Modlo dinâmico incluindo Manjo Intgrado d Pragas (MIP) strutura spacial no combat à Diaphorina Citri Maria C. Varrial, Priscila A. Silvira, Instituto d Matmática - UFRGS 9159-9, Porto Algr, RS E-mail: cris@mat.ufrgs.br, priscilasjn@gmail.com, Cláudia P. Frrira Instituto d Biociências - UNESP 18618-97, Botucatu, SP E-mail: pio@ibb.unsp.br. Rsumo: Propomos um modlo dinâmico para o combat à Diaphorina Citri, praga qu costuma atacar culturas cítricas m divrsas rgiõs do Brasil, principalmnt no stado d São Paulo. A stratégia adotada é o Manjo Intgrado d Pragas (MIP), através da aplicação d psticida da insrção d parasitóids/prdadors dsta praga, lvando m considração a disprsão dos indivíduos adultos. Estudos analíticos simulaçõs numéricas são aprsntados, vidnciando os fitos do MIP sobr o agrocossistma, com sm strutura spacial. Palavras-chav: Manjo Intgrado d Pragas, Diaphorina Citri, Tamarixia Radiata O uso d frramntas matmáticas na busca d stratégias qu garantam maior ftividad no control d pragas m agrocossistmas tm sido objto d inúmros studos nas últimas décadas. Para contornar os fitos nocivos do uso xcssivo d psticidas agrícolas no ambint na saúd humana, o control biológico vm srvindo como uma altrnativa ao uso d produtos químicos no combat às pragas [1]. O MIP é uma stratégia d control d longo prazo, qu associa táticas da biologia, da química, bm como d cultivo, cujo objtivo não é o d rradicar compltamnt a população d pragas, mas sim rduzi-la para nívis tolrávis, abaixo d um Limiar Econômico (LE) [8] [3]. Exprimntalmnt a stratégia d control através do MIP, além d rsultar na rdução da quantidad d insticida a sr utilizado, tm s mostrado mais ftiva do qu os métodos clássicos, tais como apnas control biológico (libração d prdadors da praga) ou apnas control químico (uso d psticidas). A inclusão d uma strutura spacial no modlo matmático é, sm dúvida, d fundamntal importância, para o sucsso das stratégias d MIP, porqu dpndndo das taxas dos tipos d movimntação (difusão, taxia, convcção,...) das pragas dos sus prdadors/parasitóids, a disprsão das populaçõs pod sr favorávl, ou, ao contrário, prjudicial ao control d pragas. Além disso, a htrognidad spacial pod star prsnt na distribuição da população d pragas, sugrindo qu o su control sja grnciado d forma distinta, dpndndo da localização spacial [2]. O Brasil é o maior produtor d laranjas do mundo, sndo o Estado d São Paulo rsponsávl por 8% dsta produção. Atualmnt a principal praga d citros é a Diaphorina citri (Hmiptra: Psyllida), qu transmit a bactéria Candidatus Libribactr amricanus, causadora do grning - donça atualmnt prsnt m 18, 57% dos talhõs do parqu citrícola d SP [4]. O parasitóid Tamarixia radiata mostra-s um bom candidato a agnt d control biológico 259
para a Diaphorina citri, sus ovos são colocados dntro da ninfa do psilído (m gral, um ovo por psilído) o novo parasitóid qu mrg da ninfa parasitada s alimnta da msma lvando-a à mort. Além d atuarm como parasitóids, as fêmas são prdadoras [5], podndo alimntar-s d ninfas da praga m fass mais jovns. Assim, somando o parasitismo à prdação, cada fêma é capaz d dstruir, ao longo d sua vida, uma quantidad significativa d ninfas d Diaphorina citri. Nst trabalho, propomos mdidas para o manjo da praga Diaphorina citri m um cultivo d laranjas. Para isso, considramos três stágios d dsnvolvimnto para a praga, cujas dnsidads populacionais são rprsntadas rspctivamnt por: N 1 (t), da fas mais jovm, N 2 (t), da fas intrmdiária, F (t), da fas adulta. Su inimigo natural, o insto spcialista Tamarixia radiata para o qual considramos apnas a fas adulta com dnsidad populacional P (t), prda /ou parasita, rspctivamnt, N 1 (t) N 2 (t). Supondo: 1. η(1 N 1 /K), a taxa d oviposição (ovos viávis) por fêma F, ond η é a taxa d oviposição intrínsca, K a capacidad d suport do mio para a fas N 1 - rlacionada com o númro d nutrints, spaço, tc.; 2. σ N1 σ N2, as taxas pr capita com a qual N 1 passa para a fas N 2, com a qual N 2 passa para a fas adulta, rspctivamnt; 3. ψ, a proporção dos instos vtors adultos, qu são fêmas; 4. γn 1 /(1 + ϕn 1 ), a taxa por prdador com a qual uma prsa N 1 é prdada, rsultant d uma probabilidad N 1 /(1 + ϕn 1 ) d ncontro d um insto da spéci P, com um insto vtor na fas N 1 ; 5. αn 2 /(1 + βn 2 ), a taxa por parasitóid fêma com a qual o hospdiro N 2 é parasitado, rsultant d uma probabilidad N 2 /(1 + βn 2 ) d ncontro d um insto fêma da spéci P, com um insto vtor na fas N 2 ; 6. ω θ, os fators d convrsão d prsas para prdador, d hospdiros para parasitóid, rspctivamnt; 7. µ N1, µ N2, µ F µ P, as taxas d mortalidad pr capita d cada uma das populaçõs, scrvmos o sistma qu dscrv a dinâmica populacional natural, isto é, sm intrvnção humana, sob a forma: dn 1 = ηf (1 N 1 K ) (σ N 1 + µ N1 )N 1 γn 1P 1+ϕN 1, dn 2 = σ N1 N 1 (σ N2 + µ N2 )N 2 αn 2P 1+βN 2, df = ψσ N2 N 2 µ F F, dp = ωγn 1P 1+ϕN 1 + θαn 2P 1+βN 2 µ P P. Nst modlo não stamos considrando spcificamnt a volução da cultura d laranjas. A partir dst sistma, dfinindo as variávis adimnsionais τ = ηt, n 1 = ϕn 1, n 2 = βn 2, f = 1 K F p = γ P, (2) αk obtmos um sistma adimnsional corrspondnt com os sguints parâmtros adimnsionais: (1) a = Kϕ, b 1 = σ N 1 η, c 1 = µ N 1 η, α 1 = αk η, d = β η, b 2 = σ N 2 η, c 2 = µ N 2 η, α 2 = α γ, α 3 = ψ Kβ, ξ 1 = µ F η, α 4 = γω ηϕ, α 5 = αθ ηβ ξ 2 = µ P η. (3) 26
Est sistma adimnsional aprsnta três pontos d quilíbrio: E = (,,, ), E 1 = (n 1 1, n 1 2, f 1, ), E 2 = (n 1, n 2, f, p ), ond n 1 1, n1 2, f 1, n 1, n 2, f p são combinaçõs dos parâmtros do sistma adimnsional. O quilíbrio E, qu corrspond à xtinção d todas as spécis, é biologicamnt viávl para qualqur scolha dos parâmtros positivos do sistma (1). Est quilíbrio é localmnt stávl s, somnt s, R < 1, ond R = adb 1 b 2 α 3 ξ 1 (b 1 + c 1 )(b 2 + c 2 ). (4) O quilíbrio E 1, qu corrspond à xtinção da população d prdadors prsistência das populaçõs d pragas, é biologicamnt viávl s, somnt s, R > 1, ond R é dado m (4). Est quilíbrio é localmnt stávl s, somnt s, R > 1 ond R é dado por (4) R 1 < 1, com As condiçõs R 1 = Aα 4[α 3 b 2 (b 2 + c 2 ) + A] + Aα 5 [db 1 b 2 α 3 + A], (5) ξ 2 (db 1 b 2 α 3 + A)[α 3 b 2 (b 2 + c 2 ) + A] A = adb 1 b 2 α 3 ξ 1 (b 1 + c 1 )(b 2 + c 2 ). (6) b 2 α 2 α 3 α 4 [(ξ 2 α 5 ) a(α 4 + α 5 ξ 2 )] < ξ 1 (b 2 + c 2 )[(ξ 2 α 5 )(α 4 + α 5 ξ 2 )], (7) ξ 2 α 4 α 4 +α 5 ξ 2 < n 2 < ξ 2 α 5 ξ 2, s ξ 2 < α 5 n 2 > ξ 2 α 4 α 4 +α 5 ξ 2, s α 5 < ξ 2 < α 4 + α 5, (8) n α 3 b 2 n 2 1 < a α 3 b 2 n 2 + ξ 1(b 1 + c 1 ), (9) garantm qu o quilíbrio E 2, d coxistência d todas as spécis, sja viávl. Est quilíbrio é localmnt stávl s ξ 1 (a 11 a 22 a 14 a 41 a 24 a 42 ) + a 11 a 24 a 42 + +a 22 a 14 a 41 db 1 a 14 a 42 > (a n 1 )db 1b 2 α 3, (1) a 11 (a 11 a 22 a 14 a 41 ) + a 22 (a 11 a 22 a 24 a 42 ) db 1 a 14 a 42 < (11) (a n 1)α 3 b 2 < x 2, (12) ond a 11, a 14, a 22, a 24, a 41, a 42 x 2 são combinaçõs dos parâmtros adimnsionais. 261
