Métodos de Ordenação Parte 1

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1 Métodos de Ordenação Parte 1 SCC-214 Proeto de Algortmos Prof. Thago A. S. Pardo Baseado no materal do Prof. Rudne Goularte O Problema da Ordenação Ordenação (ou classfcação) é largamente utlzada Lstas telefôncas e dconáros Grandes sstemas de BD e processamento de dados 25% da computação em ordenação Algortmos de ordenação são lustratvos Como resolver problemas computaconas Como ldar com estruturas de dados Como desenvolver algortmos elegantes e como analsar e comparar seus desempenhos 2 1

2 O Problema da Ordenação Ordenar (ou classfcar) Defnção: organzar uma seqüênca de elementos de modo que os mesmos estabeleçam alguma relação de ordem Dz-se que os elementos k 1,...,k n estarão dspostos de modo que k 1 k 2... k n Faclta a busca/localzação/recuperação de um elemento dentro do conunto a que pertence Será? 3 O Problema da Ordenação Ocasonalmente, dá menos trabalho buscar um elemento em um conunto desordenado do que ordenar prmero e depos buscar Por outro lado, se a busca for uma operação freqüente, vale a pena ordenar A classfcação pode ser feta somente uma vez! Depende das crcunstâncas! 4 2

3 O Problema da Ordenação Termnologa/concetos Ordenação de regstros (em um arquvo ), em que cada regstro é ordenado por sua chave Ordenação nterna vs. externa Ordenação estável: ordenação orgnal de regstros com mesma chave é preservada após a ordenação dos regstros 5 O Problema da Ordenação Termnologa/concetos Ordenação sobre os própros regstros Os regstros são trocados de posção Ordenação por endereços Mantém-se uma tabela de ponteros para os regstros e alteram-se somente os ponteros durante a ordenação 6 3

4 O Problema da Ordenação Exemplo: ordenação sobre os própros regstros 7 O Problema da Ordenação Exemplo: ordenação por endereços 8 4

5 O Problema da Ordenação Termnologa/concetos Regstros a serem ordenados podem ser complexos ou não Exemplos Dados de empregados de uma empresa, sendo que a ordenação deve ser pelo RG do empregado Números nteros Métodos de ordenação ndependem desse fator! 9 O Problema da Ordenação Exstem város meos de mplementar ordenação Dependendo do problema, um algortmo apresenta vantagens e desvantagens sobre outro Como comparar? 10 5

6 O Problema da Ordenação Devemos comparar as complexdades dos algortmos Qual a operação domnante? 11 O Problema da Ordenação Devemos comparar as complexdades dos algortmos Qual a operação domnante? Número de comparações entre elementos, na maora dos casos Somente as comparações que podem resultar em trocas 12 6

7 Algortmos de Ordenação Tradconalmente, nos estudos dos métodos de ordenação, assume-se que a entrada dos algortmos é um vetor de números nteros Procura-se ordem crescente 13 Algortmos de Ordenação Baseados em Troca Mas conhecdos algortmos baseados em troca Bubble-sort, também chamado método da bolha Quck-sort, ou ordenação rápda ou, anda, ordenação por troca de partção 14 7

8 Bubble-sort É um dos métodos mas conhecdos e ntutvos Idéa básca Percorrer o vetor váras vezes A cada teração, comparar cada elemento com seu sucessor (vetor[] com vetor[+1]) e trocá-los de lugar caso esteam na ordem ncorreta 15 Bubble-sort: um passo X = (25, 57, 48, 37, 12, 92, 86, 33) X[0] com X[1] (25 com 57) não ocorre permutação X[1] com X[2] (57 com 48) ocorre permutação X[2] com X[3] (57 com 37) ocorre permutação X[3] com X[4] (57 com 12) ocorre permutação X[4] com X[5] (57 com 92) não ocorre permutação X[5] com X[6] (92 com 86) ocorre permutação X[6] com X[7] (92 com 33) ocorre permutação 16 8

9 Bubble-sort Depos do prmero passo vetor = (24, 48, 37, 12, 57, 86, 33, 92) O maor elemento (92) está na posção correta Para um vetor de n elementos, são necessáras n-1 terações A cada teração, os elementos vão assumndo suas posções corretas Por que se chama método das bolhas? 17 Bubble-sort Exercíco em grupos de 2 (valendo nota) Para entregar Implementar bubble-sort Calcular complexdade do algortmo 18 9

10 Bubble-sort Que melhoras podem ser fetas? passo 0 (vetor orgnal) passo passo passo passo passo passo passo Bubble-sort aprmorado Detectar quando o vetor á está ordenado Isso ocorre quando, em um determnado passo, nenhuma troca é realzada Após o passo, garante-se que o elemento vetor[n-] está em sua posção correta Para um vetor de n elementos são necessáras n- terações 20 10

