Análise de Complexidade do Módulo de Treliça Seccionado de Códigos Convolucionais

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1 XXX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES SBrT 2, 3-6 DE SETEMBRO DE 22, BRASÍLIA, DF Análse de Complexdade do Módulo de Trelça Secconado de Códgos Convoluconas Isaac B. Benchmol, Ceclo Pmenel e Rchard Demo Souza Resumo O módulo de relça mínmo para códgos oluconas desenvolvdo por Sdoreno e Zyablov e por McElece e Ln apresena uma esruura rregular com número de esados em cada seção perodcamene varane no empo. Ese argo apresena o conameno do módulo de relça mínmo, capaz de produzr uma represenação de relça mas compaca e regular (do pono de vsa do número máxmo de esados e do número de seções), manendo-se a complexdade de decodfcação e especro de dsâncas do módulo de relça mínmo. Os efeos do conameno da relça são nvesgados sobre a complexdade de relça, defnda por McElece e Ln, e complexdade comparava. Mosra-se que váras opologas de relça de códgos proposas na leraura são membros de classes de módulos de relça mínmo conados. Palavras-Chave Códgos oluconas, complexdade de decodfcação, conameno de relça, relça ma. Absrac The mal rells module for oluonal codes developed by Sdoreno and Zyablov and by McElece and Ln presens an rregular srucure wh perodcally me varyng number of saes n each on. Ths paper presens he onalzaon of he mal rells module whch yelds a more compac and regular rells represenaon (n erms of maxmum number of saes and oal number of ons) wh he same decodng complexy and dsance specrum of he mal rells module. We nvesgae he effecs of he rells onalzaon over he rells complexy measure, defned by McElece and Ln, and over he merge complexy measure. We show ha varous rells opologes proposed n he leraure are class members of onalzed rells modules. Keywords Convoluonal codes, decodng complexy, rells onalzaon, mal rells. I. INTRODUÇÃO Códgos oluconas podem ser represenados por esruuras de relça peródcas, sendo o menor período denoado de módulo de relça []. Em geral, um módulo de relça M de um códgo oluconal C( n,, v ) de axa R= / n consse em n seções de relça compreenddos v enre os empos a n, 2 esados no empo, 2 b ramos conecando os esados enre os empos e +, e l bs roulando cada ramo enre os empos e +, para n. O comprmeno de resrção é v. Tradconalmene, um códgo oluconal pode ser represenado por um módulo de relça enconal I. B. Benchmol CMDI, Insuo Federal de Educação, Cênca e Tecnologa do Amazonas (IFAM), Manaus, AM, bench@fam.edu.br. C. Pmenel, CODEC-DES, Unversdade Federal de Pernambuco (UFPE), Recfe, PE, ceclo@ufpe.br. R. D. Souza, CPGEI, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná (UTFPR), Curba, PR, rchard@ufpr.edu.br. Ese rabalho recebeu apoo da FAPEAM e CNPq. conssndo numa esruura regular com n = seção. Por ouro lado, o módulo de relça mínmo para códgos oluconas, nroduzdo por McElece e Ln [2], apresena uma esruura rregular com n = n seções com número de esados e de ramos dvergndo de cada esado varane no empo. O algormo de Verb (VA) operando sobre um módulo de relça M execua operações armécas de adção e comparação [2]-[4]. O número de adções e comparações por b de nformação requerdo pela decodfcação corresponde às complexdades de relça e comparava, respecvamene. Ambas as complexdades de relça