Disciplina de Álgebra I Unidade de Aprendizagem: A Lógica da Matemática, Caminhos, Grafos e Algoritmos

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1 Disiplin de Álger I Unidde de Aprendizgem: A Lógi d Mtemáti, Cminhos, Grfos e Algoritmos Coneito GRAFOS Muits situções do di--di podem ser onvenientemente desrits trvés de digrms que onsistem de um onjunto de pontos, juntmente om linhs que ligm lguns pres desses pontos. Por exemplo, os pontos podem representr pessos e s linhs ligm pres de migos; os pontos podem representr entros de omunição e s linhs ligções entre esses entros. A strção mtemáti de situções desse tipo dá lugr o oneito de grfo. Vmos omeçr om um exemplo Mnoel, um rteiro, inumido de trlhr em um região desonheid (figur 1), quer desorir qul é o perurso pr entreg d orrespondêni diári em que, sindo do posto dos Correios, psse por tods s rus sem nun ruzr por um treho de ru (entre dus esquins onseutivs) pelo qul já tenh pssdo (não psse dus vezes pel mesm ru) e qundo for entregr n últim ru, já estej voltndo o posto iniil. Pr tl região, isto é possível? Feito isso, dizemos que prtimos de um situção-prolem onret e representmos por um grfo, neste so om vérties A, B, C, D, E, F, G e H, e rests AB, AF, BC, BD, BF, CD, FD, FE, DE, FG, FH e GH. Trt-se ssim de um minho pr resolução d situção-prolem propost om se num modelgem em grfos pr el, ou sej, um grfo-modelo. Este grfo-modelo, por exemplo, não possui rest AH, pois A e H não são vérties que representm esquins onseutivs (limites de um mesmo treho de ru). Completndo, AFBDFG é um perurso por rests desse grfo e o gru (número de rests que hegm num vértie) do vértie A é 2, em omo o de F é 6, e em tl grfo nenhum dos oito vérties tem gru ímpr. Aresentemos mis uns pouos oneitos: vérties djentes são quisquer dois vérties ligdos por lgum rest; grfo onexo é todo quele no qul existe um perurso onetndo qulquer pr de vérties que se esolh, minho é perurso sem repetição de vérties; ilo é minho fehdo (isto é, onde o vértie finl oinide om o iniil); árvore é qulquer grfo onexo sem ilos. Que o leitor note que s ligções n figur 2, feits om segmentos, poderim ser linhs quisquer (urvs), mesmo sendo os trehos de rus ddos retilíneos, pois o que import é representrmos fielmente (sej qul for form gráfi) que pres de vérties devem relionr-se, no so, quis representm dus esquins onseutivs. Veremos outro exemplo Num esol lgums turms resolverm relizr um torneio de vôlei. Prtiipm do torneio s turms 6A, 6B, 7A, 7B, 8A e 8B. Alguns jogos form relizdos té gor: 6A jogou om 7A, 7B, 8B 6B jogou om 7A, 8A, 8B 7A jogou om 6A, 6B 7B jogou om 6A, 8A, 8B 8A jogou om 6B, 7B, 8B 8B jogou om 6A, 6B, 7B, 8A Figur 1 Representemos o Posto dos Correios, onde está Mnoel, por A, s (outrs) sete esquins respetivmente pels letrs de B té H, em omo os trehos de rus entre dus esquins onseutivs por linhs, omo n figur 2. Tmém podemos representr ess situção por meio de um grfo, onde s turms serão representds por pontos e os jogos serão representdos por linhs. Não é difíil onsttr por meio do grfo, que nem todos os times jogrm tods s prtids neessáris, mesmo que relção já tenh nos informdo. Podemos representr ess situção por um list, dizendo quem se relion om quem ou por um desenho, isto é, um representção gráfi. Qul é form orret? As dus são orrets. A H B F G C D E. Figur 2

