Otimização convexa sobre o preço de opções call europeias

Otiização convexa sobre o preço de opções call europeias Maria Carolina da Silva Rasquinho Mestrado e Métodos Quantitativos e Finanças Master in Quantitative Methods in Finance Dissertação de Mestrado MSc Dissertation Março de 2017

Agradecientos Gostaria de agradecer ao eu orientador, Doutor João Eduardo da Silveira Gouveia, pelo constante apoio e orientação. Aos eus pais por todo o apoio e carinho e por e possibilitare o terinar deste curso. À inha irã, por todo o carinho. Às inhas colegas de curso, Carla, Dulce, Inês e Vânia pela aizade, copanheiriso e bons oentos de trabalho e lazer ao longo dos últios cinco anos. Aos aigos coo o Rui, Tiago, Daniel, David e Margarida pelos oentos partilhados. Ao Bruce por toda a paciência e carinho. À Estudantina Feinina de Coibra por tantos bons oentos e deu e por e peritir fazer parte do elhor grupo a que pertenci. À Inês Santos por ser a inha faília durante os últios seis eses.

Resuo A atribuição de preços a opções é u problea fulcral de ateática financeira co elevada coplexidade resultante do caráter de incerteza associado ao poder de escolha do possuidor da opção. Nesse sentido, este trabalho pretende estabelecer liites para o preço de opções call europeias, assuindo a não existência de arbitrage. Não especificaos qualquer odelo para a dinâica do preço do ativo subjacente à opção, considerando apenas restrições sobre a distribuição probabilística do eso, na aturidade. Para isso, usaos o problea generalizado do oento e introduzios ferraentas de otiização convexa, noeadaente a prograação seidefinida. Partindo do trabalho de Bertsias e Popescu [1], coeçaos por considerar separadaente restrições sobre os oentos das distribuições e sobre preços de alguas opções do eso tipo da que pretendeos estudar. De seguida, co o intuito de elhorar os resultados obtidos pelas abordagens anteriores, propoos u étodo híbrido cujas propriedades analisaos. Finalizaos este trabalho co u estudo nuérico coparativo onde observaos elhorias co a utilização do étodo híbrido, e coparação às abordagens presentes na literatura analisadas nesta dissertação.

Conteúdo Lista de Figuras Lista de Tabelas ix xi 1 Introdução 1 2 Preliinares 3 2.1 Problea generalizado do oento.......................... 3 2.1.1 Prograação cónica.............................. 3 2.1.2 Problea generalizado do oento...................... 4 2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável................... 7 3 Liitar preços de opções 13 3.1 Introdução ao odelo teórico subjacente........................ 13 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente................. 13 3.2.1 Validade de u vetor de oentos...................... 14 3.2.2 Liite superior................................. 15 3.2.3 Liite inferior................................. 17 3.2.4 Exeplos.................................... 18 3.3 Inforação acerca dos preços de outras calls...................... 23 3.3.1 Validade da função de avaliação do preço da opção.............. 23 3.3.2 Liite superior................................. 26 3.3.3 Liite inferior................................. 27 3.3.4 Exeplos.................................... 29 3.4 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente e outros preços de opções... 31 3.4.1 Liite superior................................. 31 3.4.2 Liite inferior................................. 33 4 Resultados nuéricos 35 4.1 Distribuição discreta e finita.............................. 35 4.1.1 Moentos................................... 35 4.1.2 Preços...................................... 37 4.1.3 Preços e oentos............................... 38 4.2 Distribuição discreta e infinita............................. 39

viii Conteúdo 4.2.1 Moentos................................... 39 4.2.2 Preços...................................... 40 4.2.3 Preços e oentos............................... 41 4.3 Distribuição contínua.................................. 42 4.3.1 Moentos................................... 42 4.3.2 Preços...................................... 43 4.3.3 Preços e oentos............................... 44 5 Conclusão 47 Bibliografia 49 Anexo A Algorito usado 51

Lista de Figuras 2.1 Representação de u cone K e do seu dual K..................... 4 2.2 Representação do polinóio h(x), x [ 5 2, 5 2]..................... 9 2.3 Representação do polinóio h 2 (x), x [ 1 2,1]..................... 11 3.1 Preços de fecho do índice S&P 500 para o prieiro e segundo períodos de tepo considerados....................................... 19 3.2 Preços reais e corrigidos de opções referentes ao índice S&P 500 entre 8 e 30 de abril de 2005.......................................... 26 3.3 Preços reais e liites superior e inferior dados oito preços de outras opções sobre o índice S&P 500 de 4 a 15 de janeiro de 2016...................... 29 3.4 Preços reais e liites superior e inferior dados oito preços de outras opções sobre o índice S&P 500 de 4 de janeiro a 5 de fevereiro de 2016................ 30 3.5 Intervalos definidos tendo e conta o preço de exercício requerido, k......... 32 4.1 Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo do lançaento do dado.................................. 36 4.2 Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo do lançaento do dado............................. 37 4.3 Preços reais e liites superior e inferior pelas três abordagens estudadas do odelo do lançaento do dado.................................. 38 4.4 Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo de Poisson........................................ 39 4.5 Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo de Poisson.................................... 41 4.6 Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Poisson.......................... 41 4.7 Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo de Pareto......................................... 43 4.8 Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo de Pareto..................................... 44 4.9 Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Pareto........................... 45 ix

Lista de Tabelas 3.1 Moentos epíricos do índice S&P 500 entre os períodos considerados........ 19 3.2 Liite superior obtido por dois étodos considerando dois e três oentos...... 22 3.3 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o prieiro período de tepo......................................... 23 3.4 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o segundo período de tepo......................................... 23 3.5 Preços observados e corrigidos de opções calls transacionadas dia 8 de Abril de 2005 sobre o índice S&P 500................................. 25 3.6 Preços reais e corrigidos de calls sobre o índice S&P 500 transacionadas no prieiro período de tepo, entre 4 e 15 de janeiro de 2016.................... 29 3.7 Preços reais e liites superior e inferior de cinco opções dados oito preços sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 15 de janeiro do eso ano.................................. 30 3.8 Preços reais e corrigidos de calls sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 5 de fevereiro de 2016.............. 30 3.9 Preços reais e liites superior e inferior de cinco opções dados oito preços sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 5 de fevereiro do eso ano................................. 31 4.1 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo do lançaento do dado...................... 36 4.2 Preços e preços de exercício de seis opções sobre o odelo do lançaento do dado.. 37 4.3 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de outras opções do odelo do lançaento do dado.................... 37 4.4 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo do lançaento do dado......... 38 4.5 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo de Poisson............................ 39 4.6 Preços e preços de exercício de opções sobre o odelo de Poisson........... 40 4.7 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de opções do odelo de Poisson.............................. 40 xi

xii Lista de Tabelas 4.8 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Poisson................ 42 4.9 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo de Pareto............................. 43 4.10 Preços e preços de exercício de seis opções sobre o odelo de Pareto......... 44 4.11 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de opções do odelo de Pareto............................... 44 4.12 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Pareto................. 45

