apresear sazoalidade, igoram-se os ídices sazoais (f = 0 para o modelo adiivo e f = para o modelo muliplicaivo) Se a série ão apresear sazoalidade e edêcia modelo de amorecimeo expoecial simples Vaages do modelo de Hol-Wiers face ao modelo de decomposição clássica: Não obriga a maer iformação de oda a hisória passada Ecerra poecialidades de se ir adapado aos padrões evoluivos da série, dado maior imporâcia aos mais recees, equao o méodo da decomposição dá igual peso a odas as observações passadas 83 Erros de Previsão e Formas Adapaivas Qualquer que seja a forma do modelo de amorecimeo expoecial, põese sempre a quesão da aribuição de valores às cosaes de amorecimeo Por um lado, se a série apresea alerações dos seus padrões evoluivos => é desejável que os valores das cosaes de amorecimeo sejam elevados, orado o modelo mais reacivo para que as previsões se adapem rapidamee às alerações mais recees Porém, caso a compoee aleaória eha maior ifluêcia, um modelo mais reacivo fica mais sesível às fluuações aleaórias => é pois desejável que os valores das cosaes de amorecimeo sejam baixos, o que permie ao modelo diluir o efeio da aleaoridade 84 4

Erros de Previsão e Formas Adapaivas O desejável: O modelo deveria ser reacivo quado há efecivamee alerações o padrão evoluivo da série Mas orar-se esável quado em preseça de simples fluuações aleaórias Esá alerações do comporameo do modelo (baseados em médias pesadas expoecialmee) apeas pode ser coseguida aravés da aleração dos valores das cosaes de amorecimeo => Modelos Adapaivos As cosaes ão são prefixados mas, aes, vão mudado de valor em fução dos erros de previsão que se vão gerado 85 Erros de Previsão e Formas Adapaivas Modelos adapaivos, ideia-base: Quado há uma aleração o padrão evoluivo da série, os erros edem a ser odos do mesmo sial, pelo que a soma (ou a média) dos erros subsequees a essa aleração ederá a ser elevada (em valor absoluo) Se ocorrer um aumeo de ível da série, aé que o modelo se adape a essa mudaça, as previsões ederão a pecar por defeio, porao, os erros serão edecialmee posiivos Mas se os erros de previsão resulam apeas de fluuações aleaórias, eão é expecável que us sejam posiivos e ouros egaivos, de forma a que a sua soma (ou média) ederá para zero 86 43

Erros de Previsão e Formas Adapaivas Os modelos adapaivos uilizam médias (ou valores acumulados) dos erros mais recees para deecar, de forma auomáica, se erá havido aleração do padrão evoluivo da série e, se for ese o caso, aumeam a capacidade reaciva do modelo Aiude iversa é omada quado os erros volam a apresear caracerísicas puramee aleaórias. Um idicador que é corree uilizar ese coexo é baseado a média dos erros mais recees, a qual, caso se adopem pesos com decaimeo expoecial, pode ser avaliada pela seguie expressão EM = αe + ( α) EM 87 = α(y Y ) + ( α) EM Erros de Previsão e Formas Adapaivas O mesmo ipo de expressão recursiva pode ser usada para avaliar médias de ouras gradezas, por exemplo, o EQM EQM = αe + ( α) EQM = α(y Y ) Esa forma de avaliar o EQM em a vaagem de aribuir maior peso (imporâcia) à hisória recee de erros de previsão Pode ser uilizado para esimaiva de iervalos de cofiaça para valores fuuros da variável 88 + ( α) EQM 44

Auocorrelação Qualquer modelo de previsão só poderá apresear resulados ieressaes se a série apresear auocorrelação => se a observação Y esiver correlacioada com observações em isaes aeriores Y -i Os coeficiees de auocorrelação com desfasameo de k uidades de empo pode ser esimado aravés da seguie expressão: k = k = r ( Y Y)( Y Y) ( k) ( Y Y) = + k Média das observações 89 Auocorrelação 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6 k=0 k= k= k=3 k=4 k=5 O adameo do correlograma represeação gráfica da auocorrelação em fução de k dá idicações sobre as caracerísicas da série e cosiui um auxiliar a ideificação do modelo mais adequado a essa caracerísica A exisêcia de auocorrelação a série idica que os valores passados da variável ecerram iformação e, porao, capacidade de predição dos valores acuais da série e, suposamee, de valores fuuros Assim, é ieressae ideificar e modelar os padrões de comporameo da série hisórica e projecá-los o fuuro para elaborar previsões 90 45

Auocorrelação Modelos auo-regressivos É um popular ipo de modelo de séries croológicas esacioárias que assea o pressuposo de que a observação da variável o isae, Y, se relacioa com observações da mesma variável em isaes aeriores aravés da expressão Y Regressor de Y - = φy + φy +... + φmy m + ε A variável depedee pode ser explicada aravés de uma regressão liear em que as observações em m isaes aeriores fucioam como variáveis idepedees Modelo auo-regressivo de ordem m : AR(m) Ordem do modelo auo-regressivo 9 Auocorrelação Modelo AR(): Y = φy + ε Para séries esacioárias, demosra-se que: Também se demosra que os φ i se relacioam com os coeficiees de auocorrelação r k com desfasameo k φ < φ = r r k k = r = φ k 9 46

Auocorrelação Modelo AR(): Os coeficiees de auocorrelação (ou os parâmeros φ i ) ão são cohecidos => erão que ser esimados a parir dos valores Y Uma vez avaliados os coeficiee r k, podemos ver se apreseam um adameo eórico correspodee a um decaimeo expoecial (eveualmee alerado) do correlograma => se sim, pode ser uilizado um modelo AR() Sedo assim φ = r Y Y + p + p p = φ Y p = Y + φ ( Y Y) Previsão para isaes fuuros (p passos adiae) Caso a série ão eha média ula 93 47