2 Pr que um grfo fique em definido temos de ter dois onjuntos: 2) Fç o mesmo exeríio nterior (itens, e ) usndo os grfos ixo: - o onjunto V, dos vérties, que no nosso exemplo é o onjunto ds turms; - o onjunto A, ds rests, que no nosso exemplo são os jogos relizdos. Em outrs plvrs, o que nos interess num grfo é: quem são os vérties e que pres de vérties estão ligdos e quis não estão (isto é, quem são s rests). Qundo existe um rest ligndo dois vérties dizemos que os vérties são djentes e que rest é inidente os vérties. No nosso exemplo podemos representr o grfo de form suint omo: V = {6A; 6B; 7A; 7B; 8A; 8B} A = {(6A; 7A); (6A; 7B); (6A; 8B); (6B; 7A); (6B; 8A); (6B; 8B); (7B; 8A); (7B; 8B); (8A; 8B)} Oserve que não preismos olor (8A; 7B) no onjunto de rests, pois já tínhmos olodo (7B; 8A). O número de vérties será simolizdo por V ou pel letr n, e o número de rests será simolizdo por A ou pel letr m. No nosso exemplo n = 6 e m = 9. Gru de um Vértie No nosso exemplo vimos que d turm jogou um número diferente de jogos: 6A jogou 3 jogos 6B jogou 3 jogos 7A jogou 2 jogos 7B jogou 3 jogos 8A jogou 3 jogos 8B jogou 4 jogos Por isso, no nosso desenho, o vértie 6A tem 3 rests ligds ele, o vértie A7 tem 2 rests ligds ele e ssim por dinte. Dizemos que ests rests são inidentes o vértie. O número de vezes que s rests inidem sore o vértie V é hmdo gru do vértie V, simolizdo por d(v). No nosso exemplo, d(6a) = 3; d(7a) = 2. Agor vmos onheer, de mneir forml, um pouo mis sore os grfos! Definição No exeríio nterior voê deve ter oservdo que som dos grus de um grfo é sempre o doro do número de rests (e isso não deve ser oinidêni...). Isso pode ser esrito em lingugem mtemáti. Pr isso, denotremos um grfo pel letr G e representremos por V(G) e A(G) respetivmente, os onjuntos de vérties e ds rests de G. Teorem Pr todo grfo G: Isto é, som dos grus dos vérties de um grfo é sempre o doro do número de rests. Exeríios 1) Usndo o grfo do mpeonto: () Dê o gru de d um dos vérties () Qul som de todos os grus? () Qul o número de rests? (d) O que voê oservou? Será oinidêni?

3 Alguns Prolems om s Definições Algums pergunts er ds definições podem nos deixr trplhdos. Vmos exminr lgums. - Um rest pode ligr um vértie ele mesmo? Pode. É o que hmmos de lço (vej n figur ixo). Por exemplo, vmos onstruir o grfo em que V = {2; 3; 4; 5; 6} e dois vérties serão ligdos qundo tiverem um divisor omum (diferente de 1). Vizinhnç e outrs prtiulriddes dos grfos O onjunto de vérties djentes v é hmdo vizinhnç ert de v, denotdo por N(v). A vizinhnç fehd de v é denotd e definid por N[v] = N(v) {v}, isto é, inlui vizinhnç e o próprio vértie. Podemos estender est definição pr onjuntos de vérties (N(S) e N[S]). Por exemplo, no grfo do mpeonto d ul nterior temos N(7B) = {6A; 8A; 8B} e N[7B] = {6A; 7B; 8A; 8B}. Pel definição do grfo vemos que o 5 não está ligdo nenhum outro vértie ms tem um lço (omo liás todos os outros vérties deste grfo). Pr hver oerêni om os resultdos d seção nterior, temos que ontr o lço dus vezes (um pr d extremidde) qundo lulrmos o gru do vértie. No nosso exemplo: d(2) = 4; d(3) = 3; d(4) = 4; d(5) = 2; d(6) = 5, e o teorem ontinu vlendo. Um vértie de gru 0 é dito isoldo; um vértie de gru 1 é dito pendente. A sequêni de grus de um grfo é sequêni não resente formd pelos grus dos vérties dos grfos. Por exemplo, sequêni de grus do grfo do mpeonto é (4; 3; 3; 3; 3; 2). O menor gru de um vértie em G é o gru mínimo, denotdo δ(g), e o mior é o gru máximo, denotdo Δ(G). No so do mpeonto temos Δ(G) = 4 e δ (G) = 2. G é dito um sugrfo de G se V(G ) V(G) e A(G ) A(G). N figur seguir, o grfo G é um sugrfo de G. - Dois vérties podem estr ligdos por mis de um rest? Podem. Neste so usmos o nome espeil de multigrfo, onforme figur ixo, por exemplo: Grfo ompleto Grfos sem lços ou rests múltipls são hmdos de grfos simples. Imgine o grfo do mpeonto qundo todos os jogos tiverem sido jogdos. Ele firi om o speto d figur ixo: A figur ixo mostr um grfo ou dois grfos? Isto depene d situção ou ontexto, pois pode representr tnto dois grfos distintos omo um grfo desonexo. Cd prte onex do grfo (no nosso exemplo, o qudrdo e o triângulo) é hmd de omponente onex do grfo. Dizemos que um grfo é onexo se qulquer pr de pontos é ligdo por o menos um minho. Isto é o que hmmos um grfo ompleto. Um grfo ompleto é definido omo um grfo onde todo pr de vérties é ligdo por um rest. Um grfo ompleto om n vérties é denotdo por Kn (o nosso exemplo é K6). Exeríios I 1) Qunts rests têm K7? e K12? e Kn?

