A INFORMAÇÃO SOBRE EXPECTATIVAS DE INFLAÇÃO CONTIDA NOS PREÇOS DOS ACTIVOS FINANCEIROS*

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1 A INFORMAÇÃO SOBRE EXPECAIVAS DE INFLAÇÃO CONIDA NOS PREÇOS DOS ACIVOS FINANCEIROS* Fátia Silva** José Monteiro** As técnicas de extracção de inforação de expectativas sobre a evolução futura de variáveis relevantes para a política onetária obtidas a partir de preços de activos financeiros tê vindo a ser obecto de estudo e utilização pelos bancos centrais desde há alguns anos a esta parte. Este artigo pretende constituir u resuo das técnicas disponíveis sobre extracção de expectativas de inflação e da incerteza a elas associada a partir da inforação contida nos preços dos activos financeiros. É dada algua atenção noeadaente à estiação de funções de densidade de probabilidade das expectativas de inflação iplícitas. 1. INRODUÇÃO Os preços dos activos financeiros reflecte expectativas de ercado por sere de carácter intrinsecaente prospectivo. Coo é sabido o preço actual de u activo financeiro é deterinado pelo valor esperado actualizado do seu fluxo de reebolsos futuros. Assi ao fixar o preço de u activo financeiro os investidores deverão forar expectativas sobre os reebolsos futuros proporcionados pelo activo e deterinar quais as taxas de desconto incluindo o préio de risco associado a esse investiento a aplicar. Nu ercado líquido e eficiente o preço de u activo deve reflectir e princípio tanto a opinião do ercado coo as taxas de desconto que deterina esse preço. Por sua vez as taxas de desconto utilizadas para a fixação do preço dos activos financeiros são otivadas por dois factores: a copensação pela transferência do consuo para ua data futura e * As opiniões expressas no artigo são da inteira responsabilidade dos autores e não coincide necessariaente co a posição do Banco de Portugal. ** Departaento de Estudos Econóicos. Os autores agradece os coentários de Bernardino Adão Ferreira Machado e Maxiiano Pinheiro. a copensação pelo risco associado à incerteza acerca do fluxo futuro dos reebolsos. Os preços dos activos financeiros ua vez que são continuaente actualizados reflecte expectativas que são revistas continuaente incorporando as inforações ais recentes ao dispor do ercado. Para alé de fornecere inforação sobre expectativas de ercado os preços de certos activos financeiros noeadaente os produtos derivados pode tabé revelar inforação relevante quanto ao grau de incerteza atribuído pelo ercado aos desenvolvientos futuros. Por exeplo as opções sobre obrigações de dívida pública de longo prazo pode ser úteis para a obtenção de ua indicação do grau de incerteza associado à evolução futura das taxas de rendibilidade dessas obrigações. Assuindo deterinadas hipóteses estes activos pode tabé fornecer inforação sobre a incerteza associada às expectativas de inflação neles iplícitas. Assi os preços dos activos financeiros constitue ua apla fonte de inforação para os bancos centrais. A inforação que transite é iportante para a política onetária ao fornecer u eio de confiração da avaliação do próprio ban- Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro

2 co central sobre os riscos para a estabilidade dos preços contribuindo assi para deterinar as reacções de política onetária adequadas para copensar tais riscos. Alé disso a obtenção de expectativas de inflação nos ercados financeiros constitui pelas razões acia apontadas ua área estratégica fundaental para u banco central na edida e que a expectativa de evolução futura de certas variáveis acro-econóicas afecta a reacção dos agentes econóicos às decisões de política onetária no presente. O texto está organizado da seguinte fora: a secção revê os étodos de extracção de indicadores de expectativas de inflação e a secção 3 aflora os étodos de extracção de indicadores de incerteza existentes.. INDICADORES DE EXPECAIVAS DE INFLAÇÃO A relação entre as taxas de uro noinais iplícitas nos preços de obrigações de cupão zero (1) de dívida pública que difere entre si apenas na aturidade do reebolso do capital investido é conhecida coo a estrutura teporal de taxas de uro (ou curva de rendientos). Ua taxa de uro noinal ou taxa de uro spot iplícita nua obrigação de dívida pública pode ser decoposta e três eleentos: (i) a taxa de uro real esperada exigida pelos investidores pela detenção da obrigação até à sua data de venciento; (ii) a copensação pela taxa de inflação esperada durante o período de vida da obrigação; e (iii) a copensação associada a vários préios de risco envolvidos (noeadaente o préio de risco de liquidez e o préio de risco de inflação). Algebricaente para u título de cupão zero que vence no oento t+ esta relação tabé designada por equação de Fisher pode escrever-se: i r E t t t t t (.1) sendo i t a taxa de uro spot no oento t co aturidade r t a taxa de uro real esperada e t co aturidade E t t a taxa de inflação édia esperada e t para o período que edeia entre t e t+ e t ua edida dos préios associados aos vários riscos envolvidos neste investiento para o eso período. Deste odo alterações na estrutura teporal tê iplícitas alterações e u ou vários destes eleentos. E concreto a extracção de inforação sobre expectativas inflacionistas a partir da curva de rendientos é u exercício delicado dado os vários factores explicativos envolvidos. Alé disso o segento de uito curto prazo da curta de rendientos (até dois anos) é bastante sensível a alterações ou expectativas de alteração das taxas de intervenção do banco central pelo que este factor explicativo adicional deve ser toado e consideração conuntaente co os outros factores. A prática corrente de extracção de expectativas inflacionistas a partir das curvas de