e comparava formam a complexdade compuaconal de um algormo de decodfcação de máxma verossmlhança [5] e ambém êm reflexo na complexdade de mplemenação em hardware [6]. O módulo de relça mínmo apresena o mínmo valor possível para as complexdades de relça e comparava para um dado códgo [4], enquano que o módulo enconal apresena o máxmo valor para esas complexdades. Em [][7][8] são mosradas abelas com os melhores códgos oluconas (em ermos de especro de dsâncas) para valores fxos de complexdade de relça consderando-se o módulo de relça mínmo. Em [9][] é proposo um méodo de busca de códgos oluconas fxando-se o número máxmo de esados em um módulo. Esa é a medda de complexdade de relça adoada em [9][], e esá relaconada com a complexdade de mplemenação do decodfcador em hardware, bem como o número de seções do módulo [][2]. Eses resulados produzem opologas de relça com boa relação enre desempenho e complexdade de decodfcação. O conameno é uma operação sobre a relça que remove os esados num empo e redrecona os ramos enre os empos e + [4]. Parndo-se do módulo de relça mínmo e aplcando-se ese procedmeno sequencalmene, chega-se a um módulo de relça mas compaco e regular (em ermos do número máxmo de esados e do número de seções). Porano, os módulos de relça conados proposos nese rabalho êm o poencal de reduzr o consumo de energa oal do recepor (em relação à mplemenação usando a relça enconal), um assuno relevane na leraura aual [3][4]. Nese argo nroduzmos novas classes de módulos de relça produzdas pelo conameno. Há 2 n possbldades de conar o módulo de relça mínmo, e o problema do conameno consse em enconrar a melhor escolha denre odas as possbldades que mze uma medda de complexdade de relça [4]. Consruímos um conjuno de regras que governam os efeos do conameno sobre as complexdades de relça e comparava. Idenfcam-se padrões de conameno do módulo mínmo que são capazes de

2 XXX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES SBrT 2, 3-6 DE SETEMBRO DE 22, BRASÍLIA, DF dur o número máxmo de esados sem compromeer esas complexdades. Ese rabalho apresena uma lsa de perfs de relças conadas mas compacas com as mesmas complexdades (de relça e comparava) do módulo de relça mínmo para as axas 2 / 5 e 3 / 5. Váras opologas de relça proposas na leraura, como códgos oluconas punconados (PCCs) [5] e aquelas proposas em [8] são membros de famílas de relças conadas. O resane dese argo é esruurado como segue. Na Seção II apresenamos os conceos de módulo de relça e suas complexdades. A Seção III apresena o conameno do módulo de relça mínmo. As regras de conameno e alguns exemplos são apresenados na Seção IV. Na Seção V lsamos alernavas de relça mas compacas que a mínma. Fnalmene, as conclusões são apresenadas na Seção VI. II. COMPLEXIDADES DE UM MÓDULO DE TRELIÇA Em [2] McElece e Ln defnram uma medda de complexdade de decodfcação sobre um módulo de relça. Esa medda é denoada de complexdade de relça de um módulo M para um dado códgo oluconal C, denoada por TC( M ), e de acordo com [2] é dada por n ' v ( ) 2 + b TC M = l () = símbolos por b. O número de comparações por b de nformação requerdo pelo VA sobre um módulo de relça M para um códgo oluconal C, denoada por MC( M ), é defndo em [5] por n ' v+ b v+ MC( M ) = (2 2 ) (2) = em que v. n = v Esa medda é denoada de complexdade