4 2) Quntos vérties um grfo simples preis ter pr poder ter 210 rests? Cminho Grfo omplementr Imgine gor que temos o grfo do mpeonto e queremos fzer o grfo dos jogos que fltm. Frímos um grfo om o mesmo onjunto de vérties, ms om s rests que fltm no grfo originl. Vej figur. Um minho é um ilo do qul retirmos um rest. O omprimento do minho é ddo pelo número de rests. Assim, o minho Pn é otido retirndo um rest do ilo Cn+1. Árvores Chmmos este grfo de grfo omplementr do grfo G, denotdo por G. É fáil pereer que V(G) = V(G) e que A(G) A(G) inlui tods s rests de G. Um árvore é um grfo onexo sem ilos omo sugrfos. Note que o fto de não ter ilos fz om que árvore sej mneir mis eonômi de onetr os vérties. Grfo nulo ou vzio Um grfo G é nulo ou vzio qundo o onjunto de rests A(G) é vzio. Por exemplo, ntes de omeçr o mpeonto nenhum jogo hvi sido jogdo. Nosso grfo firi omo n figur: Grfo iprtido Um grfo iprtido G é um grfo ujo onjunto de vérties dmite um prtição em dois suonjuntos não vzios, V1 e V2, de tl modo que tod rest de G é inidente num elemento de V1 e noutro de V2. Se todo o vértie de V1 estiver ligdo por um (e um só) rest d vértie de V2, G diz-se um grfo iprtido ompleto. Neste so, se V1 = m e V2 = n, G denot-se por Km,n. Se V1 = 1, G diz-se um estrel. Amos por seprr dois grupos de vérties que não se ligm entre si. Apresentemos lguns exemplos de grfos iprtidos: Grfo regulr Um grfo é regulr (de gru k, ou ind k-regulr) qundo todos os seus vérties têm o mesmo gru (k). A figur ixo mostr um grfo 3- regulr, isto é, todos os vérties tem gru 3. Cilo Um ilo é um grfo onexo regulr de gru 2. A notção é Cn, vej os exemplos ixo:

5 Representção por Mtrizes Um ds forms mis omuns de informr um estrutur de grfo pr um omputdor é trvés de mtrizes. Um mtriz nd mis é do que um tel om linhs e oluns. Um exemplo stnte onheido é tud: Exeríios II 1) Desenhe um representção do grfo uj mtriz de djêni é: 2) Considere o grfo: Se quisermos ser o vlor de 3 x 5 prourmos o vlor n linh do 3 e n olun do 5, isto é 15. Ms s mtrizes têm outrs utiliddes. No so dos grfos els podem ser usds n representção de váris forms. Eis lgums dels, exemplifids om s representções do grfo seguir: Respond s seguintes pergunts: ) O grfo é simples? ) O grfo é ompleto? ) O grfo é onexo? d) É possível enontr dois minhos do nó (vértie) 3 pr o nó 6? e) É possível enontrr um ilo, ou sej, sir de um ponto em voltr o mesmo ponto (não sendo neessário pssr por tods s rests)? f) É possível enontrr um rest uj remoção trnsform o grfo em um grfo ílio? 3) Esoe um grfo simples om 3 vérties, d um om gru 2. Grfo direiondo (dirigido) Muits vezes, n modelção de ertos prolems onvém onsiderr um sentido pr s rests. Por exemplo, n modelção de mps de estrds om sentido únio: Um grfo dirigido (ou, revidmente, digrfo) D onsiste num onjunto finito não vzio V(D) de elementos hmdos vérties, e num onjunto finito A(D) de rests orientds (eventulmente múltipls), hmds rests. Por exemplo:

6 2) Oserve o grfo direiondo ixo: Um digrfo diz-se simples se não ontiver lços e os seus ros forem todos distintos. Exeríios III 1) Oserve o grfo direiondo ixo: Respond s seguintes pergunts: ) Existe um minho de omprime 5 do nó 1 pr o nó 4? ) É possível essr o nó 1 de lgum outro nó? ) Quis são os ilos deste grfo? 3) Esrev mtriz de djênis dos grfos ixo: ) Respond s seguintes pergunts: ) Quis são os vérties essíveis prtir do vértie 3? ) ) Qul o minho mis urto do nó 3 pr o nó 6? ) Qul o minho de omprimento 8 (que pss por oito rests) do nó 1 pr o nó 6? ) 4) Qunts rests tem um grfo om vérties de grus 5, 2, 2, 2, 2, 1? Desenhe um possível grfo.

