OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS COM EXTINÇÃO EM MASSA: UMA ABORDA- GEM APLICADA AO PROBLEMA MULTIDIMENSIONAL DA MOCHILA

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1 OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS COM EXTINÇÃO EM MASSA: UMA ABORDA- GEM APLICADA AO PROBLEMA MULTIDIMENSIONAL DA MOCHILA FERNANDA HEMBECKER, HEITOR S. LOPES, DANIEL ROSSATO Unversdade Tecnológca Federal do Paraná (UTFPR) Av. See de Seembro,365, Curba - PR E-mals:fernanda@denes.com.br, hslopes@pesqusador.cnpq.br, rossao.danel@gmal.com Absrac The muldmensonal 0/ knapsack problem s a classcal problem of dscree opmzaon, and here are several approaches for solvng he dfferen varaons of such problem, ncludng mahemacal programmng and heursc mehods. Ths paper presens he applcaon of a varan of Parcle Swarm Opmzaon (PSO) usng mass exncon. PSO, by self, have presened sasfacory resuls and he use of mass exncon a gven momens of he evoluon lead o furher accuracy of resuls. Seleced nsances of ORLb were used for esng he PSO approach and fnal resuls obaned are very close o he opmal known values. Overall, resuls srongly sugges ha PSO s useful and effcen for hs class of combnaoral problems. Keywords parcle swarm opmzaon, mulple knapsack problem, mass exncon Resumo O problema muldmensonal da mochla é um problema clássco de omzação. Aualmene, há város mecansmos para a sua resolução, nclundo dferenes méodos maemácos dscreos e busca esocásca. Ese argo apresena a aplcação da écnca de Omzação por Enxame de Parículas, com momenos de exnção em massa das parículas, para a resolução do problema da mochla. A écnca de enxame, por s só, apresenou resulados basane sasfaóros, e provou-se anda que a exnção das parículas em deermnados momenos da busca aprmora eses resulados. Os dados de eses foram seleconados da ORLb e, para as nsancas esadas, os resulados obdos chegaram muo próxmo das soluções ómas conhecdas. A análse dos resulados sugere o poencal da écnca de omzação por enxame para esa classe de problemas combnaoras. Palavras-chave omzação por enxame de parículas, problema muldmensonal da mochla, exnção em massa Inrodução Problemas de omzação são enconrados em dversas aplcações prácas na ndúsra, em logísca e em ranspores. Tas problemas são caracerzados como suações onde se deve buscar a melhor confguração ou o melhor conjuno de parâmeros que sasfaçam os créros de um objevo específco. Eses problemas vêm sendo esudados amplamene com o apoo da maemáca e da compuação. O Problema da Mochla é um problema clássco de omzação cuja descrção breve refere-se a um conjuno de objeos (com respecvos valores de peso e de sasfação) que devem ser colocados em uma recpene (mochla), obedecendo ao seu lme de capacdade e, ao mesmo empo, alcançando o maor valor de sasfação possível. Exsem, ambém, algumas varanes desa descrção genérca []: problema da mochla smples: apenas uma mochla deve coner o melhor conjuno de objeos; problema muldmensonal da mochla: mas de uma mochla é ulzada; problema da mochla de múlpla escolha: os objeos são separados em subconjunos e no máxmo um objeo pode ser seleconado; problema da mochla lmado: há uma ofera lmada de objeos a serem seleconados. Ese argo raa o Problema Muldmensonal da Mochla PMM (Muldmensonal Knapsack Problem MKP), possvelmene, a versão mas conhecda do problema [2]. Na leraura, ese problema ambém é nulado como Mulconsran Knapsack Problem, Mul-Knapsack Problem, Mulple Knapsack Problem ou 0/ Muldmensonal