ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA

ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA INTRODUÇÃO MATERIAL DE APOIO ÁLVARO GEHLEN DE LEÃO gehleao@pucrs.br

1 1 Itrodução à Egeharia Ecoômica A egeharia, iserida detro do cotexto de escassez de recursos, pode aplicar técicas de aálise de projetos de ivestimeto a fim de racioalizar o emprego dos recursos de capital. Estas técicas fazem parte do escopo da egeharia ecoômica, que utiliza a matemática fiaceira como ferrameta básica de avaliação do valor do diheiro o tempo. A visualização de um projeto de ivestimeto pode ser realizada através de uma represetação gráfica deomiada diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama de fluxo de caixa de um projeto de ivestimeto é composto de uma escala horizotal a qual se represetam com valores positivos as etradas de caixa e com valores egativos o ivestimeto de capital e as saídas de caixa vide figura 1. Etradas de Caixa 0 1 2 3 4 5 6 7 períodos Ivestimeto de Capital Saídas de Caixa Figura 1 Diagrama de Fluxo de Caixa de um Projeto de Ivestimeto

2 Os pricipais recursos cosiderados para aálise de projetos de ivestimeto e a respectiva remueração por período de tempo são apresetados a tabela 1. Tabela 1 Remueração dos Recursos por Período de Tempo Recursos Humaos Físicos Capital Remueração por Período de Tempo Salário Aluguel Juros Os juros são, portato, o pagameto pela oportuidade de dispor de um capital durate um determiado período de tempo. 2 Juros e Taxas de Juros Nas próximas seções são apresetados os coceitos de juros e taxas de juros. 2.1 Juros Simples Na modalidade de juros simples apeas o valor emprestado rede juros, ou seja, os juros são diretamete proporcioais ao valor emprestado. J P i F P + J P (1+ i ) P valor emprestado o istate 0 i taxa de juros periódica úmero de períodos J juros acumulados até o istate F motate após períodos

3 2.2 Juros Compostos Na modalidade de juros compostos, após cada período de capitalização, os juros, quado ão pagos, são adicioados ao valor emprestado, compodo um ovo saldo devedor, e passam a reder juros também, ou seja, os juros são proporcioais ao saldo devedor em cada período. J P ((1+ i) 1) F + P + J P (1 i) P valor emprestado o istate 0 i taxa de juros periódica úmero de períodos J juros acumulados até o istate F motate após períodos

4 Problema 1 Juros Simples e Juros Compostos Supor um empréstimo (P) de $ 1.000, durate () 5 meses, a uma taxa de juros (i) de 10% ao mês. Calcular os juros mesais, os juros acumulados ( J ) e o motate ( F ) ao fial de cada mês, as modalidades de juros simples e de juros compostos. Tabela 2 Juros Simples e Juros Compostos Juros Simples Juros Compostos Mês Juros Juros Motate Juros Juros Motate () Mesais ( J ) ( F ) Mesais ( J ) ( F ) 0 1.000,00 1.000,00 1 100,00 100,00 1.100,00 100,00 100,00 1.100,00 2 100,00 200,00 1.200,00 110,00 210,00 1.210,00 3 100,00 300,00 1.300,00 121,00 331,00 1.331,00 4 100,00 400,00 1.400,00 133,10 464,10 1.464,10 5 100,00 500,00 1.500,00 146,41 610,51 1.610,51 Modalidade de Juros Simples Juros acumulados ( J 5 ) até o fial do mês 5. J 5 P i 1.000 0,10 5 500,00 Motate ( F 5 ) a ser pago o fial do mês 5. F 5 5 P + J P (1+ i ) 1.000 (1+ 0,10 5) 1.500,00

5 Modalidade de Juros Compostos Juros acumulados ( J 5 ) até o fial do mês 5. 5 ((1+ i) 1) 1.000 ((1 + 0,10) 1) 610, 51 J5 P Motate ( F 5 ) a ser pago o fial do mês 5. 5 F5 P + J5 P (1+ i) 1.000 (1+ 0,10) 1.610,51 Pode-se elaborar uma plailha cotedo as expressões para o cálculo dos juros acumulados ( J ) e do motate ( F ) a ser pago ao fial de um determiado período (), cosiderado o valor do empréstimo (P) e a taxa de juros (i) periódica.