7 5) Determine se d um dos grfos é iprtido. ) ) Um minho eulerino perorre d rest um vez, sem neessidde de voltr o ponto de prtid. Um ilo eulerino é um minho em um grfo que visit d rest extmente um vez, iniindo e terminndo no mesmo vértie. Um grfo eulerino é quele que ontém um ilo eulerino. Um grfo não-dirigido é eulerino se não tiver nenhum vértie de gru ímpr; Um grfo dirigido é eulerino se todos os vérties tiverem gru de entrd igul o seu gru de síd. Um grfo semi-eulerino (que permite um minho eulerino) possui extmente dois vérties de gru ímpr, um é o ponto de prtid e outro é o ponto de hegd. Ou sej: Teorem 1: Se um grfo dmite um minho eulerino, omeçndo e terminndo num mesmo vértie, então todo vértie desse grfo tem ordem pr. PROBLEMAS DE CAMINHOS Reordemos o prolem ds pontes de Königserg d ul nterior onde se perguntv se er possível trvessr d um ds 7 pontes extmente um vez e voltr o ponto de prtid. Isto é equivlente perguntr se no grfo ixo existe um minho fehdo, sem repetição de rests, ontendo tods s rests, ou sej, um ilo (minho fehdo, onde o vértie finl oinide om o iniil). Demonstrção: Considere um vértie qulquer do grfo, digmos A, e suponhmos que ele é um vértie intermediário (nem finl, nem iniil) do psseio. Então, d vez que hegmos em A, trvés de um rest do minho, prtimos de A logo em seguid, e ssim, ontds s hegds e prtids, teremos um número pr de rests poindo-se em A (figur ixo). Suponhmos gor que B é o vértie iniil e finl do minho. Então, lulndo ordem de B, ontmos 1 n prtid, mis 1 n hegd, e sommos 2 d vez que pssmos por B (podemos, o longo do minho, pssr diverss vezes por B). Logo, B é tmém um vértie pr. Teorem 2: Se um grfo dmite um minho eulerino, omeçndo num vértie e terminndo em outro, então os vérties finl e iniil do psseio são ímpres, e todos os demis vérties do grfo tem ordem pr. Pr ompreender um grfo eulerino, temos de retomr lguns spetos referentes os grfos de um modo gerl. Como já semos, um minho, num grfo, onsiste num sequêni de rests do grfo, onstruíd de tl modo que, dus rests onseutivs d seqüêni tem o menos um vértie em omum e, ness seqüêni, não preem rests repetids (no so, pr que minho sej eonômio ). Tendo-se um minho em um grfo, d rest desse minho fi orientd, pssndo ter um vértie iniil e um vértie finl, de modo que, se e são dus rests onseutivos do minho, o vértie finl de é o vértie iniil de. Além disso, o minho terá um vértie iniil o seu ponto de prtid, e um vértie finl o seu ponto de hegd. Qundo o vértie iniil e o vértie finl de um minho oinidem, dizemos que o minho é fehdo. Historimente, os minhos eulerinos estão ssoidos à gênese d teori de grfos, essenilmente à ust ds pontes de Königserg (tul Klingrdo, no enlve russo entre Polóni e Lituâni). A questão er ser se seri possível pssr extmente um vez em d ponte, voltndo o ponto de prtid. Em 1736, Leonhrd Euler mostrou que tl psseio não é possível. De sus onlusões, temos s seguintes rterístis e proprieddes: Demonstrção: Se um vértie não é o fim nem o iníio do minho então, tod vez que hegmos ele no minho, prtimos em seguid, e ssim hverá um número pr de rests nele se poindo. Se C é o vértie iniil do psseio, então, o lulr su ordem, ontmos 1 qundo prtimos de C, e sommos 2 d vez que pssmos por C. Assim, C é um vértie ímpr. D mesm form, pr o vértie D, finl do minho, sommos 2 d vez que pssmos por ele e mis 1 n hegd, sendo D, portnto, tmém um vértie ímpr. Em vist dos dois teorems im, gor fi fáil ser quis dos grfos já vistos em nosss uls dmitem minho eulerino. Igulmente fáil é determinr se o prolem ds pontes de Königserg tem ou não solução. Verifiremos gor que, reipromente, todo grfo, om tods s rests pres, ou pens dus ímpres, dmite um minho eulerino. Teorem 3: Se um grfo tem seus vérties todos pres, então ele dmite um minho eulerino. Além disso, esse minho pode omeçr (e terminr) em qulquer vértie previmente esolhido. A primeir rest do minho pode ser qulquer rest prtindo desse vértie.