11 Bubble-sort: exercíco Implementação do bubble-sort aprmorado 21 Bubble-sort aprmorado Número de comparações na teração é n-: (n-1) + (n-2) + (n-3) +... (n-k) = (2kn - k 2 - k) / 2 Número de terações para k=n: (2kn - k 2 - k) / 2 = (2n 2 - n 2 - n)/2 = ½(n 2 - n) = O(n 2 ), para médo e por caso E se o vetor á estver ordenado? E a complexdade de espaço? 22 11

12 Bubble-sort aprmorado Número de comparações na teração é n-: (n-1) + (n-2) + (n-3) +... (n-k) = (2kn - k 2 - k) / 2 Número de terações para k=n: (2kn - k 2 - k) / 2 = (2n 2 - n 2 - n)/2 = ½(n 2 - n) = O(n 2 ), para médo e por caso E se o vetor á estver ordenado? O(n), para melhor caso E a complexdade de espaço? O(n) 23 Quck-sort Melhoramento do bubble-sort Troca de elementos dstantes são mas efetvas Idéa básca: dvdr para conqustar Dvdr o vetor em dos vetores menores que serão ordenados ndependentemente e combnados para produzr o resultado fnal 24 12

13 Quck-sort Consdere um vetor v de n posções Prmero passo Elemento pvô: x (escolha do pvô é mportantíssma) Colocar x em sua posção correta Ordenar de forma que os elementos à esquerda do pvô são menores ou guas a ele e os elementos à dreta são maores ou guas a ele Percorrer o vetor v da esquerda para a dreta até v[] >= x; e da dreta para a esquerda até v[] <= x Troca v[] com v[] Quando e se cruzarem, a teração fnalza, de forma que v[0] v[] são menores ou guas a x e v[] v[n-1] são maores ou guas a x Segundo passo Ordenar sub-vetores abaxo e acma do elemento pvô 25 Quck-sort: exemplo

14 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados pvô=v[(0+7)/2]=37 27 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô pvô=v[(0+7)/2]=

15 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô procura-se <=pvô pvô=v[(0+7)/2]=37 29 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô procura-se <=pvô ***troca*** pvô=v[(0+7)/2]=

16 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô procura-se <=pvô ***troca*** procura-se >=pvô pvô=v[(0+7)/2]=37 31 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô procura-se <=pvô ***troca*** procura-se >=pvô procura-se <=pvô pvô=v[(0+7)/2]=

17 Quck-sort: exemplo ponteros ncalzados procura-se >=pvô procura-se <=pvô ***troca*** procura-se >=pvô procura-se <=pvô ***troca*** pvô=v[(0+7)/2]=37 33 Quck-sort: exemplo pvô=v[(0+7)/2]= procura-se >=pvô 34 17

18 Quck-sort: exemplo procura-se >=pvô pvô=v[(0+7)/2]=37 procura-se <=pvô como e se cruzaram, fm do processo 35 Quck-sort: exemplo procura-se >=pvô pvô=v[(0+7)/2]=37 procura-se <=pvô como e se cruzaram, fm do processo Todos à esquerda do pvô são menores ou guas a ele v[0]...v[]<=pvô Todos à dreta do pvô são maores ou guas a ele v[]...v[n-1]>=pvô 36 18

19 Quck-sort: exercíco Fazer as ordenações dos subvetores, repetndo o processo (37) Quck-sort: exercíco Implementação do qucksort 38 19

20 Quck-sort Complexdade Se vetor á ordenado com escolha do pvô como um dos extremos (elemento 0 ou n-1) Subvetores desguas, com n chamadas recursvas da função partção, elmnando-se 1 elemento em cada chamada Cada chamada recursva faz n comparações T(n)=O(n 2 ), no por caso Igual ao bubble-sort 39 Quck-sort Complexdade Se a escolha do pvô dvde o arquvo em partes guas O vetor de tamanho n é dvddo ao meo, cada metade é dvdda ao meo,..., m vezes => m log 2 n Cada parte do vetor realza n comparações (com n = tamanho da partção atual do vetor) Pelo método da árvore de recorrênca, tem-se que T(n)=O(n log 2 n), no melhor caso 40 20

21 Quck-sort Complexdade Caso médo (Sedgewck e Flaelot, 1996) T(n) 1,386n log 2 n 0,846n = O(n log 2 n) 41 Quck-sort Complexdade Um dos algortmos mas rápdos para uma varedade de stuações, sendo provavelmente mas utlzado do que qualquer outro algortmo Pergunta: como evtar o por caso? 42 21

22 Quck-sort Complexdade Um dos algortmos mas rápdos para uma varedade de stuações, sendo provavelmente mas utlzado do que qualquer outro algortmo Pergunta: como evtar o por caso? Boa abordagem: escolher 3 elementos quasquer do vetor e usar a medana deles como pvô Alternatva: escolha aleatóra do pvô 43 22