O QUE FEZ O SR. RICHARD PRICE Pedro Schubert 1- O Sr. Rchard Prce ( 1723 1791 ), Atuáro para a sua época, estudou e crou Tábuas de Mortaldades para embasar os produtos da sua Seguradora, de PECÚLIOS e RENDAS CERTAS. Para sto utlzou, a partr de Tábuas de Mortaldades das cdades do Reo Udo e calculou, utlzado as Tábuas Faceras ( 1 + ) 1 1 e já tabuladas e que calculam Motates, para a formação de PECÚLIOS e RENDAS CERTAS sedo que, para estas, calculou os valores de beefícos ( ANNUITIES ), medate dedução matemátca a partr da Tábua 1 1 e atualmete temos a Tábua. 1 1 1.1- Para estas três Tábuas Faceras, Autores e Professores, em Julho de 2004, publcaram a DECLARAÇÃO EM DEFESA DE UMA CIÊNCIA MATEMÀTICA E FINANCEIRA que, em resumo, temos : No abaxo assado, Professores de matemátca facera, Autores de lvros e de outros trabalhos sobre esta mportate cêca, preocupados com posções equvocadas assumdas por pessoas e etdades, frequetemete dvulgadas pela mpresa ou cotdas em Laudos Percas evolvedo cálculos faceros, declaramos que a fórmula utlzada para o cálculo das prestações, os casos de empréstmos e facametos em parcelas guas de aplcação geeralzada o mudo e que o Brasl é também cohecda por Tabela Prce ou Sstema Fracês de Amortzação é costruída com base a teora de Juros Compostos ( ou captalzação composta ) sedo a sua demostração ecotrada em todos os lvros de matemátca facera adotados as prcpas uversdades brasleras. Nas aplcações ctadas a segur, por esta DECLARAÇÃO, referem-se à formação de MONTANTES de 1 a Termos Cotua a DECLARAÇÃO : A captalzação composta é a base dos cálculos utlzados as operações de : Sedo de UM TERMO - ( ós acrescetamos e, estes casos, utlza-se a Tábua - ( 1 + ) ) Empréstmos e Facametos Seguros Cadereta de Poupaça Títulos Públcos e Prvados Fudos de Ivestmetos Títulos de Captalzação Sedo de TERMOS - ( ós acrescetamos e, estes casos, utlza-se a Tábua - 1 1 ) Cadereta de Poupaça FGTS Admstrador, Autor, Professor da FGV-RIO, Perto Judcal TJ RJ, Varas Federas, Cotador, Membro da Comssão Especal de Períca, Arbtragem e Admstração Judcal do Coselho Federal de Admstração CFA
Fudos de Prevdêca Fudos de Pesão Skg Fud Esta DECLARAÇÃO, esta parte, está perfeta e acabada. Nada há a opor. E, a hoje Tábua calcula o valor do Beefíco, a partr de Motates 1 1 formados pela Tábua 1 1. Efatzado que esta Tábua cotém Juro Composto e Aatocsmo. 1 1 calcula Beefícos e o valor de cada beefíco, Há Autores que afrmam que esta Tábua Este é o mbróglo. 1 1 calcula o valor de Prestações. 2- O Sr. Prce estudou também a Dívda da Coroa Iglesa e para este estudo, utlzou a Tábua ( 1 + ). E estudou também o Skg Foud e utlzou a Tábua 1 1 Para estes estudos ver este ste www.percajudcal.adm.br a Trlha Os Lvros do Sr. Rchard Prce que aalsam esta matéra. O QUE NÃO FEZ O SR. RICHARD PRICE NO SÉCULO XVIII 3- Nas aplcações ctadas a segur pela referda DECLARAÇÃO, referem-se ao Estudo do Valor Atual. Na etapa segute, esta DECLARAÇÃO afrma :... e em todos os estudos de vabldade ecoômca e facera realzados o Brasl e os demas países do mudo. 1 1 1 e 1 1 1 Para estes estudos, ós afrmamos, utlza-se as Tábuas e referem-se à Modaldade Quatro de Pagametos ( Amortzações ) de Empréstmos e Facametos em parcelas guas ou decrescetes e sucessvas, podedo ser mesas, etc, auas e de DOIS MODOS : Sstema Fracês de Amortzação - parcelas guas Método Hamburguês - parcelas decrescetes Veja a segur, o estudo que apresetamos e referete a parte da DECLARAÇÃO :... e em todos os estudos de vabldade ecoômca e facera... que, como já afrmado, o Sr. Rchard Prce ão estudou.