Capítulo 1 Introdução Opções são contratos que perite a copra de u produto financeiro, o ativo subjacente à opção, e são utilizadas por fora a reduzir o risco inerente à detenção de u ativo. Estes ativos são geralente ações, índices de ações, atérias-prias ou taxas de juro. Opções são contratos padronizados na edida e que tanto a quantidade de ativos, o preço a que os ativos serão transacionados e a aturidade, data e que a opção terina, são pré-definidos. [2] Podeos encontrar opções de dois tipos: opções de copra (call options) e de venda (put options). Existe tabé diferentes estilos de opções coo as de estilo aericano e europeu onde as prieiras se distingue das segundas pelo facto de podere ser transacionadas e qualquer oento até à aturidade. [3] As opções de copra europeias, que são o objeto de estudo desta dissertação, perite que o detentor da opção possa exercer o seu direito, as não o dever, de coprar u ativo por u deterinado preço, denoinado preço de exercício, na aturidade da opção. Assi, confore a evolução do ercado, o detentor da opção decide se pretende ou não exercê-la. Ao possível ganho do detentor chaaos payoff, sendo neste caso dado por ax(0,x k), onde k representa o preço de exercício e X o preço do ativo subjacente à opção na aturidade. Noteos que, por sere opções europeias, o ativo subjacente à opção apenas pode ser transacionado na aturidade. Devido ao caráter de incerteza associado ao poder de escolha do possuidor da opção, atribuir-lhe u preço justo, isto é, o preço que o que o coprador da opção paga ao vendedor para a ter e sua posse, torna-se bastante difícil. Esta é ua questão uito iportante na ateática financeira ua vez que, caso as opções seja al avaliadas, poderão existir no ercado oportunidades de arbitrage. Estas oportunidades de arbitrage são estratégias e que, se investiento inicial, há ua probabilidade positiva de gerar lucro no futuro se que haja possibilidades de perda [3]. Tal coo Black e Scholes, vários autores tê estudado a avaliação de opções assuindo não só a ausência de arbitrage as tabé ua dinâica para o preço do ativo. Por outro lado, nesta dissertação, apenas assuireos a não existência de arbitrage se considerar nenhua distribuição para o preço do ativo. Neste contexto, u resultado iportante dado por Harrison e Kreps [4] e 1

2 Introdução Harrison e Pliska [5, 6], foi a conexão entre o pressuposto da não arbitrage e a existência de ua edida de probabilidade neutra ao risco. Sob a suposição de não arbitrage, o preço de ua opção europeia pode ser atribuído pelo retorno esperado do ganho exercido na aturidade, descontado a ua taxa de juro, onde a esperança é toada sob a probabilidade neutra ao risco [3]. Assuindo que a taxa de juro se risco é nula, ignorando os custos de transação e considerando o payoff de ua opção call europeia, a frase anterior é equivalente a q(k) = E[ax(0,X k)], onde, ais ua vez, k representa o preço de exercício e X o preço do ativo subjacente à opção na aturidade. [1] O objetivo deste trabalho é assi encontrar liites superior e inferior para o preço de opções call europeias, assuindo apenas a não existência de arbitrage. No Capítulo 2, introduzireos alguns conceitos teóricos necessários. Lebrareos conceitos de prograação cónica e apresentareos u iportante problea da ateática financeira: o problea generalizado do oento. Este peritir-nos-á encontrar os liites referidos anteriorente através da resolução de probleas de otiização nu espaço de distribuições onde o integral de alguas funções é conhecido. Fareos ainda ua pequena abordage à não negatividade de polinóios co ua variável. Nos Capítulos 3 e 4, através da prograação seidefinida, encontrareos os liites para os preços das opções. Nua prieira fase, calculareos esses liites co base nos dados referentes aos oentos do preço do ativo subjacente. Seguidaente, consideraos soente os preços de opções do eso tipo e sobre o eso ativo as co preços de exercícios diferentes. Estes estudos serão feitos co base nos trabalhos de Bertsias e Popescu [1]. Finalente, tentareos ua nova abordage reunindo as inforações anteriores. Quereos verificar se a introdução de abas as inforações (oentos e preços de outras opções) nos garante resultados elhorados. Enquanto no Capítulo 3 exeplificareos o que foi estudado usando dados do ercado, no Capítulo 4 testareos dados teóricos. Procuraos co isto ter ua noção ais correta da aplicação dos resultados encontrados evitando os erros associados ao uso de dados reais. Por fi, no Capítulo 5 serão expostas as conclusões deste trabalho.

Capítulo 2 Preliinares O objetivo deste capítulo é introduzir alguns conceitos teóricos necessários ao desenvolviento dos capítulos seguintes. Coeçareos por fazer ua revisão sobre prograação cónica e introduzireos o problea generalizado do oento, co base no trabalho de Lasserre [7]; seguidaente, ireos deparar-nos co a questão da não negatividade de polinóios de ua variável, tal coo estudara Bertsias e Popescu [1]. 2.1 Problea generalizado do oento Nesta secção ireos trabalhar co ua forulação do problea generalizado do oento sob o ponto de vista da otiização convexa. Alé da forulação deste problea e do seu dual, apresentareos alguas considerações suficientes que garante a dualidade forte entre os esos. 2.1.1 Prograação cónica Coeceos por recordar alguns conceitos de geoetria convexa que serão utilizados. U conjunto K diz-se u cone convexo se for fechado para a adição e ultiplicação por escalares. Seguidaente apresentaos a definição de cone dual. Definição 2.1.1. Dado u cone K R n, o seu cone dual, K, é o conjunto {y R n : y,x 0, x K}. Vejaos exeplos de cones e dos seus cones duais: ( R n +) = R n + ; ( S n +) = S n +, onde S n + representa o conjunto das atriz positivas seidefinidas; Cone K e K presentes na Figura 2.1. Recordeos tabé que o dual de u cone dual é o fecho do cone principal. Nesta dissertação trabalhareos co probleas de prograação cónica, sendo estes definidos do seguinte odo. 3