6 2.3 Taxas de Juros Períodos de Aplicação e de Capitalização Uma taxa de juros deve coter iformações que permitam idetificar os seus períodos de aplicação e de capitalização. O período de aplicação estabelece o tempo de duração da icidêcia da taxa de juros sobre o capital imobilizado e o período de capitalização defie a periodicidade de ocorrêcia da acumulação dos juros. 2.4 Taxas de Juros Nomiais e Taxas de Juros Efetivas A taxa de juros é cosiderada efetiva quado o período de aplicação e o período de capitalização coicidem; caso cotrário, a taxa será dita omial. Assim, por exemplo: taxa de juros efetiva 8,75% ao trimestre com capitalização trimestral; taxa de juros omial 24% ao ao com capitalização mesal. Nos problemas evolvedo taxas de juros, adotar-se-á a coveção a.x. c.y. aplicação durate o período x com capitalização a cada período y, ode os períodos x e y são desigados pelas letras: (a) ao, (s) semestre, (t) trimestre, (b) bimestre, (m) mês, e (d) dia. Assim sedo, a taxa de juros de 35% a.a. c.t. é igual a 35% ao ao com capitalização trimestral. Para o período de capitalização y pode ser utilizada também a capitalização cotíua (c), idicado que os juros são capitalizados cotiuamete. O desevolvimeto da matemática fiaceira e da egeharia ecoômica baseiase em taxas de juros efetivas, assim que as taxas de juros omiais devem ser covertidas em taxas de juros efetivas para sua correta aplicação.

7 2.5 Coversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização Para coversão de taxas de juros omiais em taxas de juros efetivas de mesmo período de capitalização a expressão a ser utilizada é: inom a.x. c.y. iefe a.y. c.y. i EFE i N NOM N úmero de períodos de composição da taxa de juros omial Problema 2 Coversão de Taxas de Juros Coverter taxas de juros omiais em taxas de juros efetivas de mesmo período de capitalização. Tabela 3 Coversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização Taxa de Juros Nomial Períodos de Composição N Taxa de Juros Efetiva 24% a.a. c.m. 12 2,00% a.m. c.m. 35% a.a. c.t. 4 8,75% a.t. c.t. 15% a.m. c.d. 30 0,50% a.d. c.d. i i N 0,24 12 NOM EFE 2,00 % a.m. c.m. i i N 0,35 4 NOM EFE 8,75 % a.t. c.t. i i N 0,15 30 NOM EFE 0,50 % a.d. c.d.

8 2.6 Coversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação Para coverter taxas de juros omiais em taxas de juros efetivas de mesmo período de aplicação utiliza-se a seguite expressão: inom a.x. c.y. iefe a.x. c.x. i EFE i 1 + N NOM N 1 N úmero de períodos de composição da taxa de juros omial Problema 3 Coversão de Taxas de Juros Coverter taxas de juros omiais em taxas de juros efetivas de mesmo período de aplicação. Tabela 4 Coversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação Taxa de Juros Nomial Períodos de Composição N Taxa de Juros Efetiva 24% a.a. c.m. 12 26,82% a.a. c.a. 35% a.a. c.t. 4 39,87% a.a. c.a. 15% a.m. c.d. 30 16,14% a.m. c.m. N inom 0,24 iefe 1 + 1 1 + 1 N 12 12 26,82 % a.a. c.a. N inom 0,35 iefe 1 + 1 1 + 1 39,87 % N 4 4 a.a. c.a. N inom 0,15 iefe 1 + 1 1 + 1 N 30 30 16,14 % a.m. c.m.

9 Pode-se elaborar uma plailha para coversão de taxas de juros omiais em taxas de juros efetivas, coforme ilustração a seguir. 2.7 Coversão de Taxas de Juros com Capitalização Cotíua Em uma taxa de juros omial com capitalização cotíua, N tede para um valor ifiito e, portato, a sua coversão para uma taxa de juros efetiva equivalete deve ser realizada pela expressão: inom a.x. c.c. iefe a.x. c.x. i EFE i lim 1 + N N NOM N 1 e i NOM 1 Problema 4 Coversão de Taxas de Juros com Capitalização Cotíua Uma taxa de juros omial de 24% a.a. c.c. equivale a uma taxa de juros efetiva de 27,12% a.a. c.a., pois i EFE inom 0,24 e 1 e 1 0,2712 27,12%

10 2.8 Coversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferetes A coversão etre taxas de juros efetivas de períodos diferetes pode ser obtida a partir da seguite expressão: i EFEa Q i ) 1 EFEb Q quatidade de períodos b existetes o período a Problema 5 Coversão de Taxas de Juros Efetivas Coverter uma taxa de juros efetiva de 12% ao bimestre em taxas de juros efetivas semestrais e auais. Cosiderado i B 12% a.b. c.b., tem-se que: i Q 3 i ) 1 0,12) 1 40,49% a.s. c.s. S B

11 i Q 6 i ) 1 0,12) 1 97,38% a.a. c.a. A B A tabela 5 apreseta uma sítese dos resultados obtidos. Tabela 5 Coversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferetes Período Q Taxa Efetiva Bimestral 12,00 % a.b. c.b. Semestral 3 40,49 % a.s. c.s. Aual 6 97,38 % a.a. c.a.

