Uiversidade Comuitária da Região de Chapecó Sistemas de Iformação $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ MATEMÁTICA FINANCEIRA (MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ Beo Nicolau Bieger Juro é o prêmio pela espera. Descoto é o preço da impaciêcia. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR)
2 UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ Área: Área de Ciêcias Exatas e Ambietais Curso: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO - Matriz 346 Período: 5 Compoete Curricular: MATEMÁTICA FINANCEIRA Carga horária: 72 h/a Professor: 10245 - Beo Nicolau Bieger PLANO DE ENSINO 1. EMENTA Regimes de capitalização de juros e descotos. Séries uiformes. Equivalêcia de Capitais. Tópicos de Aálise de Ivestimetos. 2. JUSTIFICATIVA A disciplia justifica-se pela ecessidade que o aluo tem em eteder as relações fiaceiras que evolvem a atividade profissioal bem como o uso diário como cidadão, dos cálculos matemáticos e fiaceiros. Aida justifica-se pela êfase empreededora que caracteriza este profissioal egresso da Uiversidade. 3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GERAL Aprofudar o estudo da matemática os coteúdos iiciais da matemática fiaceira, preparado o aluo para as trasações comerciais e fiaceiras. Preparar o futuro profissioal o domíio dos cálculos fiaceiros objetivado uma visão clara e sistêmica das relações fiaceiras do mudo do trabalho. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Iterpretar corretamete os problemas fiaceiros: juros, descotos, regimes de capitalização, periodicidade. - Idetificar corretamete as variáveis que evolvem cálculos fiaceiros. - Sistematizar as soluções para os problemas fiaceiros. - Usar adequadamete os istrumetos dispoibilizados para a solução de problemas fiaceiros. - Utilizar adequadamete os equipametos e ferrametas dispoibilizadas para a solução de problemas e cálculos fiaceiros. - Ter cohecimeto e capacidade de aalisar ofertas comerciais sob o efoque fiaceiro. - Ter capacidade e competêcia para efetuar reegociações fiaceiras etre pessoas físicas e jurídicas. - Ter uma visão clara e sistêmica das relações fiaceiras do mudo comercial e do trabalho. - Usar a lógica para a solução de problemas e situações iéditas as relações comerciais e fiaceiras. - Ter oções importates sobre a viabilidade ecoômica e fiaceira de empreedimetos. 4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO - Juros simples: Coceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do motate. - Juros compostos: Coceitos. Cálculo do Motate. Tabelas - Estudo de taxas: Nomial, proporcioal, média, acumulada, efetiva, equivalete, real. - Descotos simples: Coceito. Descoto comercial ou por fora ; cálculo do valor atual. Descoto racioal ou por detro ; cálculo do valor atual. Comparação de descoto comercial e racioal. - Descotos compostos. Coceitos. Descoto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Descoto composto Bacário. Cálculo do Valor Atual.
3 - Séries Uiformes: Classificação. Cálculo do valor atal, do motate e da prestação de séries atecipadas, postecipadas e diferidas. Séries perpétuas: Cálculo do valor atual, da prestação e da taxa. Equivalêcia de capitais diferidos: permuta de títulos, formação de fudos, alogameto de dívidas. - Tópicos de Aálise de Ivestimetos (coceitos, métodos, aplicações). 5. METODOLOGIA 5.1 Aulas expositivas 5.2 Solução idividual e coletiva de problemas e exercícios. Estudos de Casos. Estudo e solução dos aspectos fiaceiros de aúcios comerciais. 5.3 Pequeos grupos para trabalhos e solução de problemas. 6. CRONOGRAMA (proposto) Aula Coteúdo programado Obs 1ª Discussão do Plao de Esio. Exercício de verificação de cohecimetos. Revisão dos coteúdos ecessários à disciplia. 2ª Juros simples: Coceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do motate. Exercícios. 3ª Juros compostos: Coceitos. Cálculo do Motate. Exercícios. 4ª Estudo de taxas. Exercícios 5ª Descotos simples: Coceito.Descoto comercial ou por fora; cálculo do valor atual. Descoto racioal ou por detro; cálculo do valor atual. Exercícios 6ª Descotos compostos: Coceitos. Descoto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 7ª Descoto composto Bacário. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 8ª Avaliação G1 9ª Séries uiformes. Coceitos. Classificação. Séries postecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Séries atecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Exercícios. 10ª Séries perpétuas. Cálculo do valor atual. Cálculo da prestação. Séries diferidas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Motate. Exercícios. 11ª Aula de Exercícios. 12ª Equivalêcia de capitais com capitalização composta. Exercícios. 13ª Equivalêcia de capitais com capitalização composta. Exercícios. 14ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos 15ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Fiaciametos 16ª Avaliação G1. 17ª Revisão. Exercícios. 18ª Avaliação G2. 19ª Avaliação G3. Data da Aula Dia da Hora Semaa Iicial Hora Fial 19/02/2013 Terça-Feira 19:00 19/02/2013 26/02/2013 Terça-Feira 19:00 26/02/2013 05/03/2013 Terça-Feira 19:00 05/03/2013 12/03/2013 Terça-Feira 19:00 12/03/2013 Obs