rendiento te sido por isso de restringir a análise aos segentos ais longos da curva de rendientos (superior a dois anos) assuindo que nestas aturidades quer as taxas de uro reais quer os préios de risco envolvidos são relativaente estáveis..1 A abordage de Mishkin Se a estrutura teporal de taxas de uro possui inforação acerca das expectativas de inflação então deve haver ua fora de quantificar a relação entre as taxas de uro e as expectativas inflacionistas. Mishkin (1990a e b 1991) propôs ua fora siples de estiar econoetricaente a relação entre as taxas de uro e as expectativas inflacionistas. Nesta análise assue-se que os agentes econóicos fora expectativas racionais. Mishkin parte da equação de Fischer se préio de risco: e-se tabé que: E i r (.) t t t t t Et t et (.3) onde e t são os erros de previsão da taxa de inflação. Dado que se assue expectativas racionais te-se Etet 0. De (.) e (.3) obté-se por substituição: (1) Ua obrigação de cupão zero é u activo que dá orige na aturidade a u único fluxo financeiro previaente fixado. t i t r t e t. (.4) 14 Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

3 Gráfico.1 A RELAÇÃO ENRE O SPREAD DAS AXAS DE JURO E O DIFERENCIAL DA AXA DE INFLAÇÃO 10- anos π 10 - π i 10 - i Considerando duas aturidades diferentes e n pode analisar-se a inforação contida na estrutura teporal de taxas de uro acerca da evolução futura da taxa de inflação. Da equação (.4) aplicada a cada aturidade obteos fazendo a respectiva diferença: t tn it itn rt rtn et etn (.5) decopondo a taxa de uro real e édia da aostra ais desvio relativaente á édia para as duas aturidades e n obté-se: r r u (.6) t t r r u (.7) tn n tn. Assi pode reescrever-se a equação (.5) sob a fora de ua equação de previsão da variação da inflação: i π 10 - π = (i 10 - i ) i (.8) t tn t tn t co r r e e u u ne t t tn t tn. A equação (.8) pode ser estiada de fora consistente pelo étodo dos ínios quadrados ordinário (OLS) desde que se verifique a hipótese de expectativas racionais e ua estrutura teporal de taxas de uro reais constante. Neste contexto pode testar-se a hipótese 1. A aceitação da hipótese 1 indica que a variação do spread da taxa de uro noinal é u estiador não enviesado para a variação da taxa de inflação futura. O gráfico.1 ostra a relação entre o diferencial de inflação 10 - anos () eospread entre as taxas de uro a 10 - anos para a Aleanha para o período Janeiro 1980 a Dezebro 1999 (dados ensais). A relação entre o spread de inflação e o spread de taxas de uro é positiva o que perite confirar que a estrutura teporal de taxas de uro conté inforação sobre a expectativa de inflação futura ainda que enviesada (3).. Cálculo de expectativas de inflação co obrigações indexadas U étodo ais robusto de extracção das expectativas de inflação a partir de activos financeiros surgiu co o início da eissão de obrigações indexadas e vários países. Define-se coo obrigação indexada u activo cuo reebolso dos cupões e/ou capital encontra-se indexados a u índice de preços proporcionando ao seu detentor u deterinado fluxo certo e teros reais. Este tipo de obrigações distingue-se das obrigações convencionais que garante ao seu detentor u rendiento noinal previaente definido. No entanto tal coo nas obrigações convencionais para países desenvolvidos dado o risco de falência do estado ser negligenciável o valor deste activo é na prática independente de questões de credibilidade do eitente. Vários países eitira obrigações indexadas à taxa de inflação (4). Na área do euro apenas o esouro francês eite obrigações de dívida pública indexada. A prieira eissão de obrigações indexadas à inflação e França (Obrigation Assiilable () O diferencial de inflação 10 foi calculado pela diferença entre a taxa de inflação édia verificada nos dez anos subsequentes e a taxa de inflação édia nos dois anos subsequentes. Por exeplo para Dezebro de 1989 o diferencial de inflação corresponde há inflação édia verificada entre Dezebro de 1989 e Dezebro de 1999 enos a inflação édia verificada entre Dezebro de 1989 e Dezebro de (3) Estiativa pontual de co desvio-padrão de 0.1. (4) Para ua análise ais detalhada ver Deacon e Derry (1998). Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro

4 du résor Indexée (OAI)) registou-se e Setebro de Na actualidade as obrigações indexadas vence-se e 009 e 09 co u cupão anual de 3 e 3.4 por cento respectivaente. O pagaentos dos cupões e do reebolso das OAI está ligado ao Índice de Preços no Consuidor francês excluindo o tabaco. O desfasaento da indexação é no áxio de 3 eses podendo por isso ser considerado negligenciável. Sea PR t o preço de ua OAI de aturidade. Adite-se que essa obrigação indexada paga e teros reais u cupão fixo CR e cada oento ts 1... J e co s J (5). No venciento o detentor da obrigação será reebolsado no ontante tabé e teros reais de MR. O pagaento no oento t s e teros reais do cupão CR significa que o detentor da s obrigação receberá1 tt s CR onde éa tt s taxa édia anual de inflação no período t a t s. De fora siilar u reebolso real de MR no venciento da obrigação significa que o detentor receberá nessa altura 1 tt MR. Define-se taxa de rendibilidade real ou Yield-o-Maturity Real (YMR) coo a taxa que perite equalizar o preço de ercado da obrigação indexada ao valor actualizado dos cash-flows futuros e teros reais por ela gerados: PR J CR MR 1 YMR 1 YMR t s 1 (.9) ou de fora equivalente e teros de cash-flows noinais: PR t J 1 s 1 tt s CR s 1 YMR tt s 1 1 tt MR 1 1YMR tt s (1.10) A valorização das OAI não necessita assi de nenhua hipótese sobre a expectativa de inflação no prazo de venciento da obrigação. (5) Dado que se está a considerar o ano coo unidade teporal te-se s s J A não existência