12 Problema 6 Coversão de Taxas de Juros de Períodos Diferetes Coverter uma taxa de juros de 60% ao ao com capitalização bimestral em uma taxa de juros efetiva semestral. Para coverter uma taxa de juros omial em uma taxa de juros efetiva em que os períodos de aplicação e capitalização ão coicidem deve-se, iicialmete, coverter a taxa de juros omial em uma taxa de juros efetiva de mesmo período de aplicação ou de mesmo período de capitalização e, em seguida, coverter a taxa de juros efetiva desejada. Assim: i NOM 60 % a.a. c.b. (N 6) Coversão de taxa de juros omial em taxa de juros efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,60 iefe 0,10 N 6 10 % a.b. c.b.

13 Coversão de taxas de juros efetivas de períodos diferetes: i EFEa Q i ) 1 EFEb Coversão de uma taxa de juros efetiva bimestral em uma taxa de juros efetiva semestral: i Q i ) 1 S B, ode Q 3 i 3 0,10) 1 0,3310 33,10 % a.s. c.s. S A taxa de juros efetiva semestral de 33,10% é equivalete à taxa de juros omial de 60% ao ao com capitalização bimestral.

14 3 Equivalêcia de Capitais em um Fluxo de Caixa A partir da represetação de um projeto de ivestimeto através de um diagrama de fluxo de caixa podem ser determiadas as relações de equivalêcia, permitido a trasformação de um determiado fluxo de caixa em outro equivalete. Para aplicação das relações de equivalêcia a periodicidade do fluxo de caixa deve coicidir com a periodicidade da taxa de juros efetiva. 3.1 Equivalêcia etre Valor Presete e Valor Futuro A equivalêcia etre P (valor presete) e F (valor futuro) permite resolver, por exemplo, o problema de determiação do valor P a ser ivestido, a uma taxa de juros efetiva i, para obteção de um motate F após períodos. F 0 1 2 3 P Figura 2 Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presete e Valor Futuro ( 1 i) F P + P F 1 i) F log P F log i) i 1 P

15 3.2 Equivalêcia etre Série Uiforme e Valor Futuro A equivalêcia etre U (série uiforme) e F (valor futuro) permite, por exemplo, defiir o valor dos depósitos programados U para possibilitar uma retirada futura F, ode é o úmero de depósitos da série uiforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma periodicidade da série de depósitos. F 0 1 2 3 U Figura 3 Diagrama de Fluxo de Caixa: Série Uiforme e Valor Futuro F U i) i 1 U F i i) 1 i F log 1+ U log(1+ i)

16 3.3 Equivalêcia etre Valor Presete e Série Uiforme A equivalêcia etre P (valor presete) e U (série uiforme) permite resolver o problema de determiação de parcelas mesais U, ode é o úmero de pagametos da série uiforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma periodicidade da série uiforme. P 0 1 2 3 U Figura 4 Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presete e Série Uiforme U P i i) i) 1 P U i) i i) 1 U log U i P log(1+ i)

17 3.4 Utilização de Plailhas Eletrôicas Nesta seção apreseta-se, de forma sucita, uma orietação para utilização de plailhas eletrôicas para solução de problemas de equivalêcia de capitais em um fluxo de caixa. Podem ser utilizadas as fuções fiaceiras cotidas a plailha Excel para determiação de P (valor presete), F (valor futuro), U (série uiforme), (úmero de capitalizações ou prazo total da operação) e i (taxa de juros periódica), empregado-se as sitaxes a seguir apresetadas: cálculo de P: VP (i; ; U; F; tipo) cálculo de F: VF (i; ; U; P; tipo) cálculo de U: PGTO (i; ; P; F; tipo) cálculo de : NPER (i; U; P; F; tipo) cálculo de i: TAXA (; U; P; F; tipo; estimativa) O sigificado dos argumetos dessas fuções é: P valor do capital o istate iicial 0 F valor do capital o istate fial U valor da série de pagametos periódicos de 1 a úmero de capitalizações ou prazo total da operação i valor da taxa de juros efetiva e periódica tipo série de pagametos atecipados (1) ou postecipados (0) estimativa valor estimado da taxa de juros Os valores moetários devem ser iformados com seus siais, (+) ou ( ), e o resultado moetário terá o sial que aula a soma dos capitais equivaletes em um istate qualquer.