4 19/03/2013 Terça-Feira 19:00 19/03/2013 26/03/2013 Terça-Feira 19:00 26/03/2013 02/04/2013 Terça-Feira 19:00 02/04/2013 09/04/2013 Terça-Feira 19:00 09/04/2013 16/04/2013 Terça-Feira 19:00 16/04/2013 23/04/2013 Terça-Feira 19:00 23/04/2013 30/04/2013 Terça-Feira 19:00 30/04/2013 14/05/2013 Terça-Feira 19:00 14/05/2013 21/05/2013 Terça-Feira 19:00 21/05/2013 28/05/2013 Terça-Feira 19:00 28/05/2013 04/06/2013 Terça-Feira 19:00 04/06/2013 11/06/2013 Terça-Feira 19:00 11/06/2013 18/06/2013 Terça-Feira 19:00 18/06/2013 25/06/2013 Terça-Feira 19:00 25/06/2013 7. AVALIAÇÃO 7.1 Preseça, participação e exercícios em sala de aula. 7.2 - G1: (três otas compõem a G1) Duas avaliações em sala de aula sobre os coteúdos parciais mais uma G1 composta de mii avaliações de uma questão o fial de cada aula (a soma destas mii avaliações será a 3a. ota G1). - G 2 - Uma, com coteúdo cumulativo, coforme as orietações/ormas da Istituição. 7.3 Exames - G3 - para aqueles aluos que ão alcaçarem a potuação ormatizada pela Istituição. 7.4 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO - Participação as discussões, debates, e trabalhos idividuais ou em grupo. - Solução dos problemas e exercícios (itra e extra classe) propostos. 8. REFERÊNCIAS 8.1. Referêcia Básica * CARVALHO, Thales Mello. Matemática comercial e fiaceira: complemetos de matemática. 5. ed. Rio de Jaeiro: FENAME, 1980. 438 p. * FRANCISCO, Walter de. Matemática fiaceira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991-1993. 319 p. ISBN 85-224-0707-X. * PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fiaceira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 440 p. ISBN 85-02-02719-0 8.2. Referêcia Complemetar * CASAROTTO FILHO, Nelso; KOPITTKE, Bruo Hartmut. Aálise de ivestimetos. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 458 p. : ISBN 8522425728 * MATHIAS, Washigto Fraco; GOMES, José Maria. Matemática fiaceira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2002. 455 p. ISBN 8522431043 * SHINODA, Carlos. Matemática fiaceira para usuários do excel 5.0. São Paulo: Atlas, 1998. 167 p. ISBN 85-224-1837-3 * TOSI, Armado José. Matemática fiaceira com utilização do excel 2000: aplicável às versões 5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2000. 218 p. ISBN 8522424373 * ZDANOWICZ, José Eduardo. Orçameto de capital: a decisão de impacto. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 1990. 240 p. 9. OBS PROFESSOR Seguido a possibilidade prevista a Resolução CONSUN 144/08, poderá ser aplicado trabalho acadêmico efetivo uiversitário extra classe, coforme carga horária prevista a legislação.
5 "Muitos pesam que sabem; poucos sabem que ão sabem; quem sabe, sabe que sabe muito pouco". Alexadre Caalii AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA Nota: Questão Solução Gabarito a. 12 + 7 x 2 b. 10 5 x 2 c. 2 x 4 1 d. 4 1 2 e. 360 12 x 0,5 f. 30 12 2 g. 1 0,5 x 3 h. 5/8 4/5 x 2 3 i. 2 3 + 7 2 1/3 j. log 1,75 l 1,75 k. log (32/16) l. log 32 / log16 m.. 5 2 + 360 30 o. 5 2 + (360/30) 1/2 p. 0,5-8,3333. 0,5 2 q. (1 0,5 2 ) 2 r. (1 0,25.2) 2 s. Qual é o iverso de 54? t. Qual é o valor da costate "e"? 3 / 5 u. 3/ 5 3 / 5 v. 5/3 360 + 30 2 5 x. Calcular a área do triâgulo retâgulo Hipoteusa = 5m m 2 Cateto base = 3m
6 JUROS SIMPLES $ Quato vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quato valerá, em um futuro cohecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas cotraídas a compra de bes acabam ficado maiores do que o valor do próprio bem? Coceitos de juros - Juro é a remueração do capital. - Juro é uma compesação em diheiro pelo uso de um capital fiaceiro, por determiado tempo, a uma taxa previamete combiada. Juro é o prêmio pela espera. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR) Juro simples é um artifício matemático para simplificar o cálculo de juros compostos. O juro é simples quado é produzido uicamete pelo capital iicial. Em todos os períodos cosiderados, o valor será sempre igual. Cálculo de juros simples ( j ) Calcula-se o juro (j) multiplicado-se o capital (C ou PV) com a taxa (i) e com o úmero de períodos () cosiderado, ou seja: j = C. i. ou j = PV. i. É importate lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% etra esta fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2 e assim sucessivamete. Este procedimeto será adotado em todas as fórmulas aqui abordadas. Um procedimeto imprescidível é trabalharmos sempre com as mesmas uidades em todos os cálculos, ou seja: se a taxa for aual o úmero do período deve ecessariamete ser em aos; se for mesal, os períodos serão em meses; se a taxa for diária, os períodos serão em dias e assim por diate. Exemplo : Determiar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durate oito meses a uma taxa de 18% a.a. Temos: C = 2.000 i = 18 / 12 meses/ 100 = 0,015 = 8 meses j = C i j = 2.000 x 0,015 x 8 j = 240,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: 2000 x 18 12 100 x 8 = (e o visor aparecerá 240,00) Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 i 8 30 x f INT Obs: Na HP a taxa utilizada sempre deverá ser aual e o período sempre em dias. Cálculo do Motate (C ) Chama-se de Motate (C ou FV) o capital somado aos seus juros produzidos.