4 Preliinares Fig. 2.1 Representação de u cone K e do seu dual K. Dado u cone convexo e fechado K R n, u prograa cónico sobre K na fora noral é u problea de otiização do tipo p = in c T x s.a. Ax = b x K, (2.1) onde A R n, b R e c R n e o seu problea dual é p = ax b T y s.a. c A T y K. (2.2) Surge-nos agora a questão da aplicabilidade da dualidade forte e fraca a estes probleas. Para a dualidade fraca, teos u teorea seelhante ao que se verifica na prograação linear. Teorea 2.1.1 (Dualidade Fraca). Se x for solução adissível de (2.1) e y solução adissível de (2.2) então c T x b T y. Noteos, e particular, que p p. Deonstração. Se x e y fore adissíveis para o prial e dual, respetivaente, teos c T x b T y = c T x y T Ax + y T Ax y T b = ( c T y T A ) x + y T (Ax b) 0, ua vez que ( c T y T A ) T K e x K, por definição de cone dual ve ( c T y T A ) x 0. Ao contrário da dualidade fraca, a dualidade forte uitas vezes exige condições adicionais coo as condições de Slater. Teorea 2.1.2 (Dualidade Forte co condições de Slater). Se o prial (2.1) (resp. dual (2.2)) for estritaente adissível, isto é, se for adissível quando substituíos K pelo seu interior nas restrições do prial (resp. K pelo seu interior nas restrições do dual) então p = p e o prial (resp. dual) te u otiizante. 2.1.2 Problea generalizado do oento O problea generalizado do oento (PGM) é u problea fundaental que surge co o propósito de dar resposta a probleas e uitas áreas da ateática aplicada e outras. No contexto desta

2.1 Problea generalizado do oento 5 dissertação, aparece co o objetivo de resolver o problea de encontrar liites para o preço de opções call europeias se ser assuido nenhu odelo para a dinâica do preço do ativo subjacente. De u odo geral perite-nos abordar probleas de otiização nu espaço de distribuições onde o integral de alguas funções é conhecido. Definição 2.1.2. Seja S u subconjunto de R n e M (S) o conjunto das edidas de Borel finitas e S. Definios o Problea generalizado do oento coo ρ = ax µ M (S) S s.a. S F dµ h j dµ = e j, j = 1,...,, onde e 1,...,e R e F,h 1,...,h são integráveis co respeito a qualquer µ M (S). Ua vez que ireos aplicar resultados de prograação cónica, tereos de reescrever o PGM coo u prograa de otiização cónico. Para isso, sendo e = (e 1,...,e ), considereos o cone (2.3) { } C(S) = (x 0,e) : x 0 = F dµ, e j = h j dµ, j = 1,..., para todo µ M (S). (2.4) S S Podeos então reescrever o problea (2.3) coo ρ = ax x 0 R x 0 s.a. (x 0,e) C(S). (2.5) Noteos que C(S) é u cone convexo as, e geral, não fechado. Assi, ireos considerar o problea de otiização sobre o seu fecho ρ = ax x 0 R x 0 s.a. (x 0,e) C(S). Este é u problea cónico. Atendaos que poderá acontecer que (2.6) tenha u axiizante quando e (2.5) o valor ótio não é atingido. No resultado seguinte apresentaos o cone dual de C(S). Lea 2.1.1. Considerando y = (y 1,...,y ), o cone dual de C(S) é P(S) onde P(S) := { (y 0,y) : y 0 F(x) + i=1 y i h i (x) 0, x S Deonstração. Ora o cone dual de C(S) é o eso que o cone dual de C(S), que é dado por { (y0,y) R +1 : (y 0,y) T (x 0,e) 0, (x 0,e) C(S) }. }. (2.6) Por definição de C(S), a condição (x 0,e) C(S) traduz-se por (x 0,e) = ( S Fdµ, S h jdµ, j = 1,...,, µ M (S)). Assi,

6 Preliinares C(S) = { (y 0,y) R +1 : y 0 S F dµ + y i i=1 S h i dµ 0, para todo µ M (S) }, ou seja, C(S) = { (y 0,y) R +1 : y 0 F(x) + i=1 y i h i (x) 0, para todo o x e S }. Reescrevendo o problea (2.6) na fora canónica do dual, ve ρ = ax x 0 R x 0 É siples agora construir o prial de ρ coo s.a. (0,e) ( 1,0,..,0)x 0 C(S). ρ = in i=1 e i y i s.a. ( 1,y) C(S) = P(S). (2.7) Aplicando a definição de P(S), veos que (2.7) é equivalente a ρ = in s.a. i=1 i=1 e i y i y i h i (x) F(x), x S, (2.8) problea a que chaareos PGM-D. Este problea passa por encontrar os coeficientes de peso ínio tal que a cobinação linear das funções h i co esses coeficientes seja u ajorante para F e S. Pela dualidade fraca, sabeos que ρ ρ as, para garantir a igualdade, é necessário que se verifique alguas condições, coo as condições de Slater apresentadas no Teorea 2.1.2. Noteos ainda que, se e vez do PGM original estivésseos interessados e teríaos coo dual o problea ρ = in µ M (S) S s.a. S F dµ h j dµ = e j, j = 1,...,, (2.9) ρ = ax s.a. i=1 i=1 e i y i y i h i (x) F(x), x S, (2.10)

2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável 7 e verificar-se-ia ρ ρ. Pretendeos agora verificar se existe dualidade forte entre (2.3) e (2.8) e tabé entre (2.9) e (2.10). Para isso, considereos o seguinte resultado. Proposição 2.1.1. Se as funções F(x) e h i (x), i = 1,...,, fore não negativas e S, então o problea (2.10) é estritaente adissível. Nessas condições teos ainda que o problea (2.8) é estritaente adissível se e só se for adissível. Deonstração. Coeceos por analisar o problea (2.10). O vetor nulo verifica as restrições pelo que este problea é sepre adissível. Então para qualquer λ = (λ 1,...,λ ) R +, o vetor λ é tabé adissível ua vez que F(x) 0 i=1 λ i h i (x), x S. Assi, coo R + está contido nos pontos adissíveis do problea e te interior não vazio, (2.10) é estritaente adissível. Pensando agora e (2.8) e aditindo que existe u y que verifica as restrições então y + R + é tabé adissível e, tendo interior não vazio, podeos concluir que o problea (2.8) é estritaente adissível. Podeos agora apresentar as condições de dualidade forte. Corolário 2.1.1. Se as funções F(x) e h i (x), i = 1,...,, fore não negativas e S, então os probleas (2.9) e (2.10) tê a esa solução. Teos ainda que, se (2.8) for adissível, então há dualidade forte entre (2.3) e (2.8). Deonstração. Basta recorrer às condições de Slater apresentadas no Teorea 2.1.2. 2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável Encontrar condições para que u polinóio seja não negativo é ua questão iportante na deterinação do liite dos preços de opções. Ela surge de ua fora natural porque, coo vios na secção anterior, o problea da deterinação dos liites para os preços leva a u problea de desigualdade entre funções. Quando se trata de polinóios de ua só variável esta questão torna-se siples, ua vez que basta verificar se é possível escrever os polinóios coo ua soa de quadrados (SDQ), isto é, basta verificar se existe polinóios q 1,...,q n R[x] tais que g(x) = n i=1 q i (x) 2, x R. Bertsias e Popescu apresenta e [1] condições para que u polinóio de ua variável e de grau par seja não negativo, usando étodos de prograação seidefinida, apresentadas seguidaente. É fácil verificar que, se u polinóio de ua variável puder ser escrito coo ua SDQ então é não negativo. A condição contrária tabé é verdadeira. Suponhaos que u dado polinóio é não negativo na reta real. Isto iplica que as raízes reais do polinóio tenha ultiplicidade par, digaos 2s l para cada raiz r l, ua vez que se a ultiplicidade fosse ípar, o sinal do polinóio udaria perto