comparava de um módulo M de um códgo oluconal C. Para o módulo de relça enconal, M, emos l = n, n =, v = v = v e b =. Porano, a complexdade de relça para ese módulo é ( ) ( / )2 v + TC M = n símbolos por b, e a complexdade comparava é v MC( M ) = (2 / )(2 ). Exemplo : Consdere o códgo oluconal C(5, 3, 3). O módulo de relça enconal para ese códgo apresena TC( M ) = 6,67 símbolos por b e MC( M ) = 8, 67. Ese códgo possu dsânca lvre d free = 4 e especro de dsâncas N = (, 5,3, 39,). As marzes geradoras G( D) dos códgos dos exemplos dese rabalho são lsadas em []. O módulo de relça mínmo para códgos oluconas fo defndo em [2]. Ese módulo apresena uma esruura rregular com n' = n seções e l = b por ramo. A complexdade de esados v e a complexdade de ramos b na profunddade serão denoadas por vɶ e b ɶ, respecvamene. Os perfs de esados e de ramos do módulo de relça mínmo serão denoados por v ɶ= ( vɶ,..., vɶ n ) e b ɶ = ( b ɶ,..., b ɶ n ), respecvamene. Porano, a complexdade de relça do módulo de relça mínmo, M, é dada por n vɶ ( ) 2 + b TC M = ɶ = símbolos por b, e a complexdade comparava do módulo de relça mínmo é dada por (3) n vɶ + b v+ ( ) = (2 ɶ ɶ 2 ). = MC M A Fgura mosra o módulo de relça mínmo códgo C (5, 3, 3) do Exemplo. (4) M para o Enquano o módulo de relça enconal M apresena uma esruura regular com apenas uma seção, 8 esados com 8 ramos dvergndo de cada esado, cada ramo roulado com 5 bs, o módulo de relça mínmo M na Fgura apresena n= 5 seções, com 8 ou 6 esados cada. Observe que apenas a prmera, segunda e quara seções apresenam bs de nformação. A complexdade de relça do módulo de relça mínmo M é TC( M ) = 26,67 símbolos por b e a complexdade comparava é MC( M ) = 8. Porano, as complexdades de relça e comparava do módulo de relça mínmo dese códgo são apenas 25% e 42,8% das complexdades de relça e comparava do módulo de relça enconal, respecvamene. III. SECCIONAMENTO DE UM MÓDULO DE TRELIÇA Consdere um módulo de relça mínmo M conssndo de n seções enre o nervalo de empo a n. O conameno de M no empo para =,..., n, sgnfca a remoção dos esados no empo e a conexão dos esados no empo dreamene com os esados no empo +, se exsr um caho enre eses em M. O róulo dos ramos no módulo conado é formado pela concaenação dos róulos dos ramos dos cahos enre os empos e + em M. O módulo de relça conado no empo possu n = n seções. Ese procedmeno pode ser aplcado sequencalmene em város empos, porano há 2 n formas dsnas de seleconar os empos a serem conados, e o número de seções conadas num módulo de relça vara de n a. Defne-se um veor bnáro de conameno, denoado por ve. O -ésmo elemeno de ve, denoado por ve, =,..., n ndca que há conameno no empo se ve =, caso conráro ve =. Se ve = para =,..., n, o módulo resulane é o módulo enconal e se ve = para =,..., n, resula no módulo de relça mínmo. Os perfs de esados e de ramos do módulo de relça conado M são denoados, respecvamene, por v e b. O perfl de róulos da relça conada, denoado por l, defne o número de bs que roulam os ramos por seção. O exemplo a segur mosra o conameno do módulo de relça mínmo do códgo C (5, 3, 3) em que são lsados os perfs e as complexdades do módulo de relça conado para dferenes valores de ve. Fg.. Módulo de relça mínmo para o códgo (5,3,3). C As lnhas sóldas represenam b codfcado e as racejadas o b codfcado.

