UMA REPRESENTAÇÃO COMPACTA PARA GRAFOS CORDAIS

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1 UMA REPRESENTAÇÃO COMPACTA PARA GRAFOS CORDAIS Clíca V. P. Frdmann FFP-UERJ Abl R. G. Lozano FFP-UERJ Llan Marknzon NCE-UFRJ Paulo Rnato da Costa Prra DPF Chrstna F. E. M. Waga IME-UERJ RESUMO Nst trabalho é aprsntada uma rprsntação compacta para grafos cordas qu prmt a rcupração d dvrsas proprdads struturas do grafo tas como um squma d lmnação prfta uma árvor d clqus. São também obtdos rsultados a rspto da ordm do tamanho do grafo. PALAVRAS CHAVE. Grafos cordas, Rprsntação, Proprdads struturas. ABSTRACT In ths papr, a compact rprsntaton for chordal graphs s prsntd. It provds th mans to dduc svral structural proprts of a chordal graph such as a prfct lmnaton ordrng and a clqu tr. Rsults about th ordr and th sz of th graph ar also obtand. KEYWORDS. Chordal graphs, Rprsntaton, Structural proprts. 2567

2 1. Introdução Mutas aplcaçõs nvolvm grafos muto grands, nst caso, uma rprsntação adquada do grafo não só afta a fcênca do algortmo proposto para a aplcação, como torna a mplmntação do msmo mas fácl. Nst trabalho é aprsntada uma nova rprsntação para grafos cordas também suas proprdads. Blar Pyton (1993) rssaltam a mportânca da árvor d clqus para o studo d grafos cordas, mnconando qu sta pod sr tratada como uma rprsntação para o grafo. Dfnm, anda, a proprdad RIP (do nglês runnng ntrscton proprty) para as clqus maxmas da famíla. Uma rprsntação compacta basada nsts conctos é ntão aqu proposta para grafos cordas. Apsar d a rprsntação conomzar sgnfcatvamnt spaço d armaznamnto no computador, sua vantagm prncpal é o mdato rconhcmnto d mportants proprdads struturas do grafo rprsntado. Uma prmra abordagm do assunto fo aprsntada m Marknzon Prra (2008). O studo d outra rprsntação para grafos cordas basada m conctos smlhants pod sr ncontrado m Marknzon Vrnt (2006). 2. Conctos Báscos Um grafo é dto cordal quando todo cclo d comprmnto maor do qu 4 tm ao mnos uma corda, sto é, uma arsta lgando dos vértcs não conscutvos no cclo. Conctos báscos proprdads d grafos cordas são ncontrados m Golumbc (2004) Blar Pyton (1993). Ao longo dst trabalho, todos os grafos são supostos conxos. Sja G(V, E) um grafo, sua ordm su tamanho. Um vértc é smplcal quando su conjunto d adjacênca é uma clqu m G, sto é, o subgrafo d G nduzdo por,, é um grafo complto. Um squma d lmnação prfta (EEP) d G é uma função bjtora tal qu é um vértc smplcal m, para. O conjunto é dnomnado conjunto d adjacênca rstrta d v. Um subconjunto é um sparador d G s dos vértcs não adjacnts prtncnts à msma componnt conxa d G stão m componnts conxas dstntas d ; dz-s também qu S spara o grafo. O conjunto S é um sparador mnmal d G s S é um sparador nnhum subconjunto própro d S spara o grafo. Um subconjunto é um sparador d vértcs para vértcs não adjacnts u v (rprsntado por uv-sparador) s a rmoção d S do grafo spara u v m componnts conxas dstntas. S nnhum subconjunto própro d S é um uv-sparador, S é chamado uv-sparador mnmal. Quando o par d vértcs não é dntfcado, S é chamado sparador mnmal d vértcs. Obsrv qu, um sparador mnmal d G é um sparador mnmal d vértcs, mas a rcíproca nm smpr é vrdadra. Dado um grafo cordal conxo o grafo d ntrsção d clqus d G é o grafo conxo valorado tal qu sus vértcs são as clqus maxmas d G suas arstas lgam vértcs qu corrspondm a clqus não dsjuntas. A cada arsta é atrbuído um pso ntro, dado pla cardnaldad do conjunto ntrsção das clqus maxmas qu corrspondm às suas xtrmdads. A árvor d pso máxmo dst grafo é chamada árvor d clqus. Sgundo Blar Pyton (1993), uma ordnação total das clqus maxmas possu a proprdad RIP (do nglês runnng ntrscton proprty) s para cada clqu, 2 j q, xst uma clqu,, tal qu. Os próxmos rsultados, anda d Blar Pyton (1993), rlaconam clqus maxmas, árvors d clqus sparadors mnmas d vértcs. 2568