Se C = C + j e j = C.i. etão C = C + C.i. e colocado-se o C em evidêcia teremos C = C. ( 1 + i. ) ou PV.( 1 i. ) Exemplo : Calcular o Motate do exemplo aterior. 1ª Solução 2ª Solução C = 2.000 + 240 C = 2.000 ( 1 + 0,015 x 8 ) C = 2.000 x 1,12 C = 2.240,00 C = 2.240,00 7 FV = + Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: (Dado seqüêcia ao cálculo do juro simples) 2000 x 18 12 100 x 8 = 240,00 + 2.000 = 2.240,00 Na HP 12C basta teclar + (após o cálculo dos juros) e aparecerá o visor o Motate. ou seja 2000 CHS PV 18 i 240 f INT + Quado parecia que ada iria acotecer, uma ovidade aparece; e o mudo se trasforma. Este é o mometo propício para você apreder que sempre é possível ir além do que pesaria poder. (Aôimo)
8 EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 1. Calcular os juros de um capital de R$ 1.500,00, à taxa de 24% ao ao, durate um ao e três meses. 2. Um capital produziu juros de R$ 32,00 em cico meses a 7,5% ao semestre. Qual foi o capital? 3. A que taxa mesal o capital de R$ 3.200,00 produzirá o motate de R$ 4.184,00 em trezetos dias? 4. O capital de R$ 840,00 redeu R$ 120,00 de juros, à taxa de 10% ao ao. Qual foi o tempo da trasação? 5. Você aplicou em uma istituição fiaceira um valor equivalete a R$ 13.200,00 que proporcioou um motate de R$ 15.758,16 à uma taxa mesal 5,7%. Qual foi o tempo de aplicação? 6. O seu pai aplicou em sua cota um capital de R$ 1.200,00 que redeu R$ 450,80 de juros aplicado à uma taxa mesal 7%. Qual foi o tempo desta aplicação? 7. Você como gerete fiaceiro de sua empresa aplicou um capital de R$ 3.450,00 a uma taxa aual de juros de 37% por um trimestre. Qual o motate produzido? 8. Qual será o motate de uma aplicação de R$ 735,00 à taxa de 0,5% ao mês durate 135 dias? 9. Um determiado capital produziu o motate de R$ 5.789,00 aplicado a uma taxa de 1,41% ao mês durate sete trimestres. Qual foi o valor da aplicação? 10. Um capital aplicado o mercado fiaceiro triplicou de valor em dois aos três trimestres e meio mês. Qual foi a taxa aual desta aplicação? 11. Um capital triplicou de valor aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Qual foi o tempo desta aplicação? 12. Você aplica R$ 30.000,00 por quatro aos a poupaça que rede 0,5% ao mês (liquido). Quato terá o fim deste período? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 450,00 R$ 512,00 3,075% a.m. 1 ao, 5 meses e 4 dias 3 meses e 12 dias 5 meses e 11 dias 7 8 9 10 11 12 R$ 3.769,13 R$ 751,54 R$ 4.466,48 71,64% a.a. 3 aos e 4 meses R$ 37.200,00 A úica seguraça que o homem pode ter a sua vida é sua reserva de cohecimeto. (Hery Ford)
9 JUROS COMPOSTOS Relembrado: $ Quato vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quato valerá, em um futuro cohecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas cotraídas a compra de bes acabam ficado maiores do que o valor do próprio bem? Coceitos de juros - Juro é a remueração do capital. - Juro é uma compesação em diheiro pelo uso de um capital fiaceiro, por determiado tempo, a uma taxa previamete combiada. Coceito de juros compostos Juro composto é a trasação fiaceira em que um capital é aplicado por diversos períodos, mas, a cada ovo período, os juros produzidos o período aterior são icorporados ao capital para o cálculo dos juros do ovo período. Pelo coceito acima se percebe que, o primeiro período, os juros simples e os compostos são os mesmos, pois ão há capitalização. Coclui-se também que a formação do motate com juros simples é liear apresetado o comportameto de uma progressão aritmética (PA) ao passo que, com juros compostos é expoecial, apresetado o comportameto de um progressão geométrica (PG). Cálculo do Motate em juros compostos (C ou FV) fórmula: O Motate é a soma do juro (j) com o capital (C ou PV). Extrapolado este coceito para períodos chega-se à seguite C = C. ( 1 + i ) ou FV = PV.