Invstigamos a stabilidad global do ponto d quilíbrio d coxistência das spécis, visto qu, m gral, m sistmas biológicos stamos intrssados m mantr o quilíbrio cológico do mio qu stá sndo analisado. Através d uma técnica qu nvolv funçõs d Lyapunov [7] [6] rminamos 2 subconjuntos da bacia d atração do quilíbrio E 2 : W 1 = {(n 1, n 2, f, p) R 4 + : n 1 > a, f + n 1 < f + n 1, n 2 > n 2, p > p, p n 1 < p n 1 p n 2 < p n 2 } W 2 = {(n 1, n 2, f, p) R 4 + : n 1 < n 1, f > f, f + n 1 > f + n 1, n 2 < n 2, p < p, p n 1 > p n 1 p n 2 > p n 2 }. Podmos ilustrar sts rsultados através d simulaçõs numéricas. Todas as simulaçõs numéricas dst trabalho foram obtidas a partir da implmntação do método d Rung-Kutta d quarta ordm para a aproximação das soluçõs do sistma (1), utilizando o softwar Matlab. Em todas as figuras aprsntadas nst trabalho considramos os sguints valors para os parâmtros: a = 1, α 1 =.3, α 2 =.5, α 3 = 2, α 4 =.6, α 5 =.3, b 1 =.3, b 2 =.1, c 1 =.1, c 2 =.1, d =.6, ξ 1 =.3 ξ 2 =.4. Nas Figuras 1 2, usamos como condição inicial (n 1, n 2, f, p ) = (1.1, 2,.1,.3). Na Figura 1, scolhndo os parâmtros do modlo d modo qu as condiçõs d xistência stabilidad local do quilíbrio E 2 sjam satisfitas tomando condiçõs iniciais m W 1, vrificamos qu, d fato, as quatro populaçõs coxistm voluindo para um quilíbrio assintótico constant. Dnsidads d pragas prdadors 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1.8.6.4.2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tmpo Figura 1: Dnsidads populacionais considrando a dinâmica natural dos indivíduos sm strutura spacial; n 1 (linha pontilhada); n 2 (linha tracjada); f (linha mista); p (linha contínua). O MIP, qu stamos propondo, consist na aplicação d insticida na libração d uma crta quantidad do inimigo natural da praga, quando constatado qu a quantidad crscnt da dnsidad d fêmas adultas ultrapassa LE. Dsta forma, o sistma, lvando m considração a intrvnção humana, passa a sr dscrito da sguint forma: Enquanto a população F stivr abaixo d LE, o sistma d quaçõs é o sistma (1); No instant τ m qu a população d pragas atingir LE, a intrvnção humana implicará m rduzir cada uma das populaçõs através d uma taxa pr capita δ (dpndnt do 262
tamanho da população d fêmas adultas), aumntar m ρ a população d inimigos naturais, isto é, trabalha-s com o problma d valor inicial composto plo sistma d quaçõs difrnciais acima, para t τ, juntamnt com as sguints condiçõs iniciais: N 1 (τ + ) = (1 δ)n 1 (τ) N 2 (τ + ) = (1 δ)n 2 (τ) (13) F (τ + ) = (1 δ)f (τ) P (τ + ) = (1 δ)p (τ) + ρ. A intrvnção acima srá rptida cada vz qu a população d fêmas adultas atingir LE. A Figura 2 ilustra a aplicação do MIP. Escolhndo, para os parâmtros, os msmos valors utilizados na Figura 1 stablcndo LE = 3, qu corrspond a um valor d f =.3 < f, vrificamos qu a técnica é ficint, mantndo a dnsidad d fêmas adultas abaixo d LE. As dnsidads d ninfas d pragas no primiro no sgundo stágio são mantidas abaixo do corrspondnt valor d quilíbrio. Dnsidads d pragas prdadors 2.5 2 1.5 1.5 5 1 15 2 25 Tmpo Figura 2: Dnsidads populacionais considrando MIP incorporado à dinâmica natural dos indivíduos sm strutura spacial; n 1 (linha pontilhada); n 2 (linha tracjada); f (linha mista); p (linha contínua). A sguir incluimos a strutura spacial, studando o fito das rgras d movimntação nvolvidas no agrossistma m qustão. O habitat é rprsntado por uma malha (matriz) bidimnsional d tamanho L L, com L 2 sítios (ou patchs ) discrtos, cada um rprsntando uma laranjira. Dntro d cada sítio d coordnadas (i, j), utilizamos para a dinâmica vital o modlo (1). Assumimos qu as populaçõs stjam homognamnt distribuídas dntro d cada sítio. A sta dinâmica acrscntamos rgras para a movimntação das populaçõs d adultos ntr os divrsos sítios organizados m L M talhõs d tamanho M M sítios. Quando acrscntamos ao sistma natural (sm intrvnção humana) a disprsão por difusão das fêmas adultas dos prdadors construimos a Figura 3, ond aprsntamos os quilíbrios qu rprsntam a soma das dnsidads d cada uma das populaçõs m todos os sítios do domínio. Nst caso, utilizamos para os parâmtros os valors xplicitados antriormnt para as condiçõs iniciais n 1 = 1.1, n 2 = 2, f =.1 p =.3 indivíduos m um sítio alatório do domínio, todos os outros sítios vazios. Além disso, podmos obsrvar qu todas as populaçõs tndm a s distribuir homognamnt plo ambint (caractrística típica da difusão). Finalmnt, quando aplicamos o MIP no modlo com strutura spacial, podmos vr na Figura 4, qu as dnsidads totais das populaçõs d pragas passam a aprsntar oscilaçõs com 263