de outro tipo de instruentos seelhante na área do euro originou que a expectativa de inflação obtida a partir das OAI sea frequenteente utilizada coo proxy das expectativas de inflação no longo prazo para o conunto da área do euro (6)...1 Metodologias de cálculo da taxa de inflação iplícita (7) para a área do euro A eissão siultânea de títulos indexados à inflação proporcionando ao seu detentor u deterinado rendiento real e de títulos que garante u deterinado rendiento noinal para a esa aturidade peritiu o desenvolviento de etodologias de extracção de expectativas de inflação a partir dos preços destes instruentos. No caso francês u étodo siples de extracção de expectativas de inflação a partir de obrigações indexadas consiste na aplicação directa da equação de Fisher se préio de risco. A expectativa de inflação édia no período é assi calculada coo a diferença entre a Yield-o-Maturity (YM) noinal dua obrigação convencional e a YM real iplícita nua obrigação indexada eitidas para o eso prazo e pelo eso eitente neste caso o estado francês. Iplicitaente assue-se que os investidores são neutrais ao risco isto é que é indiferente ao investidor deter na sua carteira obrigações indexadas ou obrigações convencionais. Isto iplica que na ausência de oportunidades de arbitrage o rendiento noinal garantido por ua obrigação indexada será igual ao rendiento noinal auferido por ua obrigação convencional. Esta igualdade perite que a YM noinal da obrigação indexada possa ser substituída pela YM de ua obrigação convencional. Iporta realçar que a expectativa de inflação assi obtida é ua expectativa da inflação édia no período copreendido entre o oento actual e a aturidade dos títulos considerados. (6) Note-se que a taxa de inflação iplícita nestas obrigações é calculada co base no IPC francês e não no Índice Haronizado de Preços no Consuidor (IHPC) o qual é utilizado pelo Eurosistea na definição de estabilidade de preços as a diferença não é relevante e teros práticos. (7) O tero inflação iplícita é a tradução da expressão inglesa de break-even inflation. A inflação iplícita constitui a edida das expectativas de inflação extraídas das obrigações indexadas. 16 Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

5 Por exeplo subtraindo à YM noinal de ua obrigação convencional co aturidade residual de 5 anos a YM real de ua obrigação indexada co o eso prazo residual obter-se-ia ua expectativa de inflação édia no período de 5 anos até ao venciento de abas as obrigações... Liitações da utilização das obrigações indexadas A diferença entre a YM noinal e real pode revelar a alteração das expectativas inflacionistas dos investidores ao longo do tepo. Contudo é u indicador enviesado do nível édio de inflação esperado nu deterinado período. al resulta basicaente de dois conuntos de factores: por u lado os dois tipos de obrigações (indexadas e convencionais) não tê o eso tipo de características noeadaente o prazo exacto para a aturidade a estrutura de cash-flows e o grau de liquidez. U segundo factor resulta da obrigação noinal ter associada u préio de risco de inflação e princípio inexistente nua obrigação indexada. No que diz respeito ao prieiro conunto de factores o problea resulta do facto de que a expectativa de inflação édia nu dado período ao ser derivada de apenas dois títulos ser uito sensível aos títulos considerados nesse cálculo. Por u lado é difícil encontrar duas obrigações ua indexada à inflação e outra noinal co a esa aturidade residual. Por outro lado eso que as duas obrigações tenha a esa aturidade residual a estrutura de cash-flows a que dão orige pode ser diferenciada (8). Ua alternativa seria calcular a expectativa de inflação édia no período a partir de dois títulos co a esa duração (9). No entanto segundo Deacon et al. (1994) esta alternativa originaria dificuldades devido a (8) Por exeplo considerando ua obrigação noinal co aturidade a 10 anos que paga u cupão seestral de 6.5 por cento e u reebolso de capital de 100 u.. tal dará orige a u cupão seestral de 3.5 u.. No caso de ua obrigação indexada co ua taxa de uro real de 4.5 por cento e aditindo ua taxa de inflação de 3 por cento o cupão recebido varia entre.13 e.8 u.. e u reebolso equivalente de 134 u.. E teros reais o valor dos cupões da obrigação indexada será constante (iguais a.13 u..) enquanto que a obrigação convencional dará orige a pagaentos que diinuíra pelo efeito de erosão provocado pela inflação. que a expectativa de inflação édia obtida desta fora dissiula os prazos residuais dos títulos utilizados para o seu cálculo. Para alé destes factores há ainda a salientar o facto de as obrigações indexadas apresentare ua liquidez inferior às obrigações convencionais. Isto leva a que os investidores para detere obrigações indexadas na sua carteira exia u préio de liquidez superior. E resultado a YM real deverá encontrar-se sobrestiada e a expectativa de inflação iplícita subestiada. No que diz respeito ao segundo grupo de factores o problea resulta do facto da obrigação convencional encontrar-se ainda sueita ao risco de inflação. Desta fora a equação de Fisher deveria incluir ua edida do préio de risco de inflação. Conclui-se que as taxas de inflação iplícitas por efeito da não consideração do préio de liquidez poderão estar subestiadas enquanto que por efeito de não se considerar o préio de inflação poderão estar sobrestiadas. A não consideração do préio de inflação no cálculo da expectativa de inflação iplícita é provavelente a aior liitação da etodologia atrás descrita. Por exeplo Reolona et al. (1998) cobinando a inforação da curva de rendientos real e noinal estia para o Reino Unido no período entre Julho de 198 e Julho de 1997 as