( 1+ i) É extremamete importate estar ateto para o regime de capitalização. Se a capitalização for aual, as variáveis (úmero de períodos) e i (taxa) devem ecessariamete estar expressas em aos. Se a capitalização for mesal, devem estar expressas em meses, e assim por diate. Também é importate lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% etra a fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2, etc, como visto em juros e descotos simples. Exemplo: Determiar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durate dois aos a uma taxa de 18%a.a., capitalizado trimestralmete. Temos: C = 2.000 k = trimestral = 2 aos x 4 = 8 trimestres i = 18 / 4 trimestres/ 100 = 0,045 C = C. ( 1 + i ) C = 2000 (1+ 0,045) 8 C = 2000(1,422100613) C = 2.844,20 Como: j = C - C Teremos: j = 2.844,20 2.000,00 j = 844,20 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: 2000 x (1 +0,045)8 y x = (o visor aparecerá) 2.844,20 2000 = 844,20 Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 4 i 2 4 x FV 2000 (o visor aparecerá) 844,20
10 Capitalização cotíua Matematicamete pode-se imagiar uma capitalização aida mais itesa do que a diária. A essa capitalização chamamos de cotíua. A fórmula desevolvida para calcular o motate é: C = C.(e) i. ode e é uma costate matemática de valor igual a 2,718281828. Obs: Neste caso específico as variáreis i e também devem estar expressas a mesma periodicidade (ão importado qual). ESTUDO DE TAXAS 1. Taxa Nomial é a taxa de juros expressa os cotratos ou documetos. Normalmete é aual. Não sigifica que a capitalização deva ser desta periodicidade. Ex.; 10% a.a., 18% a.a. 2. Taxas proporcioais é a mesma taxa de juros expressa em períodos diferetes, mas guardado a proporcioalidade etre si. Por ex.: 24% ao ao é proporcioal a: 12% ao semestre, que é proporcioal a 6% ao trimestre, que é proporcioal a 4% ao bimestre, que é proporcioal a 2% ao mês e vice e versa. 3. Taxa Acumulada de juros Quado se tem um determiado capital aplicado por diversos períodos a taxas (i 1, i 2...i ) diferetes (ou ão) em cada período, a taxa capitalizada resultate pode ser expressa com a seguite fórmula: i ac = [( 1 + i1 ).(1 + i2 )...(1 + i ) 1].100 Por ex: Um capital permaeceu aplicado por períodos iguais às seguites taxas: 2,1%, 1,9%, 3,4% e 2,6%. Qual foi a taxa acumulada? i ac 1 1.1 1 = [(1 + 0,021).(1 + 0,019).(1 + 0,034).(1 + 0,026) i ac = [( 1,021).(1,019).(1,034).(1,026) 1].100 1].100 i = [( 1,103742653 ) 1].100 i = 10,3743 % ac ac 4. Taxa média de juros Para saber a taxa média de juros de um determiado período tora-se ecessário calcular primeiro a taxa acumulado (item aterior) e depois extrair a raíz desta taxa ecotrada. É expressa com a seguite fórmula: i = Para o mesmo exemplo do item aterior, teremos: [ ( 1 + i ) ac 1 ]. 100 i = [ 4 (1 + 0,103742653 ) 1].100 i = [ 4 (1,103742653 ) 1]. 100 i = ( 1,024983694 1).100 i = 2, 4984 % 5. Taxas equivaletes Quado se tem a ecessidade de saber qual foi a taxa que produziu determiada taxa capitalizada, extrai-se a raíz desta taxa (expressa em um período maior). O procedimeto e a fórmula são similares aos da taxa média. Por ex: Qual é a taxa mesal equivalete a 30% ao ao?
i eq 11. = [ (1 + i) 1].100 i eq. = [ 12 (1 + 0,30) 1].100 i eq. = [ 12 (1,30 ) 1]. 100 i = (1,022104451 1).100 i eq = 2,2104%. a.. eq.. m 6. Taxa efetiva Quado se quer saber a taxa capitalizada de um cotrato ou documeto, o cálculo a efetuar é semelhate ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se (1+i) tatas vezes quatas forem os períodos de capitalização cotidos o período maior que se quer saber. Por ex: Qual é a taxa aual efetiva de 3% ao mês? i ef i i ef ef. = [(1 + i) 1].100 = [(1 + 0,03) 12. 1].100. = [(1,425760887) 1].100 i ef. = 42,5761 %. a. a. 7. Taxa real de juros Normalmete os valores resultates das aplicações estão embutidas as taxas da iflação do período. Para se expurgar a iflação, ou saber qual a taxa que efetivamete remuerou o capital procedemos da seguite maeira aplicada ao exemplo. Ex: Uma aplicação redeu em um determiado período 7,3%. Qual foi a taxa real de juros, sabedo que a iflação do mesmo período foi de 4%? Da fórmula : ( 1 + i ) = (1 + i real ).(1 + iif lação ) pode-se deduzir: (1 + i) 1. 100 1 if ) i real = + i lação i real (1 + 0,073) = 1.100 1 0,04) + i real = ( 1,031730769 1).100 i real = 3,1731% Essa crise ão passa de uma maroliha. (Presidete Lula, em outubro/08, desdehado o vedaval fiaceiro que se aproximava.)