8 Preliinares dessas raízes e o polinóio não seria não negativo. Sendo j a ultiplicidade das raízes coplexas e a j + ib j, a j ib j os pares conjugados dessas raízes, g pode ser escrito coo g(x) = c (x r l ) 2s l l j (x (a j + ib j )) j (x (a j ib j )) j. Obviaente que se g é não negativo então o coeficiente c tabé o é, logo podeos escrever c = ( ( ) c) 2 e (x (a j + ib j ))(x (a j ib j )) = (x a j ) 2 + b 2 j. Reescrevendo g obteos g(x) = ( c ) 2 (x r l ) 2s l l j ( (x a j ) 2 + b 2 j) j. Expandindo os teros, veos que g pode ser escrito coo ua SDQ obtendo o resultado seguinte. Teorea 2.2.1. U polinóio de ua variável é não negativo se e só se puder ser escrito coo ua SDQ. Tendo encontrado a relação entre a não negatividade de polinóios e as SDQ, procuraos agora relacionar a prograação seidefinida co o estudado. Suponhaos então que g é não negativo de grau 2n, logo é ua SDQ. Podeos escrever g à custa de ua atriz positiva seidefinida Q e dos vetores x n = ( 1,x,x 2,...,x n),q k = ( 1,q k 1,qk 2,...,qk n) onde os qi (x) se pode escrever coo q i T x n, i = 0,...,n. Ve então g(x) = n i=1 n q i (x) 2 = qi i=1( T ) n 2 x n = x T n q i q T T i x n = x n i=1 ( n T q i q i i=1 ) x n = x n T Qx n. (2.11) Por outro lado, se g se pode escrever coo (2.11) então obviaente que g(x) 0 para todo o x R, por definição de atriz positiva seidefinida. Obteos assi o resultado que associa prograação seidefinida e não negatividade de polinóios na reta real. Proposição 2.2.1. O polinóio g(x) = 2n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todo o x R se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida, tal que g(x) = x n T Qx n, ou seja, y r = i, j: i+ j=r q i j, r = 0,...,2n. (2.12) Ilustreos o que acabáos de estudar co u exeplo. Considereos o polinóio h(x) = x 4 + 2x 3 2x 2 6x + 5 cujo gráfico para x [ 5 2, 5 2] está presente na Figura 2.2. Podeos escrever este polinóio coo ua SDQ à custa da sua raiz real, x = 1, de ultiplicidade 2, e das raízes iaginárias x = 2 i, x = 2+i obtendo ( ) h(x) = (x 1) 2 (x + 2) 2 + 1 = ( x 2 + x 2 ) 2 + (x 1) 2.

2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável 9 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Fig. 2.2 Representação do polinóio h(x), x [ 5 2, 5 2]. Assi, o polinóio é não negativo e R e a atriz Q será dada por ( 2,1,1)( 2,1,1) T +( 1,1,0)( 1,1,0) T, isto é, [ ] 5 3 2 Q = 3 2 1. 2 1 1 Pretendeos agora verificar quando é que u polinóio é não negativo nu sub-intervalo de R. Coeceos por considerar o intervalo [a,b] onde a e b são dois núeros reais tais que a < b. Verificar se u polinóio g(x) = n r=0 y rx r é não negativo neste intervalo é o eso que verificar a condição seguinte ( 1 +t 2 ) ( n t 2 ) g a + (b a) 1 +t 2 0, t R. Noteos que coo t2 [0,1] então a + (b a) t2 [a,b] e a ultiplicação de g por (1 + t 2 ) n 1+t 2 1+t 2 garante que a expressão anterior seja u polinóio. Fazendo as operações e siplificações necessárias e usando o binóio de Newton, obteos ( 1 +t 2 ) ( n t 2 ) g a + (b a) 1 +t 2 = n l=0 ( l t 2l n l+ ( )( ) r n r y r )a r b. =0 r= l Aplicando agora a Proposição 2.2.1 obteos ua caracterização de não negatividade. Proposição 2.2.2. O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [a,b] se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l q i j = l =0 l = 1,...,n, n+ l ( r y r r= )( ) n r a r b, l l = 0,...,n. (2.13) Para u polinóio g(x) = n r=0 y rx r ser não negativo nu intervalo do tipo [0,a], onde a > 0, basta-nos garantir que ( 1 +t 2 ) n g ( at 2 1 +t 2 ) 0, t R.

10 Preliinares É de notar que at2 1+t 2 [0,a] e ais ua vez ( 1 +t 2) n garante que a expressão anterior seja u polinóio. Usando o binóio de Newton, facilente se prova que ( 1 +t 2 ) ( ) n at 2 g 1 +t 2 = n l=0 ( l ( ) n r t 2l y r )a r. r=0 l r Usando novaente a Proposição 2.2.1 obteos na proposição seguinte o resultado para este tipo de intervalo. Proposição 2.2.3. O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [0,a] se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l q i j = l r=0 l = 1,...,n, ( ) n r y r a r, l r l = 0,...,n. (2.14) Finalente estudareos as condições de não negatividade de polinóios e intervalos do tipo [a, [. Basta-nos garantir que g ( a ( 1 +t 2)) 0, t R. Noteos que a ( 1 +t 2) [a, [. Usando o binóio de Newton e siplificando ve g ( a ( 1 +t 2)) = n l=0t 2l ( n r=l y r( r l )a r ) Aplicando ais ua vez a Proposição 2.2.1 obteos a caracterização desejada.. Proposição 2.2.4. O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [a, [ se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l n r q i j = y r( r=l l l = 1,...,n, ) a r, l = 0,...,n. (2.15) Ilustreos esta últia proposição co u exeplo. Considereos o polinóio h 2 (x) = 2x 3 x 2 cuja representação gráfica para x [ 1 2,1] está presente na Figura 2.3. Quereos verificar se o polinóio h 2 é não negativo e [ 1 2, [. Ora, isto é equivalente a verificar se h 2 ( 1 2 ( 1 +t 2 )) = 1 4 ( 1 +t 2 ) 3 1 4 ( 1 +t 2 ) 2 1 = (t 2 ( 1 +t 2) ) 2 4

