Otimização em Redes. Árvore Geradora Mínima. Geraldo Robson Mateus DCC - UFMG

Transcrição

1 Otmzação em Redes Árvore Geradora Mínma Geraldo Robson Mateus DCC - UFMG

2 Árvore Geradora Mínma Desea-se construr uma rede de comuncação entre váras cdades a custo mínmo. abe-se que o custo de qualquer lgação é dado por. c Árvore Geradora Mínma

3 Árvore Geradora Mínma 5, {0,1}, 4,, 0 3 1, 2 1, 1 mn, A y A y N r N r N y c E E A

4 Árvore Geradora Mínma Dado um grafo G = N,A onde cada arco possu um custo c + encontrar uma árvore T A que cubra cada vértce em V de forma a mnmzar a soma dos custos dos arcos em T. mn,, A, A c A {0,1}, N 1, 1, A N,2 n

5 AGM Uma condção necessára e sufcente para que G =N,A sea uma árvore geradora mínma é que para todo arco a u A A',o cclo A, A" A' { a }, verfca: " u c au c av, av A av au

6 Prmero Algortmo Guloso Boruva, e a um grafo coneo fnto assocamos um número real postvo, um peso, a cada arco e se estes números são todos dstntos, então este uma únca árvore geradora cua soma dos pesos em seus arcos é mínma dentre todas as árvores geradora possíves.

7 Algortmo de Krusal Ordene os arcos em A em ordem crescente de custos: {a1}; Repta se a Não forma cclo com os arcos de então faça até 1; Fm Algortmo. m; 1; ca 1 ca {a 2 };... ca m ;

8 Algortmo de Krusal 2 {a1}; Repta até se Contém um cclo A então selecona arco A' de custo mámo; faça m; Fm Algortmo. 1; {a 1; }; a v {a v };

9 Algortmo de Krusal 3 Ordene os arcos em A em ordem decrescente de custos: ca ca... ca ; Repta A; 0; G' 1; N, 1 {a } se é coneo 2 m então faça {a }; até m; Fm Algortmo.

10 Observações G =N, Árvore Geradora Mínma. Unão de pequenas árvores Otmaldade Krusal Teora de Matródes

11 Matródes ea M = E, F um sstema ndependente. Dzemos que M defne um matróde se o algortmo guloso resolve corretamente qualquer nstânca do Problema de Otmzação Combnatóra assocado a M ou a F, equvalentemente. Um conunto ou elemento ndependente mamal de F é um subconunto I E tal que I F e não este e E \ I : e U I F.

12 Matródes Teorema ea M = E, F um sstema ndependente. Então, as seguntes afrmatvas são equvalentes: M é um matróde; e I p, I p+1 e I p = p, I p+1 = p + 1, então este um elemento e I p+1 \ I p tal que e U I p F; e A é um subconunto de E e se I e I são elementos ndependentes mamas de A, então I = I.

13 Matródes Matróde Matrcal Matróde Gráfco Matróde Unforme Unão de Matródes Intersecção de Matródes

14 Algortmo de Prm 1/2 ea o nó ncal =1. ea L o vetor contendo para cada XXXX P a etremdade em P do arco mnmal de, ou sea, L=, onde YYYY P e, é o arco mnmal. ea n = N. para fmpara; 2,.., n L 1; c c faça se este oarco 1, A;, caso contráro;

15 Algortmo de Prm 2/2 P repta {1}; P {2,..., n}; o; selecone Ptal que c mn{ c P }; faça P P { }; P P { }; { L, }; se P o então fmse; paratodo P faça sec L ; fmse; fmpara; c c então faça c ; até P o; fm algortmo;

16 Compledade Krusal Ordenação arestas + verfcação de cclos Omlogn + On Prm ordenação + escolha do nó Omlogn usando heap Boruva unões de árvores Onlogn Yao Omloglogn

17 Compledade Algortmo Boruva Krusal arestas á ordenadas Krusal não ordenado Estruturas de dados especas e subproblemas utlzados Algortmo de unão de conuntos dsuntos Unão de conuntos dsuntos compressão de camnhos e unão com ran Unão de conuntos dsuntos e heapsort Compledade Omlogn Omαm,n Omlogn Prm - On 2 αm,n: Inverso da função de Acerman, pode ser assumdo como uma constante não maor que 4, para fns prátcos. Função de Acerman: A1, =2, 1, A, 1=A-1, 2, 2, A, = A-1,A, -1, 2

18 Compledade Prm Bnary Heap Omlogn Prm d-heap Ondlog d n+ mlog d n Krusal ordenado F-heap Onlogn + m Yao Cherton e Taran Heaps de tamanho, um algortmo de seleção Fla duplamente encadeada, leftst heap com deleção e unão atrasadas, unão de conuntos dsuntos Omloglogn Omloglogn

19 Compledade Fredman e Taran Gabow et al. F-heap, fla duplamente encadeada F-heaps com pacets, unão de conuntos dsuntos Omβm,n Omlogβm,n Karger Aleatorzação Onlogn+m Karger Chazelle Aleatorzação, recursão, algortmo de verfcação com tempo lnear oft heap, computação de conuntos ndependentes subótmos βm,n: mn{ log n m/n} e log 0 n = n Tempo de eecução esperado Om Om αm,n

20 Compledade Fredman e Taran Gabow et al. F-heap, fla duplamente encadeada F-heaps com pacets, unão de conuntos dsuntos Omβm,n Omlogβm,n Karger Aleatorzação Onlogn+m Karger Chazelle Aleatorzação, recursão, algortmo de verfcação com tempo lnear oft heap, computação de conuntos ndependentes subótmos βm,n: mn{ log n m/n} e log 0 n = n Tempo de eecução esperado Om Om αm,n

21 Árvore de Custo Mínmo Dado grafo G = N,A eleconar ACM com N -1 arcos AGM polnomal Uma vez que o número de arestas em uma árvore geradora qualquer é sempre n 1, a versão de mnmzação e mamzação do problema são equvalentes eleconar árvore de custo mínmo com 2 arcos ACM com = 2 arcos polnomal Problemas em grafos Cormen et al. 2001

22 ACM com arcos Dado um grafo G = N,A onde cada arco possu um custo c + encontrar uma árvore T A com arcos que mnmze a soma dos custos dos arcos em T.

23 ACM com arcos N y A N y N n N y c N A A A {0,1},, {0,1}, 1, 1,,2,, mn,,,