12 EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS E TAXAS 1. Você empresta para seu colega R$ 1.000,00. Quato ele lhe devolverá o fim de três aos, à taxa de 16% a ao, sedo que vocês combiaram que a capitalização seria semestral? 2. Qual será o redimeto de R$ 2.000,00 o fim de dois aos e meio, a 20% ao ao capitalizados trimestralmete? 3. Você aplicou o capital de R$ 1.500,00 a 12%a.a. durate quatro aos. Qual foi o motate produzido? 4. Uma aplicação de R$ 1.000,00 produziu um motate de R$ 1.695,88 em três aos. Qual foi a taxa trimestral de juros desta aplicação? 5. Em quato tempo um capital dobrará de valor se for aplicado a 18% a.a., capitalizado trimestralmete? 6. Determiar o motate de R$ 1.200,00 o fim de quatro aos, a 12% a.a., capitalizado mesalmete. 7. Qual é a taxa aual de juros que, capitalizada semestralmete, faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$ 2.000,00 de juros em três aos e seis meses? 8. Durate quato tempo um capital de R$ 2.500,00 produzirá R$ 1.484,62 de juros, a 24% a.a. capitalizado trimestralmete? 9. Dois capitais que somam R$ 11.000 foram aplicados em istituições fiaceiras diferetes. O primeiro capital foi colocado a 20% a.a., capitalizado trimestralmete e o outro foi colocado a 18% a.a. capitalizado mesalmete. No fim de três aos e ove meses produziram juros iguais. Quais foram esses capitais? 10. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizado trimestralmete e o restate, a 20% a.a. capitalizado semestralmete. No fim de dois aos e seis meses retirou o motate de R$ 2.061,88. Qual foi o capital aplicado? 11. Uma istituição fiaceira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmete. Qual é a taxa efetiva? 12. Qual é a taxa trimestral de juros equivalete a 22% a.a.? 13. Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa aual efetiva? 14. Qual é a taxa mesal de juros equivalete a 20% a.a.? 15. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durate um ao e três meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês, os juros produzidos seriam R$ 69,58 maiores. Qual foi a taxa da aplicação? 16. Você empresta para seu colega um capital equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 35% a.a. e a capitalização mesal, qual será o redimeto (juros) após quihetos e dez dias? 17. Você aplicou em uma istituição fiaceira um determiado valor. Após ove meses e quize dias você retirou um motate igual a R$ 5.321,00. Qual foi o capital aplicado se a taxa que a istituição paga é de 22,80% a.a. e a capitalização foi cotíua?
18. Você aplica o seu diheiro a 7% ao mês. Qual é a taxa aual efetiva de juros? 13 19. Você aplicou um determiado valor por vários períodos iguais e com taxas diferetes de juros. No primeiro período a taxa foi de 1,88%. No período seguite você obteve uma taxa 20% meor que aquela. Num terceiro período a taxa foi apeas 10% meor do que a primeira e, o último período a taxa foi 15% maior do que a primeira. Cosiderado que os períodos foram iguais, qual foi a taxa acumulada de juros? 20. Você aplicou em uma istituição fiaceira um capital equivalete a R$ 5.235,00. Após duzetos e seteta dias você retirou um motate 35% maior do que este capital. Qual foi a taxa aual proporcioal que a istituição pagou se a capitalização foi mesal? 21. Você fez uma aplicação fiaceira por sete meses e obteve um redimeto de 15%. O Baco Cetral divulga que, este mesmo período, a iflação alcaçou 6,43%. Qual foi o seu redimeto real esta aplicação? 22. você fez uma aplicação fiaceira para dez meses. A taxa mesal da trasação foi de 1,47%. Qual foi a taxa efetiva desta aplicação? 23. Você fez uma aplicação fiaceira por ove meses e obteve um redimeto de 9,34%. O Baco Cetral divulga que, este mesmo período, a iflação alcaçou 6,43%. Qual foi o seu redimeto real esta aplicação? 