2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável 11 1 0,5 0-0,5-0,5 0 0,5 1 Fig. 2.3 Representação do polinóio h 2 (x), x [ 1 2,1]. é não negativo para t R. Este polinóio te coo raízes x = 0, x = i, x = i todas de ultiplicidade 2 podendo assi ser reescrito coo ua SDQ da fora seguinte 1 4 (t 2 ( t 2 + 1 ) 2 ) = t6 4 + t4 2 + t2 4 = ( t 3 2 ) 2 ( ) t 2 2 ( t ) 2 + +. 2 2 Assi, a atriz Q resulta de ( 0,0,0, 1 ) ( )( 2)( 0,0,0, 1 T T 2 + 0,0, 1 2,0 0,0, 1 ( 2,0) + 0, 1 2,0,0)( 0, 1 2,0,0) T, ou seja, 0 0 0 0 1 Q = 0 4 0 0 1 0 0 2 0. 1 0 0 0 4 Coo facilente se verifica, esta atriz verifica as condições dadas pela Proposição 2.2.4. q 01 + q 10 = 0, q 21 + q 12 + q 30 + q 03 = 0, q 32 + q 23 = 0, q 00 = 0, q 20 + q 11 + q 02 = 1 4, q 31 + q 22 + q 13 = 1 2, q 33 = 1 4. Para terinar esta secção deixaos ua breve nota sobre o caso ultivariado. Neste caso, a existência de soas de quadrados é apenas condição necessária para a não negatividade. Por esta razão, o estudo de ais de ua variável é ais delicado e está fora do âbito deste trabalho.

Capítulo 3 Liitar preços de opções 3.1 Introdução ao odelo teórico subjacente O objetivo deste capítulo é deterinar liites para o preço de ua opção call europeia co deterinado preço de exercício, considerando a inforação acerca dos oentos do ativo subjacente e os preços de outras opções sobre o eso ativo e co a esa aturidade. Aditireos daqui e diante que X é ua variável aleatória não negativa que representa o preço do ativo subjacente à opção que quereos avaliar na data de aturidade da esa. Vaos designar o preço da opção que quereos liitar por q e por k o seu preço de exercício. Assi, dado u k, assuindo que são conhecidos os prieiros oentos de X, e 1,...,e, e 0 = 1, e ainda possivelente preços de n opções sobre esse ativo co a esa aturidade, q 1,q 2,...,q n, cujos preços de exercício são 0 < k 1 <... < k n, respetivaente, estaos interessados e calcular liites para q(k). E teros da variável aleatória teos as seguintes restrições. 1. E[X i ] = e i, i = 0,...,; 2. E[ax(0,X k i )] = q i, i = 1,...,n. Aditios ainda que k 0 = 0 e q 0 = q(0) = E[ax(0,X 0)] = E[X]. Podeos definir u liite superior K para o preço do ativo X na aturidade da call. Isto é feito estabelecendo k n+1 = K e q n+1 = q(k) = 0. Caso contrário assuios siplesente k n+1 =. Coeceos por verificar quais os liites para o preço das calls que obteos quando consideraos apenas os oentos do ativo subjacente. 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Pretendeos nesta secção usar os oentos do ativo subjacente. Para verificar a validade dos dados, geralente sujeitos a uito ruído, é necessário averiguar quando é que u vetor é u vetor de oentos de algua variável aleatória. 13

14 Liitar preços de opções 3.2.1 Validade de u vetor de oentos Quereos deterinar se e = (e 0,e 1,...,e ), onde e 0 = 1, é passível de ser u vetor de oentos para ua distribuição não negativa. Este é conhecido coo problea do oento de Stieltjes truncado, u problea clássico da teoria das probabilidades. Quando se trata apenas de ua variável aleatória não negativa, Curto e Fialkow apresenta e [8] condições necessárias e suficientes que garante a validade u vetor de oentos. Antes de as apresentar, considereos algua notação necessária. Para j 0 e e 0,...,e 2 j+1 R, definios as atrizes de Hankel, A( j) e B( j), coo e 0 e j e 1 e j+1 A( j) =.., B( j) =.. e j e 2 j e j+1 e 2 j+1 e o vetor v(i, j) = [e i,,e i+ j ]. Teorea 3.2.1. Considereos + 2 núeros positivos e 0,...,e +1, 0, sendo g = +1 2,h = 2 +1, e A(g), B(h 1), v(g+1,g) e v(g+1,g 1) coo definidos acia. O vetor e = (e 0,...,e +1 ) C(R + ), isto é, existe ua edida de Borel positiva, µ, e [0, [ tal que t n dµ = e n (0 n + 1) e t +2 dµ < + se e só se A(g) 0, B(h 1) 0, v(g + 1,g) R(A(g)) se é par e v(g + 1,g 1) R(B(h 1)) se é ípar, onde A( ) 0 representa as atrizes positivas seidefinidas e R( ) é o espaço das linhas de ua atriz. Noteos que as condições deste teorea garante-nos que (e 0,e) pertence ao cone C(S) definido no capítulo anterior, satisfazendo assi o problea (2.5). No entanto, coo estaos interessados e resolver o problea (2.6) sobre C(S), basta-nos, para isso, ua relaxação do teorea anterior onde consideraos apenas as prieiras duas condições. Considereos, por exeplo, o vetor (e 0,e) = (1,1,1,2). Aplicando o Teorea 3.2.1 obteos A(1) = [ ] 1 1 1 1 0, B(1) = [ ] 1 1 1 2 0, [ ] v(2,1) 11. Ebora as duas prieiras condições se verifique sepre, a terceira nunca é satisfeita pois v(2,1) = (1,2) / (1,1) e portanto (e 0,e) / C(R + ). Considerando u ε que verifique 2 1 ε > 0, e ua pequena perturbação no vetor inicial, (e 0,e ) = (1,1,1 + ε,2), tereos as condições [ ] A(1) = 1 1 1 1 + ε 0, B(1) = [ ] 1 1 + ε 1 + ε 2 0, v(2,1) = [ ] 1 + ε 2 R 2. Estas três condições são sepre verificadas e por isso concluíos que o vetor perturbado, (e 0,e ) pertence a C(R + ). Assi, (e 0,e) C(R + ).

