2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

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1 REVIÃO BIBLIOGRÁFICA. Inrodução Nes pre do rblho, serão presendos lguns conceios de séries emporis, ssim como lguns modelos esísicos e modelos de ineligênci compucionl que são uilizdos pr previsão. Além disso, será pondo como eses modelos podem ser esendidos pr ddos de l freqüênci... érie emporl Um série emporl é um coleção de observções de um cer vriável leóri, ordends seqüencilmene no empo, em inervlos eqüidisnes ( cd minuo, cd quinze minuos, horário, diário, semnl, mensl, rimesrl, nul), de l form que exis dependênci seril o longo do empo. Denominndo-se o vlor d vriável leóri no insne, série emporl pode ser escri por,,...,, sendo o mnho d série, o qul reflee o número de observções d vriável (ouz e Cmrgo, 004). Ese conceio de série emporl é bem disino do de mosr leóri. Nesse úlimo, em-se um populção e cd elemeno dess em um probbilidde (diferene de zero) de ser incluíd n mosr (subconjuno d populção). Por exemplo, o médico, o pesr e medir um deermind crinç odos os meses, o longo de um no, erá consruído um série emporl de mnho. Em conr prid, o o de selecionr (rvés de écnics de mosrgem) crinçs de um escolinh, fim de verificr qul é lur e o peso médio ds crinçs dess escol, crceriz um mosr leóri. Em séries emporis, podem-se usr dus perspecivs: Análise no Domínio do empo

2 Revisão Bibliográfic 9 Nese cso, é considerd evolução emporl do processo, iso é, o ineresse esá voldo pr dimensão do eveno no insne de empo. Pr ese ipo de vlição, são usds s funções de uocovriânci e uocorrelção. A uocovriânci é covriânci d série com el mesm, porém em um inervlo defsdo em, podendo ser escrio d seguine form: covriânci de com : γ [, ] E[ ( µ )( µ )] ( µ )( µ ) P(, ) d d Cov endo: µ médi do processo e P(, ) função de densidde de probbilidde conjun ds vriáveis e. Pr um série emporl, como já definid, uocovriânci pode ser esimd por: γ ( )( ) endo médi de descri por: A uocorrelção mosr qunidde de defsgens que dependem de e é definid como sendo uocovriânci pdronizd: γ ρ γ 0 Vr [, ] ( ) Vr( ) Cov endo: γ 0 vriânci e Vr( ) Vr( ) ρ 0 ρ ρ Pode-se esimr uocorrelção de um série d seguine form: γ ρ γ 0 ( )( ) ( )

3 Revisão Bibliográfic 0 Há mbém uocorrelção prcil, que nlis correlção seril pens enre e, não considerndo s observções inermediáris, podendo, enão, ser represend d seguine form: Cor ( ),,..., Análise no Domínio d Freqüênci Nese cso, nálise é fei sobre freqüênci com que os evenos ocorrem e é uilizd qundo os componenes hrmônicos d série são mis significnes. Pr l, é uilizd densidde especrl, com qul é possível exrir s proprieddes relcionds à freqüênci. Um vez que o especro de um processo não é conhecido, é necessário esimá-lo, o que é, gerlmene, feio rvés do periodogrm de jnels especris... Processo Esocásico Um série emporl é um relizção de um processo esocásico. Assim, um série emporl y pode ser definid como um função y d vriável independene, que é gerd por um processo esocásico desconhecido (ouz e Cmrgo, 004). Um processo esocásico é definido como sendo um conjuno de vriáveis leóris definids por um lei de probbiliddes. Como o processo esocásico é um mecnismo pr gerr ddos que não é descrio por um função deerminísic, seu compormeno fuuro em que ser descrio probbilisicmene. O processo somene pode ser esisicmene deermindo qundo ods s sus funções de disribuição de probbilidde são conhecids é -ésim ordem (Brros, 004). N práic, não se conhecem ods s funções de probbilidde é - ésim ordem e, em regr, em-se somene um relizção do processo esocásico, prir do qul se desej inferir sobre o mecnismo gerdor d série. Devido iso, ssumem-se dus resrições pr superr esses empecilhos: escionriedde e ergodicidde.

4 Revisão Bibliográfic No processo esocásico escionário lgums crcerísics permnecem consnes o longo do empo, sendo que escionriedde pode ser do ipo fore ou frc. N escionriedde fore ou esri form d disribuição conjun do processo permnece sem vrição medine um rnslção emporl. Como n práic é muio difícil especificr disribuição conjun de um processo esocásico, há versão mis frc, n qul somene lguns momenos do processo permnecem inlerdos no empo (Medeiros, 005). Assim, escionriedde frc ou de segund ordem ocorre qundo médi e vriânci do processo são consnes no empo e su esruur de dependênci liner depende pens d disânci enre os períodos (d defsgem), iso é: E E [ ] µ [ ] σ [( µ )( µ )] γ Vr A ergodicidde ocorre qundo um únic relizção de um processo esocásico é suficiene pr ober ods s sus esísics. Por isso, odo processo ergóico é mbém escionário, viso que se for não escionário, não conerá ods s informções necessáris pr especificção do processo. A série emporl e o processo esocásico possuem um relção nálog à de um mosr e d populção d qul el foi exríd. Enão, o objeivo d nálise de um série emporl é reirr de um relidde (processo esocásico) um mosr fini de ddos eqüidisnes no empo (série emporl) e idenificr um modelo que sej cpz de inferir sobre o compormeno d relidde (processo esocásico)...3 Previsão de éries emporis O modelo jusdo pode ser usdo pr fzer previsões dos vlores fuuros. Assim, bsedos ns informções pssds e uis, são esimdos, de form quniiv, os evenos fuuros. Em um previsão, o horizone é o inervlo de empo à frene, prir d úlim observção, pr o qul os vlores são esimdos. Além disso, denomin-se