Knapsack Problem [9]. O PMM se caracerza como um problema NPcompleo. Iso é, não exse algormo que possa resolvê-lo em empo polnomal. A movação dese rabalho é buscar um algormo heurísco que resolva ese problema e que seja efevo em ermos de empo de processameno e de qualdade de solução. Em [6], fo mosrado que a ulzação da écnca de Omzação por Enxame de Parículas OEP (Parcle Swarm Opmzaon PSO) é efcene na resolução do problema da mochla. Os resulados obdos foram basane sasfaóros, chegando a soluções muo próxmas dos ómos conhecdos. Nese rabalho busca-se aprmorar o algormo OEP de forma a melhorar a qualdade das resposas. Na OEP, parículas percorrem um deermnado hperespaço de busca objevando enconrar uma combnação de valores que caracerze uma boa solução para o problema raado. Enreano, esas parículas podem se agrupar em regões que represenam ponos de máxmos locas e dexar de vasculhar o espaço de busca com a abrangênca necessára. Para resolver esa quesão, propõe-se ulzar a écnca de exnção em massa do enxame ao algormo OEP aplcado ao PMM. Acreda-se que desa forma, as

2 parículas aglomeradas em máxmos locas possam explorar ouras regões do espaço de busca e, desa forma, enconrem soluções melhores que as enconradas aé enão. 2 Omzação por Enxame de Parículas O algormo OEP fo crado por Kennedy e Eberhar [7], sendo que a omzação por enxame de parículas fo nsprada no comporameno de agenes socas enconrados na naureza, como pode ser observado na revoada de pássaros, no movmeno de enxames e de cardumes. Neses casos, cada ndvíduo represena uma endade únca e odos se movmenam harmoncamene no espaço aravés da nfluênca múua de cada ndvíduo e do grupo como um odo. Na écnca compuaconal OEP, agenes ou parículas se movmenam em um espaço de busca muldmensonal que represena o unverso de soluções para um deermnado problema [8]. A movmenação de cada parícula é defnda pela memóra da própra parícula e ambém pela nfluênca de odo o grupo (ou de parículas vznhas). As parículas são esruuras basane smples, possundo capacdade lmada de armazenameno: apenas o seu valor de adequação aual (fness), sua velocdade, sua posção aual e o seu melhor valor de fness enconrado aé o momeno. Em relação ao fness, o componene cognvo represena a melhor solução enconrada pela parícula (bes parcle soluon - pbes); o componene socal represena a melhor solução enconrada pelo enxame (bes global soluon - gbes) [8]. Em alguns casos se ulza como componene socal a melhor solução local, que represena a melhor solução em uma vznhança de parículas (bes local soluon lbes). Na maora dos casos, para consderar a nfluênca de parículas vznhas, ulza-se o gbes ao nvés do lbes. As parículas são nserdas em um processo evoluvo onde, a cada eração, defnem o seu novo posconameno no espaço de busca. Desa forma, a cada eração, são defndos novos valores de pbes e gbes que passam a nfluencar o próxmo movmeno das parículas. Como a OEP se caracerza como um méodo de busca heurísca baseado em população, é precso garanr a manuenção da dversdade do enxame durane o processo evoluvo. Esa dversdade é fundamenal para garanr que o espaço de busca seja explorado o mas efcenemene possível. Há suações em que o pbes represena um pono no espaço com bom valor de fness e esá dsane da localzação do gbes, que represena oura boa resposa. Nese caso, observa-se a dversdade do enxame. Porém, há suações onde o pbes e o gbes se referem a parículas muo próxmas, levando o enxame a fcar esagnado em uma regão lmada do espaço de