3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente 15 3.2.2 Liite superior Nesta secção o nosso objetivo é encontrar u áxio, se existir, sob todas as distribuições de X para E[ax(0,X k)] considerando as restrições dos oentos referidas anteriorente. Baseando-nos e Bertsias e Popescu [1], forulaos este problea da seguinte fora ρ = ax X E[ax(0,X k)] s.a. E[X i ] = e i, i = 0,1,...,. Considerando as distribuições associadas a X, este problea é equivalente a ρ = ax µ M (S) s.a. 0 0 ax(0,x k) dµ x i dµ = e i, i = 0,1,...,. (3.1) Coo facilente observaos, este é u caso do PGM onde S = R +, F(x) = ax(0,x k) e h i (x) = x i, i = 0,...,. Associaos a cada restrição de (3.1) as variáveis duais (w 0,...,w ) obtendo o problea ρ = in s.a. i=0 i=0 e i w i w i x i ax(0,x k), x R +. (3.2) Foi provado por Isii [9] que teos dualidade forte entre estes dois probleas, ou seja, ao resolver o problea anterior, obteos a solução de (3.1). De facto, recorrendo ao Corolário 2.1.1, verificaos que qualquer solução adissível de (3.2) é tabé solução de (3.1). Este facto deve-se a (3.2) ser adissível já que as funções ax(0,x k) e x i, i = 0,...,, são não negativas e R + e (w 0,w 1,...,w ) = (0,1,0,...,0), é ua solução possível pois x ax(0,x k) e R +. Podeos reescrever a região adissível de (3.2) obtendo i=0 i=0 Podeos ainda reagrupá-las obtendo as restrições w i x i 0, x [0,k], w i x i x k, x [k, [. i=0 (w 0 + k) + (w 1 1)x + w i x i 0, x [0,k], i=2 w i x i 0, x [k, [. (3.3) Coo facilente se constata, encontrar esta região passa por verificar a não negatividade de polinóios e dois intervalos diferentes. Para tal, recorreos ao estudado anteriorente na Secção 2.2 sobre não

16 Liitar preços de opções negatividade de polinóios univariados. Assi, pela Proposição 2.2.3, depreendeos que, para ser verificada a prieira condição, basta que exista ua atriz T = [t i j ] i, j=0,..., positiva seidefinida que verifique as condições seguintes. t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 0,...,. (3.4) Usando a Proposição 2.2.4 na segunda restrição de (3.3) verificaos que é necessário a existência de ua atriz Z = [z i j ] i, j=0,..., positiva seidefinida, que verifique z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l r z i j = w r( r=l l ) k r, l = 1,...,, r=2 r=2 w r k r, w r rk r, l = 2,...,. (3.5) Reunindo estas condições, obteos o resultado que nos dá o liite superior para o preço de opções calls europeias. Teorea 3.2.2. O liite superior para o preço de ua opção call europeia co preço de exercício k, dados os prieiros oentos do preço do ativo subjacente, e 1...,e, e e 0 = 1, é dado pela solução do seguinte problea de otiização seidefinido: in s.a. i=0 e i w i t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 1,...,, z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l T,Z 0. r z i j = w r( r=l l ) k r, r=2 r=2 w r k r, l = 0,...,, w r rk r, l = 2,...,, (3.6)

3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente 17 3.2.3 Liite inferior Tendo agora e vista a obtenção do liite inferior anteriorente referido, pretendeos encontrar o ínio, caso exista, para E[ax(0,X k)] sobre todas as distribuições e considerando as restrições dos oentos. Forulaos então o problea da seguinte fora. ρ = in µ M (S) s.a. 0 0 ax(0,x k) dµ x i dµ = e i, i = 0,1,...,. (3.7) Usando ua vez ais as variáveis w 0,w 1,...,w, obteos o problea dual. ρ = ax s.a. i=0 i=0 e i w i w i x i ax(0,x k), x R +. (3.8) Aplicando novaente o Corolário 2.1.1 verificaos que existe sepre dualidade forte entre estes dois probleas ua vez que ax(0,x k) e x i,i = 0,...,, são funções não negativas e R +. ou seja, A região adissível de (3.8) pode escrever-se coo ( i=0 w i x i ax(0,x k), x R +, i=0 (w 0 + k) + (w 1 1)x + w i x i 0, x [0,k], i=2 w i x i ) 0, x [k, [. Constataos que, para encontrar a região adissível de (3.8), é necessário recorrer de novo às condições de não negatividade de polinóios. Notaos ainda que estas são as condições siétricas das condições presentes e (3.3). Assi, para encontrar o liite inferior para o preço das opções, basta substituir no Teorea 3.2.2 a função objetivo pela sua siétrica e as últias restrições por T 0 e Z 0. Posto isto, obteos o teorea que se segue. (3.9) Teorea 3.2.3. O liite inferior para o preço de ua opção call europeia co preço de exercício k, dados os prieiros oentos do preço do ativo subjacente, e 1...,e, e e 0 = 1, é dado pela solução

18 Liitar preços de opções do seguinte problea de otiização seidefinido: in ( i=0e i w i ) s.a. t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 1,...,, z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l T,Z 0. r z i j = w r( r=l l ) k r, r=2 r=2 w r k r, l = 0,...,, w r rk r, l = 2,...,, (3.10) 3.2.4 Exeplos No que se segue serão ilustrados os resultados anteriorente expostos considerando dados reais referentes a u conjunto de opções onde o ativo subjacente é o índice S&P 500. Este é u índice coposto por quinhentos ativos (ações) cotado e bolsas norte-aericanas. Considerareos dois conjuntos de opções: u co início no dia 4 de janeiro de 2016 e co térino e 15 de janeiro do eso ano e outro co início tabé dia 4 de janeiro as co aturidade a 5 de fevereiro de 2016. Designareos estes períodos de tepo por 1 e 2, respetivaente. A inforação relativa aos preços das opções foi retirada do site https://datashop.cboe.co/ no dia 7 de janeiro de 2017. Os dados que analisareos referentes à evolução do ativo estarão enquadrados nu período de tepo igual ao tepo de vida da opção, terinando no dia anterior à transação da esa. Isto significa que entre 4 e 15 de janeiro de 2016, coo a bolsa esteve funcional durante 10 desses dias, ireos considerar os preços de fecho dos 10 dias úteis anteriores a esse período. O análogo será feito para o segundo período de tepo considerado. Coeceos por analisar os preços de fecho do índice durante o prieiro e segundo períodos, ilustrados na Figura 3.1. A inforação relativa à cotação de fecho do índice S&P 500 foi retirada do site https://finance.yahoo.co/ no dia 7 de janeiro de 2017. Ireos considerar os oentos epíricos do índice ua vez que não é objetivo desta dissertação aprofundar a previsão dos esos. Tabé não considerareos os custos de transação associados. Assi sendo, os resultados que obtereos serão afetados por esta ingénua aproxiação. Posto isto, os quatro prieiros oentos epíricos do índice referido acia são os presentes na Tabela 3.1. Na literatura encontraos fórulas para os liites do preço das calls quando teos inforação acerca dos prieiros dois e três oentos de X. Será portanto interessante coparar estas fórulas e os resultados obtidos coputacionalente pelos Teoreas 3.2.2 e 3.2.3.