5 Revisão Bibliográfic número de pssos à frene d previsão o número de inervlos previsos prir d origem (ouz, 989). Dess form, previsão denod por ( ) é definid como espernç condicionl de ddos os vlores pssdos: ( ) E (,,...) endo os vlores serem previsos pr,,... Um previsão quniiv pode ser crcerizd rvés d su origem, do número de pssos à frene, de seu vlor ponul e de um medid de incerez el ssocid. Pr definir os vlores fuuros d série em quesão, é necessário formulr um modelo memáico que sej cpz de represenr o compormeno e s crcerísics d série em quesão. Há váris écnics que podem ser empregds n previsão de séries emporis, mis especificmene n previsão de crg eléric, objeo desse esudo. A seguir, serão presends lgums desss écnics. êm-se os modelos univridos que uilizm somene os vlores pssdos d própri série pr explicr os vlores fuuros. Denro desses, há os méodos de decomposição, méodos de morecimeno exponencil e os modelos de Box & Jenins. Um exemplo é uilizr somene os vlores pssdos de crg de energi eléric pr prever própri crg. Já os modelos cusis, ou modelos de função de rnsferênci, usm os vlores pssdos d própri série ser previs e de ours séries que possuem relção com o que se quer prever. Nese cso, poder-se-i prever crg de energi eléric usndo seu hisórico e série de emperur, por exemplo. Há mbém os modelos mulivridos, com os quis é possível fzer previsões de váris séries o mesmo empo como, por exemplo, prever crg de energi de váris concessionáris simulnemene. Os modelos de ineligênci rificil mbém podem ser usdos em previsão. O objeivo desses modelos é desenvolver lgorimos que sejm cpzes de reproduzir refs que são relizds por seres humnos e necessim de cognição, como o rciocínio, prendizgem e o uo-perfeiçomeno (Hyin, 999).

6 Revisão Bibliográfic 3. Méodo Ingênuo (NAÍVE) Ese méodo, mbém conhecido como rndom wl (psseio leório), é o mis simples pr relizr previsão de um vriável, no qul o vlor previso será igul o úlimo vlor observdo (independene de qunos pssos à frene). Porno, ese méodo possui seguine equção: ε Denondo previsão τ pssos à frene prir do insne por ( τ ), ou sej, o vlor previso pr seguine form: τ, pode-se escrever equção de previsão d [ ] E( ) ( ) E ( ε ) τ τ τ τ Por su simplicidde, o méodo ingênuo é usdo como criério de comprção (benchmr), iso é, o modelo ser esdo em que ser sempre melhor do que ese. Pr l, us-se esísic GMRAE, Geomeric Men of he Relive Absolue Error (Armsrong & Collopy, 99). GMRAE RAE m, h, s m, h N RAE s F F m, h, s rw, h, s A A h, s h, s m, h, s / N endo: m o méodo de previsão; rw o méodo ingênuo; h o horizone de previsão; s série ser previs; F m,h,s é previsão fei pelo méodo m, pr série s, h pssos à frene; A h,s é o vlor d série s, h pssos à frene; N é o número de séries uilizds; RAE erro bsoluo relivo (relive bsolue error). Pr ddos de l freqüênci com szonlidde, o méodo ingênuo possui o seguine modelo pr previsão: endo szonlidde. ( τ ) E( ) τ

7 Revisão Bibliográfic 4.3 Médi Móvel No méodo de médi móvel, cd nov observção é clculd pel médi de n (n é denomindo o mnho d jnel) ponos neriores (Mongomery, 990): (... n ) n Nese cso, o mnho d jnel é o prâmero ser jusdo, sendo necessário buscr um equilíbrio, pois quno mior o mnho d jnel, mis suve será o compormeno d médi e, conseqüenemene, mis imune ruídos e movimenos curos el esrá. Porém, se o mnho d jnel for muio grnde, série previs irá regir de mneir muio len às mudnçs significivs. Com bse nisso, pode-se er um modelo de médi móvel simples, no qul série é crcerizd loclmene por seu nível, sendo s mudnçs ocorrids, nesse ipo de cso, de cráer muio leno. Há médi móvel dupl, onde série possui endênci diiv, sendo que médi dess série sofre um lerção liner o longo do empo. Já médi móvel ripl, é uilizd em séries com endênci qudráic, sendo seu efeio muliplicivo. O modelo de médi móvel simples é: ε E equção de previsão τ pssos à frene, fei no insne é: ( τ ) ( ) Nele, série oscil em orno de um nível médio consne, nesse cso, o qul precis ser esimdo. Considerndo â ( ) o esimdor do prâmero no insne, em-se:... ( ) M N O modelo pr médi móvel dupl é: N ε endo o modelo de previsão τ pssos à frene fei em igul : ( τ ) ( ) ( )[ τ ] Os esimdores dos prâmeros no insne são clculdos por:

8 Revisão Bibliográfic 5 endo: M M [ ] M [ ] ( ) M M ( ) N [ ] [ ] ( ) M M... N M... M N N N (médi móvel simples de mnho N) (médi móvel dupl de mnho N) O modelo pr médi móvel ripl é: 3 ε E previsão pr ese modelo, τ pssos à frene, é: ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] τ τ 3 τ endo, ( ), ( ), 3( ) clculdos pels médis móveis de mnho N: simples ( M ) ripl [ 3] ( ) M. os esimdores dos prâmeros no insne,, dupl [ ] ( ) M e O modelo de previsão pr ddos com szonlidde uilizndo médis móveis pode ser escrio por: n ( τ ) E(... ) τ τ τ n.4 Méodos de Amorecimeno Exponencil Grdner (006) rz em seu rigo um descrição sobre o esdo d re dos méodos de morecimeno exponencil é ulidde. Nese rblho, o uor rel que o méodo de morecimeno exponencil foi inicilmene desenvolvido por Rober G. Brown no período em que ele rblhv pr mrinh nore-mericn durne II Guerr Mundil, onde uilizou ese modelo pr prever locliddes de submrinos, com o inuio de inercepá-los. N décd de 50, Brown expndiu o modelo, desenvolvendo méodos pr endênci e szonlidde. Aind ness décd, e rblhndo independenemene de Brown, Chrles C. Hol desenvolveu um méodo similr o

9 Revisão Bibliográfic 6 morecimeno exponencil considerndo um endênci diiv (l rblho foi publicdo há poucos nos em Hol (004) e Hol (004b)). Conudo, ess idéi foi esd por Peer R. Winers (Winers, 960) e, por isso, ficou denomind como méodo de Hol-Winers. Os méodos de morecimeno exponencil são clssificdos como sendo uomáicos e de vlidde locl. Eles se bseim n idéi de que s observções mis recenes conêm mis informções do que s observções mis nigs e, por isso, o peso decresce à medid que observção orn-se nig ( x de decréscimo é deermind por um ou mis consnes de morecimeno), diferenemene do méodo ds médis móveis em que ods s observções êm o mesmo peso, limindo o modelo (ouz, 983). Mesmo esndo bsed em um filosofi simples, ess clsse de méodos produz, gerlmene, bons resuldos e, por isso, é freqüenemene uilizd como referênci no desenvolvimeno de modelos de previsão. Além disso, robusez e curcidde desses méodos êm umendo sus forms de plicção e uilizção, principlmene em séries emporis que precism ser ulizds rvés de um procedimeno uomáico..4. Méodos de Amorecimeno de Brown Nes clsse, esão os modelos uomáicos pr séries não szonis, podendo ser os modelos: simples, duplo e riplo. A diferenç desses modelos pr os de médis móveis esá n esimção ds consnes de morecimeno. Por isso, seguir, será mosrdo pens como s consnes são esimds em cd cso. (i) imples: ( ) ( ) ( ) ( ) (ii) Duplo: [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [] ( ) [] ( )

10 Revisão Bibliográfic 7 (iii) riplo: ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) Méodos de Amorecimeno de Hol Ese méodo possui mesm formulção que o nerior. O grnde diferencil esá n ulizção dos prâmeros. Enquno o primeiro usv o mesmo hiperprâmero pr ulizr cd prâmero (no cso nerior, foi usdo em odos), ese méodo us um hiperprâmero diferene em cd prâmero. Abixo serão mosrdos o modelo e s equções de ulizção pr o cso de um série com endênci liner, sendo que o mesmo pode ser esendido pr o cso de endênci qudráic (pr endênci consne, os dois méodos são equivlenes ddo que só erá um prâmero ser ulizdo). Modelo: ε Equção de previsão, considerndo origem deslocd pr : ( ) ( ) ( )τ τ Pr esse cso, os esimdores de ( ) e ( ), clculdos vi morecimeno exponencil com consnes e β, são: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) β β Aind, pode-se er endênci morecid, o que é conhecid como dmped rend (ylor, 003b). Nesse cso, eri-se mis um consne de morecimeno, φ, e equção de previsão do modelo seri: ( ) ( ) ( ) j j τ ϕ τ

11 Revisão Bibliográfic 8 Assim, se 0<φ<, endênci é morecid (dmped) e previsão se proxim d ssíno: () () ϕ. Cso conrário, se φ>, endênci ϕ pss er um compormeno exponencil, que pode ser explosivo..4.3 Méodos de Amorecimeno de Hol-Winers Ese méodo foi inroduzido por Winers pr modelr séries que presenm vrição cíclic. Diferenemene dos dois méodos neriores, que não incorporvm szonlidde (eles inhm pens endênci), ese méodo inclui szonlidde em seu modelo, sendo que ess pode ser diiv, que é recomendd pr séries homocedásics, ou mulipliciv, recomendd pr séries heerocedásics. Exemplos desss componenes enconrm-se n figur.0: Figur.0 Exemplo d componene endênci e szonlidde endênci zonlidde diivo muliplicivo As séries homocedásics são quels n qul vriânci não cresce o decorrer do empo, sendo comum em séries físics. As heerocedásics possuem vriânci crescene, ocorrendo gerlmene em séries de mercdo.