18 Na ilustração abaixo se apreseta a sugestão de uma calculadora elaborada a partir das fuções fiaceiras da plailha Excel. Nas células B2, B3, B4, B5, B6, B7 e B8 são registrados os dados de etrada e as células C2, C3, C4, C5 e C6 são obtidos os resultados, a partir da seguite sitaxe: cálculo de P: C2 SE (B2? ; VP (B6 ;B5 ;B4 ;B3 ;B7); ) cálculo de F: C3 SE (B3? ; VF (B6; B5; B4; B2; B7); ) cálculo de U: C4 SE (B4? ; PGTO (B6; B5; B2; B3; B7); ) cálculo de : C5 SE (B5? ; NPER (B6; B4; B2; B3; B7); ) cálculo de i: C6 SE (B6? ; TAXA (B5; B4; B2; B3; B7; B8); )

19 Problema 7 Fiaciameto de Automóvel Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através de um fiaciameto em 24 parcelas mesais, iguais e cosecutivas, a serem pagas ao fial de cada mês. Cosiderado que o pagameto máximo mesal que você pode admitir é de $ 600 e que você pode dar uma etrada de $ 7.000, qual é o valor do automóvel que você poderá adquirir dado que a taxa de juros é de 12% ao ao com capitalização mesal? Valor do Automóvel V E + P? i 12 % a.a. c.m. 0 1 2 3 24 meses E 7.000 U 600 Figura 5 Diagrama de Fluxo de Caixa Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,12 iefe 0,01 N 12 1% a.m. c.m.

20 P? i 1 % a.m. c.m. 0 1 2 3 24 meses U 600 Figura 6 Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicado a relação de equivalêcia etre P e U: i) i i) 24 1 (1+ 0,01) 1 P U 600 24 0,01 (1+ 0,01) 12.746,03 Valor do Automóvel V E + P 7.000 + 12.746,03 19.746,03.

21 Problema 8 Plao de Aposetadoria Cosidere que você abra hoje uma cota de aposetadoria com um depósito iicial de $ 1.200 e deposite $ 50 ao fial de cada mês os próximos 30 aos. Qual o motate acumulado, cosiderado que a cota remuera os depósitos com uma taxa de juros de 9% ao ao com capitalização mesal? F F' + F"? i 9 % a.a. c.m. 0 1 2 3 ' " 360 meses U" 50 P' 1.200 Figura 7 Diagrama de Fluxo de Caixa Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,09 iefe 0,0075 N 12 0,75% a.m. c.m.

22 F F' + F"? i 0,75 % a.m. c.m. 0 1 2 3 ' " 360 meses U" 50 P' 1.200 Figura 8 Diagrama de Fluxo de Caixa Cálculo de F' (aplicado-se a relação de equivalêcia etre F e P): F' P' ' 360 i) 1.200 (1+ 0,0075) 17.676, 69

23 Cálculo de F'' (aplicado-se a relação de equivalêcia etre F e U): F" U" i) i " 1 (1+ 0,0075) 50 0,0075 360 1 91.537,17 Pode-se calcular diretamete o valor de F F' + F'' 17.676,69 + 91.537,17, utilizado os valores de P' e U'' de forma simultâea, pois o valor de ' ''. Você disporá de um motate de $ 109.213,87 quado se aposetar daqui a 30 aos.

24 Problema 9 Cadereta de Poupaça Você depositou $ 8.000 em uma cadereta de poupaça que rede juros com uma taxa de 6% ao ao com capitalização mesal. Se você retirar $ 1.000 ao fial de cada ao, em quato tempo os recursos se esgotarão? U 1.000 i 6% a.a. c.m. 0 1 2 3? aos P 8.000 Figura 9 Diagrama de Fluxo de Caixa Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de aplicação: N inom 0,06 iefe 1 + 1 1 + 1 0,0617 N 12 12 6,17 % a.a. c.a

25 i 6,17 % a.a. c.a. U 1.000 0 1 2 3? aos P 8.000 Figura 10 Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicado as relações de equivalêcia etre P e U, calcula-se : U 1.000 log log U i P 1.000 0,0617 8.000 11,36 aos log(1 + i) log(1 + 0,0617) Ou seja, é permitida a retirada de 11 parcelas auais de $ 1.000.

26 A questão pedete: qual é o valor residual o 11 ao? Calcula-se, iicialmete, o valor P' que deveria ter sido depositado para que apeas 11 retiradas auais de $ 1.000 pudessem ser efetuadas. i 6,17 % a.a. c.a. U' 1.000 0 1 2 3 ' 11 aos P'? Figura 11 Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicado a relação de equivalêcia etre P e U, obtém-se: ' i) i i) 11 0,0617) 1 0,0617) 1 P' U' 1.000 ' 11 0,0617 7.818,75

27 Calcula-se, etão, o P'' extra que foi depositado e, em seguida, o F'' residual: P'' P P' 8.000 7.818,75 181,25 i 6,17 % a.a. c.a. F''? 0 1 2 3 '' 11 aos P'' 181,25 Figura 12 Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicado a relação de equivalêcia etre F e P, obtém-se F'' residual: F" P" '' 11 i) 181,25 (1+ 0,0617) 350, 19

28 Problema 10 Equivalêcia de Capitais em um Fluxo de Caixa Você pretede adquirir um computador através de um fiaciameto em 18 parcelas mesais, iguais e cosecutivas, a serem pagas ao fial de cada mês. Cosiderado que o máximo pagameto mesal que você pode admitir é de $ 240, determiar o míimo valor da etrada para que você possa adquirir um computador o valor de $ 5.000, através de um fiaciameto com taxa de juros de 9% ao trimestre com capitalização mesal. A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 10.