8 Teorem 4: Se um grfo tem dois vérties ímpres e os demis todos pres, então ele dmite um minho eulerino. Esse minho deve omeçr em um dos vérties ímpres e terminr no outro. 3) Agor, tente onstruir minhos eulerinos nos grfos ixo, verifindo, d mesm form, em d so, se o grfo stisfz s hipóteses de um dos teorems 3 e 4. Exeríios 1) Quis dests figurs podemos fzer, om um únio trço, sem tirr o lápis do ppel, pssndo o lápis só um vez em d trço? ) () () () (d) 2) Tente onstruir um minho (ou ilo) eulerinos no grfo ixo, verifindo se o mesmo stisfz s hipóteses de um dos teorems 3 e 4 (leve em ont que o enontro de dus ou mis rests é um vértie). ) O Prolem do Menor Cminho O lgoritmo que soluion este prolem (e té hoje não se enontrou form melhor) foi rido por Edsger Wye Dijkstr, em Dijkstr nseu em 1930, n idde de Roterdn (Holnd), e morreu em Foi um ientist de omputção e reeeu o Turing Awrd de 1972 por sus ontriuições fundmentis n áre de lingugens de progrmção. Notem um fto interessnte: gerlmente o que estudmos em mtemáti foi rido há muito tempo. Ms, omo veremos no prolem seguir, mtemáti ontinu ofereer soluções e om o desenvolvimento d Informáti idei de um solução pr um prolem tem se modifido. Em vez de prourrmos um número, um respost (o que em muitos sos é neessário), prourmos um lgoritmo, isto é, um série de proedimentos que os levem à solução. A vntgem é que, se o prolem for muito extenso, poderemos progrmr um omputdor pr relizr este lgoritmo. E o prolem seguir é um exelente exemplo disso. E oserve que trlhremos om grfos vlordos, isto é, estremos triuindo vlores às rests. Estes vlores podem ser distânis, tempo gsto no trjeto, usto om ligção et. Usremos s expressões usto ou distâni pr nos referirmos estes vlores. Estes vlores gerlmente são estimdos por engenheiros, eonomists e onsiderremos nos próximos exemplos que eles são ddos. Este lgoritmo trlh pens om grfos vlordos om vlores positivos e noss tref é minimizr o usto ou distâni.

9 Qul o Menor Cminho té Esol? ) ) d ) Monte o grfo d mtriz trnspost d questão ). d) Tente rir um estrtégi (ou melhor, um lgoritmo) pr her segurmente o menor minho! Monte um mtriz de distâni, olondo, pr os vérties que se onetm, o vlor equivlente, e pr os vérties que não se onetm, use o símolo do infinito ( ). Pesquise por: Algoritmo de Dijkstr. 3) Esoe os grfos om s seguintes rterístis: ) Com 4 vérties e ilos de omprimento 1, 2, 3 e 4. ) Não ompleto om 4 vérties, d um om gru 4. 4) Pr os grfos ixo: Exeríios de fixção B C 1) Preenh o qudro: Tipo Arests (sem direção ou dirigids) Arests Múltipls (sim ou não) Lços (sim ou não) Grfos simples Multigrfo Pseudogrfo Sem direção sim sim Grfo dirigido simples Grfo dirigido 2) Dê mtriz djêni, usndo: pr grfos simples: Pr multigrfos: x ij x ij 1 se ija(g) 0 se ija(g) 1 se ija(g) 2 se ij(x2) A(G) 0 se ija(g) A ) preenh tel: Vértie A B C D E F G Nº de vérties om gru pr Nº de vérties om gru ímpr Som dos grus F G E Gru D Pr grfos dirigidos x ij 1 se ija(g) 0 se ija(g) ) qul é o número de rests? ) É um grfo eulerino? Se firmtivo, dê o ilo, so ontrário, verifique se o grfo possui minho eulerino.