expectativas de inflação o préio de risco de inflação a taxa de uro real e o préio de risco relacionado co factores reais. Neste trabalho o factor de desconto real (price kernel) é ua função linear de u factor real enquanto que o factor de desconto noinal é função linear de dois factores u identificado co a inflação e o outro identificado co o factor real. Para aquele período o préio de risco édio da inflação para a aturidade de anos foi de cerca de 100 p.b. tendo-se reduzido para 70 p.b. após a saída da libra do SME. E sua este trabalho ostrou que para o caso inglês a taxa de inflação iplícita obtida pela aplicação directa da equação de Fisher se préio de risco sobreavalia as expectativas de inflação édia para o período. Este tipo de estudos não pode ser aplicado ao caso francês ua vez que apenas fo- (9) Duração de ua obrigação define-se coo sendo o tepo édio que o investidor deve esperar para obter o reebolso do capital investido e que a édia é calculada ponderando os períodos pelos ontantes a receber nesses períodos. Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro

6 Gráfico. YM NOMINAL REAL E AXA DE INFLAÇÃO IMPLÍCIA A 10 ANOS EM FRANÇA Proxy para a área do euro E percentage YM noinal YM real axa de inflação édia iplícita 0 Jan.99 Abr. Jul. Set. Dez. Mar.00 Jun. Ago. ra eitidos obrigações co aturidades de 10 e 30 anos...3 U indicador de expectativas de inflação para a área do euro (10)Recorde-se que ua fora alternativa de extracção de expectativas de inflação decorre dos surveys sobre preços no consuidor. (11)As taxas de uro noinais e reais utilizadas a partir daqui corresponde às YM iplícitas nos preços das obrigações respectivas. Dada a dificuldade de estiar adequadaente os préios de risco de inflação e de liquidez no que se segue vão estiar-se as expectativas de inflação édia para a área do euro iplícitas nos preços de obrigações de dívida pública indexadas e convencionais partindo da hipótese de que o saldo destes préios é relativaente baixo na área do euro. O interesse deste exercício para a política onetária é evidente ua vez que perite às autoridades onetárias co ua frequência bastante elevada (diária) o cálculo de u indicador de expectativas dos agentes econóicos para a taxa de inflação futura (10). O gráfico. ostra a evolução diária da YM noinal (11) a 10 anos e França assi coo a evolução das suas duas coponentes: a YM real e a taxa de inflação iplícita para o período Janeiro 1999 a Agosto de 000. Coo á foi dito a existência de títulos de dívida pública indexados apenas e França originou que a expectativa de inflação édia obtida a partir das OAI sea frequenteente utilizada coo proxy das expectativas de inflação no longo prazo para o conunto da área do euro. Considerando a globalidade do período é notória a tendência crescente da YM noinal na área do euro. Contudo a contribuição de cada ua das coponentes para esta tendência crescente não é siétrica. O cresciento da YM noinal no prieiro seestre de 1999 ficou a dever-se essencialente ao auento da taxa de inflação esperada iplícita tendo a YM real registado ua ligeira tendência descendente. No segundo seestre de 1999 registou-se o inverso. A YM real iniciou ua tendência crescente até ao prieiro triestre de 000 enquanto a taxa de inflação iplícita se anteve relativaente estável ou eso co ua ligeira tendência decrescente. Nos últios eses (sensivelente desde o início de 000) a YM noinal não te deonstrado ua tendência clara isto porque ne a expectativa da taxa de uro real ne a taxa de inflação iplícita tê registado variações significativas. Apesar do curto período aostral disponível a taxa de inflação iplícita nos preços das obrigações indexadas que representa ua expectativa édia para u período de dez anos parece coportar-se coo u indicador avançado para a taxa de inflação hoóloga corrente. O gráfico.3 copara a evolução nos últios dois anos da taxa de inflação hoóloga e França co as expectativas de inflação iplícitas nas obrigações indexadas francesas. Efectivaente verifica-se que as últias antecipara co ua relativa antecedência a subida recente da taxa de inflação. 3. INDICADORES DE INCEREZA Os preços dos activos financeiros coo vios na secção fornece inforação sobre a traectória futura esperada pelos investidores para deterinadas variáveis acro-econóicas noeadaente os níveis da actividade econóica e da inflação. E concreto a análise ao longo do tepo da evolução das taxas de uro noinais evidencia coo os agentes revêe as suas expectativas sobre os níveis futuros para aquelas variáveis. Contudo 18 Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

7 E percentage Gráfico.3 AXA DE INFLAÇÃO OBSERVADA E AXA DE INFLAÇÃO IMPLÍCIA Proxy para a área do euro axa de inflação édia iplícita axa de inflação hoóloga observada 0.0 Jan.99 Abr. Jul. Out. Jan.00 Abr. Jul. os preços dos activos financeiros apenas perite inferir qual o valor édio esperado para o nível das variáveis acro-econóicas e não fornece indicações sobre o grau de incerteza que o ercado atribui a estas expectativas. E teros ateáticos o grau de incerteza associado a ua variável aleatória é edido pelos oentos de orde superior a u noeadaente o segundo o terceiro e o quarto oentos (1). Ua vez que as condições econóicas se altera ao longo do tepo de fora aleatória é provável que a incerteza avaliada pelo ercado relativaente à inflação futura e à actividade econóica tabé varie. Alé disso é de esperar que e deterinadas circunstâncias os investidores atribua a diferentes cenários probabilidades diferenciadas o que pode fazer co que as distribuições de probabilidade iplícitas para os vários preços futuros possa ser ultiodais ou assiétricas. O cálculo de indicadores de incerteza torna-se