Cotações de Fecho 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente 19 2120 2100 Cotações fecho 2º período Cotações fecho 1º período 2080 2060 2040 2020 2000 27/11 3/12 7/12 10/12 15/12 18/12 23/12 29/12 31/12 Data Fig. 3.1 Preços de fecho do índice S&P 500 para o prieiro e segundo períodos de tepo considerados. 1º Mo. 2º Mo. 3º Mo. 4º Mo. 1º Período de tepo 2047,50 4192688,33 8586293249,00 17585837282491,70 2º Período de tepo 2056,68 4230546,27 8703426348,00 17908016419078,30 Tabela 3.1 Moentos epíricos do índice S&P 500 entre os períodos considerados. Dois oentos Coeceos por fazer ua análise quando são considerados apenas os dois prieiros oentos. Tereos, prieiraente, de garantir que e = (1,e 1,e 2 ) é u vetor de oentos. Usando o Teorea 3.2.1 para = 1, g = 1, h = 1, veos que a prieira e segunda condições passa por garantir que as atrizes [ ] 1 e1 A(1) = e 1 e 2 e B(0) = e 1 seja positivas seidefinidas, isto é, que e 2 e 2 1, e 2 0 e e 1 0. A terceira condição do teorea é trivialente verificada ua vez que v(2,0) = e 2 e o espaço das linhas de B(0) é siplesente R. Para ua leitura ais siples, definios µ e γ coo sendo e 1 = µk, e 2 = e 2 1γ para u k positivo. O vetor de oentos passa a ser ( 1, µk, γ(µk) 2) e as condições anteriores resue-se na proposição seguinte. Proposição 3.2.1. Seja e = (1,e 1,e 2 ). Se definiros µ e γ coo e 1 = µk e e 2 = e 2 1γ, para u dado k positivo, então e é u vetor de oentos se e só se γ 1 e µ 0. Podeos encontrar e [10] ua fórula fechada dada por Lo para o liite superior quando são conhecidos apenas os dois prieiros oentos, e consequenteente, a édia e a variância do ativo subjacente. Bertsias e Popescu e [1] deonstra esta fórula através da resolução do problea (3.2), as por questões de notação, ireos apoiar-nos na forulação de Zuluaga [11] para a apresentar. Neste artigo encontraos a fórula considerando k = 1, sendo feito aqui o ajuste para u qualquer k positivo, que representa o preço de exercício da opção que estaos a avaliar.

20 Liitar preços de opções Teorea 3.2.4. Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2 ) e u dado k > 0, onde µ e γ verifica a Proposição 3.2.1, o liite superior para o preço de opções call europeias obtido pela resolução do problea (3.2) é dado por: ρ = k 2 ((µ 1) + ) (γ 1)µ 2 + (µ 1) 2 k ( ) µ 1 γ Para o liite inferior, teos o teorea seguinte. se µ 2 γ, se µ > 2 γ. Teorea 3.2.5. Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2 ) e u dado k > 0, onde µ e γ verifica a Proposição 3.2.1, o liite inferior para o preço de opções call europeias obtido pela resolução do problea (3.8) é dado por: ρ = k ax(µ 1,0). Noteos que apenas o prieiro oento te influência na fórula do liite inferior. Usando a inforação acerca dos oentos do índice S&P 500 nos dois períodos considerados, verificáos que os liites obtidos resolvendo o problea de otiização e as fórulas anteriores, fora os esos. Consultando as Tabelas 3.3 e 3.4 verificaos que os liites obtidos não se aproxia dos valores reais, o que era expectável. Isto deve-se ao uso dos oentos epíricos e ainda a outras siplificações coo a não consideração dos custos de transação. Três oentos Ireos agora analisar que fórulas se pode encontrar quando consideraos o terceiro oento. Ua vez ais, através do Teorea 3.2.1, obteos as condições para que e = (1,e 1,e 2,e 3 ) seja u vetor de oentos válido. A prieira condição que surge é A(1) 0, que foi analisada anteriorente. Esta reflete-se e garantir que e 2 e 2 1. Seguidaente tereos de verificar quando é que B(1) 0, isto é, [ ] e1 e B(1) = 2 0. e 2 e 3 Esta condição traduz-se por verificar quando é que e 1 e 3 e 2 2 e e 1,e 3 0. Por fi, deparao-nos co a condição de v(2,1) = (e 2,e 3 ) pertencer ao espaço gerado pelas linhas de A(1). Desta últia, surge dois casos: se a atriz A(1) é singular então e 2 = e 2 1 e a condição de v(2,1) estar no espaço das linhas de A(1) reduz-se a existir u t tal que v(2,1) = (e 2 1,e 3 ) = t(1,e 1 ) o que é equivalente a e 3 1 = e 3. Esta, por sua vez, é equivalente a e 1 e 3 = e 2 2 ; se a atriz A(1) é não singular então esta condição verifica-se sepre e teos ainda e 2 > e 2 1 o que iplica que a condição e B(1) seja e 1 e 3 e 2 2 e e 1 > 0. Assi, para que (1,e 1,e 2,e 3 ) seja u vetor de oentos não trivial, teos de garantir ua das duas condições seguintes: e 2 = e 2 1, e 1 0 e e 1 e 3 = e 2 2,