busca. Em resumo, segundo [5], o algormo que represena a versão global de OEP é: a) Incar uma população de parículas com posções e velocdades aleaóras no espaço n-dmensonal que represene as soluções do problema. b) Para cada parícula, calcular seu valor de fness em função de suas n dmensões. c) Comparar o fness da parícula com o componene cognvo pbes. Se o valor aual for melhor que o pbes, aualzar o valor de fness e a localzação do pbes com os respecvos valores da parícula aual. d) Comparar o fness da parícula aual com o componene socal gbes. Se o valor aual for melhor que o gbes, aualzar o valor de fness e a localzação do gbes com os respecvos valores da parícula aual. e) Alerar a velocdade e a posção da parícula, levando em consderação sua posção aual, sua velocdade e os componenes cognvo e socal. f) Reper os passos a parr do em (b) aé angr um deermnado créro de parada, sendo ese um valor de fness esperado ou um número deermnado de erações. No modelo clássco da OEP, a movmenação da -ésma parícula é defnda pela equação, onde a + próxma posção no espaço de busca ( X ) é aualzada de acordo com sua posção aual e a sua velocdade v. X = X + V + () De acordo com [5], por quesões de smplfcação, usa-se a expressão velocdade para represenar, na verdade, Δ X. A velocdade propramene da não é consderada nese caso, sendo, enão, o ermo V defndo de acordo com a equação 2: V = c.. r. Δ pbes + c2. r2 Δ gbes (2) onde r e r 2 são valores aleaóros no nervalo [0..]; c e c 2 são os pesos de pbes e gbes, respecvamene; e Δ pbes e Δ gbes represenam as dsâncas: enre a posção aual da parícula e pbes e enre a posção aual da parícula e gbes, respecvamene. Observase desa forma que o ermo velocdade represena o faor de aualzação da posção da parícula, sendo dreamene proporconal à dsânca enre pbes e gbes. Desa forma, com o passar das erações, a parícula será araída para a regão de pbes ou de gbes. A equação (2) reflee ambém os graus de busca local e global da parícula. Valores mas alos de velocdade ncam a exploração global, ao passo que valores menores ncam a exploração local. Idealmene, não se deve deermnar valores muo alos ou muo pequenos para a velocdade, uma vez que, no prmero caso, regões do espaço de busca podem ser desconsderadas e, no segundo caso, a busca se orna exausva. O algormo do PSO perme enão a def-

3 nção de um valor máxmo de velocdade ( V max ) para conrolar esa suação. Como exemplo, consderando o espaço de busca b-dmensonal, a fgura apresena os elemenos que nfluencam a movmenação da parícula no espaço de busca. Fgura. Influêncas na movmenação das parículas. Como afrmado anerormene, cada parícula é consderada um ndvíduo que aua em um grupo, sendo esa a nerpreação pscológca do algormo OEP [5]. Desa forma, segundo a equação (2), a nfluênca do pbes faz com que a parícula enda a segur o seu melhor comporameno angdo em erações passadas. De forma semelhane, a nfluênca de gbes faz com que a parícula consdere o sucesso obdo por oura parícula do enxame. Aquela equação exge, anda, a defnção das consanes c e c 2 que auam dreamene na nfluênca de pbes e gbes, respecvamene. Na leraura não há sugesão de valores-padrão para esas consanes, que podem possur valores smércos ou assmércos. Enreano, pesqusas sugerem que eses valores devem ser defndos de acordo com as caraceríscas do problema a ser resolvdo [3]. 