nestas circunstâncias particularente revelador do sentiento geral dos ercados. Devido às suas características prospectivas relativaente ao preço do activo subacente os preços (1)O segundo oento centrado de ua variável aleatória define o grau de dispersão das observações e torno da édia o terceiro oento define o grau de assietria da distribuição das observações (tabé designado por Skewness) e o quarto oento define o grau de achataento (tabé designado por Kurtosis). dos derivados contê intrinsecaente inforações relacionadas co diversos aspectos de incerteza. Por exeplo as opções sobre obrigações de dívida pública de longo prazo pode ser úteis para aferir o grau de incerteza associado à evolução futura das taxas de rendibilidade dessas obrigações. Se a taxa de rendibilidade de ua obrigação de longo prazo pode ser decoposta e taxa de uro real ex ante expectativas de inflação édia até ao venciento e ua coponente relacionada co diversos préios de risco qualquer edida de incerteza extraída dos preços das opções sobre obrigações deverá tabé reflectir a incerteza associada a estas coponentes. Poré não existe consenso sobre a fora de separar a incerteza relacionada co as expectativas de inflação da incerteza associada à traectória das taxas de uro reais ou dos préios de risco. O facto de as expectativas relacionadas co estas coponentes afectare a fixação de preços dos derivados das obrigações de longo prazo exige por isso que se assua deterinadas hipóteses siplificadoras relativaente a estes factores quando se pretende extrair e interpretar a inforação prospectiva. 3.1 Principais conceitos Os preços dos derivados financeiros (contratos a prazo futuros e opções) reflecte as expectativas dos agentes econóicos acerca da evolução futura dos preços dos activos subacentes. No entanto se os contratos a prazo e os futuros fornece apenas inforação sobre os valores esperados dos preços dos activos subacentes á os préios das opções perite estiar a probabilidade atribuída pelo ercado aos diversos preços possíveis dos activos subacentes. Neste sentido os preços das opções contê inforação relevante para as instituições financeiras e para o sector privado e geral. Esta inforação é tabé potencialente útil para as autoridades onetárias noeadaente para a construção de indicadores de incerteza para a avaliação do ipacto das edidas de política onetária e para a detecção de anoalias no funcionaento dos ercados financeiros assuntos que tê vindo a erecer atenção crescente da literatura. Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro

8 Para calcular u indicador de incerteza associado a u activo financeiro vai considerar-se a valorização no período t de ua opção de copra europeia (13) co data de exercício. Nu undo de agentes neutrais ao risco o preço de ua opção (préio) é obtido calculando o valor esperado do seu rendiento descontado à taxa de uro se risco e relação à edida de probabilidade neutral ao risco. Sea S o preço do activo subacente no oento ex o preço de exercício da opção europeia o preço de ua opção call e t é dado por: it CX ( ) e ax S X 0 q S ds (3.1) 0 t onde qs é a função densidade de probabilidade (FDP) neutral ao risco do preço do activo S condicionada ao seu preço corrente. Diferenciando (3.1) e orde ao preço de exercício obteos: ou sea: t e C X it e 1 qs ds (3.) X C 1 X e it P S X Q. (3.3) Obté-se assi a função distribuição do preço futuro do activo subacente. A função densidade de probabilidade co neutralidade face ao risco deduz-se através da diferenciação de (3.) e orde ao preço de exercício: i CX qx e t. (3.4) X (13)Ua opção atribui ao coprador o direito e não a obrigação de realizar ua deterinada transacção financeira no futuro a u preço pré-especificado ediante o pagaento de u préio ao vendedor da opção (ua opção call dá o direito de coprar enquanto ua opção put dá o direito de vender). O preço pré-especificado para a transacção futura é designado por preço de exercício e a data na qual ou até à qual a opção pode ser exercida designa-se por data de venciento. As opções europeias só pode ser exercidas na data de venciento enquanto que as opções aericanas pode ser exercidas e qualquer oento até essa data. Ua opção pode ser designada de diversas foras quanto aos resultados que proporciona. Assi ua opção encontra-se in-the-oney quando sendo iediataente exercida origina u ganho ao seu detentor. Ao invés se o exercício iediato da opção der lugar a u resultado negativo diz-se que a opção está out-of-the-oney. Se o resultado gerado pelo exercício iediato da opção for nulo diz-se que está at-the-oney. É esta função de densidade de probabilidade que constitui a edida da incerteza associada a ua dada expectativa édia futura. De seguida vão passar-se e revista os vários étodos de estiação desta função. 3. écnicas de extracção das FDP através dos preços das opções sobre taxas de uro Os étodos existentes para a extracção das FDP a partir dos préios de opções sobre activos financeiros pode ser agrupados e quatro classes. Na prieira classe de étodos a FDP é estiada não paraetricaente isto é se se ipor qualquer tipo de especificação funcional para o processo estocástico seguido pelo activo financeiro subacente para a função préio da opção para a volatilidade iplícita ou para a FDP. Na segunda classe de étodos especifica-se ua fora funcional da FDP ou ua fora funcional do processo estocástico seguido pelo activo subacente. No caso da escolha ter recaído sobre a fora funcional do processo estocástico é necessário derivar a FDP iplícita nesse processo estocástico. Os parâetros da FDP quer ela tenha sido derivada ou especificada directaente são estiados através da iniização dua função de distância entre os