12 Revisão Bibliográfic 9 (i) Modelo Adiivo ej série,, com endênci e um pdrão szonl. Pode-se escrever seu modelo d seguine form: c ε endo, c o for szonl. Nese modelo, os fores szonis êm que seguir seguine resrição: endo: L o mnho do for szonl. L i Denondo ( ), ( ), c ( ) c i () 0 i s esimivs dos componenes nível, endênci e fores szonis, respecivmene, no insne, em-se que pr ese insne, eles são clculdos por: c m [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ cm ] ( ) β[ ( ) ( ) ] ( ) β ( ) ( )( ) [ ( )] ( ) γ γ cm( )( ) endo, β e γ s consnes de morecimeno. Assim, equção de previsão, pr τ períodos à frene, fei no insne, pode ser escri por: ( ) ( ) ( ) τ c ( )( ) τ m τ Pr uilizção dese modelo, é necessário que os prâmeros iniciis ( 0), ( 0), c ( 0) i, i,..., L, sejm pré-clculdos. A esimiv desses prâmeros iniciis pode ser obid rvés dos ddos hisóricos e esão descrios de form delhd em Mongomery (990). (ii) Modelo Muliplicivo Es é versão do modelo pr o cso muliplicivo, que em premiss que mpliude d szonlidde vri no empo. Assocido iso, el coninu possuindo formulção diiv pr componene endênci, ssim ese modelo incorpor endênci liner com o efeio szonl muliplicivo. Enão, ese modelo pode ser escrio por: ( ) ε c

13 Revisão Bibliográfic 30 Aqui, os fores szonis são is que su som é igul o comprimeno d szonlidde, iso é: L i c () L i Enão, denondo por ( ), ( ), c ( ) i, pr i,..., L, o nível, endênci e os fores szonis, respecivmene, esimdos em, eses podem ser ulizdos, dmiindo o conhecimeno de seus resuldos em -, por: c ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ) cm ( ) β ( ( ) ( ) ) ( β ) ( ) m ( )( ) γ ( ) ( γ ) c ( )( ) m endo:, β e γ s consnes de morecimeno; os demis fores szonis: c ( ) c ( ) i i ; i,,..., L, pr i m(). Assim como no modelo diivo, é necessário esimr os prâmeros iniciis: ( 0), ( 0), c ( 0) i, i,..., L, os quis esão delhdos em Mongomery (990). Nese rblho será uilizd um exensão do modelo de Hol-Winers em ddos de l freqüênci. Ess meodologi esá delhd no próximo cpíulo..5 Méodo de Amorecimeno Direo O méodo de morecimeno direo é uilizdo n esimção dos prâmeros que compõe os modelos definidos como combinções lineres de funções do empo. Ess esimção é fei rvés dos mínimos qudrdos ponderdos ouz (983). Assumindo um série emporl, o modelo pode ser represendo por: i i f i () ε ;,,..., Onde: i : i,,..., são os prâmeros do modelo; f i (): i,,..., são funções memáics do empo;

14 Revisão Bibliográfic 3 ε : ruído do sisem, sendo ese independene e idenicmene disribuído com médi nul e vriânci consne σ ε ;. Pode-se reescrever fórmul cim d seguine form: endo: [... ] ; f () [ f () f ()... f () ] ; []. signific o rnsposo de [].. f ( ) ε O esimdor de mínimos qudrdos ponderdos (MQP) é definido pel minimizção d seguine função: E w ε As quniddes, f(), ε e w podem ser reescris d seguine form:... ( ) [ ] ε... f ( ) [ ] εε ε f() f ( ) Λ f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f Λ f ( ) Μ f ( ) f ( ) Λ f ( ) w ( ) w 0 w... 0 w Assim, é possível reescrever equção de minimizção do erro d seguine form: E ( wε ) ( wε ) ε w ε [ f ( ) ] w [ f ( ) ] Com isso, é possível enconrr o esimdor de MQP de, pr o insne, â ( ), bsndo pr l diferencir função cim em relção o veor e igulr zero. Assim, cheg-se :

15 Revisão Bibliográfic 3 endo: G( ) [ w f ( )] [ w f ( )] g ; ( ) f ( ) w. ( ) G ( ) g( ) Agor, fzendo mriz de pesos w ser dd por: w β - 0 β -... β 0 endo 0<β<, que é considerdo o for de descono. Além disso, s funções f i devem ser is que seguine relção sej sisfei: f i ( ) L f ( ) endo: i,,...,. Com isso, o vlor d função no insne pode ser escrio como um combinção liner ds funções no insne, e s expressões dos esimdores e sus vriâncis ornm-se simplificds. Mis delhes sobre esss equções podem ser enconrdos em Mongomery (990) e Lourenço (998). Exisem váris plicções ns quis foi uilizdo o Méodo de Amorecimeno Direo em previsões de séries de energi eléric, usndo ddos de l freqüênci. Um exemplo do uso dess écnic esá em Qudrelli (998), que uilizou n previsão de crg eléric horári e diári, com ddos de um concessionári do Brsil. Qudrelli ind uilizou o méodo de decomposição de Gup (que será presendo ind nese cpíulo) pr previsão diári, e consou que esse méodo presenv melhores resuldos do que o méodo de morecimeno direo. Já pr previsão dos ddos horários, o méodo de morecimeno direo presenou bons resuldos. Mesmo endo enconrdo modelos que gerssem bons j ij j

