A Transformada Discreta do Cosseno em um Corpo Finito

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1 XX SIMPÓSIO BRSILEIRO DE TELECOMUICÇÕES-SBT, 5-8 DE OUTUBRO DE, RIO DE JEIRO, RJ Transformada Dscreta do Cosseno em um Corpo Fnto MM Campello de Souza, HM de Olvera, RM Campello de Souza, M Müller Vasconcelos Resumo - Uma nova transformada dgtal, a transformada dscreta do cosseno sobre um corpo fnto (a TDCCF é ntroduzda O núcleo da TDCCF é a função trgonométrca cosseno defnda sobre um corpo fnto (-cossenos Relações entre os -cossenos são estabelecdas, através das quas uma fórmula de nversão para a transformada é encontrada Palavras-Chave Transformadas dgtas, corpos fntos, transformada dscreta do cosseno bstract - new dgtal transform, the dscrete cosne transform n a fnte feld (FFDCT s ntroduced The ernel of the FFDCT s the trgonometrc functon cosne defned over a fnte feld (-cosnes new property of such functons s establshed, through wch na nverson formula for the FFDCT s derved Index Terms Dgtal transforms, fnte felds, dscrete cosne transform I ITRODUÇÃO s mutas aplcações de transformadas dscretas sobre corpos fntos e nfntos são bem conhecdas transformada dscreta de Fourer (TDF tem desempenhado um papel mportante em Engenhara Elétrca Uma outra transformada dscreta mportante é a transformada dscreta do cosseno (TDC, a qual tornou-se a ferramenta padrão usada para compressão de magens Sstemas de codfcação por transformadas [], normalmente usam transformadas tas como Walsh-Hadamard (WHT, Karhunen-Loève (KLT e a TDC Embora dscretzadas no domíno da varável ndependente, estas transformadas tem coefcentes que pertencem a um corpo nfnto Portanto, elas podem ser vstas como um tpo de "transformadas analógcas" Em contraste, as transformadas defndas sobre corpos fntos, além de dscretzadas no domíno da varável ndependente, tem seus coefcentes defndos sobre um alfabeto fnto e podem ser vstas como "transformadas dgtas" análse de Fourer pode ser aplcada para analsar snas sobre corpos fntos, por meo da transformada de Fourer de corpo fnto (TFCF, ntroduzda por Pollard em 97 [] e aplcada para computar convoluções dscretas usando artmétca modular Desde então váras aplcações da TFCF foram encontradas, em dversas áreas, tas como Processamento Dgtal de Snas e Imagem, Codfcação de Os autores são do CODEC - Grupo de Pesqusas em Comuncações, Departamento de Eletrônca e Sstemas - CTG - UFPE, CP 78, 57-97, Recfe - PE, Brasl E-mal: (rcardo, hmo, marcam@ufpebr, fuzz@terracombr Canal e Crptografa [-5] Uma versão de corpo fnto da transformada dscreta de Hartley, a transformada de Hartley de corpo fnto (THCF, fo ntroduzda recentemente por Campello de Souza et al [6] plcações da THCF ncluem o proeto de sstemas de multplexação dgtal, de sstemas de acesso múltplo e de seqüêncas multníves para espalhamento espectral [7-9] TFCF e a THCF são exemplos de transformadas dgtas esse trabalho, uma nova transformada dgtal, a transformada dscreta do cosseno em um corpo fnto (TDCCF é ntroduzda Uma trgonometra para corpos fntos fo proposta recentemente por Campello de Souza et al [6], a partr de a função trgonométrca cosseno é extraída e usada para construr a TDCCF a seção alguns prelmnares matemátcos são apresentados, que ncluem a função cosseno e a construção de números complexos em um corpo fnto Uma nova propredade dessas funções é ntroduzda, a qual leva à defnção da TDCCF na seção exstênca da TDCCF nversa