24. Você está exercedo a fução de caixa de uma loja de eletroeletrôicos. À sua frete está um cliete reegociado um carê de compras que está atrasado em quatro meses e a quita prestação vece hoje. O valor de cada prestação é de R$ 93,75. A taxa aual que a loja pratica é igual sesseta porceto. Para prestações atrasadas há uma multa de 3% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliete deve pagar para deixar o seu carê em dia? 25. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 19,37% a.a. capitalizado trimestralmete, 1/3 deste mesmo capital à taxa taxa aual igual a 19% mas, capitalizado mesalmete, e o restate, a 21,33% a.a. capitalizado semestralmete. No fim de dois aos e meio retirou o motate equivalete R$ 9.152,00. Qual foi o capital aplicado? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 1.586,87 R$ 1.257,79 R$ 2.360,28 4,5% ao trimestre Três aos, 11 meses e 7 dias. R$ 1.934,67 7 8 9 10 11 12 13 17,52% a.a. 2 aos C 1= 5.162,62 e C 2= 5.837,38 R$ 1.323,07 26,24% a.a. 5,097% ao trimestre 19,56% a.a. 14 15 16 17 18 19 1,5309% a.m. 5% ao trimestre R$ 778,37 R$ 4.442,25 125,22% a.a. 7,4356 % 20 21 22 23 24 25 40,69% a.a 8,0522% 15,7115% 2,7342% 494,28 5.654,71 A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, trasformam-se se em oportuidades. (Maxwell Maltz)
14 DESCONTOS SIMPLES Coceito - Descoto é o abatimeto (em diheiro) que um determiado título sofre quado é resgatado ates do seu vecimeto. Descoto é o preço da impaciêcia. (Prof. Rochadelli PPGEF/UFPR) Descoto Comercial ou por fora (d) - equivale aos juros simples, ode a fórmula substituímos o capital (C) pelo valor omial do título (N ou FV). Assim teremos: d = N. i. d = FV. i. Exemplo : Uma Nota Promissória de valor omial equivalete a R$ 1.800,00 foi resgatada dois meses ates do seu vecimeto à taxa de 24% a.a. Qual foi o descoto? Dados : N = 1.800 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 2 d = N. i. d = 1.800 x 0,02 x 2 d = 72,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: 1.800 x 24 12 100 x 2 = 72,00 Na HP 12C teclar: 1800 CHS PV 24 i 60 f INT Obs.: A taxa utilizada sempre deverá ser aual e o período em dias. (Mesmo procedimeto dos juros simples). Valor Atual ou Valor Presete (A ou PV) - O valor atual de um título é o seu valor omial meos o descoto. Se A = N - d e d = N i etão A = N - N i Colocado N em evidêcia teremos etão A = N ( 1 - i ) Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo aterior. 1ª solução 2ª solução A = N - d A = 1.800-72 A = 1.728,00 Nas calculadoras comus ou cietíficas basta teclar: A = N ( 1 - i ) A = 1.800 ( 1-0,02 x 2 ) A = 1.800 x 0,96 A = 1.728,00 (Dado seqüêcia ao cálculo do descoto simples basta dimiuir o valor do título) 1.800 x 24 12 100 x 2 = 72,00-1.800 = -1.728,00 Na HP 12C basta teclar (após o cálculo dos descotos) e aparecerá o visor o Valor Atual.
15 Descoto Racioal ou por detro (d ) - O descoto racioal é equivalete ao juro simples calculado sobre o valor atual de um título. Por esta defiição teríamos: d = A. i. Substituido e isolado as icógitas teremos: N. i. d' = 1+ i. Exemplo : Calcular o descoto racioal do exemplo aterior. Temos : N = 1.800 i = 0,02 d = 1.800. 0,02. 2 1 + 0,02. 2 = 2 d = 72. = 69,23 1,04 Obs.: Cocluímos facilmete que o descoto racioal será sempre meor do que o descoto comercial. Nas calculadores cietíficas, após o cálculo do descoto comercial ou por fora cotiuamos teclado : ( 1 + 24 12 100 x 2 ) = 69,23 Valor Atual ou Valor Presete Novamete temos o mesmo raciocíio : O valor atual é o valor do título meos o descoto. A = N - d Substituido d pelo seu valor e trasformado a fórmula chegaremos a : Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo aterior. N A = 1+ i. A = N - d A = 1.800-69,23 A = 1.730,77 1ª solução 2ª solução A =. 1.800. 1 + 0,02. 2 A = 1.800 = 1.730,77 1,04 Na calculadora cietífica basta dimiuir o descoto calculado acima do valor do título ou, fazedo toda a operação: 1800 ( 1 + 24 12 100 x 2 ) = 1.730,77 Na HP 12C teclar: 1800 Eter 1 Eter 24 Eter 12 100 2 x + Siga em frete, corajosamete, porque a vitória sorri somete àqueles que ão param o meio da estrada.