29 Problema 11 Equivalêcia de Capitais em um Fluxo de Caixa Cosidere que você abra hoje uma cota de aposetadoria com um depósito iicial de $ 2.000 e que você pretede dispor de $ 85.000 daqui a 20 aos. Calcular o valor dos depósitos iguais e cosecutivos a serem realizados ao fial de cada um dos próximos 40 semestres, cosiderado que a cota de aposetadoria remuera os depósitos com uma taxa de juros de 8% ao ao com capitalização mesal. A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 11.

30 4 Sistemas de Amortização de Fiaciametos Para que um projeto de ivestimeto possa ser realizado é ecessário que haja dispoibilidade de recursos, sejam eles próprios ou de terceiros. No caso de isuficiêcia de recursos próprios pode-se recorrer a um fiaciameto. O valor do fiaciameto o pricipal deve ser restituído jutamete com a remueração do capital os juros à istituição fiaceira que o cocedeu. A forma como o pricipal é devolvido, acrescido de juros, costitui o sistema de amortização de um fiaciameto. Cosidere um sistema de amortização de um fiaciameto, a ser liquidado ao fial do período. P SD 0 SD t -1 SD t 0 1 2 t -1 t AM t -1 AM t AM J J t -1 A J t A t -1 A t Figura 13 Sistema de Amortização de um Fiaciameto As expressões para o cálculo do saldo devedor ao fial do período SD t, dos juros J t, da amortização AM t e do pagameto A t, em cada istate t, são: SD J t A t t SD SD AM t 1 t t 1 i + J AM t t No último istate, o saldo devedor 0 SD e a amortização AM SD 1.

31 4.1 Sistema de Amortizações Costates O Sistema de Amortizações Costates é utilizado os fiaciametos de logo prazo, pricipalmete para aquisição de bes duráveis. O valor da amortização AM é costate para um fiaciameto P e um prazo e é calculado por P AM. P SD 0 SD t -1 SD t 0 1 2 t -1 t AM AM AM J t -1 A A t t -1 A t -1 Figura 14 Sistema de Amortizações Costates A t J t As expressões para o cálculo do saldo devedor o fial do período SD t, dos juros J t e do valor do pagameto A t em cada istate t são: SD J t A t t SD SD t 1 t 1 i AM + J AM t No último istate, o saldo devedor 0 SD e a amortização AM SD 1.

32 Problema 12 Sistema de Amortizações Costates Supor um fiaciameto com as seguites características: pricipal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ao e pagameto em parcelas auais, ao fial de cada ao, em um prazo de 5 aos. Calcular o valor dos pagametos, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Amortizações Costates, bem como o saldo devedor ao fial de cada período. Tabela 6 Sistema de Amortizações Costates At t Jt AM SDt 0 50.000,00 14.000,00 1 4.000,00 10.000,00 40.000,00 13.200,00 2 3.200,00 10.000,00 30.000,00 12.400,00 3 2.400,00 10.000,00 20.000,00 11.600,00 4 1.600,00 10.000,00 10.000,00 10.800,00 5 800,00 10.000,00 0,00 A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 12.

33 4.2 Sistema de Pagameto Periódico de Juros Nesse sistema de amortização, deomiado Sistema Americao, em cada parcela são pagos apeas os juros sobre o saldo devedor durate o período de fiaciameto. O saldo devedor é amortizado itegralmete a última parcela e, portato, ão se altera ao logo do período de fiaciameto. P SD 0 SD t -1 SD t 0 1 2 t -1 t Jt J A t AM SD 0 A AM + J Figura 15 Sistema de Pagameto Periódico de Juros As expressões para o cálculo do saldo devedor o fial do período SD t, dos juros J t e do valor da parcela A t em cada istate t, são as seguites: J t A t SD SD J t t t 1 SD i t 1 No último istate, o saldo devedor 0 AM SD e SD i SD i ode 0 J 1 0. SD e a parcela A AM + J,

34 Problema 13 Sistema de Pagameto Periódico de Juros Supor um fiaciameto com as seguites características: pricipal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ao e pagameto em parcelas auais, ao fial de cada ao, em um prazo de 5 aos. Calcular o valor das parcelas, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Pagameto Periódico de Juros, bem como o saldo devedor ao fial de cada período. Tabela 7 Sistema de Pagameto Periódico de Juros At t J AMt SDt 0 50.000,00 4.000,00 1 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 2 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 3 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 4 4.000,00 0,00 50.000,00 54.000,00 5 4.000,00 50.000,00 0,00 A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 13.