3 XXX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES SBrT 2, 3-6 DE SETEMBRO DE 22, BRASÍLIA, DF Exemplo 2: Consdere o códgo C (5, 3, 3) do Exemplo com perfs ɶv = (3,3,4,3, 4), ɶb = (,,,, ), e complexdades TC( M ) = 26,67, MC( M ) = 8. O módulo de relça mínmo M para ese códgo é mosrado na Fgura. A Tabela I lsa os perfs v, b, l e as complexdades TC( M ) e MC( M ) do módulo de relça conado de algumas das 6 possbldades de conameno de M. Observa-se na Tabela I que para ve = (,,,) o número máxmo de esados é reduzdo de 6 para 8 e o número de seções é reduzdo para n = 3, permndo aé 2 bs por ramo, sem qualquer aleração nas complexdades de relça ou comparava. Não é possível reduzr n além dese valor sem que haja um aumeno nas complexdades. A Fgura 2 mosra a esruura resulane dese conameno. Os perfs v = (3,3,3), b = (,,), l = (,2,2) e as complexdades TC( M ) = 26,67 e MC( M ) = 8 mosrados na Tabela I poderam ndcar que se raa da represenação de um PCC [5] de C (5,3,3), uma classe especal de códgos oluconas represenável por um módulo de relça de baxa complexdade. Enreano, observa-se na Fgura 3 que a opologa de ransções de esados nesa relça ndca que ese códgo não é um PCC. Pode-se reduzr sucessvamene o número de seções manendo-se o número máxmo de esados gual a 8, ao cuso de um aumeno das complexdades, conforme é comenado a segur Para ve = (,,,), obém-se v = (3,3), b = (2,) e l = (3,2). O número de seções é n = 2, permndo-se aé 3 bs por ramo, TC( M ) = and MC( M ) =.67. Para ve = (,,,), obém-se v = (3), b = (3) e l = (5), correspondendo ao módulo de relça enconal para o códgo C (5,3,3), com TC( M ) = 6.67 e MC( M ) = Na Tabela I podemos verfcar que as complexdades TC( M ) e MC( M ) podem aumenar ou não em relação às complexdades do módulo mínmo. Dado um módulo M, analsamos na próxma seção odas as possbldades de conameno de uma seção solada dese módulo e consruímos uma sére de regras que noream os efeos do conameno sobre as complexdades. Por exemplo, é possível esabelecer as condções necessáras para que o módulo de relça conado enha as mesmas complexdades do módulo de relça mínmo. IV. REGRAS DE SECCIONAMENTO E SEUS EFEITOS SOBRE AS COMPLEXIDADES Prmeramene vamos analsar os efeos do conameno sobre as complexdades de relça e comparava para um po específco de seção. Defnmos um seor de relça conssndo de duas seções conuvas de um módulo de relça mínmo M. Por exemplo, consdere o seor de relça S com os perfs ( vɶ, vɶ, vɶ + ) = ( v, v, v), ( b ɶ, b ɶ ) = (,) e ( l ɶ, l ɶ ) (,). De acordo com () e (2) as complexdades de = relça e comparava do seor S, denoadas por TC( M S ) e MC( M S ), respecvamene, são dadas por v ( ) 2 m b m v TC M S l + + = + = 3(2 ) + m m= v ( ) (2 + m+ b m v 2 m v S = ) = (2 ). m= MC M (5) (6) Fg. 2 Módulo de relça conado para ve = (,,,) no Exemplo 2. Comparando com o módulo de relça mínmo, o número máxmo de esados é reduzdo de 6 para 8 e o número de seções é reduzdo para n = 3, sem qualquer aleração nas complexdades de relça ou comparava. Se consderarmos agora o conameno no empo de S, obemos uma únca seção com v = ( v, v), b = () e l = (2). As complexdades T ( M S ) e MC( M S ) desa nova seção são v v TC( M S ) = 4(2 ) e MC( M S ) = (2 ). (7) Porano, para ese caso específco de conameno da seção em que b ɶ =, b ɶ = e vɶ = vɶ obém-se TC( M S ) > TC( M S ) e MC( M S ) = MC( M S ). Repemos ese procedmeno de forma exausva para odos os possíves perfs de seores, e com base neses resulados cramos um conjuno de regras que se aplcam ao conameno de um módulo de relça mínmo. Consdere o módulo M com perfs ɶv e ɶb, complexdades TC( M ) e MC( M ) e consdere o módulo de relça conado M resulane do conameno de M no empo, para =,..., n. As segunes regras são aplcadas:. Se a seção não er nformação, ou seja, somene um ramo dverge de cada esado ( b ɶ = ), enão a. MC( M ) = MC( M ) b. TC( M ) = TC( M ) se ( vɶ = vɶ + e bɶ = ) ou ( vɶ = vɶ e bɶ = ). c. TC( M ) > TC( M ) se ( vɶ = vɶ e bɶ = ) ou ( vɶ = vɶ e bɶ = ). 2. Se a seção er nformação, ou seja, dos ramos ergem de cada esado ( b ɶ = ), enão a. TC( M ) > TC( M ) b. MC( M ) = MC( M ) se ( vɶ = vɶ e bɶ = ) ou ( vɶ = vɶ + e bɶ = ). c. MC( M ) > MC( M ) se ( vɶ = vɶ e bɶ = ) ou ( vɶ = vɶ e bɶ = ). O caso analsado em (5)-(7) é refledo pela regra c. Esas regras permem seleconar as seções de um módulo de relça mínmo, de al modo que o conameno desas resule num módulo conado que sasfaça ceros requsos de complexdade. O próxmo exemplo ulza esas regras para ober o módulo de relça conado mas compaco possível manendo as complexdades do módulo de relça mínmo. Iso é possível seleconando-se as seções em que b ɶ = para =,..., n, de modo que a regra b seja sasfea.