é demonstrada e alguns exemplos são apresentados seção 4 contém as conclusões do trabalho II PRELIMIRES MTEMÁTICOS II O Corpo Fnto dos úmeros Complexos Defnção : GI(p : {a b, a, b GF(p}, p um prmo ímpar tal que - (mod p não é um resíduo quadrátco em GF(p (e, p (mod 4, os chamados prmos de Hartley, é o conunto dos nteros gaussanos sobre GF(p O corpo de extensão GF(p é somórfco à estrutura complexa GI(p, os nteros gaussanos sobre GF(p [] Da defnção acma, todo elemento de GI(p pode ser representado na forma a b e é denomnado número complexo de corpo fnto Defnção : O módulo de um elemento de GF(p, p4, é dado por p a, se a a a, se a (mod p p (mod p Proposção : O módulo de um elemento de GF(p é sempre um resíduo quadrátco módulo p []

2 XX SIMPÓSIO BRSILEIRO DE TELECOMUICÇÕES-SBT, 5-8 DE OUTUBRO DE, RIO DE JEIRO, RJ Defnção : O módulo de um elemento (ab GI(p, p4, é defndo por a b a b O módulo de é sempre um resíduo quadrátco módulo p Defnção 4: O conunto unmodular de GI(p é o conunto de elementos (ab GI(p, tas que a b (mod p Os elementos são denomnados elementos unmodulares Esse conunto é um grupo cíclco de ordem p [] É possível estender o grupo unmodular de GI(p anexando elementos complexos (ab que satsfazem a b - (mod p Defnção 5: O conunto negaunmodular de GI(p é o conunto de elementos (ab GI(p, tas que a b - (mod p Os elementos são denomnados elementos negaunmodulares Defnção 6: O conunto supraunmodular de GI(p é o conunto de elementos a b GI(p tas que (a b (mod p Esse conunto é um grupo cíclco de ordem (p e todos os seus elementos tem módulo gual a um [] lguns arquvos Matlab m para ldar com elementos unmodulares e negaunmodulares, podem ser encontrados na URL (tabela Tabela - Rotnas Matlab dsponíves para examnar grupos especas de nteros gaussanos sobre o corpo fnto GF(p rquvo m I FILIDDE Unmod(p Lsta os p elementos unmodulares de GI(p egaunmod(p Lsta os (p elementos supraunmodulares de GI(p Ungen(p Encontra um gerador do grupo unmodular de GI(p egagen(p Encontra um gerador do grupo supraunmodular de GI(p II Trgonometra em Corpos Fntos Esta sessão ntroduz algumas funções trgonométrcas sobre corpos fntos, as quas tem propredades semelhantes àquelas das funções trgonométrcas usuas defndas sobre os reas [] Defnção 7 Sea um elemento não nulo de GI(p, p é um prmo de Hartley s funções -trgonométrcas (-cos e -sen de ( (o arco do elemento sobre GI(p, são e cos ( ( sen ( (, uma notação mas smples, consderando fxo, escreve-se cos ( e sen ( para representar as funções - trgonométrcas Essas defnções fazem sentdo apenas se GI(p é um corpo, razão porque p precsa ser um prmo de Hartley Uma dfculdade para se defnr uma TDC com a função -cos como núcleo, está no fato de que essas funções são apenas quase ortogonas, como ndcado na proposção a segur [] Proposção : Se GF(p tem ordem multplcatva, então, se r ± s (mod p cos ( r cos ( s, caso contráro Portanto as funções -cos não podem ser usadas dretamente para defnr uma TDC sobre um corpo fnto De fato, a TDC usual (sobre os reas na sua forma mas comumente utlzada, é construída por um processo que envolve a duplcação da seqüênca x[n] de comprmento, cua TDC se quer defnr, seguda pela computação da transformada dscreta de Fourer (TDF dessa seqüênca de comprmento, o que requer que se use um núcleo de ordem TDC é então obtda a partr dessa TDF, resultando no par (exstem outros pares TDC semelhantes, sendo na verdade possível defnr 8 versões da