préios observados e os préios teóricos gerados pela fora funcional considerada. Na terceira classe de étodos estia-se nu prieiro passo ua deterinada densidade coo candidata a FDP coeçando-se usualente co ua função densidade de forato siples. A FDP é depois reestiada coo sendo a densidade que satisfaz siultaneaente duas condições: (i) iniiza a distância e relação à densidade estiada no prieiro passo e (ii) iniiza a distância e relação aos préios observados. Na quarta classe de étodos a FDP é obtida directaente a partir de ua especificação paraétrica da função préio da opção de copra (ou da função préio da opção de venda) ou ainda a partir da volatilidade iplícita nas opções. Na sequência aliás do que te sido proposto na literatura sobre esta questão nos estudos epíricos desenvolvidos te-se optado frequenteente pela segunda categoria de étodos especificando o processo estocástico seguido pelo activo suba- 0 Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

9 cente e induzindo a respectiva FDP iplícita nesse processo estocástico. Os parâetros da FDP são estiados através da iniização de ua função de distância entre os préios das opções observados e os préios teóricos gerados pela fora funcional (directa ou indirectaente) especificada para a FDP. A fora funcional ais utilizada para FDP te sido a istura de várias distribuições lognorais (14). No caso de ua opção do tipo europeu e de ua istura de duas distribuições te-se o seguinte problea de optiização: N N 0 0 Min C X C P X P onde: i e t e 1 e S (3.5) it 1 1 C X e q ; S q ; S X S X ds 1 (3.6) it P X e q ; S q ; S X (3.7) X S ds é u coeficiente de penalização N é o núero de préios observados para as opções de copra e opções de venda CX e P X são os préios teóricos das opções de copra e venda para os diferentes preços de exercício X e ua dada aturidade C 0 e P 0 são os préios observados para esses preços de exercício das opções de copra e venda ln S 1 q S. e (3.8) S isto é q S é a função densidade lognoral para os préios call e put da opção onde os parâetros 1 e são as édias das distribuições norais correspondentes e 1 e são as respectivas variâncias e finalente (14)Vea-se por exeplo Bahra (1997) Melick e hoas (1997) e Söderlind e Svensson (1997). e 1 é o peso atribuído a cada ua das distribuições. As duas prieiras parcelas da função obectivo são a soa dos quadrados dos desvios entre os préios observados e os préios estiados das opções de copra e das opções de venda. A últia parcela da função obectivo traduz o quadrado da diferença entre a édia estiada da distribuição e o preço do futuro. Do ponto vista teórico a édia da distribuição deverá ser igual ao preço do futuro pelo que 0 traduz o coeficiente de penalização para o afastaento entre as duas edidas. No caso e que 0 a penalização é nula enquanto que no caso e que é uito grande tal será equivalente a considerar u problea de optiização condicionada co a restrição de igualdade entre a édia da distribuição e o preço do futuro. Fixado u valor para sepre que existe u núero suficienteente grande de preços de copra e de venda co prazos até ao venciento idênticos observados siultaneaente as co preços de exercício diferentes os parâetros da equação (3.8) assi coo (no caso de 0) pode ser deterinados pela iniização da expressão (3.5). E linha co a prática corrente noutros bancos centrais noeadaente no Banco de Inglaterra e no Banco de Itália a especificação considerada pelo Banco de Portugal é ua istura de duas distribuições log-norais (15) e o parâetro de penalização foi fixado e 1. Ua opção do tipo aericano dá ao seu detentor a possibilidade de a exercer a qualquer oento até à aturidade. Assi os préio das opções de copra e venda teóricos são função de dois liites: u inferior e outro superior. O liite inferior é igual ao valor da opção europeia isto é no caso da opção aericana só ser exercida na aturidade. O liite superior é igual ao valor da opção europeia no caso da aturidade corresponder ao oento presente isto é o que seu detentor re- (15)E Adão Cassola e Luís (1998) concluiu-se que a estiação das funções densidade através da cobinação de duas distribuições log-norais oferece vantagens e relação aos étodos alternativos ua vez que perite obter FDP siultaneaente flexíveis funções densidade assiétricas co diversos graus de achataento e/ou co ais de ua oda e consentâneas co os dados epíricos observados. Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000 1

10 cebe por exercer iediataente a sua opção. As equações (3.6) e (3.7) são substituídas por: S i 1 CX wc X w C X h S C X S X q S ax -i t e ( 1 1; X 1q ; S ) S X ds (3.9) i -i it C X e S X e q S ax t ( 1 1; X 1q ; S ) S X ds s i 1 P X w P X w P X h s it P X ax X e S ; S t q X 1q ;S X S ds (3.10) i it -i P X ax e S e ; S X t q J 1 1 X 1q ;S X S ds in the one h 1 seaopçaoestá ~ y seaopçaoestá ~ outof theoney No ponto seguinte calcula-se as FDP para a taxa de uro de longo prazo da área do euro. Ua vez que as opções sobre taxas de uro de longo prazo na área do euro são do tipo aericano as expressões utilizadas fora as (3.9) e (3.10). 