35 4.3 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes O Sistema de Amortização com Prestações Uiformes, utilizado as compras a prazo de bes de cosumo, costitui-se em uma série uiforme de pagametos de valor U para a liquidação de um fiaciameto P. O valor das prestações uiformes U é determiado a partir da relação de equivalêcia etre U e P. U P i i) i) 1 Assim, o valor do pagameto U AM t + J é uma costate em qualquer istate t, para uma determiada taxa de juros i e um prazo, dado um fiaciameto P e, portato, t U AMt 1 + Jt 1 AMt + Jt AMt + 1 + Jt + 1 P SD 0 SD t -1 SD t 0 1 2 t -1 t AM t -1 AM t U J t -1 J t U U Figura 16 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes

36 As relações utilizadas para determiar o saldo devedor o fial do período os juros J t e a amortização AM t em cada istate t são: SD t, J t SD t AM SD t+ k t 1 SD i t 1 AM AM t t i) k No último istate, o saldo devedor 0 SD e a amortização AM SD 1.

37 Problema 14 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes Supor um fiaciameto com as seguites características: pricipal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ao e pagameto em parcelas auais, ao fial de cada ao, em um prazo de 5 aos. Calcular o valor dos pagametos, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Amortização com Prestações Uiformes, bem como o saldo devedor ao fial de cada período. Tabela 8 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes U t Jt AMt SDt 0 50.000,00 12.522,82 1 4.000,00 8.522,82 41.477,18 12.522,82 2 3.318,17 9.204,65 32.272,53 12.522,82 3 2.581,80 9.941,02 22.331,51 12.522,82 4 1.786,52 10.736,30 11.595,21 12.522,82 5 927,61 11.595,21 0,00 A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 14.

38 Problema 15 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes Um determiado fiaciameto será liquidado em () 12 parcelas mesais, iguais e cosecutivas (U), a serem pagas ao fial de cada mês. Sabe-se que a quita amortização ( AM5 ) será de $ 32.974,25 e a oitava amortização ( AM 8 ) 40.394,87. Determiar o valor fiaciado (P) e a taxa de juros (i) praticada. será de $ P? i? 0 1 5 8 12 AM 5 AM 8 U J 5 J 8 U U Figura 17 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes Sabe-se que: AM AM 5 8 32.974,25 40.394,87 AM AM 1+ i Utilizado a expressão ( ) k t 5, k 3, t + k 8 t+ k t e cosiderado que, calcula-se a taxa de juros (i) praticada: AM 8 AM i) 40.394,87 32.974,25 i 7% a.m. c.m. 5 3 i) 3

39 No último istate, o saldo devedor 0 Além disso, J 1 SD i e U AM + J SD e a amortização AM SD 1.. Para 12, pode-se calcular o valor das prestações uiformes (U): 7 7 i) 32.974,25 0,07) 52.949, 43 AM12 AM5 AM SD 1 AM12 SD11 J 11 52.949,43 12 SD i 52.949,43 0,07 3.706,46 U 12 AM + J AM12 + J 52.949,43 + 3.706,46 56.655,89 Calcula-se, fialmete, o valor fiaciado (P): i) i i) 12 0,07) 1 0,07) 1 P U 56.655,89 12 0,07 450.000,00 A ilustração abaixo apreseta uma plailha para determiação da taxa de juros praticada e do valor fiaciado. O valor fiaciado será de $ 450.000, com taxa de juros de 7% ao mês.

40 Problema 16 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes Um fiaciameto de $ 150.000 será realizado com taxa de juros de 24% ao semestre com capitalização mesal. Este fiaciameto será liquidado através de parcelas mesais, iguais e cosecutivas, a serem pagas ao fial de cada mês. Sabedo-se que os juros relativos ao sétimo mês ( J 7 ) são de $ 4.176,46, pede-se determiar o prazo total de pagameto () e o saldo devedor ao fial do décimo mês (SD 10 ). P 150.000,00 J i 7 NOM 4.176,46 24% a.s. c.m. (N 6) Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,24 iefe 0,04 N 6 4% a.m. c.m. P 150.000 SD? 10 AM 1 AM 7 0 1 7? 10 i 4% a.m. c.m. U U J 1 U J 4.176,46 7 Figura 18 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes

41 Pode-se calcular o valor dos juros a serem pagos ao fial do primeiro mês: P SD J 1 0 SD 0 150.000,00 i 150.000 0,04 6.000,00 A seguir calcula-se o valor da amortização AM1 ao fial do primeiro mês. O valor da prestação uiforme é U AM1 + J1 AM7 + J7, ode AM +, J 1 6.000, 00 e J 7 4.176,46. 6 7 AM1 (1 i) Assim, AM AM AM 1 1 1 + J 1 AM (1+ i) 1 + 6.000 AM (1+ 0,04) 6.873,00 1 6 + J 7 6 + 4.176,46 Etão, U 6.873 + 6.000 12.873,00 Calcula-se, fialmete, o prazo total de pagameto (), aplicado as relações de equivalêcia etre P e U: U 12.873 log log U i P 12.873 0,04 150.000 16 meses log(1+ i) log(1+ 0,04) Passa-se, etão, ao cálculo do saldo devedor ao fial do décimo mês. Iicialmete, calcula-se o valor dos juros pagos o décimo primeiro mês. Sabedo-se que U AM 11 + J11, ode U AM (1+ i) 12.873 6.873 (1+ 0,04) J 11 1 2.699,28 10 + J 11 10 + J AM + 11 10 11 AM1 (1 i), etão