Dnsidads totais d pragas prdadors 4 3 2 1 1 2 Tmpo 3 4 x 1 4 Figura 3: Dnsidads populacionais considrando a dinâmica natural dos indivíduos com distribuição spacial (disprsão por difusão para fêmas adultas prdadors); n 1 (linha pontilhada); n 2 (linha tracjada); f (linha mista); p (linha contínua). Dnsidads totais d pragas prdadors 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 Tmpo Figura 4: Dnsidads populacionais aplicando MIP à dinâmica natural dos indivíduos com distribuição spacial (disprsão por difusão para fêmas adultas prdadors); n 1 (linha pontilhada); n 2 (linha tracjada); f (linha mista); p (linha contínua). pqunas amplituds m nívis populacionais mais baixos do qu as dnsidads d quilíbrio da Figura 3. Já a dnsidad total d prdadors oscila d manira caótica. Nst caso todas as populaçõs aprsntam uma distribuição spacial htrogêna, ilustrando a intrfrência do MIP na tndência homognizadora da difusão. A Figura 5 mostra a distribuição spacial das fêmas adultas após 1. itraçõs tmporais. Para as Figuras 4 5, considramos os msmos valors dos parâmtros das condiçõs iniciais da Figura 3. D modo gral podmos concluir qu é d fundamntal importância considrar a distribuição spacial dos indivíduos na modlagm, já qu m agrocossistmas naturais a maioria dos indivíduos adultos (pragas /ou prdadors) tm a capacidad d s movimntar plo ambint. Além disso, o MIP mostrou-s ficint no combat à Diaphorina Citri, d acordo com o mod- 264
55 Solução f 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 Figura 5: Distribuição spacial da população d pragas no stágio f após 1. itraçõs tmporais. Na malha, os sítios mais scuros rprsntam dnsidads mais altas os sítos mais claros rprsntam dnsidads mais baixas. lo proposto, pois nas simulaçõs podmos vr uma rdução nas dnsidads d pragas a nívis tolrávis não à xtinção dstas, mantndo assim o quilíbrio cológico. Prtndmos, futuramnt, aprimorar st modlo usando mdidas d control m agrocossistmas spcíficos. Rfrências [1] S. Bhattacharyya and D. K. Bhattacharya, An Improvd intgratd pst managmnt modl undr 2-control paramtrs (stril mal and psticid), Math. Biosc., 29 (27) 256-281. [2] E. A. B. F. Lima, C. P. Frrira and W. A. C. Godoy, Ecological modling and pst population managmnt: a possibl and ncssary connction in a changing world, Notrop. Entomol. [onlin], 38(6) (29) 699-77. [3] R. F. Norris, E. P. Caswll-Chn and M. Kogan, Concpts in intgratd pst managmnt, Prntic Hall, Nw Jrsy, 23. [4] P. E. B. Paiva, Distribuição spacial tmporal, inimigos naturais tabla d vida cológica d Diaphorina citri Kuwayama (Hmiptra: Psyllida) m citros m São Paulo, Ts d Doutorado, Escola suprior d agricultura Luiz d Quiroz-ESALQ, 29. [5] J. A. Qurshi, M. E. Rogrs, D. G. Hall and P. A. Stansly, Incidnc of invasiv Diaphorina citri (Hmiptra: Psyllida) and its introducd parasitoid tamarixia radiata (Hymnoptra: Eulophida) in Florida citrus, Jour. of Econ. Entomol., 215(1) (29) 247-256. [6] C. Robinson, Dynamical systms - stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Prss, USA, 1995. [7] J. Sotomayor, Liçõs d quaçõs difrnciais ordinárias, IMPA - Projto Euclids, Rio d Janiro, 1979. [8] S. Tang and R. A. Chk, Modls for intgratd pst control and thir biological implications, Math. Biosc., 215 (28) 115-125. 265