10 Grfos e Cilos Hmiltoninos 2) O grfo ixo é hmiltonino? Se sim, enontre o ilo hmiltonino. Um prolem prentemente similr o dos grfos eulerinos é o de prourr em G um minho fehdo que psse por todos os vérties um e só um vez. Um minho ssim teri de ser neessrimente um ilo; hmmos um tl ilo de ilo hmiltonino. O nome é em homengem Sir Willin R. Hmilton, mtemátio irlndês que estudou e divulgou o prolem, emor primeir formulção tenh sido feit por Kirkmn em As primeirs denotções de grfo hmiltonino e de grfo semihmiltonino seguem s mesms diretrizes dos grfos eulerinos. Um grfo e seu ilo hmiltonino preem n figur (); um grfo semihmiltonino pree n figur (). O Prolem do Cixeiro Vijnte () () Então, omo vimos n figur (), Um grfo G é hmdo Hmiltonino qundo possui um ilo que inlui todos os vérties de G, ou sej, neste ilo d vértie pree um úni vez, om exeção do vértie de prtid. Como vimos no exemplo (), se o grfo não ontiver um ilo hmiltonino, ms ontiver um minho entre dois vérties de form que d vértie do grfo sej visitdo um úni vez, então este grfo é hmdo semi-hmiltonino. Emor semelhnte o prolem do álulo do iruito eulerino, o ilo hmiltonino é muito mis omplexo, pois não são onheids tods s ondições neessáris e sufiientes pr que um grfo genério ontenh um ilo hmiltonino nem tmpouo métodos efiientes pr onstruir tl ilo. Este prolem está intimmente reliondo o prolem do ixeiro vijnte, o qul onsiste em enontrr um minho que psse por tods s iddes um úni vez e retorne o ponto de prtid, esolhendo pr isso um minho de usto mínimo. Este minho onsiste em um ilo hmiltonino de usto mínimo, onde som dos ustos ds rests pertenentes o ilo é mínim. O prolem do ixeiro vijnte é um dos prolems mis estuddos no mpo d pesquis operionl, ms té hoje não foi enontrdo um lgoritmo omputionlmente efiiente pr resolvê-lo. Su formulção é simples: ddo um grfo ompleto vlordo G, desejmos determinr o vlor do menor ilo hmiltonino de G. Tomemos o exemplo ddo pel seguinte mtriz vlord de djêni: Exeríios I 1) Os grfos () e (d) ixo são, d um, seprdmente, hmiltonino? Semi-hmiltonino? É eulerino ou semi-eulerino? () (d) (): (d): Como o grfo em questão é K7, um solução óvi seri exminr tods s permutções entre os vérties, d um orrespondendo um ilo hmiltonino. Com 7 vérties, teremos 7! = 5760 permutções; n verdde são 6! = 820, pois são permutções irulres. Sej omo for, é um tref té modest pr um omputdor. Ms o prolem do ixeiro vijnte frequentemente trt de grfos om mis de 60 vérties. Isso nos dri 60!, o que nos tomri milênios, mesmo usndo todos os omputdores do mundo! Noss titude será então de prourr um lgoritmo que use um idei rzoável, mesmo que não ssegure melhor solução, solução ótim. Um possível solução é trvés do lgoritmo guloso, que prte do ponto A e prour sempre menor distâni o ponto d vez. No nosso so, o ilo produzido seri -g--f-d-e--, om vlor A ontrindição pr o lgoritmo guloso é que no finl terminmos por eitr rests de vlores muito ltos. N figur ixo, por exemplo, temos um grfo ompleto, vlordo ns rests, e desejmos enontrr o ilo hmiltonino om menor vlor totl (prolem do ixeiro vijnte). Pr isto, use o lgoritmo guloso e

11 onstte que o vlor otido nem sempre (ou quse nun) é o melhor vlor (que pode ser enontrdo por exme exustivo). (e) Suonjuntos Espeiis de um Grfo Conjuntos Independentes Suponhmos que um grfo represente inomptiilidde de horários entre professores que devem dr prov finl; os vérties x e y estrão ligdos se representrem professores que têm lunos em omum pr ministrr prov. Qul o mior número de professores que podem dr prov o mesmo tempo? A respost é dd pelo suonjunto independente máximo de vérties do grfo. O suonjunto ssinldo om qudrdos negros no grfo ddo seguir mostr um onjunto om ests rterístis. O número de independêni (G) é rdinlidde do suonjunto independente máximo de vérties do grfo. No nosso exemplo, α(g) = 4. Colorção (f) Suponh, no exemplo nterior, o dos professores, que quiséssemos ser qul o menor número de horários neessários pr ministrr s provs. Pr isto, devemos resolver o prolem de prtiionr o onjunto de vérties do grfo em suonjuntos independentes; d onjunto orresponder um horário de prov. Um form de resolver o prolem é triuir ores os vérties de form que vérties djentes tenhm neessrimente ores diferentes. O menor número de ores que se pode utilizr será, portnto solução do prolem. (g) Oservção: não preismos efetivmente olorir os vérties, st triuir um número ou um símolo os vérties. Aplições do oneito de onjunto independente surgem qundo, por exemplo, desejmos evitr duplição de esforços. Suponhmos que num prque, representdo pelo grfo d figur (e), eu quisesse instlr rrs pr vend de sorvete. A operdor ds rrs fz s seguintes restrições: Um rr deve ser lolizd em um esquin (vértie). Esquins próxims (vérties djentes) só dmitem um rr. O estudo de olorção de grfos nseu qundo Frnis Guthrie pereeu que er possível olorir o mp d Inglterr usndo pens 4 ores. A pergunt que surgiu foi se 4 ores erm sufiientes pr olorir qulquer deomposição do plno em regiões. Em 1976, usndo grfos, Hken e Appel mostrm que respost er firmtiv. Um olorção de interesse é quel em que se utiliz um número mínimo de ores. Um grfo G, que exige k ores pr pintr seus vérties, e não menos, é hmdo um grfo k-romátio, ou k-olorável, e o número k é hmdo número romátio de G. N figur ixo (i), o número mínimo de ores é 3, portnto o grfo é 3-romátio. Estmos prourndo então um onjunto independente. Pr instlr o máximo de rrs prourmos um onjunto independente máximo. Já vimos que est pode ser um tref omplex. N figur ixo onfigurção d esquerd (f) mostr um onjunto independente mximl, isto é, não podemos resentr mis rrs de sorvete. Ms onfigurção d direit (g) tmém é independente e ontém quse o doro de rrs. Do ponto de vist mtemátio, o suonjunto de vérties om um mesm or é onsiderdo um prtição de vérties, e no so do exemplo (h): {}, {, d} e {}. Temos então, por definição: (h) d (i)