3 Torma 1. [Blar Pyton, 1993] Sjam um grafo cordal uma árvor d clqus d G. O conjunto é um sparador mnmal d vértcs d G s somnt s para alguma arsta. Torma 2. [Blar Pyton, 1993] Sja um grafo cordal. O multconjunto M d sparadors mnmas d vértcs d G é o msmo para qualqur árvor d clqus d G. 3. Rprsntação d um Grafo Cordal Nsta sção, a rprsntação para grafos cordas dnomnada rprsntação compacta é aprsntada. Em sguda, são provados tormas qu vdncam vantagns dssa rprsntação, como por xmplo, algumas proprdads struturas dsss grafos. Rssalta-s anda qu ssa rprsntação prmt uma rsposta fcnt a algumas consultas computaconas tal como vrfcar a rlação d adjacênca ntr dos vértcs Rprsntação Compacta d um Grafo Cordal Sjam um grafo cordal o conjunto d clqus maxmas d G com uma ordnação RIP. A rprsntação compacta d G é a squênca d pars,, tal qu,. É ntrssant obsrvar qu um msmo grafo cordal pod tr dstntas rprsntaçõs compactas tndo m vsta qu o conjunto d clqus maxmas admt mas d uma ordnação RIP. O grafo cordal mostrado na Fgura 1 admt, ntr outras, as duas rprsntaçõs: j h a g b d f c Fgura 1 cujas squêncas d clqus maxmas stão ndcadas na Fgura 2(a) (b), rspctvamnt. 2569

4 j j h Q 4 h Q 5 Q 3 Q 3 a g a g Q 1 Q 5 b d f Q 2 Q 6 Q 1 Q 6 b d f Q 4 Q 2 c c (a) Fgura 2 (b) A vantagm mas mportant d uma rprsntação compacta d grafos cordas é qu la possblta a ddução d algumas proprdads struturas dsss grafos. Por xmplo, a partr d uma, é fácl vr qu o conjunto é uma partção d V também qu as q clqus maxmas d G são tas qu. A gração da rprsntação compacta pod sr mplmntada d manra bastant fcnt. Blar Pyton (1993) provam qu a busca d cardnaldad máxma, um algortmo clássco para o rconhcmnto d grafos cordas, xb as clqus maxmas numa ordm tal qu obdc à proprdad RIP. Basta ntão uma modfcação nss algortmo para qu s obtnha a rprsntação dsjada; uma prmra mplmntação pod sr obtda m tmpo polnomal. As proprdads aprsntadas na próxma sção possbltam mplmntaçõs mas fcnts Rprsntação Compacta Proprdads A sgur, alguns tormas sobr proprdads struturas dos grafos cordas obtdas das rprsntaçõs compactas são aprsntados. O prmro torma mostra como obtr um EEP drtamnt d uma. Torma 3. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. A squênca é um squma d lmnação prfta do grafo G. Prova: Pla dfnção,. Então os vértcs d são smplcas no subgrafo nduzdo. Logo, pla caractrzação d grafos cordas, a squênca é um EEP. Na raldad, a squênca gra város EEP, vsto qu os vértcs d P,, podm aparcr squncalmnt no EEP m qualqur ordm. O próxmo torma mostra como uma árvor d clqus do grafo G pod sr construída. Torma 4. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. Exst uma árvor d clqus assocada à rprsntação compacta d G. 2570