42 Calcula-se, etão, o saldo devedor ao fial do décimo mês (SD 10 ): J 11 SD 10! i 2.699,28 SD 10! 0,04 SD 10 67.482,03 A ilustração abaixo apreseta uma plailha para determiação do prazo total de pagameto e do saldo devedor ao fial do décimo mês. O fiaciameto será liquidado em 16 pagametos mesais e o saldo devedor ao fial do décimo mês será de 67.482,03.

43 Problema 17 Sistema de Amortização com Prestações Uiformes Um fiaciameto de $ 280.000 será realizado com taxa de juros efetiva de 8% ao mês. Este fiaciameto será liquidado através de parcelas mesais, iguais e cosecutivas, a serem pagas ao fial de cada mês. Sabedo-se que o saldo devedor após o pagameto da sétima parcela (SD 7 ) será de $ 163.770,62, pede-se determiar o prazo total de pagameto () e o valor dos juros pagos a décima parcela ( J 10 ). A ilustração abaixo apreseta uma plailha com a solução do problema 17.

44 4.4 Sistemas de Amortização com Prestações Irregulares Problema 18 Fiaciameto de Imóvel Uma imobiliária oferece um imóvel, cujo valor é de 50.000. Dado que você ão dispõe de toda esta quatia para pagameto à vista, a imobiliária lhe apreseta a seguite forma de pagameto para aquisição do imóvel. Pagameto em Reais (R$) de 60% do valor do imóvel, em três parcelas iguais, pagáveis em Reais, em 30, 90 e 120 dias, com uma taxa de juros de 21% ao trimestre capitalizados mesalmete. O restate do valor do imóvel deverá ser pago em Pesos Uruguaios (PU$), com uma etrada hoje de PU$ 300.000 e mais duas parcelas, pagáveis em Pesos Uruguaios, em 60 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 5% ao mês. O valor da parcela em 60 dias deve ser igual ao dobro do valor da parcela em 150 dias. Cosiderar que os meses possuem 30 dias, e que hoje há uma equivalêcia de 1,00 R$ 3,00 PU$ 36,00. Determiar o fluxo de caixa da forma de pagameto que lhe foi apresetada. Pagameto em Reais de 60% de 50.000 30.000, equivaletes, hoje o istate 0, à R$ 90.000, com fiaciameto a uma taxa de juros de 21% a.t. c.m. P' 90.000 i 21 % a.t. c.m. 0 1 2 3 4 meses A1 A3 A4 Figura 19 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Reais

45 Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,21 iefe 0,07 N 3 7% a.m. c.m. Cálculo do valor das parcelas A1 3 4 A A S em 30, 90 e 120 dias P' 90.000 i' 7 % a.m. c.m. 0 1 2 3 4 meses A1 A3 A4 Figura 20 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Reais A1 P' (1+ i' ) 1 A3 + (1+ i' ) 3 A4 + (1+ i' ) 4 S S S 0.000 + + S 35.802,76 1 3 (1+ 0,07) (1+ 0,07) (1+ 0,07) 9 4 Assim, A 4 1 A3 A S R$ 35.802,76

46 A ilustração abaixo apreseta a plailha com o fluxo de caixa dos pagametos. Pagameto em Pesos Uruguaios de 40% de 50.000 20.000, equivaletes hoje o istate 0, à PU$ 720.000, com uma etrada de PU$ 300.000. Cálculo do valor a ser fiaciado, em Pesos Uruguaios: P " 720.000 300.000 420.000 Cálculo do valor das parcelas A 2 2 A5, em 60 e 150 dias: P" 420.000 i" 5 % a.m. c.m. 0 1 2 3 4 A2 A5 5 meses Figura 21 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Pesos Uruguaios

47 P" A2 (1+ i" ) 2 A5 + (1+ i" ) 5 Cosiderado A2 5 2 A T, tem-se que A 2 T e T A 5. 2 Assim, T T 20.000 + 2 T 323.377,28 2 (1+ 0,05) (1+ 0,05) 4 5 Etão, A 2 T PU$ T A 5 2 PU$ 323.377,28 161.688,64 A ilustração abaixo apreseta a plailha com o fluxo de caixa dos pagametos.