4 XXX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES SBrT 2, 3-6 DE SETEMBRO DE 22, BRASÍLIA, DF ve TABELA I. RESULTADOS DO SECCIONAMENTO DO EXEMPLO 2. v b l TC( M ) MC( M ) (,,,) (3,3,4,3,4) (,,,,) (,,,,) 26,67 8 (,,,) (3,3,3,4) (,2,,) (,2,,) 26,67 8 (,,,) (3,3,3) (,2,2) (,2,2) 26,67 8 (,,,) (3,4,3,4) (2,,,) (2,,,) 37,33,67 (,,,) (3,3,4) (3,,) (3,,) 42,67,67 (,,,) (3,3) (3,2) (3,2) 42,67,67 (,,,) (3,4,4) (2,,) (2,2,) 48 3,33 (,,,) (3,4) (2,3) (2,3) 53,33 3,33 (,,,) (3,4) (4,) (4,) 9,67 8,67 (,,,) (3) (5) (5) 6,67 8,67 Exemplo 3: Consdere o códgo C (5, 2, 4) com TC( M ) = 96, MC( M ) = 24, perfs ɶv = (4,5,5,5,5) e ɶb = (,,,,) [], d free = e N = (7,,32,,66) com módulo de relça mínmo mosrado na Fgura 3. Noe que as seções, 3 e 4 do módulo de relça mínmo da Fgura 3 apresenam b ɶ = e a seção 2, b ɶ =. Para maner as complexdades nos seus valores mínmos, o conameno das seções 2 e 3 é descarado, pos so ocasona um aumeno da complexdade de relça, conforme as regras 2a e c, respecvamene. Porano, concluímos que o conameno ómo nese caso (pela regra b) é obdo com ve = (,,,) resulando no módulo de relça conado da Fgura 4 com v = (4,5,5), b = (,,), l = (2,,2) e complexdades TC( M ) = 96 e MC( M ) = 24, as mesmas do módulo de relça mínmo. Por ouro lado, se oparmos pelo conameno de odas as seções com b ɶ =, ou seja, dado ve = (,,,), obemos MC( M ) = MC( M ) = 24 e TC( M ) = 28 com v = (4, 5), b = (,) e l = (2,3), o mesmo módulo lsado em [8, Tabela I], que lsa os melhores códgos oluconas com n = e perfl de esados formado uncamene por v e v+. A complexdade comparava maném-se nalerada (pela regra a) enquano que a complexdade de relça é aumenada devdo ao conameno da seção 3 (pela regra c). Embora no úlmo caso ( ve = (,,,)) a complexdade de relça apresene um aumeno, o número de seções n é reduzdo de 5 para 2, produzndo uma relça mas compaca. Exemplo 4: Consdere o códgo C (7, 4, 4) com TC( M ) = 8, MC( M ) = 24, perfs ɶv = (4,5,6,5,5,4,5) e ɶb = (,,,,,, ), d free = 6 e N = (4, 2, 45,6,36) []. O módulo de relça mínmo para ese códgo é mosrado na Fgura 5. A Tabela II lsa os perfs v, b, l e as complexdades TC( M ) e MC( M ) do módulo de relça conado de algumas possbldades de conameno da relça mínma dese códgo. Fg. 4 Módulo de relça conado para o códgo C(5,2,4) do Exemplo 3 obdo com ve = (,,,) com as mesmas complexdades do módulo de relça mínmo da Fgura 3. Prmeramene consdere o conameno do módulo de relça mínmo da Fgura 5 nas seções 2 e 6. Dado ve = (,,,,,) obemos o módulo de relça conado com TC( M ) = 8 e MC( M ) = 24 e perfs v = (4,5,5,5, 4), b = (,,,,) e l = (,2,,,2). Ese módulo de relça é o mas compaco obdo com as mesmas complexdades do módulo de relça mínmo (pela aplcação das regras a e b). Noe que o número