16 EXERCÍCIOS DESCONTOS SIMPLES Obs: Os exercícios de 1 a 8 são trascritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p. 36-37) 1. Qual o descoto comercial de uma duplicata de valor omial equivalete a R$ 220,00, resgatada três meses ates do vecimeto, à taxa de 18% ao ao? 2. Uma ota promissória cujo valor de face é de R$ 860,00 foi paga três meses e quize dias ates do vecimeto com descoto comercial de 1,5% ao mês. Qual o valor do resgate? 3. O valor Atual (Presete) de um título, pelo descoto comercial de 2% ao mês, cico mêses ates do vecimeto, é igual a R$ 720,00. Qual será o valor atual desse título se o descoto for racioal? 4. A difereça etre os descotos comercial e racioal de um título para quatro meses, à taxa de 18% ao ao, é de R$ 3,40. Qual o valor omial do título? 5. Um título de valor omial igual a R$ 315,00 para oveta dias deverá ser quitado hoje jutamete com outro para ceto e ciqüeta dias cujo valor omial é igual a R$ 477,80. Calcular o valor que será desembolsado por esta quitação se a taxa de descoto comercial que evolve a trasação é de 2,5% ao mês. 6. Você tem uma dívida de R$ 560,00 e que você pretede pagar atecipadamete em 75 dias. A taxa que evolve a trasação é 1,99% a.m. Qual será o valor do resgate pelo descoto racioal? 7. Você tem uma dívida que foi resgatada por R$ 560,00 com 75 dias de atecedêcia. A taxa que evolveu a trasação foi de 1,99% a.m. Qual era o valor do título se o descoto foi comercial? 8. Uma Letra de Câmbio de valor omial igual a R$ 2.500,00 foi resgatada dois meses e dezesseis dias ates do vecimeto a uma taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor do resgate: a) Pelo descoto comercial. b) Pelo descoto racioal. 9. Você tem uma dívida de R$ 860,00 e que você pretede pagar atecipadamete em 45 dias. A taxa bimestral que evolve a trasação é 2,5%. Qual será o valor do resgate: a) pelo descoto comercial; b) pelo descoto racioal? 10. A difereça etre os descotos comercial e racioal de um título para ceto e trita dias, à taxa de 21,80% ao ao, é de R$31,54. Qual o valor omial do título? 11. A difereça etre o descoto comercial e racioal é igual a R$ 77,55. Qual é o valor do título sabedo-se que a taxa da trasação foi de 37%a.a., o vecimeto é para ceto e quize dias? 12. A difereça etre os valores de resgate pelo descoto comercial e racioal é igual a R$ 117,55. Qual é o valor do título sabedo-se que a taxa da trasação foi de 37,35%a.a., o vecimeto é para quize meses? 13. Você tem em mãos as duplicatas abaixo para serem descotadas o Baco BCB. A taxa que o baco oferece hoje é de 19%a.a Complete a plailha:
17 Duplicata Valor (em R$) Vecimeto (em dias) Descoto (em R$) Valor do Resgate (em R$) 01 129,75 37 02 347,50 23 03 297,55 41 04 411,50 18 Total RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 9,90 R$ 814,85 R$ 727,27 R$ 1.001,11 R$ 709,45 R$ 533,46 7 8.a 8.b 9.a 9.b R$ 589,32 R$ 2.329,00 R$ 2.339,95 R$ 843,88 R$ 844,17 10 11 12 13 R$ 5.490,05 R$ 6.207,33 R$ 791,07 Na adversidade cohecemos os recursos de que dispomos. (Horácio)
18 DESCONTOS COMPOSTOS Coceito de descoto - Descoto é o abatimeto (em diheiro) que um determiado título sofre quado é resgatado ates do seu vecimeto. Coceito de Descoto Composto Descoto composto equivale à soma dos descotos simples, calculados isoladamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. (Fracisco, 1994, p. 71). Da mesma forma como em juros compostos, icorpora-se agora mais uma variável que é o regime de capitalização. Em cada situação (exercício, egócio ou trasação) deve estar expresso qual é o regime de capitalização (aual, semestral, trimestral, mesal, etc). Descoto Composto REAL O descoto composto real equivale à soma dos descotos racioais, calculados sucessivamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. Assim, aplicado a fórmula do descoto racioal A N = 1+ i., desevolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): d' N. i. 1+ i. = e a de seu valor atual A N ( 1+ i) = ou, passado o deomiador para o umerador A = N.( 1+ i) Exemplo: Uma Nota Promissória de valor omial equivalete a R$ 1.800,00 foi resgatada oveta dias ates do seu vecimeto à taxa de 24% a.a. Qual foi o descoto real se a capitalização é mesal? Dados: 3 A N = 1.800 = N.( 1+ i) etão A 3 = 1800.(1 + 0,02 ) k = mesal A = 1800.( 0,942322335 ) e, fialmete 3 A 1.696, 3 = 18 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 90 dias = 3 meses se d = N A etão d = 1800 1.696,18 = 103,82 Nas calculadoras comus ou cietíficas (algumas) teclar: 1.800 x (1 + 0,02)x y 3 ± = 1.696,18 Na HP 12C teclar: 1800 CHS FV 24 g i 3 PV Obs: O período e a taxa utilizada (sempre percetual) deverão estar de acordo com a capitalização. Descoto Composto Bacário O descoto composto bacário equivale à soma dos descotos comerciais, calculados sucessivamete em cada um dos períodos que faltam para o vecimeto do título. Assim, aplicado a fórmula do descoto racioal d = N.i. e a de seu valor atual A = N.(1-i.), desevolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): A = N.( 1 i) Exemplo: Calcular o descoto bacário do exemplo aterior. Dados: 3 A N = 1.800 = N.( 1 i) e substituido, A = 1800.(1 0,02) k = mesal A = 1800.(0,941192) chegaremos a: A = 1.694, 15 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 = 90 dias = 3 meses se d = N A etão d = 1800 1.694,15 = 105,85 Obs: Cocluímos que o descoto bacário será sempre maior do que o descoto real. Com os seus valores atuais ocorre o cotrário, obviamete.