mesma, em função de como se constró uma extensão peródca suave da seqüênca x[n] exgênca de suavdade está relaconada com as propredadees de compactação de energa da TDC []: (n π C [ ] : x[ n] cos, n x[ n], se β[ ], se (n β[ ] C[ ]cos π essa dscussão, o ponto chave é que o comprmento da transformada não é gual à ordem de seu núcleo Sea f (f um vetor de comprmento sobre GF(p Para defnr uma transformada dscreta do cosseno de comprmento sobre um corpo fnto usando -cossenos, de forma análoga à defnda acma para os reas, o segunte lema se faz necessáro: Lema : Se GI(p tem ordem multplcatva, então Prova: Por defnção, se cos (, se é par (, se é ímpar cos ( (, tem ordem, (p - e,,,, - de modo que, claramente, - se Caso contráro, tem-se

3 XX SIMPÓSIO BRSILEIRO DE TELECOMUICÇÕES-SBT, 5-8 DE OUTUBRO DE, RIO DE JEIRO, RJ ( ( [ ( ( ] Como tem ordem, então Multplcando a segunda parcela por, obtém-se de modo que, para par, e, para ímpar, ( ( ], [ ] [ ] [ C ( C,,, -, de elementos de GI(p, é a seqüênca f ( f,,, -, de elementos de GF(p, dados por C cos ( f β, /, se β, se Prova: O que se quer é provar que g f,,, -, C cos ( g : β Da defnção 8, pode-se escrever, III TRSFORMD DISCRET DO COSSEO EM UM CORPO FIITO Baseado no lema, é possível se estabelecer uma nova transformada dgtal, análoga à transformada dscreta do cosseno defnda sobre os reas, a chamada transformada dscreta do cosseno em um corpo fnto (TDCCF, como apresentado na defnção 8 a segur Defnção 8: Se GI(p tem ordem multplcatva, então a transformada dscreta do cosseno de corpo fnto da seqüênca de comprmento, f ( f,,, -, de elementos de GF(p, é a seqüênca C ( C,,, -, de comprmento, de elementos de GI(p dados por : f C cos ( Exemplo : Consderando p 7, o elemento ( GI(7 tem ordem p 8 e é um elemento gerador do grupo unmodular de GI(7 TDCCF de comprmento (p/ 4 da seqüênca f (,,, 4 é a seqüênca C (6, 6,, matrz de transformação cos ( },,,,, é { M, 4 Usando-se o lema, a nversa da TDCCF pode ser determnada, como mostrado pelo teorema a segur Teorema ( fórmula de nversão: transformada dscreta do cosseno de corpo fnto nversa, da seqüênca [ r r r g β f cos ( ]cos ( Invertendo a ordem dos somatóros, [ r r r g f β cos ( cos ( ] Consderando a dentdade cos (a ± b cos (a cos (b sen (a sen (b, obtém-se r g [ [cos ( ] f r cos ( ]] r r Do lema e observando que (r é par sempre que (r- é ímpar e vce-versa, a expressão acma pode ser avalada consderando-se três casos: Quando r, ou r -, o que mplca f r Portanto, nesse caso, tem-se g Quando r-, ou r Portanto, nesse caso, obtém-se g f ( ( ] [ Quando ambos, r e r-, são dferentes de zero Das pardades dessas expressões, resulta em f g [ ( ( ] f r, r e, portanto, g f,,, -, e a prova está completa Exemplo : matrz de transformação nversa é dada por β { cos ( },,,,, o caso da TDCCF do exemplo, a matrz de nversão é

4 XX SIMPÓSIO BRSILEIRO DE TELECOMUICÇÕES-SBT, 5-8 DE OUTUBRO DE, RIO DE JEIRO, RJ M , Observe que, devdo à forma das expressões das transformadas dreta e nversa, dada uma das matrzes da TDCCF, pode-se obter a outra dretamente por nspeção o caso, tem-se, se m, m, m,, se TDCCF compreende uma mportante subclasse de transformadas de corpo fnto, as TDCCF de Mersenne, as quas são defndas sobre GF(p, quando p é um prmo de Mersenne, sto é, p s - esse caso, o comprmento da transformada é s-, o que a torna uma ferramenta atratva uma vez que algortmos rápdos de base podem ser usados na sua computação tabela a segur