16 Revisão Bibliográfic 33 resuldos pr os períodos previsos, Qudrelli descou que nenhum dos dois modelos mosrou um bom juse o prever um di de ferido. Um ouro exemplo do uso dess meodologi pode ser enconrdo em Eseves (003), em que uor uilizou ese modelo e o de Hol-Winers com múliplos ciclos pr fzer previsão horári, 4 pssos à frene, d crg eléric de um concessionári do Brsil. No enno, o modelo de morecimeno direo não presenou bons resuldos o ser comprdo o ouro modelo uilizdo..6 Modelo de Box & Jenins O modelo de Box & Jenins (B&J) surgiu n décd de 970 e em como bse eori Gerl de isems Lineres, qul supõe que pssgem de um ruído brnco por um filro liner de memóri infini ger um processo escionário de segund ordem (ouz e Cmrgo, 004). Assim, em-se que, como n figur.0: Figur.0 - Gerção de um série emporl ruído brnco Filro Liner ψ w processo escionário Enão, o objeivo é enconrr o sisem inverso que, prir de um série emporl, sej cpz de gerr um ruído brnco, como figur.03 bixo. e iso ocorrer, é porque se conseguiu cpr od esruur de dependênci d série emporl. Figur.03 - Análise de um série emporl série emporl x Filro Liner Ψ - ruído brnco Ess meodologi ssume que série emporl de ineresse foi gerd por um processo escionário de segund ordem. Como nem sempre iso ocorre, plicm-se diferencições sucessivs é orná-l escionári. Assim, n

17 Revisão Bibliográfic 34 formulção B&J, uiliz-se o operdor de rso B (bcwrd shif operor) definido como: O modelo de B&J segue equção: B ( ) w Ψ B ψ K 0 Como Ψ ( B) possui infinios prâmeros, o que é um problem, B&J rgumen que, sob lgums resrições, pode-se dizer que odo polinômio infinio pode ser expresso pelo quociene de dois polinômios finios. endo ssim: endo: θ φ ( B q ) θ B θ B Κ θ q B Ψ θ B ( B) ( ) φ ( B) Polinômio MA(q) ( B p ) φ B φ B Κ φ Polinômio AR(p) p B Assim, em-se os modelos ARMA(p,q) que possuem seguine form: ( B) w θ ( B) φ Como série emporl precisr ser escionári pr poder ser modeld, uiliz-se o operdor diferenç fim de diferencir série quns vezes forem necessáris pr orná-l escionári de segund ordem. Dess form, dd um série não escionári, quer-se orná-l em um série X escionári, enão: endo: ( B) X B operdor de diferenç ( B) Generlizndo, um série w orn-se escionári pós plicção de d (d0,,,...) diferençs n série originl : modelos ARIMA(p,d,q) d seguine form: w d ( B) θ ( B) φ d. Com isso, êm-se os.6.- Modelos Box & Jenins com zonlidde: ARIMA É comum enconrr séries, lém de não escionáris, que presenm componene szonl. Por isso, B&J desenvolverm os modelos ARIMA, os

18 Revisão Bibliográfic 35 quis incluem correlção seril denro e enre os períodos szonis. Nese cso, equção do modelo segue: endo: φ D d ( B) Φ( B ) θ ( B) Θ( B ) φ ( B) : operdor não szonl uo-regressivo; φ i : prâmeros uo-regressivo não-szonis; ( B) d d : operdor diferenç não szonl de ordem d; Φ ( B ) : operdor szonl uo-regressivo; Φ i : prâmeros uo-regressivo szonis; D ( B ) D : operdor diferenç szonl de ordem D; θ ( B) : operdor não szonl de médis móveis; θ i : prâmeros de médis móveis não szonis; Θ ( B ) : operdor szonl de médis móveis Θ i : prâmeros de médis móveis szonis. O modelo com ess esruur é denomindo ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q) e o procedimeno pr obenção desse modelo segue os mesmos pssos que modelgem ARIMA, usd pr séries não szonis. Pode-se ind escrever o modelo ARIMA em função de dois ciclos, iso é ARIMA(p,d,q)x(P,D,Q ) x(p,d,q), de form que poss ser usdo em ddos de l freqüênci. Assim em-se: φ p d D D ( B) Φ P ( B ) Ω P ( B ) θ q ( B) Θ Q ( B ) Q ( B ) Ψ Um exemplo d plicção des meodologi pode ser enconrdo em ylor & Mchrry (007), no qul ese modelo (lém de ouros) é plicdo pr séries de energi eléric de onze píses d Europ, pr previsão horári, vine e quro pssos à frene..7 Modelo de Decomposição de Gup