máxmo de esados é reduzdo de 64 para 32. Agora assuma o conameno das seções em que b ɶ =. Dado ve = (,,,,,) obemos o módulo de relça conado com TC( M ) = 88, MC( M ) = 24, e perfs v = (4,5, 5, 4), b = (,,,) e l = (, 2,2, 2). Nese caso ocorre um aumeno da complexdade de relça pela regra 2a, reduzndo-se n para 4. Se nclurmos o conameno da seção ( ve = (,,,,,)), n é reduzdo para 3 obendo-se TC( M ) = 96 pela regra a. Pode-se novamene reduzr o número máxmo de esados para 6 (o mesmo da relça enconal) e n para 2 aplcando-se ve = (,,,,,) resulando TC( M ) = 76 e MC( M ) = 32. Ambas as complexdades de relça e comparava são aumenadas pelas regras 2a e 2c, respecvamene. Fnalmene, obemos a relça enconal ( ve = (,,,,,)) resulando num aumeno sgnfcavo das complexdades com TC( M ) = 448 e MC( M ) = 6. A Tabela II lsa odos eses casos. Fg. 5 Módulo de relça mínmo para o códgo C(7, 4, 4) do Exemplo 4. As lnhas sóldas represenam b codfcado e as racejadas, b. Fg. 3 Módulo de relça mínmo para o códgo C(5, 2, 4) do Exemplo 3. As lnhas sóldas represenam b codfcado e as racejadas, b. ve TABELA II. RESULTADOS DO SECCIONAMENTO DO EXEMPLO 4. v b l TC( M ) MC ( M ) (,,,,,) (4,5,5,5,4) (,,,,) (,2,,,2) 8 24 (,,,,,) (4,5,5,4) (,,) (,2,2) (,,,,,) (4,5,4) (2,,) (3,2,2) (,,,,,) (4,4) (3,) (5,2) (,,,,,) (4) (4) (7) 448 6

5 XXX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES SBrT 2, 3-6 DE SETEMBRO DE 22, BRASÍLIA, DF V. MÓDULOS DE TRELIÇA MAIS COMPACTOS Nesa seção apresenamos os novos perfs de relça resulanes do conameno da relça mínma de códgos de axas 2 / 5 e 3 / 5 lsados em []. Para uma dada axa e uma dada TC( M ) parmos da relça mínma com n = n seções e lsamos na Tabela III os perfs ν, b e l da relça conada com menor n e com as mesmas complexdades TC( M ) e MC( M ) e especro do módulo de relça mínmo, ou seja, seleconamos o módulo de relça conado mas compaco possível que sasfaça a regra de conameno b. O menor valor de n esá compreenddo enre n (relça mínma) e (PCC). Ouras opologas dferenes das apresenadas na leraura (com valores nermedáros de n ) ambém são obdas e lsadas na Tabela III. Um aspeco mporane da relça conada é o número máxmo de esados. Em geral, o menor valor de n é desejável se so ocasonar a redução do número máxmo de esados manendo-se as complexdades e o especro. Por exemplo, para = 2 / 5 e TC( M ) = 8 obemos n = 2 e redução do número máxmo de esados de 32 para 6 manendo-se as complexdades do módulo de relça mínmo de parda. Pode ocorrer redução de n sem uma redução do número máxmo de esados, mas anda assm manendo-se as complexdades e o especro. Por exemplo, para = 2 / 5 e TC( M ) = 24 e TC( M ) = 28 obemos n = 3 e n = 4, respecvamene, manendo-se o número máxmo de esados em 8. Em alguns casos, não é possível