O Método do Fluxo de Caxa Descotado e o Sstema Fracês de Amortzação O que ambos têm em comum? I - Colocamos as segutes questões: Sedo Aálse de Ivestmetos 1- Um Baco de Ivestmetos lhe oferece a aplcação em um projeto que remuera o seu captal a 5,00% a.a., por 25 aos. Você precsa de uma reda aual ( receta ) de $ 2.000,00. Qual o valor que precso para vestr? 2- Teho um captal de $ 28.187,889 e quero aplcá-lo por 25 aos e receber uma reda aual de $ 2.000,00. Qual a Taxa de Juro que devo aplcá-lo? 3- Teho um captal de $ 28.187,889 e quero aplcá-lo por 25 aos, a taxa de juro aual de 5,00%. Qual o valor do retoro aual? 4- Qual o Valor Atual de uma Reda Aual ( recebmetos auas de Dvdedos ) de $ 2.000,00, por 25 aos, a taxa de juro de 5,00% a.a.? Sedo Empréstmos e Facametos em Parcelas e, estes exemplos, o Sstema Fracês de Amortzação 5- Teho uma dívda de $ 28.187,889 e o baco quer recebê-la em 25 prestações de $ 2.000,00. Qual a taxa de juro? 6 Precso de um empréstmo de R$ 28.187,889, para pagá-lo em 25 aos e o baco cobra a taxa de juro de 5,00% a.a. Qual o valor da prestação? II - O que ambos têm em comum? É o Método do Fluxo de Caxa Descotado Descouted Cash Flow Method III- Matematcamete, todas as 6 Questões relacoam-se ao cálculo do Valor Atual de uma Reda logo, o Fluxo de Caxa Descotado, com os segutes smbolsmos matemátcos: Sedo os Termos (prestações ) dsttos : 1 1 1 1 1 1 (1 + ) 1 (1 + ) 2 Valor Atual = + +... + ou t = 1 Sedo os Termos (prestações ) guas : 1 1 ( 1 + ) t (1 + ) Tábua IV ( Descoto Composto ) Valor Atual = 1 1 1 ( ; ) Tábua V ( Descoto Composto ) Cálculo do Valor Atual de uma prestação de Termos Iguas PV = Valor do Empréstmo e Facameto ou Valor do Projeto ( Ivestmeto )
ou PV = pmt. 1 1 1 Termos guas Valor Atual Tábua V Nestas 6 Questões, por serem os Termos ( pmt ) guas, serão aplcadas as segutes gualdades : Aplcação em Projeto Questão 1 - Aqu vestmetos ; Calcular o Valor a ser vestdo PV = 2.000,00. ( 1,05 ) 25 1 = 2,38635494 1 = 14,093944 = $ 28.187,889 1 0,05. ( 1,05) 25 0,169317747 Valor Atual de Uma Reda Questão 2 - Aqu vestmetos ; Qual a Taxa de Retoro 28.187,889 = 2.000,00. ( 1,0x ) 25 1 1 = 0,05x. ( 1,0x ) 25 28.187,889 1 2.000 Fator da Tábua V O cálculo desta taxa de juro pode ser calculada a HP-12C e pode ser pelo Método Tradcoal do Fator Utlzado a HP-12C, as segutes teclas que ecotra 5,00%. = 25 ; = 0,0x? ; - PV = $ 28.187,889 ; pmt = $ 2.000 ; = 5,00% a.a. Cálculo do Fator = = 14,0939445 Procura a Tábua V, em 25, este fator e ecotra Taxa de Juro de 5,00%. Questão 3 - Aqu vestmetos ; Qual o Valor do Retoro Aual? pmt = 28.187,889. 0,05. ( 1,05 ) 25 = 0,07095246 = $ 2.000,00 1 ( 1,05) 25 1 Valor do Retoro Aual Questão 4 - Aqu vestmetos ; Qual o Valor Atual PV = 2.000,00. ( 1,05 ) 25 1 = 2,38635494 1 = 14,093944 = $ 28.187,889 1 0,05. ( 1,05) 25 0,169317747 Valor Atual de Uma Reda ( Valor do Ivestmeto )