3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente 21 e 2 > e 2 1, e 1 > 0 e e 1 e 3 e 2 2. Coo anteriorente, usareos ua fora ais legível definindo µ,γ e β coo e 1 = µk, e 2 = e 2 1 γ e e 3 = βe 3 1 co k > 0. O vetor de oentos passa a ser ( 1, µk, γ(µk) 2, β(µk) 3) e resuios estas condições na proposição seguinte. Proposição 3.2.2. Seja e = (1,e 1,e 2,e 3 ). Se definiros µ,γ e β coo e 1 = µk, e 2 = e 2 1 γ e e 3 = βe 3 1, para u dado k positivo, então e é u vetor de oentos se e só se é verificada ua das duas condições seguintes 1. γ = 1, µ 0 e β = γ 2 2. γ > 1, µ > 0 e β γ 2. Sabendo agora coo garantir que u vetor de três oentos seja válido, analiseos as fórulas que podeos encontrar quando se verifica cada ua das condições anteriores. Novaente usareos os resultados de Zuluaga [11] apresentados seguidaente para u qualquer k real positivo. Considereos o prieiro caso da Proposição 3.2.2. Teorea 3.2.6. Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ) e u dado k > 0, onde µ, γ e β verifica a condição 1. da Proposição 3.2.2 o liite superior e inferior para o preço de opções call europeias é dado por ρ = ρ = k ax (µ 1γ ),0. Noteos que, para este caso, os liites superior e inferior coincide. Analiseos agora o segundo caso da Proposição 3.2.2. Teorea 3.2.7. Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ), onde µ, γ e β verifica a condição 2. da Proposição 3.2.2 e u dado k > 0, o liite superior para o preço de opções call europeias é dado por k in {a(µ,γ,β), b(µ,γ)}, ρ kb(µ,γ), ( ρ = k µ 1 ), se µ > 2 γ γ, se µ 2γ β se 2γ β < µ 2 γ, onde a(µ,γ,β) = b(µ,γ) = 1 2 32µ 1 2γµ+β µ (4β 2 µ 2 7γµ+3+ 1 2γµ+β µ 2 (4γµ 3)+ 1+8 1 2γµ+β µ 2 (1 1 2γµ+β µ 2 γµ) 1+8, 1 2γµ+β µ 2 1) 3 (4 1 2γµ+β µ 2 + ( ) (µ 1) + (γ 1)µ 2 + (µ 1) 2. ) Noteos que para µ > 2 γ teos o eso liite dado por Lo no Teorea 3.2.4. Coo verificaos, para µ 2 2γ γ apenas encontraos u ajorante para o liite superior e aqui, soente para µ β é que o terceiro oento traz algua elhoria, sendo este u caso pouco cou. Seguidaente apresentaos u exeplo deste caso.

22 Liitar preços de opções 2 Moentos 3 Moentos Fórulas 0,1837 0,1452 Prob. Opti. 0,1837 0,1441 Tabela 3.2 Liite superior obtido por dois étodos considerando dois e três oentos. Considereos o vetor de oentos e = (1,e 1,e 2,e 3 ) onde k = 3, µ = 0,8, γ = 1,1 e β = 1,3. Aplicando as fórulas anteriores, obteos os resultados presentes na Tabela 3.2. Verificaos que a adição do terceiro oento diinui o valor obtido usando apenas dois oentos para abos os étodos. Notaos ainda que o valor obtido pelas fórulas usando três oentos é u ajorante do valor que resulta do problea de otiização, coo era previsto. Averigueos agora o liite inferior para a segunda condição da Proposição 3.2.2. Teorea 3.2.8. Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ), onde µ, γ e β verifica a condição 2. da Proposição 3.2.2 e u dado k > 0, o liite inferior para o preço de opções call europeias é dado por: onde µ = k (µ 1) se µ µ, ρ = k (γµ 1)2 β µ γ se 1 γ < µ µ, 0 se µ 1 γ, 2(γ 1) (β γ) (β 3γ + 2) 2 + 4(γ 1) 3. Coo podeos aferir, a consideração do terceiro oento elhora o liite inferior para valores de µ a satisfazer 1 γ < µ µ. Considerando os dois exeplos referentes a opções sobre o índice S&P 500, podeos ver a influência do terceiro oento nas Tabelas 3.3 e 3.4. Coparando o segundo e terceiro oentos, para o prieiro período, notaos que apenas encontraos ua ligeira elhoria de 0,02 no liite inferior para k = 2030 e de 0,102 no liite superior para k = 2085. Para o segundo período considerado, encontraos ua elhoria nos liites superiores de 0,085, 0,133 e 0,137 para k = 2070, 2100 e 2140, respetivaente. Quatro oentos Ebora não seja conhecidas fórulas para o preço de opções quando são considerados os quatros prieiros oentos do ativo, podeos calculá-los co base na resolução dos probleas de otiização, coo anteriorente. Recorrendo ao Teorea 3.2.1, verificaos que as condições que torna e = (1,e 1,e 2,e 3,e 4 ) u vetor de oentos válido são A(2) 0, ou seja, 1 e 1 e 2 e 1 e 2 e 3 0, e 2 e 3 e 4 B(1) 0, analisada anteriorente, e v(3,1) = (e 3,e 4 ) pertencer ao espaço das linhas de B(1).

3.3 Inforação acerca dos preços de outras calls 23 As Tabelas 3.3 e 3.4 perite-nos observar as diferenças existentes quando consideraos o quarto oento e os esos conjuntos de dados apresentados nas subsecções anteriores relativos ao índice S&P 500. k=1875 k=1930 k=1970 k=2030 k=2085 L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. 2 Mo. 172,500 173,124 117,500 118,412 77,500 78,869 17,500 22,335 0 2,687 3 Mo. 172,500 173,124 117,500 118,412 77,500 78,869 17,502 22,335 0 2,585 4 Mo. 172,500 172,576 117,500 118,011 77,500 78,366 17,509 22,168 0 2,113 V. Real 125,40 90,60 51,50 14,75 2,65 Tabela 3.3 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o prieiro período de tepo. k=1995 k=2015 k=2070 k=2100 k=2140 L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. 2 Mo. 61,678 64,104 41,678 45,125 0 7,478 0 3,334 0 1,827 3 Mo. 61,678 64,104 41,678 45,125 0 7,393 0 3,201 0 1,690 4 Mo. 61,678 63,489 41,678 44,076 0,238 7,012 0 2,270 0 0,909 V. Real 44,70 42,30 14,00 6,80 1,73 Tabela 3.4 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o segundo período de tepo. Facilente se constata que, e abos os exeplos, a adição do quarto oento estreita o intervalo entre o liite inferior e superior principalente devido à diinuição dos liites superiores. Novaente, estes valores não são próxios dos valores reais. Coo já foi referido, dadas as siplificações assuidas e a aproxiação pelos oentos epíricos, tal era esperado. 3.3 Inforação acerca dos preços de outras calls Tendo agora e conta o preço de alguas opções co preços de exercício 0 < k 1 < k 2 <... < k n, procuraos novaente liitar o preço de ua outra opção sobre o eso ativo e co a esa aturidade das opções consideradas as co diferente preço de exercício, k. Considerareos que k, está entre k j e k j+1, isto é, k j < k < k j+1, j = 1,...,n 1. Lebreos que o preço de ua opção call europeia sob o ativo cujo preço é representado por X é dado por q(k) = E[ax(0,X k)], onde consideraos a taxa de juro e os custos de transação nulos. 3.3.1 Validade da função de avaliação do preço da opção Para o uso correto da inforação acerca dos preços de opções e consequente boa aplicação da teoria subjacente, surge-nos a questão de verificar se os preços observados no ercado são válidos.