12 Um olorção própri dos vérties de um grfo é um olorção de vérties tl que os vérties (pontos finis) de d rest são triuíds ores diferentes. Vmos ver um exemplo ixo: Um grfo é dito ser k-romátio ou k-olorável se ele tem um olorção própri de vérties que us k ores. O número romátio de um grfo G, denotdo rom(g), é o menor número de ores diferentes neessáris pr oter um olorção própri de G. Teorem ds Qutro Cores A históri do prolem ds qutro ores omeçou em 1852, qundo Frnis Guthrie, luno de Augustus de Morgn, tentv olorir o mp d Inglterr om ores diferentes de mneirs que não houvesse regiões vizinhs om mesm or. Oservou que pens qutro ores serim sufiientes, e presentou o prolem De Morgn. Surgindo então o Prolem ds Qutro Cores. Este Teorem foi provdo iniilmente em 1976, por Kenneth Appel e Wolfgng Hken n Universidde de Illinois, om o uxílio de um omputdor. O Teorem ds Qutro Cores firm que: Qulquer grfo plnr pode ser olorido om pens qutro ores. (i) Um grfo é dito plnr se pode ser representdo no plno sem que sus linhs se ruzem. (ii) Um grfo é plnr se seu esquem puder ser trçdo em um plno de form que dus rests quisquer se toquem, no máximo, em lgum extremidde. Aplições de Colorção As plições de olorção preem qundo preismos reprtir o onjunto de vérties em onjuntos de vérties independentes disjuntos. Voltndo o prolem do prque, suponh que quiséssemos instlr rrs de sorvete, pipos, horro-quente, lgodão doe, et. Um lgoritmo interessnte pode nos judr olorir um grfo. 1º psso: vértie 5 (gru 4) vérties 1,2,3 e 4 (gru 3) 2º psso: or zul no vértie 5 (omo o restnte dos vérties são todos djentes, pssmos pr próximo psso). 3º psso: or mrel no vértie 1 e depois no vértie 3, que não é djente o vértie 1. 4º psso: or vermelh no vértie 2 e depois or vermelh no vértie 4, eu não é djente o vértie 2. Assim o grfo é 3-romátio. Exeríios II 1) Dê olorção dos grfos por meio do lgoritmo de Welh-Powell e determine o número romátio (use ores n sequêni: zul, mrelo, vermelho, verde, preto e rno. Tmém é possível triuir letrs às ores: = zul, = mrelo, = vermelho,...). Algoritmo de Welh-Powell O Algoritmo de Welh-Powell, é um lgoritmo pr olorção de um grfo G, que onsiste em: Psso 1 - Ordene os vérties de G em ordem deresente de gru. Psso 2 - Atriu primeir or, C1, o primeiro vértie e, então, sequenilmente, triu C1 d vértie que não é djente lgum vértie que o nteedeu e o qul foi triuíd or C1. Psso 3 - Repit o Psso 2 om segund or C2 e os vérties susequentes não oloridos. Psso 4 - Repit o Psso 3 om tereir or C3, depois om qurt or C4, e ssim por dinte, té que todos os vérties estejm oloridos.