nenhuma redução de n sem que so ocasone um aumeno das complexdades em relação à relça mínma. Neses casos, a melhor escolha reca sobre a própra relça mínma, ou seja, n = n, como pode ser observado para = 3 / 5 e TC( M ) = 42,67. VI. CONCLUSÕES Nese argo apresenamos o conameno do módulo de relça mínmo para códgos oluconas. O prncpal objevo é deerar a melhor escolha de conameno denre as 2 n possbldades de modo a ober um módulo de relça mas compaco e regular com pouco ou nenhum aumeno nas complexdades de relça e comparava. Um conjuno de regras fo consruído para auxlar esa arefa. As opologas de relças conadas proposas nese rabalho podem smplfcar a mplemenação de decodfcadores em hardware e são uma alernava neressane sobre o módulo de relça mínmo. REFERÊNCIAS [] B. F. Uchôa-Flho, R. D. Souza, C. Pmenel, and M. Jar, Convoluonal codes under a mal rells complexy measure, IEEE Trans. Commun., vol. 57, no., pp. -5, Jan. 29. [2] R. J. McElece and W. Ln, The rells complexy of oluonal codes, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 42, no. 6, pp , Nov [3] R. J. McElece, On he BCJR rells for lnear bloc codes, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 42, pp , July 996. [4] A. Lafourcade and A. Vardy, Opmal onalzaon of a rells, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 42, pp , May 996. [5] A. Kasos, P. Rzomlos, and N. Kaloupsds, Flexble oluonal codes: varable rae and complexy, IEEE Trans. Commun., vol. 6, no. 3, pp , Mar. 22. [6] B. U. Pedron, V. A. Pedron, and R. D. 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MENOR VALOR DE n PARA CADA PAR TC( M ) E MC( M ) DE TRELIÇAS SECCIONADAS DE CÓDIGOS LISTADOS EM []. / n TC( M ) MC ( M ) n ν b l d f N 4 n 4 4 (2,2,2,2) (,,,) (,,,2) 5 3,2,,7,8 2 s 4 2 (2,2) (,) (2,3) 6,4,5,8,7 24 n 6 3 (2,3,3) (,,) (2,,2) 6,2,4,8,2 28 n 8 4 (3,3,3,3) (,,,) (,,,2) 7 3,4,7,6,24 4 s 8 2 (3,3) (,) (2,3) 8 5,,3,,45 8 s 6 2 (4,4) (,) (2,3) 9 2,5,8,,2 96 n 24 3 (4,5,5) (,,) (2,,2) 7,,32,,66 28 s 32 4 (5,5,5,5) (,,,) (,,2,) 2,8,9,3,26 3,33 s 4 3 (2,2,2) (,,) (,2,2) 4 3,2,24,56,6 24 s 8 4 (3,3,3,3) (,,,) (,2,,) 4,7,9,48,28 26,67 s 8 3 (3,3,3) (,,) (,2,2) 4,5,3,39, 42,67 m 6 5 (4,4,4,4,4) (,,,,) (,,,,) 5,6,29,78,27 53,33 s 6 3 (4,4,4) (,,) (,2,2) 6 5,,3,,26 74,67 m 26,67 5 (4,5,5,5,5) (,,,,) (,,,,) 6 4,8,48,4,374 6,67 s 32 3 (5,5,5) (,,) (,2,2) 7 2,48,87,328,37 28 n 42,67 4 (5,5,6,6) (,,,) (2,,,) 7,42,82,238,793 s Redução de n e do número máxmo de esados em relação ao perfl da relça mínma lsado em [] sem aleração de complexdade e especro. m Perfl da relça mínma lsado em []. O conameno não produzu uma relça com mesma complexdade e especro da relça mínma em []. n Redução de n em relação ao perfl da relça mínma lsado em [] sem aleração da complexdade e especro.