3 Meodologa No PMM, consdera-se a exsênca de n objeos e m mochlas de capacdades c j (j=,...,m); varáves bnáras x (=,...,n) que assumem o valor, caso o objeo seja seleconado para consar nas mochlas, ou o valor 0 em caso conráro. Todo objeo possu um valor de sasfação p e, para cada mochla, um peso w j específco. O problema de omzação é enão caracerzado pelas equações: n maxmzar = m p x (3) sujeo a wj x c j =,..., n (4) j= onde x = 0 ou =,..., n O objevo do PMM é colocar nas mochlas a seleção deal de objeos que apresene o maor grau de sasfação, sem que a capacdade das mesmas seja exrapolada [9]. Consderando a aplcação da OEP, cada parícula deve represenar uma possível solução do problema. Desa forma, elas são codfcadas como veores de números bnáros onde cada elemeno represena a seleção () ou a ausênca (0) do objeo. O espaço n dmensonal de busca é defndo pela quandade de objeos dsponíves no problema e consdera-se, anda, que um dado objeo seleconado é conablzado em odas as mochlas. De manera semelhane a algormos genécos [4], evenualmene uma parícula pode represenar uma solução nválda para o problema. Iso ocorre porque a omzação é avalada pela equação (3), mas a resrção, apresenada na equação (4), não é dreamene manpulada pelo algormo. Ese po de parícula é permda na OEP, uma vez que o processo evoluvo e as nfluêncas do pbes e do gbes podem ornar uma parícula nválda em uma parícula válda. Desa forma, a parícula não é descarada, mas seu valor de fness sofre uma penaldade ala de modo que não nfluence demasadamene as ouras parículas. Esa penaldade é calculada proporconalmene em função do valor exceddo em relação ao lme das mochlas. Como em ouros ssemas de busca baseados em população, um dos maores desafos é maner a dversdade desa população. Segundo [7], as formas mas esudadas de se maner a dversdade em algormos evoluconáros são: a) crar esruuras complexas de população para reduzr a ransferênca enre genes (ex.: modelo de lhas); b) ulzar operadores especalzados para conrolar e asssr os procedmenos de seleção (ex.: crowdng) c) renroduzr maeral genéco perodcamene (ex.: modelos de exnção em massa). Nese rabalho, aplcou-se a exnção em massa do enxame quando deecada a convergênca premaura para uma únca regão no espaço de busca. Com esa exnção (ou do enxame), as parículas são reposconadas aleaoramene no espaço e connuam com o processo de busca. Nese caso, apenas a posção aual das parículas é alerada, sendo mandos os valores de pbes e gbes enconrados em erações anerores. Desa forma, garane-se que as parículas serão araídas novamene a boas regões do espaço de busca, mas, por omarem novos camnhos, podem descobrr soluções melhores que as anerores e desvar das regões de máxmo local. Acreda-se que desa forma seja possível conrolar a dversdade do enxame. Quando as parículas se concenram em uma regão, pbes e gbes se enconram muo próxmos. Nese caso, a busca local se sobressa em relação à busca global e, assm, correse o rsco de não explorar ouras regões do espaço com possíves soluções melhores que a solução local.

4 4 Expermenos Compuaconas Para os expermenos, foram consderadas nsâncas do problema muldmensonal da mochla dsponblzados na ORLb []. Os grupos seleconados foram: Seno [3], Weng [6] e Wesh [4], com 2, 8 e 30 problemas, respecvamene. O grau de dfculdade dos mesmos vara de acordo com a quandade de mochlas e objeos que cada conjuno apresena. Os conjunos Seno possuem 30 mochlas e 60 objeos. Os conjunos Weng possuem odos 2 mochlas e 28 ou 05 objeos; e os conjunos Wesh, por sua vez, possuem odos 5 mochlas e varam de 30 a 90 objeos. Incalmene, os eses foram efeuados para