Aplcação em Empréstmos e Facametos Questão 5 - Aqu empréstmos e facametos ; Qual a Taxa de Juro 28.187,889 = 2.000,00. ( 1,0x ) 25 1 1 = 0,0x. ( 1,0x ) 25 pmt 28.187,889 1 2.000 28.187,889 = pmt. ( 1,05 ) 25 1 = 1 0,05. ( 1,05) 25 Fator da Tábua V PV = Valor do Empréstmo e Facameto O cálculo desta taxa de juro pode ser calculada a HP-12C e pode ser pelo Método Tradcoal do Fator Utlzado a HP-12C, as segutes teclas que ecotra 5,00%. = 25 ; = x? ; - PV = $ 28.187,889 ; pmt = $ 2.000 ode = 5,00% Cálculo do Fator = = 14,0939445 Procura a Tábua V, em 25, este fator e ecotra Taxa de Juro de 5,00%. Questão 6 - Aqu empréstmos e facametos ; Qual o valor da prestação? Processado temos : pmt = 28.187,889. 0,05. ( 1,05 ) 25 1 ( 1,05 ) 25 1 Tábua III ; cálculo do valor da prestação ou da reda aual Valor do Retoro Aual ou Valor da Prestação Na Matemátca Facera este pmt tem 3 fuções : 1- No Sstema Fracês de Amortzação Fator de Recuperação de Captal ( valor da prestação ) Neste caso, utlza a Tábua III 1 1 1 2- Na formação das Reservas Téccas para os Fudos de Pesão Fator de Acumulação de Captal ( valor da cotrbução do partcpate ) Neste caso, utlza a Tábua II 1 1 3- No Pagameto de Beefíco aos Assstdos de Fudos de Pesão Fator de Amortzação de Captal ( valor do beefíco ) Neste caso, utlza a Tábua VI Respodedo a perguta do tem II : 1 1 O que ambos têm em comum? : É o Método do Fluxo de Caxa Descotado.
Coclusão : Aálse de Ivestmetos que aplca o cálculo do Valor Atual PV logo, o Descoto Composto e utlzado as Tábuas III e V, é gual ao Sstema Fracês de Amortzação que também utlza as Tábuas III e V e calcula : = º de prestações = taxa de juro PV = Valor Atual ( valor do empréstmo ) pmt = Valor da Prestação Aplcado as fórmulas do Descoto Composto cotdas as Tábuas III e V IV- O Método do Fluxo de Caxa Descotado que é utlzado o estudo de Altas Faças para a avalações de empresas, fudameta-se o Cálculo do Valor Atual, como está aalsado o tem III. V - O Método do Fluxo de Caxa Descotado a HP-12C No seu Maual Referêca 7 ( Maual do Propretáro da HP-12C may/1984 ) do lvro Matemátca Facera os Trbuas de Justça apreseta o segute exemplo : Fluxo de Caxa Descotado a HP-12C Exemplo A lteratura mecoa dos métodos : O Método do Valor Atual, em glês Net Preset Value NPV O Método da Taxa Itera de Retoro TIR ( Iteral Rate of Retur ) IRR Cálculo do Valor Presete NPV No 1º Método compara o Valor Ivestdo com o Valor Atual de uma Reda ; se o Valor Atual da Reda for maor que o Valor Ivestdo o projeto pode ser aprovado. Cálculo da Taxa Itera de Retoro IRR No 2º Método é calculado uma taxa de juro que guala o Valor Atual da Reda ao Valor Ivestdo. Vejamos o exemplo estampado o Maual da HP-12C fl s. 70 e 71 Valor Ivestdo : $ 79.000,00. Deseja uma taxa tera de retoro de 13,5%. Espera, o fal do 10º ao, veder por $ 100.000,00. Iserção Procedmeto Aparece Ivestmeto Ical 79.000,00 CHS g CFo - 79.000,00 Ao Valor Fluxo de Caxa 1 14.000,00 14.000,00 g Cfj 14.000,00 Termos 2 11.000,00 11.000,00 g Cfj 11.000,00 Dsttos 3 10.000,00 10.000,00 g Cfj 10.000,00 4 10.000,00 3 g Nj 3,00 5 10.000,00 Termos Iguas 6 9.100,00 9.100,00 g Cfj 9.100,00 Termo Dstto 7 9.000,00 9.000,00 g Cfj 9.000,00 8 9.000,00 2 g Nj 2,00 Termos Iguas 9 4.500,00 4.500,00 g Cfj 4.500,00 Termos 10 100.000,00 100.000,00 g Cfj 100.000,00 Dsttos Nº de serções 7 7 Isere a % 13,50 13,50 Clca e a HP-12C calcula f NPV 907,77 Referêca 7