3.3 Cálculo de FDP para a taxa de uro de longo prazo da área do euro No gráfico 3.1 encontra-se representadas duas FDP da taxa de uro de longo prazo da área do euro. Coo proxy para esta taxa considera-se a taxa de rendibilidade das obrigações de dívida pública aleã a 10 anos. Dado que os contratos de opções e de futuros co aior liquidez na área do euro são os relativos aos bunds (16) estes deve e princípio reflectir as expectativas dos investidores h h Densidade de probabilidade Gráfico 3.1 FDP PARA DEZEMBRO DE 000 DA AXA DE JURO A 10 ANOS NA ZONA DO EURO EM 19 E DE JUNHO DE Junho 0.06 Junho Deslocaento da assa de probabilidade E percentage sobre o nível da taxa de uro de longo prazo da área do euro (17). As datas e confronto são 19 de Junho e de Junho de 000. O obectivo é analisar o ipacto da decisão dos países da Organização dos Países Produtores de Petróleo (OPEP) e 1 de Junho de auentar a produção de crude por fora a conter a subida do preço do petróleo observada nos eses precedentes. (16)Os contratos de derivados sobre obrigações de dívida pública aleã (Bund) são transaccionados na bolsa de derivados EUREX. O activo subacente às opções é u contrato de futuros que é transaccionado no eso ercado. Por sua vez o activo subacente ao contrato de futuros é u instruento de dívida pública de longo prazo eitido pelo governo Federal Aleão co u prazo residual para a aturidade entre 8.5 a 10.5 anos e u cupão anual de 6 por cento. As opções sobre futuros do Bund são do tipo aericano podendo ser exercidas e qualquer oento até à data de venciento. Os prazos de venciento coincide co os eses de venciento do contrato de futuros subacente os quais copreende o ciclo de Março Junho Setebro e Dezebro. O últio dia de negociação do contrato é o 10º dia útil do ês e que o contrato se vence. (17) As FDP fora inicialente estiadas para preços das obrigações de longo prazo aleãs e não para as taxas de uro. Os preços das obrigações assi obtidos fora convertidos e taxas de uro utilizando a obrigação co a entrega ais barata no dia da estiação (ou sea quando os preços das opções são observados). A FDP associada aos preços das obrigações foi transforada na FDP associada às taxas de uro utilizando a prieira derivada do preço e orde à taxa de uro de acordo co a fórula noral da udança da variável. Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

11 Quadro 3.1 ESAÍSICAS DAS EXPECAIVAS PARA A AXA DE JURO DE LONGO PRAZO Horizonte de Dezebro de 000 E percentage 19 Junho 000 Junho 000 Média Moda Mediana Desvio-padrão As funções de densidade de probabilidade estiadas para 19 de Junho e de Junho ostra que a reacção dos investidores ao choque foi significativa as no sentido inverso ao pretendido. Efectivaente registou-se u forte deslocaento da assa de probabilidade para a direita o que significa que os investidores revira e alta e não e baixa as suas expectativas e relação ao nível da taxa de uro de longo prazo que prevalecerá e Dezebro na área do euro. O valor ais provável para a taxa de uro a 10 anos no final do ano (edido pela oda da distribuição) sofreu u acréscio de cerca de 14 p.b. passando de 4.97 por cento e 19 de Junho para 5.11 por cento e de Junho (Quadro 3.1). A revisão e alta das expectativas foi acopanhada de u auento da incerteza coo atesta a configuração ais alongada da FDP e 9 de Junho. Quer e 19 quer e de Junho as FDP são assiétricas positivas ou sea os investidores atribue ua aior probabilidade a que a taxa de uro de longo prazo e Dezebro de 000 sea superior à oda da distribuição do que fique aqué desta. 3.4 Extracção de FDP para as expectativas de inflação A edida do grau de incerteza associado a ua taxa de uro de longo prazo será no entanto ais reveladora se puder ser desagregada nas suas várias coponentes a saber a incerteza relativaente à taxa de uro real às expectativas para a taxa de inflação e ao préio de risco. Este trabalho explora a possibilidade de extracção de indicadores de incerteza associados às expectativas de inflação através de ua etodologia seelhante à sugerida e Söderlind e Svensson (1997). Se existisse n preços de opções sobre taxas de uro quer reais quer noinais co venciento estes preços poderia ser usados sob deterinadas hipóteses para extrair as funções de densidade de probabilidade neutras ao risco iplícitas para as expectativas de inflação futura. Não existindo produtos derivados sobre expectativas de inflação futura ou sobre taxas de uro reais pode ainda assi conecturar-se sobre a fora coo os investidores definiria as suas expectativas caso eles existisse. Considere-se a equação de Fisher referindo-a não ao oento actual t as ao oento de venciento das opções : i r E (3.11) sendo i a taxa de uro noinal e para o prazo (a data de venciento da obrigação iplícita na opção que será +) r a taxa de uro real e esperada no período entre e + E a taxa de inflação esperada e e para o eso período e ua edida dos préios associados aos vários riscos envolvidos neste investiento. E relação ao préio de risco (que representa o efeito consolidado do préio de liquidez e de inflação) assue-se que a diensão é reduzida. Meso que não o sea não se adite que tenha ua grande variabilidade no tepo 0 pelo que a análise coparada para oentos de tepo diferentes antê-se válida. Nesta hipótese a taxa de uro noinal é decoposta e duas coponentes: a taxa de uro real e a expectativa sobre a inflação futura ou sea: i r E. Se a taxa de uro real e as expectativas de inflação fore duas variáveis independentes então pode-se extrair as expectativas inflacionistas a partir da inforação sobre as taxas de uro noinais e reais. A hipótese da covariância condicional nula entre as duas variáveis é equivalente a considerar-se que a variância condicional de r e a covariância condicional entre i e r são estatisticaente iguais. As duas variáveis na aostra considerada (últias 100 observações) tivera u coporta- Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000 3