odas as nsancas do problema da mochla sem que fosse efeuada a exnção do enxame. Nese caso, 500 erações foram rodadas para cada nsânca, resulando em rodadas. Poserormene foram efeuados eses com a exnção em massa do enxame. Para ano, fo consderada convergênca premaura suações onde o fness médo do enxame se maneve consane por um deermnado número de erações. Para defnr ese número, ou seja, o momeno exao da exnção, odas as nsâncas foram esadas com exnção a cada 0, 20, 40, 60, 80, 20, 200 erações sem melhora do fness médo. Nese caso, rodadas foram realzadas e observou-se que, na méda, os melhores resulados foram obdos com a cada 20 erações sem melhora. Ouro pono consderado nos eses fo a varação de c e c 2 e V max para cada conjuno de problemas. Valdando a hpóese de que cada conjuno deve rabalhar com valores específcos desas consanes [3], o caso mas complexo de cada nsânca fo esado com os segunes valores: 0.5,.0,.5 e 2.0 para c e c 2; e.0,.5 e 2.0 para V max. Os expermenos ndcaram que o melhor grupo de valores para cada nsânca é: Seno: c= 2.0; c2= 0.5; Vmax=.5 Weng: c= 2.0; c2= 0.5; Vmax= 2.0 Wesh: c= 2.0; c2= 0.5; Vmax= 2.0 Uma vez defndos os valores das consanes e do momeno exao da exnção, as nsâncas foram esadas e os resulados obdos para a nsânca Wesh são apresenados na abela. A fgura 2 apresena o resulado dos eses efeuados sobre a nsânca Weng, sendo mosrado o percenual de melhora das soluções obdas ulzando a exnção em massa (com referênca ao mesmo problema sem a exnção). Nesa fgura é mosrada a melhora obda ano para o melhor resulado obdo, quano para a méda das dversas rodadas. conjunos wesh objeos Tabela : Resulados para a nsânca Wesh ómo conhecdo melhor sem melhor com dferença absolua sem dferença absolua com melhora na méda com ,00% 0,00% 0,20% ,00% 0,00% 0,4% ,00% 0,00% 0,45% ,00% 0,00% 0,0% ,00% 0,00% 0,03% ,00% 0,00% 0,38% ,00% 0,00% 0,62% ,00% 0,00% 0,56% ,00% 0,00% 0,28% ,00% 0,00% 0,34% ,00% 0,00% 0,72% ,00% 0,00% 0,7% ,00% 0,00% 0,56% ,00% 0,00% 0,88% ,00% 0,00%,07% ,00% 0,00% 0,67% ,00% 0,00%,00% ,48% 0,00%,94% ,00% 0,00%,43% ,29% 0,00%,7% ,00% 0,00%,34% ,2% 20,2%,45% ,00% 0,00% 2,57% ,90% 4,89%,74% ,2% 0,00%,57% ,26% 0,00% 3,06% ,06% 0,00% 2,% ,23% 0,00% 4,54% ,58% 0,00% 4,% ,53% 0,00% 4,33% 6% 4% 2% 0% 8% 6% 4% 2% 0% 0,29% 0,45%,37% 0,57% 2,8% Fgura 2. Melhoras obdas com sobre a nsânca Weng. 5 Conclusões e Trabalhos Fuuros De acordo com a abela,o desempenho médo do PSO sem exnção, nos 30 casos da nsânca Wesh, fo de,83% abaxo do ómo conhecdo. Além dso, em 66,67% dos casos, angu-se o ómo. Por ouro lado, para o PSO com exnção em massa, o desempenho fo de 0,83% do ómo conhecdo, sendo que em 93,33% dos casos o ómo fo enconrado. 0,28% 2,9% 0,59% 4,04% ,6% Méda Máxmo

5 O valor médo do fness das parículas com a aplcação da exnção eve uma melhora de,35%. Mesmo sendo um valor relavamene baxo, observou-se que a melhora do desempenho (dferença absolua com ) fo sgnfcava, o que ndca que a manuenção da dversdade do enxame efevamene melhora os resulados. A melhora do fness médo ambém se observa nos conjunos Weng, como mosrado na fgura 2. Para o conjuno Weng8, a melhora no fness médo em 4.04% ocasonou a melhora em 3.6% no máxmo enconrado. No rabalho proposo por Beasley [2] ulzou-se algormos genécos para resolver o problema da mochla. Para os conjunos Seno, Weng e Wesh, foram enconrados os valores ómos, mas para sso, fo necessáro realzar erações aé que ndvíduos não duplcados fossem gerados. Nese caso, a resposa óma