13 Árvores Defini-se por árvore n mtemáti disret um grfo simples, onexo e sem ilos. Em nosso di--di nos deprmos om muitos exemplos de árvores: Árvore genelógi; Orgnogrm de um empres; Tel de um torneio esportivo, entre outros. Formlmente, pode-se dizer que, Sej T um grfo om n vérties, As seguintes firmções são equivlentes: i. T é um árvore. ii. T não ontém ilos e tem n 1 rests. iii. T é onexo e tem n 1 rests. iv. Todo pr de vérties de T é ligdo por um únio minho. v. T não ontém ilos, ms dição de um rest produz um únio ilo. São exemplos de árvores om 1, 2, 3, 4, 5 e 6 vérties: Fixndo o vértie r indido, otemos, por exemplo, o grfo o ldo. Este grfo dirigido diz-se um árvore om riz r. Outr esolh de riz pode produzir outr árvore enrizd. Definição: um árvore T = (V,E) é denomindo om riz ou enrizd qundo lgum vértie r é esolhido omo riz. Esse vértie r é riz d árvore. Usulmente representmos grfimente riz no topo. Podemos trnsformr um árvore sem riz num árvore enrizd simplesmente esolhendo um vértie omo riz. A terminologi pr s árvores inspir-se n otâni e n genelogi. Por exemplo, sej árvore enrizd ixo, om riz temos: l e j f g d r Riz = Anestris de j={e,} Desendentes de j={i,k} Pi de j=e Filhos de j={i,k} Nível de j = 2 Altur d árvore =3 Folhs = {,,i,k,f,h,d} i k h A riz de um árvore não possui pi, e todo vértie v diferente de r, possui um únio pi. Um folh é um vértie que não possui filhos. Vérties que possuem filhos são hmdos de vérties internos. O nível d riz é zero, de seus filhos é 1. O nível de um vértie é igul o nível de seu pi mis um. Pr dois vérties irmãos v e w, nível(v) = nível(w). A ltur de um árvore é o vlor máximo de nível(r) pr todo vértie v de T. Exentriidde Árvore om riz ou enrizd Teorem: Um grfo simples G é um árvore se e só se quisquer dois vérties de G estão ligdos por um únio minho sem repetição de vérties. Denomin-se exentriidde de um vértie v V, o vlor d distâni máxim entre v e w, pr todo w V. O entro de G é o suonjunto dos vérties de exentriidde mínim. A Figur ixo present um exemplo em que o entro é o suonjunto {, d, e}. g e d f Fixndo um vértie qulquer r de um árvore é possível, usndo o teorem nterior, dr um direção tods s rests do seguinte modo: omo existe um únio minho de r pr d um dos restntes vérties do grfo, direionmos d rest usndo esses minhos. Por exemplo, n árvore o ldo: r VÉRTICE EXCENTRICIDADE d 2 e 2 f 3 g 3

14 Árvore gerdor 5) Dê dus árvores gerdors pr d grfo ixo: Árvore gerdor é um árvore T, sugrfo de G, que ontém todos os vérties de G, omo no exemplo ixo: Exeríios de revisão Exeríios 1) Qunts rests tem um árvore om 8 vérties? 1) Quis são s diferençs entre grfos simples e multigrfos? 2) Constru um exemplo de grfo simples dirigido e um não dirigido. 2) Qul é riz d árvore () e qul é exentriidde de d vértie d árvore ()? f () d e 3) Constru mtriz de djêni d árvore () do exeríio nterior. f () d e 3) Constru um exemplo de multigrfo dirigido e um não dirigido. 4) Constru os grfos não-dirigidos prtir dos onjuntos de vérties e rests ddos seguir: ) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 4)}; ) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}; ) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}; d) V = {1, 2, 3, 4} e A = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; e) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}. 4) Pr árvore ixo, sendo riz, determine: 5) Ddos os grfos d questão nterior, lssifique-os omo simples ou multigrfos. d i e f g j h k 6) Constru um grfo G = (V,E), onde V = {1,2,3,4,5,6} e E = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)} e represente-o trvés de su mtrizes de djêni. 7) Ddo o grfo o ldo, quis firmções estão orrets? ( ) Os vérties v e w são djentes; ( ) Os vérties v e x são djentes; ( ) A rest 2 é inidente o vértie u; ( ) A rest 5 é inidente o vértie x. ) Os nestris de f. ) Desendentes de. ) Filhos de. d) Pi de e. e) Filhos de. f) nível de h. g) Altur d árvore. h) Folhs.

15 8) Pr o grfo G (V,E) presentdo seguir enontre os menores minhos entre o vértie A e os demis vérties de G: A 8 B D 2 C 1 5 E 9) Considere o grfo ixo: Constru um árvore otid om o lgoritmo de DIJKSTRA que represente um minho mínimo do vértie v1 o vértie v8.