apresenta valores de parâmetros envolvdos na construção de algumas TDCCF Tabela - Parâmetros da Transformada Dscreta do Cosseno em alguns corpos fntos: p, comprmento, elemento unmodular usado na função - cos( e sua ordem no campo de extensão GF(p p Ord( 7* * * * TDCCF de Mersenne os exemplos apresentados acma, o vetor transformado tem componentes em GF(p Entretanto, como os elementos da matrz de transformação são obtdos por potêncas da raíz quadrada de um elemento unmodular, devdo ao fator (/ na defnção da função -cos (razão pela qual a transformada de comprmento emprega um elemento de ordem, um tal elemento é sempre real ( GF(p ou magnáro (da forma b Portanto, a complexdade computaconal envolvda no cálculo da transformada é essencalmente a mesma de uma transformada que assume valores apenas em GF(p Entretanto, transformadas reas podem ser faclmente construídas, consderando-se a proposção a segur [4] Proposção : Se a b é um elemento unmodular, então a função cos ( assume valores apenas em GF(p, para quasquer, 4 Portanto, se é um elemento unmodular cua raíz quadrada λ também é unmodular, então a matrz de transformação só terá elementos pertencentes a GF(p e a TDCCF é real nesse caso Entretanto, sendo λ um elemento gerador do grupo unmodular, sua ordem é (p, de modo que terá ordem (p/, o que mplca em uma TDCCF de comprmento (p/4 Os parâmetros para essa transformada são semelhantes aos da tabela, porém seus comprmentos valem a metade daqueles ndcados IV COCLUSÕES E SUGESTÕES esse trabalho uma nova transformada dgtal fo ntroduzda, a transformada dscreta do cosseno sobre GF(p (a TDCCF, uma versão de corpo fnto da bem conhecda transformada dscreta do cosseno defnda sobre o corpo dos números reas Incalmente, foram apresentados alguns fundamentos matemátcos que levam à construção de números complexos e das chamadas funções -trgonométrcas sobre um corpo fnto função -cos fo então usada como núcleo na defnção da TDCCF, tendo sdo apresentada a fórmula de nversão da transformada TDCCF apresenta comprmentos dvsores de (p, p é um prmo de Hartley, sendo possível a construção da TDCCF de Mersenne, que apresenta comprmentos do tpo potênca de Consderando a exstênca de defnções alternatvas para a TDC usual, versões de corpo fnto dessas alternatvas devem ser nvestgadas lém dsso, versões dgtas de outras transformadas dscretas, tas como a transformada dscreta do seno, precsam ser concebdas REFERÊCIS [] Transform Codng: Past, Present and Future, IEEE Sgnal Processng Magazne Specal Issue, vol 8, o 5, Sep [] J M Pollard, The Fast Fourer Transform n a Fnte Feld, Math Comput, vol 5, o 4, pp 65-74, pr 97 [] I S Reed, T K Truong, V S Kwoh and E L Hall, Image Processng by Transforms over a Fnte Feld, IEEE Trans Comput, volc-6, pp , Sep 977 [4] R E Blahut, Transform Technques for Error-Control Codes, IBM J Res Dev, vol, pp 99-5, May 979 [5] J L Massey, The Dscrete Fourer Transform n Codng and Cryptography, 998 IEEE Informaton Theory Worshop, ITW 98, San Dego, C, Feb 9- [6] R M Campello de Souza, H M de Olvera and Kauffman, Trgonometry n Fnte Felds and a ew Hartley Transform, Proceedngs of the 998 IEEE Internatonal Symposum on Informaton Theory, p 9, Cambrdge, M, ug 998 [7] H M de Olvera, R M Campello de Souza and Kauffman, Effcent Multplex for Band-Lmted Channels, Proceedngs of the Worshop on Codng and Cryptography - WCC '99, pp 5-4, Pars, Jan 999

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