48 Problema 19 Fiaciameto de Equipameto Você pretede adquirir um equipameto importado, cujo preço é de R$ 90.000. Dado que você ão dispõe desta quatia para pagameto à vista, a importadora lhe apreseta duas opções de pagameto. Cosiderar que: os meses possuem 30 dias; hoje há uma equivalêcia de US$ 1,00 R$ 2,00. Apresetar o fluxo de caixa das duas opções de pagameto, em sua respectiva moeda. Opção 1 (Pagameto em Reais R$): uma etrada de R$ 15.000 e o restate fiaciado em duas parcelas, pagáveis em Reais em 30 e 90 dias. Na parcela em 30 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 70% do valor fiaciado. Na parcela em 90 dias é pago o restate da dívida. O fiaciameto é realizado com uma taxa de juros de 15% ao trimestre capitalizados mesalmete. Cálculo do valor a ser fiaciado, em Reais: P 90.000 15.000 75.000. P 75.000 i 15 % a.t. c.m. 0 1 2 3 meses A1 A3 Figura 22 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Reais

49 Taxa de juros do fiaciameto em reais: i NOM 15% a.t. c.m. (N 3) Coversão de taxa de juros omial em efetiva de mesmo período de capitalização: inom 0,15 iefe 0,05 N 3 5% a.m. c.m. Cálculo do valor das parcelas A 1 e A 3 em 30 e 90 dias: P 75.000 SD 1 i 5 % a.m. c.m. 0 1 2 3 meses A1 A3 Figura 23 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Reais A 1 1 AM1 + J 70% P + i P A 1 0,70 75.000 + 0,05 75.000 52.500 + 3.750 56.250 SD1 P AM1 75.000 52.500 22.500 2 2 A3 SD1 (1 + i) 22.500 (1 + 0,05) 24.806,25

50 A ilustração abaixo apreseta a plailha com o fluxo de caixa dos pagametos. Opção 2 (Pagameto em Dólares Americaos US$): uma etrada de US$ 27.000 e o restate em duas parcelas iguais, pagáveis em Dólares Americaos em 120 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 3% ao mês. Pagameto em Dólares Americaos de R$ 90.000 US$ 45.000. Cálculo do valor a ser fiaciado, em Dólares Americaos: P' 45.000 27.000 18.000 F' P" P' 18.000 i 3 % a.m. c.m. 0 1 2 3 4 5 U" meses Figura 24 Fluxo de Caixa do Fiaciameto em Dólares Americaos

51 Cálculo do saldo devedor atualizado em 90 dias: F' P' (1+ i) P " F' P" 19.669,09 ' 18.000 (1+ 0,03) 3 19.669,09 Cálculo do valor das parcelas A U" em 120 e 150 dias: A4 5 i i) " i) " 0,03) 0,03) 1 0,03 U" P" 19.669,09 2 1 2 10.279,28 A ilustração abaixo apreseta a plailha com o fluxo de caixa dos pagametos.

52 Problema 20 Sistemas de Amortização de Fiaciametos Você pretede adquirir um equipameto, cujo preço é de $ 80.000. Dado que você ão dispõe desta quatia para pagameto à vista, o fabricate lhe apreseta quatro alterativas de fiaciameto. Cosiderar que os fiaciametos são realizados com uma taxa de juros efetiva de 9% ao mês. Cosiderar, aida, que os meses possuem 30 dias. Calcular os valores a serem pagos as quatro opções alterativas. Opção A: uma etrada de 30% do valor do equipameto e o restate fiaciado em três parcelas, pagáveis em 30, 120 e 150 dias. Na parcela em 30 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 60% do valor fiaciado. Nas parcelas em 120 dias e em 150 dias é pago o restate da dívida. O valor da parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 150 dias. Opção B: sem etrada, com um fiaciameto em três parcelas, pagáveis em 30, 90 e 180 dias. Na parcela em 30 dias são pagos juros sobre o saldo devedor. Na parcela em 90 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 40% do saldo devedor. Na parcela em 180 dias é liquidado o fiaciameto. Opção C: sem etrada, com um fiaciameto em quatro parcelas, pagáveis em 60, 90, 150 e 180 dias. Na parcela em 60 dias são pagos juros sobre o saldo devedor. O valor da parcela em 90 dias é igual ao dobro do valor da parcela em 60 dias. O fiaciameto é liquidado com duas parcelas iguais, pagas em 150 dias e em 180 dias. Opção D: uma etrada de 20% do valor do equipameto e o restate fiaciado em três parcelas, pagáveis em 60, 120 e 180 dias. O valor da parcela em 60 dias é igual à metade do valor da parcela em 180 dias. O valor da parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 180 dias. Na parcela em 180 dias é liquidado o fiaciameto.

53 A ilustração abaixo apreseta uma plailha com os valores da opção A. A ilustração abaixo apreseta uma plailha com os valores da opção B.

54 A ilustração abaixo apreseta uma plailha com os valores da opção C. A ilustração abaixo apreseta uma plailha com os valores da opção D.