19 Revisão Bibliográfic 36 Ese modelo foi desenvolvido pr ser uilizdo em previsão de curo przo e pr l uiliz os ddos hisóricos e os efeios ds vriáveis climáics, como será presendo seguir (Bunn & Frmer, 985)..7. Modelo pr Crg Pdrão Pr formulr crg pdrão, uiliz-se um méodo esocásico de form que crg rel, d hor h do di d, é modeld rvés de um componene pdrão e um residul. u form diiv pode ser represend por: ( d, P( d, X ( d, endo: crg d hor h, pr o di d; P componene pdrão; X componene residul que coném vrições n hor devido fores leórios. A componene pdrão pode ser dividid em dus pres, um que represen o nível e our o efeio do ciclo semnl, ssim: P ( d, N( d, ( d, endo: N componene do nível d hor h pr o di d; componene do ciclo semnl (represen o efeio do di d semn) pr hor h, do di d. Enão: ( d, N( d, ( d, X ( d, Nese cso, componene do nível é pricmene um consne, vrindo muio pouco de um di pr o ouro; componene do ciclo reflee o pdrão semnl d crg; componene residul, vrição n crg horári devido fores leórios. A seguir é mosrdo como cd um ds componenes cim é clculd: A componene do nível é clculd por um médi móvel de mnho 7: d N( d, ( i,, pr d 7 7 i d 6 A componene do ciclo semnl é clculd por um morecimeno exponencil: pr i 7 pr i < 7

20 Revisão Bibliográfic 37 ( d, endo [ 0,;0,5] ( d 7, [ ( d, N( d, ( d 7, ] ( d, N( 7, A componene leóri pode ser modeld por um modelo uo-regressivo: X ( d, AX ( d, E( d, endo: A um mriz 4x4 que possui os coeficienes; E um veor 4x que possui os erros do modelo Assim, o modelo de previsão é ddo por: endo: X ( d ) AX ( d) ( d, N( d, ( d, X ( d,, esndo qui X represendo n form mricil..7. Modelo pr s vriáveis climáics Pr modelr s vriáveis climáics, Gup propôs um modelo no qul essênci é precid com do modelo pr crg pdrão. Nese modelo, o pico de crg do di será represendo em ermos ds vriáveis climáics: W ( d) B( d) C( d) M ( d) A( d) endo: W (d) o pico d crg do di d; B (d) componene de nível do pico d crg do di d; C (d) componene do compormeno semnl do pico d crg do di d; M (d) componene meeorológic do pico d crg do di d; A (d) componene leóri do pico d crg do di d. No modelo cim, componene meeorológic pode represenr um função liner ou um rnsformção de vriáveis climáics. A equção de previsão desse modelo é: ( d ) B ( d ) C ( d ) M ( d ) W Com isso, equção de previsão d crg finl é dd pel combinção desses dois modelos: [ ( d,, W ( ) ] P ( d, F d Um uso dess meodologi esá em obrl (999), em que uor desenvolve um modelo de previsão de curo przo pr crg eléric horári, empregndo, mbém, informções climáics. Nesse rblho, s curvs ípics

21 Revisão Bibliográfic 38 de crg form clssificds usndo o mp uo-orgnizável de Kohonen. Assim, o modelo de previsão de crg de Gup foi dpdo esss enrds. Um our lerção que uor propôs ese modelo foi o uso de um sisem de lógic fuzzy pr rr s vriáveis meeorológics o invés de uilizr o modelo de crg-clim proposo por Gup. Ese modelo mbém foi uilizdo por Qudrelli (998), como descrio n seção de Amorecimeno Direo, e presenou bons resuldos..8 Regressão Dinâmic Os modelos de regressão liner gerlmene uilizdos prem do princípio que os erros oriundos do modelo possuem médi zero, vriânci consne, disribuição Norml e independênci. Conudo, sbe-se que os resíduos gerdos pelos modelos de séries emporis cosumm presenr correlções posiivs, e mis: erros posiivos êm endênci de serem seguidos por ouros mbém posiivos, o mesmo ocorrendo no cso dos erros negivos. De cordo com Brros e ouz (995), o modelr um série emporl uilizndo um modelo de regressão, os ruídos não podem ser considerdos independenes e isso ger conseqüêncis nos eses e nos resuldos gerdos pelos modelos de regressão. Um ds conseqüêncis, por exemplo, d uocorrelção dos resíduos é que os esimdores de mínimos qudrdos, pesr de serem não endenciosos, não êm vriânci mínim. Além disso, os esimdores d vriânci e dos erros pdrões dos coeficienes são subesimdos (dndo impressão de que são mis precisos do que n relidde), o que invlid os inervlos de confinç e os eses de hipóese. Por isso, pr séries emporis, os modelos de regressão dinâmic são mis uilizdos do que os modelos de regressão liner, um vez que esendem os modelos usuis de regressão o levrem em con hipóese de que os erros não são independenes. Nos modelos de regressão dinâmic, dinâmic ds séries emporis e o efeio ds vriáveis explicivs são combindos. Por isso, esses modelos devem ser usdos qundo exise um esruur de dependênci enre vriável