é enconrada, mas o cuso compuaconal é basane elevado Nos eses efeuados, consaou-se que a defnção de valores específcos de c e c 2 e V max para cada conjuno de problemas afea os resulados. Ou seja, a OEP é sensível aos seus parâmeros de conrole e ese fao alera o modo como o espaço de busca é percorrdo [5]. Em rabalhos fuuros preende-se esudar a varação dnâmca da nfluênca dos componenes cognvo e socal em dferenes momenos da busca. Ou seja, com a ulzação de esraégas auo-adapavas [2], pode-se refnar o raameno dos parâmeros a fm de ober um conrole mas efcene da movmenação das parículas. Em [0], apresena-se uma hbrdzação do méodo OEP com busca local, levando à obenção de resulados melhores do que os obdos com a OEP pura. Esa ambém será uma oura lnha de pesqusa fuura. De forma geral, pode-se dzer que a ulzação de heuríscas ndependenes do problema como o caso da OEP, garanem a efcênca na varredura do espaço de busca para problemas complexos. Mesmo sensíves a alguns parâmeros de confguração, podem ser vsas como écncas promssoras na resolução de problemas combnaoras. Agradecmeno O auor H.S. Lopes agradece o CNPq pelo apoo aravés da bolsa PQ, processo Referêncas Bblográfcas. Beasley, J.E. (2005) ORLb _ Operaons Research Lbrary. [hp://people.brunel.ac.uk/- masjjb/jeb/ orlb/fles/mknap2:x]. 2. Beasley, J.E. e Chu, P.C. (998) Genec algorhm for he muldmensonal knapsack problem. Journal of Heurscs 4: Clerc, M. (999) The swarm and he queen: owards a deermnsc and adapve parcle swarm opmzaon. Proc. IEEE Congress on Evoluonary Compuaon, 3, pp Eberhar, R.C. e Sh, Y. (998) Comparson beween genec algorhms and parcle swarm opmzaon. Proc. 7h Annual Conference on Evoluonary Programmng, pp Eberhar, R.C. e Sh, Y. (200) Parcle swarm opmzaon: developmens, applcaons and resources. Proc. Congress on Evoluonary Compuaon,, pp Hembecker, F., Lopes, H.S., e Godoy Jr., W. (2007) Parcle swarm opmzaon for he muldmensonal knapsack problem. Proc. 8h In. Conf. Adapve and Naural Compung Algorhms, par I, LNCS v. 443, pp Hoff, A., Løkkeangen, A. e Me, I. (996) Genec algorhm for 0/ muldmensonal knapsack problems. Proc. Norsk Informakk Konferanse, [s.p.]. 8. Kennedy, J. e Eberhar, R.C. (200) Swarm Inellgence. Morgan Kauffmann, San Francsco. 9. Khur, S., Bäck, T. e Hekoeer, J. (994) The zero/one mulple knapsack problem and genec algorhm. Proc. ACM Symposum on Appled Compung, Phoenx, USA, pp Lopes, H.S. e Coelho, L.S. (2005) Parcle swarm opmzaon wh fas local search for he blnd ravellng salesman problem. Proc. 5h Hybrd Inellgen Sysems Conference, Ro de Janero, Brazl, pp Marelo, S. e Toh, P. (990) Knapsack Problems - Algorhms and Compuer Implemenaons. John Wley & Sons, New York. 2. Maruo, M.H., Lopes, H.S. e Delgado, M.R.B.S. (2005) Self-adapng evoluonary parameers: encodng aspecs for combnaoral opmzaon problems. Proc. Evoluonary Compuaon for Combnaoral Problems, LNCS, v. 3448, pp Senyu, S. e Toyoda, Y. (967) An approach o lnear programmng wh 0- varables. Managemen Scence, 5:B96 B Shh, W. (979) A branch and bound mehod for he mulconsran zero-one knapsack problem. Journal of he Operaonal Research Socey, 30: Trelea, I.C. (2003) The parcle swarm opmzaon algorhm: convergence analyss and parameer selecon. Informaon Processng Leers, 85(6): Wengarner, H.M. e Ness, D.N. (967) Mehods for he soluon of muldmensonal 0/ knapsack problems. Operaons Research, 5: Ursem, R.U., (2002) Dversy-guded evoluonary algorhms. Proc. of Parallel Problem Solvng from Naure, LNCS, v. 2439, pp