( 1 + ) 1 ( 1 + ) Desde que NPV seja postvo, o vestmeto aumetara o atvo operacoal do Ivestdor em $ 907,77. O valor de $ 907,77 postvo dca que a Taxa Itera de Retoro é maor do que 13,5%. Cálculo da Taxa Itera de Retoro IRR Isra os dados acma ovamete e pressoe as teclas f IRR a HP-12C que processa e aparece : 13,72 ; 13,72% ( o ídce da Taxa Itera de Retoro aparece o vsor da máqua ). O exemplo mostra que o Fluxo de Recursos tem Termos Dsttos 1 1 1 1 ( 1 + ) 1 1 1 (1 + ) (1 + ) 2 ( 1 + ) (1 + ) 1 1 e Termos Iguas tercalados e o objetvo é calcular a Taxa de Juro e o Valor Atual desta sére heterogêea de Termos ( Redmetos, Lucros e Outros ). No 1º estudo, a HP-12C calcula o Valor Atual desta sére heterogêea e homogêea : PV = + + + Tábua IV Tábua V Tábua IV sedo dados os Termos e a Taxa de Juro e a HP-12C calcula o PV para comparar o Valor Atual desta sére heterogêea e homogêea, calculada com uma Taxa de Juro, serda pelo Aalsta, com o Valor de Aqusção do Bem ( valor do projeto ) PV. Se este Valor Atual desta sére heterogêea e homogêea for gual ou maor do que o Valor de Aqusção do Bem, a Aqusção do Bem ( do projeto ) é aprovado. O valor do PV calculado pela HP-12C, com a Taxa de Juro serda pelo Aalsta, é maor do que o Valor do Bem Adqurdo. Deste modo, o vestmeto é aprovado. No 2º estudo é pergutado a HP-12C qual a Taxa de Juro que compara o Valor do Bem Adqurdo (do projeto ) com o Valor Atual desta sére heterogêea e homogêea de Termos. A HP-12C procura, por tetatvas, qual a Taxa de Juro ( a Taxa Itera de Retoro TIR ) que guala o Valor do Bem Adqurdo ( o valor do projeto ) com o Valor Atual da sére heterogêea e homogêea de Termos. VI - A Matemátca Facera Esa Quatro Modaldades de Pagametos ( Amortzações ) de Empréstmos e Facametos Modaldade Um Sstema Alemão 1 1 Tábua IV Calcula o Valor Atual de 1 Termo Modaldade Dos Sstema Amercao sem uso Modaldade Três Sstema Prce 1 Tábua I Calcula Motates
Modaldade Quatro Sstema Fracês 1 1 Tábua V de Amortzação 1 e Calcula o Valor Atual PV de Termos Iguas 1 Tábua III 1 1 e Calcula o Valor da Prestação Método Hamburguês ( que é prmo quase rmão do Sstema Fracês de Amortzação ) VII - A Matemátca Facera ada Esa para os Fudos de Pesão : Para a Formação de Reservas Téccas 1 1 Tábua II Fator de Acumulação de Captal Para Pagametos de Beefícos Tábua VI 1 1 Fator do Fudo de Amortzação Importate : Aqu o Brasl, Professores, Autores, Ecoomstas, 86,36 % dos Pertos da Regão Sudeste e Outros afrmam que esta Tábua VI calcula o valor de prestações e que, por sto, a parcela do empréstmo e facameto tem Juro Composto e Aatocsmo e, por cosequêca, o Sstema Fracês de Amortzação tem Juro Composto e Aatocsmo. Esta verdade precsa ser esclarecda. Cofudem prestamsta com Assstdos ( aposetados e pesostas). VIII- Para efatzar a posção deste ste, fca posto o que esa a matemátca facera: No Juro Smples que utlza o descoto smples ou bacáro, o cálculo do valor do juro é realzado aplcado a taxa proporcoal de juro do período (da, mês) sobre o valor do empréstmo. No Juro Composto que utlza o Descoto Composto, o cálculo do valor do juro é realzado aplcado a taxa de juro proporcoal ou equvalete, do período ( da, mês, ao ), sobre o Saldo Devedor de cada período. O lvro Matemátca Facera os Trbuas de Justça, pela sua Referêca 1, demostra que o Descoto Composto é meos oeroso que o Descoto Bacáro. Não é argumeto que tem juízes que estão adotado o Método de Gauss que utlza o juros smples. Isto é prova que o perto do processo ão atuou com competêca este Tpo de Ação: Aálse de Cotratos de Empréstmos e Facametos. Fetas estas observações téccas e também que o Sstema Fracês de Amortzação, matematcamete, utlza o Descoto Composto, coforme o lvro Matemátca Facera os Trbuas de Justça, a sua PARTE 7 o tem 7.1 Idetdade etre os problemas sobre reda aplcações faceras e os problemas sobre empréstmos e facametos.