22 Revisão Bibliográfic 39 dependene e s vriáveis cusis e, o mesmo empo, qundo esruur de correlção d série ser explicd mosrr que não é possível supor independênci dos erros. Os modelos de regressão dinâmic podem ser descrios pel equção: ( B) Y βx ε ϕ endo: Y vriável dependene (endógen) no insne ; β veor de coeficienes ds vriáveis cusis, esimdo por mínimos qudrdos; X veor de vriáveis cusis (exógens) no insne ; ε ruído leório ssocido o modelo; ϕ(b) polinômio uoregressivo de ordem p, iso é: ϕ(b) - ϕ B - ϕ B ϕ p B p sendo B o operdor de rso. Ness esruur de regressão dinâmic, pode-se considerr X como sendo s vriáveis cusis em e mbém em períodos defsdos. Já o polinômio ϕ(b) é que permie exisênci de defsgens d vriável dependene, iso é, se ϕ(b), não exise defsgem n vriável dependene (nese cso, pens s vriáveis exógens influencim o modelo), ms se ϕ(b), defsgens n vriável dependene fzem pre do modelo. A esrégi mis comum que é uilizd n consrução de um modelo de regressão dinâmic é boom-up, n qul inici-se com um modelo simples e vi refinndo-o, incluindo novs vriáveis, é enconrr o modelo dequdo. Vle lembrr que em um modelo de regressão dinâmic, s previsões dependem não pens do hisórico d série, ms mbém dos vlores previsos pr s vriáveis cusis. Iso crceriz um speco imporne que é elborção de cenários pr s vriáveis cusis, gerndo flexibilidde n nálise ds previsões. Pr ddos de l freqüênci pode-se uilizr regressão dinâmic fzendo um modelo pr cd periodicidde. Por exemplo, pr prever ddos de quinze minuos, er-se-i que esimr 96 modelos, um pr cd quinze minuos. As vriáveis exógens represends por x êm seus vlores deermindos for do modelo de regressão, enquno vriável endógen Y é deermind prir ds vriáveis exógens e do ruído ε.

23 Revisão Bibliográfic 40 Ese ipo de modelgem foi usdo por Cncelo, Esps & Grfe (007), o rr ddos de energi eléric d Espnh. No rblho em quesão, o objeivo er fzer previsão pr ddos horários e, porno, form uilizds vine e quro equções, sendo um modelo pr cd hor. Nesse rblho, os uores uilizrm lém do pssdo d própri série, informções sobre emperur. Um ouro rblho que mbém uilizou regressão dinâmic foi o de Rmnhn e ll (997), que inh o objeivo de modelr ddos horários de energi eléric e, pr no, foi uilizdo um modelo de regressão pr cd hor, sendo um modelo diferene pr os finis de semn, olizndo ssim quren e oio modelos. Nesse mbém form uilizds informções sobre emperur..9 - Redes Neuris A rede neurl (RN) é um sisem compucionl que surgiu omndo como bse o funcionmeno do cérebro humno. u moivção inicil er de relizr refs que o cérebro execu, como por exemplo, o reconhecimeno de pdrões, percepção e conrole moor (Crvlho e ll, 998). Um vngem do uso d RN é su cpcidde de resolver problems sem precisr d definição de regrs ou de modelos explícios. Assim, é possível rblhr com siuções onde não é possível crir um modelo d relidde ou siuções que possuem mudnçs freqüenes no mbiene (nini, 000). A RN é formd por dois elemenos básicos: um neurônio rificil, que é o processmeno, e o peso ou sinpse, que é conexão. Assim RN será formd por um conjuno de neurônios rificiis que são conecdos enre si por um conjuno de pesos. A figur.04 represen o modelo de um neurônio rificil (Hyin, 999). Dess form, pode-se sineizr o funcionmeno do neurônio rificil d seguine form: s enrds são muliplicds por seus respecivos pesos, em seguid esses resuldos são somdos e depois submeidos à função de ivção, resulndo n síd.

24 Revisão Bibliográfic 4 Figur.04 - Modelo de um neurônio rificil X X w w. ϕ Y.. w p X p A modelgem em RN é esquemizd d seguine form: escolh ds observções pr serem usds no reinmeno e ds que serão usds n vlidção, escolh d rquieur proprid e escolh do lgorimo de reinmeno d rede. Depois de especificd ess meodologi de modelgem, rede esá p dquirir o conhecimeno. Esse conhecimeno ocorre rvés do processo de reinmeno (prendizdo), no qul informção é rmzend como pesos, sendo que combinção deles, de form não liner, produz o conhecimeno. O ipo do prendizdo é deermindo pel form como dpção dos pesos (prâmeros) é fei, o que pode ocorrer de dus forms: ) Aprendizdo upervisiondo: são fornecidos à rede pres de enrds e síds já ocorrids, de form que rede poss enconrr ligção enre os pres de enrd e síd fornecidos. b) Aprendizdo Não upervisiondo: são fornecidos pens os pdrões de enrd, com os quis rede esbelece crcerísics semelhnes que orn cpz de crir clsses ou grupos uomicmene. Um RN rblh em dus fses disins (endo um conjuno de observções disino pr cd um ds fses): o reinmeno e os eses. N primeir pre, rede em que dquirir o conhecimeno. N segund, é vlido seu poder de generlizção, que será imporne sej pr fzer, clssificção ou projeção. Um crcerísic imporne d RN é que quno mis simples rquieur d rede (número de cmds escondids e número de neurônios em