19 Nas calculadoras comus ou cietíficas (algumas) teclar: 1.800 x (1 0,02)y x 3 = 1.694,15 1800 = 105,85 Na HP 12C teclar: 1800 Eter 1 Eter 0,02 3 y x X 1800 Obs: A calculador HP 12C ão tem teclas fiaceiras para este cálculo. Capitalização cotíua Cálculo do valor Atual A situação específica de capitalização cotíua é matematicamete possível e chega-se à solução pela seguite fórmula: A = N.(e) i. ode e é uma costate matemática de valor igual a 2,718281828. Obs: Também este caso as variáreis i e devem estar expressas a mesma periodicidade (ão importado qual). Para o autôomo que optou por abrir uma empresa, a ajuda de um cotador é fudametal desde o começo. (Maurício Oliveira editor de Você S/A)
20 EXERCÍCIOS DESCONTOS COMPOSTOS Os exercícios de 1 a 8 são trascritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Fiaceira. 7 a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91 e 262). 1. Calcular o valor atual de um título de R$ 200,00 que sofreu um descoto real de 18% a.a., capitalizados trimestralmete, dois aos ates do vecimeto. 2. O descoto real de um título, pagável em dois aos e três meses, é igual a R$ 187,20. Calcular o valor omial do título, sabedo-se que a taxa empregada a trasação é de 20% a.a., capitalizada trimestralmete. 3. Qual é o descoto bacário de um título de R$ 500,00, exigível em três aos, a 20% a.a., capitalizados semestralmete? 4. Calcular o valor atual de um título de R$ 10.000,00, resgatado dois aos e seis meses ates do vecimeto, à taxa de descoto real de 20% a.a. capitalizados semestralmete. 5. Qual é o descoto bacário de um título de R$ 5.000,00 pagável em dois aos a 20% a.a. capitalizados semestralmete? 6. O descoto real de um título, pagável em um ao e três meses é de 432,95. Calcular o valor omial deste título, sabedo-se que a taxa empregada foi de 20% a.a. com capitalizações trimestrais. 7. Um título, pagável em um ao e três meses, sofreu um descoto bacário de R$ 3.921,47 a 24% a.a. capitalizados mesalmete. Determiar o valor omial deste título. 8. Calcular o valor atual de um título de R$ 5.000,00, resgatado cico aos e 4 meses ates do vecimeto, a 12% a.a., capitalizados cotiuamete. 9. Você deve para seu colega um valor equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 34% a.a. e a capitalização mesal, qual será o valor do descoto real se a atecipação desta dívida for de ceto e ciqüeta dias? 10. Você deve para seu colega um valor equivalete a R$ 1.235,00. Se a taxa desta trasação for de 34% a.a. e a capitalização mesal, qual será o valor do descoto bacário se a atecipação deste título for de ceto e ciqüeta dias? 11. Você assumiu em uma istituição fiaceira um determiado título. Cico meses e quize dias ates do vecimeto você resgatou este título por um valor equivalete a R$ 5.584,00. Qual foi o valor do descoto cocedido se a taxa da trasação foi de 21,80% a.a. e a capitalização foi cotíua? 12. Você egociou pelo descoto bacário, em uma istituição fiaceira, um título equivalete a R$ 4.855,00, por um valor 35% meor do que o valor origial. Qual foi a taxa aual proporcioal evolvida se a capitalização foi mesal e a atecipação de ceto e vite dias? 13. O descoto real de um título, pagável em 1 ao e três meses, é de R$ 432,95. Calcular o valor omial do título, sabedo-se que a taxa mesal empregada a trasação foi 2,7% e as capitalizações trimestrais. 14. Você deve pagar um título de R$ 12.345,00 com vecimeto para dois bimestres e meio. Qual será o valor do resgate pelo descoto composto real cosiderado uma taxa de 30% a.a. e capitalizações mesais? 15. A difereça etre os valores de resgate, calculados pelo descoto composto real e bacário, sobre o valor de um título é igual a R$ 27,50. Qual é o valor deste título se a atecipação foi de oito meses, a taxa de 2,9% a.m. e a capitalização bimestral? 16. Uma duplicata o valor equivalete a R$ 573,54 sofreu um descoto composto bacário igual a ciqüeta reais, três bimestres ates do vecimeto. Qual foi a taxa aual proporcioal se as capitalizações foram mesais?