12 ento seelhante e a diferença entre elas não parece significativa. Aditindo-se que: r ~ N r (3.1) t t onde r t é a taxa real observada no oento presente t e t é a variância de r condicional à inforação disponível e t. Considerando-se tabé que a FDP da taxa de uro noinal é o resultado da cobinação de duas distribuições norais: 1 i ~. N. N. (3.13) 1i 1i i i Então dada a hipótese de independência entre a taxa de uro real e as expectativas de inflação a FDP das expectativas de inflação é igualente o resultado da cobinação linear de duas distribuições norais: ~. E N r 1i t 1i t.. 1 N i r t i t (3.14) Gráfico 3. ESIMAIVAS EM 19 E DE JUNHO DE 000 DA FDP DAS EXPECAIVAS DE INFLAÇÃO EM 000 Densidade de probabilidade Junho Junho Deslocaento da assa de probabilidade E percentage Note-se que (3.14) estabelece u odelo para o prieiro oento da distribuição de probabilidade da inflação futura E iplícita no coportaento dos ercados financeiros. Não se trata portanto de u odelo para distribuição da própria taxa de inflação. A relevância de (3.14) decorre de ser razoável aditir que existe ua associação estreita entre a FDP da expectativa de inflação e a FDP da inflação propriaente dita. Na prática na construção da FDP das expectativas de inflação da área do euro assue-se que a rendibilidade das obrigações bund representa ua proxy para a taxa de uro noinal da área do euro e a rendibilidade das obrigações indexadas francesas representa ua proxy para a taxa de uro real da área do euro. Assi a distribuição de probabilidade da uro noinal foi obtida a partir das opções bund de acordo co o descrito na secção anterior. Por sua vez os parâetros da distribuição da taxa de uro real fora obtidos a partir de dados históricos da taxa de uro real iplícita nas obrigações indexadas francesas. Para evitar probleas de coparabilidade resultantes de alterações no spread entre as taxas longas francesas e aleãs os valores observados das taxas reais fora previaente corrigidos adicionado-lhes o spread entre taxas noinais francesas e aleãs. No gráfico 3. apresenta-se as previsões realizadas antes (19 de Junho) e depois ( de Junho) da reunião da OPEP relativas à FDP das expectativas que e Dezebro de 000 existirão sobre a taxa de inflação édia na área do EURO para o período de 001 a 010. O obectivo agora é analisar e que edida a alteração da incerteza associada às expectativas da taxa de uro noinal de longo prazo ficou ou não a dever-se a ua alteração da incerteza associada às expectativas inflacionistas nesse período. A alteração das estiativas de FDP das expectativas inflacionistas ostra que a reacção dos investidores ao choque foi significativa as no sentido inverso ao esperado. Registou-se u deslocaento da assa de probabilidade das FDP das expectativas inflacionistas para a direita o que significa que os investidores revira e alta e não e baixa as suas expectativas de inflação. O valor ais provável para a taxa de inflação édia esperada para o decénio co início e Janeiro de 001 (edido pela oda da distribuição) sofreu u acréscio de cerca de 10 p.b. passando de 1.50 por cento e 19 de Junho para 1.60 por cento e de Junho (Quadro 3.). 4 Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000

13 E percentage Coparando a inforação do Quadro 3.1 co a do Quadro 3. constata-se que a revisão de 14 p.b. do valor ais provável da taxa de uro de longo prazo da área do euro e Dezebro de 000 pode ser explicada pela revisão de 10 p.b. nas expectativas de inflação. E sua a análise das FDP das expectativas inflacionistas confira a análise feita na secção anterior ou sea a decisão dos países da OPEP e 1 de Junho não foi considerada suficiente para inverter a traectória ascendente do preço do petróleo e por isso não teve o efeito pretendido nos ercados financeiros. 4. CONCLUSÃO Quadro 3. ESAÍSICAS DAS EXPECAIVAS DE INFLAÇÃO Horizonte de Dezebro de Junho 000 Junho 000 Média Moda Mediana Desvio-padrão A presente nota fez u resuo dos ais recentes estudos teóricos e aplicados acerca da fora coo os preços das obrigações de dívida pública e seus derivados pode ser utilizados para extrair inforação sobre as expectativas de ercado quanto à inflação futura. Ficou patente o contributo dado pelas obrigações indexadas na construção de indicadores de expectativas de inflação. Na segunda parte deste trabalho calculara-se funções de densidade de probabilidade da expectativas de inflação iplícitas. Os resultados preliinares obtidos apesar da fragilidade das suas hipóteses siplificadoras são encoraadores. REFERÊNCIAS Adão Bernardino Nuno Cassola e Jorge Barros Luís (1998) Métodos de Extracção de Inforação dos Préios das Opções Banco de Portugal ieo. Bahra Bhupinder (1997) Iplied Risk-Neutral Probability Density Functions fro Option Prices: heory and Application Bank of England Working Paper 66. Deacon Mark Andrew Derry e A.J. (1994) Deriving Estiates of Inflation Expectations fro the Prices of UK Governent Bonds Bank of England Working Paper 3. Deacon Mark e Andrew Derry (1998) Inflation-Indexed Securities Prentice Hall Europe. Hull John (1997) Options Futures and Other Derivatives (hird Edition) Prentice-Hall. Melick Will e Charles hoas (1997) Recovering an Asset s Iplied PDF fro Option Prices: An Application to Crude Oil During the Gulf Crises Journal of Financial and Quantitative Analysis 3 nº 1 Março. Mishkin Frederic S. (1990a) What does the ter structure tell us about future inflation? Journal of Monetary Econoics 5 pp Mishkin Frederic S. (1990b) he inforation in the longer aturity ter structure about inflation Quartely Journal of Econoics 55 pp Mishkin Frederic S. (1991) A ulti-country study of the inforation in the shorter aturity ter structure about future inflation Journal of International Money and Finance 10 pp. -. Reolona Eli Michael R. Wickens e Frank F. Gong (1998) What Was the Expected Inflation with Indexed Bonds FRBNY Staff Reports nº 57 Dezebro. Söderlind Paul e Lars E.O. Svensson (1997) New echniques to Extract Market Expectations fro Financial Instruents Journal of Monetary Econoics 40 nº. Banco de Portugal / Boleti econóico / Dezebro 000 5