25 Revisão Bibliográfic 4 cd cmd), mior será seu poder de generlizção, pois um rede excessivmene complex irá cpr odos os delhes do conjuno de reinmeno, o invés de prender pens s proprieddes geris. A RN, em lguns csos, em desempenho superior os modelos esísicos qundo plicd problems não lineres. Em csos lineres, gerlmene, os méodos esísicos rdicionis cosumm ser mis eficienes. Pr previsão de curo przo pr crg eléric, em-se um plicção em Drbelly & lm (000), lém disso, podem-se enconrr mis delhes em Hipper, Pedreir e ouz (00), onde há um revisão sobre vários rigos que uilizm RN. Pode-se ind usr RN modelndo um rede pr cd di ser previso ou ind um rede pr lguns dis, como feio por Lzo e l (006), onde er necessário prever quinze minuos pr 5 dis à frene pr ddos de demnd de energi eléric e pr l form uilizds oio redes neuris. Assim, foi uilizd um rede pr prever os períodos do primeiro di à frene, um segund rede pr prever o segundo e o nono di à frene, um erceir pr fzer previsão de odos os períodos do erceiro é o décimo di à frene e ssim por dine, é chegr à oiv rede que é responsável por fzer previsão dos períodos do oivo e do décimo quino di à frene. mbém pode ser feio como em McMenmin & Monfore (998), que inhm o objeivo de prever os ddos horários do di e, pr iso, uilizrm vine e quro redes neuris, iso é, um pr cd hor. Há ind lerniv de plicr um modelo híbrido. Ese ipo de modelo foi usdo por Rizzo (00), cujo modelo er composo por um modelo de morecimeno exponencil (no qul ele inh idéi de cpr s crcerísics lineres d série) e por um modelo de redes neuris do ipo feed-forwrd (com o qul ele visv cpr s crcerísics não lineres d série). Nesse rblho, Rizzo inh o objeivo de prever ddos de energi eléric cd rin minuos pr quinze dis à frene. Pr no, ele fzi previsão pr os períodos de é 6 (sendo o primeiro di ser previso). Em seguid ess previsão er uilizd como enrd pr prever os dis 7 é 3, sendo que esses erm mbém usdos como enrds pr prever 4 e 5.

26 Revisão Bibliográfic Lógic Fuzzy A Lógic Fuzzy objeiv imir hbilidde dos seres humnos de omr decisões em um mbiene de incerez e imprecisão. Isso ocorre rvés d mnipulção, simulâne, de ddos numéricos e do conhecimeno lingüísico. Assim lógic fuzzy reliz um mpemeno não liner de vlores numéricos de enrd em vlores numéricos de síd, sendo esse mpemeno esbelecido rvés d eori de conjunos nebulosos e d lógic nebulos (Mendel, 995). N figur.05 há um esquem do sisem de lógic fuzzy. Ese sisem é composo por quro módulos: Fuzzificdor: em função de ivr s regrs que esão ssocids às vriáveis lingüísics, iso é, mpei vlores numéricos em conjunos nebulosos. Bnco de Regrs: é fornecido por especiliss ou exríds de ddos numéricos, sendo formdo por regrs do ipo E ENÃO. Inferênci: deermin como s regrs são combinds fim de gerr síd fuzzy. Assim, ese módulo em função de mper conjunos fuzzy de enrd em conjunos fuzzy de síd. Defuzificdor: mpei o conjuno fuzzy de síd em um vlor numérico. As regrs do sisem fuzzy, definidos d form E-ENÃO, envolvem vriáveis lingüísics que são gregds uilizndo conecores lógicos do ipo E/OU. Um regr pode ser exemplificd como: E x é quene E x é muio bixo ENÃO y gir um pouco pr direi Ness regr, x, x e y são vriáveis lingüísics, possuindo vlores denro do conjuno fuzzy, do ipo quene, muio bixo e um pouco pr direi. Cd regr que foi ivd irá resulr em um conjuno fuzzy que vri de cordo com o gru de dispro d regr. No sisem fuzzy pr previsão de séries, s regrs são exríds prir dos ddos numéricos, o que pode ocorrer por dus forms disins: os ddos d série esbelecem os conjunos fuzzy que irão formr os necedenes e conseqüenes ds regrs, ou, primeiro, são pré-esbelecidos os conjunos fuzzy pr os necedenes e os conseqüenes e, depois, os ddos são ssocidos eses conjunos.

27 Revisão Bibliográfic 44 Figur.05 - isem de Lógic Fuzzy Regrs x Fuzzificdor Defuzzificdor y Enrd Crisp Inferênci íd Crisp Conjuno Fuzzy de Enrd Conjuno Fuzzy de íd Um exemplo de plicção d lógic fuzzy em previsão pode ser enconrdo em Lourenço (998) e em Mori & Kobyshi (996), que uilizrm lógic fuzzy pr previsão de crg eléric de curo-przo. Mis delhes sobre ess meodologi, podem ser enconrdos em Mendel (995). Pode-se ind uilizr sisems neuro-fuzzy, que consisem em um rquieur híbrid, n qul s forms de prendizdo d rede neurl são combinds com um sisem de inferênci fuzzy. Dess form, é possível combinr crcerísic de prendizdo ds redes neuris com inerprebilidde dos sisems fuzzy. Um ds forms de uilizr esse sisem neuro-fuzzy é rvés do ANFI, que esá delhdo em Jng (993), e um plicção desse méodo pr previsão de curo przo de energi eléric pode ser enconrdo em Ppdis e l (998) e Birzis e l (995).