5 Prova: Sjam. Esta squênca d clqus maxmas obdc à proprdad RIP. Consdr, sm prda d gnraldad, a raz da árvor T. Suponha qu a árvor d clqus stá construída para as clqus. A clqu, ao sr consdrada, dtrmna um novo vértc da árvor d clqus. Os vértcs d não prtncm à. Pla dfnção da proprdad RIP, xst uma clqu tal qu. A clqu pod ntão sr ncluída na árvor d clqus com a arsta uma vz qu a ntrsção tm cardnaldad máxma pos os vértcs rstants da clqu, qu formam o conjunto, são smplcas m G. Obsrva-s qu, d acordo com a prova do Torma 4, xstm dvrsas clqus maxmas qu podm sr scolhdas como a clqu, o qu ndca qu xstm dfrnts árvors d clqus corrspondndo à uma squênca qu possua a proprdad RIP. A partr da árvor d clqus T, dos rsultados mportants sobr sparadors mnmas d vértcs vértcs smplcas são dmonstrados no torma a sgur. Torma 5. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. Então,. é o multconjunto dos sparadors mnmas d vértcs d G.. é o conjunto dos vértcs smplcas d G. Prova: Consdr a árvor d clqus T construída sgundo o Torma 4. Para, xst uma arsta na árvor d clqus assocada, sndo qu. Plo Torma 1, é um sparador mnmal d vértcs d G. Cada vértc v do grafo prtnc uncamnt a um dos conjuntos. Então, um vértc v aparc apnas numa clqu maxmal, sto é, v é vértc smplcal s, somnt s, v não prtnc a nnhum dos conjuntos. A rprsntação compacta d um grafo cordal G aprsnta anda outra vantagm, a facldad d mplmntação d consultas (qurs). Pod-s consdrar, por xmplo, a consulta d adjacênca (adjacncy qury), qu tsta s dos vértcs u v são adjacnts, é rspondda no Torma 6. Torma 6. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. Os vértcs tas qu são adjacnts s, somnt s,.,. ou.. Prova: Quando = j, u v são adjacnts porqu prtncm a msma clqu maxmal. S < j, v é um vértc smplcal no grafo nduzdo ntão u v são adjacnts, caso prtnçam à msma clqu maxmal. Uma vz qu ntão. Pod-s usar um argumnto smlhant quando. 2571

6 3.3. Rprsntação Compacta Contagm Os tormas a sgur forncm rsultados qu rlaconam a ordm o tamanho do grafo com a rprsntação compacta, sndo qu ls ndcam uma conoma d armaznamnto m mmóra do computador dssa rprsntação quando comparada com as usuas como matrz lstas d adjacêncas. Os númros d vértcs d arstas d um grafo cordal não stão xplíctos na sua rprsntação compacta, mas é fácl notar qu n = q P =1, pos o conjunto {P 1,P 2,...,P q } é uma partção d V. O próxmo torma fornc o númro d arstas do grafo G. Dnota-s por, para. Torma 7. Sjam G(V, E) um grafo cordal sua rprsntação compacta. Então, Prova: A construção do grafo é fta usando a ordm nvrsa do EEP,. por. Incalmnt, são nsrdas as arstas da clqu maxmal. Para cada,, são nsrdas arstas. Como, o rsultado fca dmonstrado. Sjam Q o conjunto das clqus maxmas d G M o multconjunto dos sparadors mnmas d vértcs,. Os valors d α β são obtdos drtamnt da rprsntação compacta, pos. A rprsntação compacta utlza ntão quantfcam a conoma d armaznamnto. posçõs d mmóra; os próxmos rsultados Torma 8. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. Então, α < m. Prova: Do Torma 7, s sab qu, ond p 1. Então, m = p 1( p 1 1) q p 2 ( p + 2s 1). =2 Da do Torma 5, tm-s qu, ( s = 0, quando = 1). Para 2 q, a gualdad ocorr somnt quando p = 1. Como, ntão p 1 2. Assm,, portanto, α < m. Coroláro 9. Sjam um grafo cordal sua rprsntação compacta. Então,. Prova: Dada a, tm-s qu. Além dsso, n + α = β. Como, ntão. 2572

7 4. Conclusão Nst trabalho, fo aprsntada uma rprsntação compacta para um grafo cordal, com vantagns computaconas não só do ponto d vsta d conoma d mmóra utlzada, mas também porqu prmt xtrar nformaçõs a rspto do grafo d forma rápda fcnt. Os próxmos passos dss trabalho nclum o dsnvolvmnto d um algortmo lnar para a obtnção da rprsntação. Agradcmnto Est trabalho contou com o apoo do CNPq, procsso / Rfrêncas Bblográfcas Blar, J.R.S. Pyton, B. (1993), An Introducton to Chordal Graphs and Clqu Trs, In: Graph Thory and Spars Matrx Computaton, IMA 56, Golumbc, M.C., Algorthmc Graph Thory and Prfct Graphs, 2 nd dton, Acadmc Prss, Nw York, Marknzon, L. Vrnt, O. (2006), Rprsntaçõs Computaconas d Grafos, In: Notas m Matmátca Aplcada, Ed. SBMAC, vol. 24. Marknzon, L. Prra, P.R.C. (2008), A Compact Rprsntaton for Chordal Graphs, Proc. of th 7th Cologn-Twnt Workshop on Graphs and Combnatoral Optmzaton, CTW 2008,