Problema da Árvore Geradora Mínima

Transcrição

1 Instituto Federal do Espírito Santo Campus Serra Problema da Árvore Geradora Mínima Diego Pasti Jefferson Rios

2 Sumário Apresentação do Problema da AGM...3 Raízes do Problema Definindo o Problema O Problema da AGM nos dias de hoje Algoritmo Geral...4 Apresentando Obtendo a Árvore Geradora Mínima Regra Prova Algoritmo de Kruskal...6 Apresentando o Algoritmo Algoritmo de Prim...7 Apresentando o Algoritmo Exercícios...8 Referências...9 2

3 Apresentação do Problema Alusão Histórica do Problema Com o aumento das atividades Fabris a partir da Revolução Industrial, e o crescimento das zonas urbanas, foi necessário desenvolver e aprimorar diversos serviços, por exemplo, rodovias, esgotos, linhas de energia. Dessa forma acabou surgindo à necessidade de atender esses serviços a todos os cantos das cidades o que levou a desenvolver métodos que garantissem os menores custos possíveis com tais empreendimentos. Descrição do Problema em si Gerar a partir de um Grafo não-direcional, conexo e com pesos em cada aresta, uma arvora acíclica que interligue todos os pontos (vértices) e que tenha o menor custo total. Aonde é usado atualmente O problema da árvore geradora mínima aparece em uma série de aplicações (Chunde, 1996;Chang & Lee, 1999; Raidl & Julstrom, 2003), por exemplo, na instalação de linhas telefônicas (ou elétricas) entre um conjunto de localidades, utilizando a infra-estrutura das rodovias com o menor uso de material. Outros casos como análise de clusters, armazenamento de informações, dentre outros, também podem ser resolvidos por essa modelagem, que possui eficientes algoritmos como Kruskal, Prim e Sollin (Ahuja et al., 1993). 3

4 Algoritmo Geral Apresentação do Algoritmo Considere um grafo conexo e não-direcionado G=(V,E), onde cada Aresta (u,v) pertence a E tem um custo w(u,v) associado a ela. Então desejamos encontra um subconjunto T pertence a E que conecte todos Vértices de G e cuja soma total do custo de suas Arestas definida por seja minimizada. Sabendo que T é acíclica e conecta todos os Vértices de G a consideramos uma Árvore, e como seu custo total é minimizado a chamamos de Árvore Geradora Mínima ou Árvore Espalhada Mínima. Obtendo a AGM Suponha que temos um grafo conexo e não orientado G= (V,E) com uma função de custo de w:, onde desejamos encontrar uma AGM para G através do Algoritmo Geral. O Algoritmo Geral constrói a AGM adicionando uma aresta por vez, ele administra um conjunto de arestas A, onde A é um subconjunto de alguma AGM. A cada etapa do processo o Algoritmo define uma aresta (u,v) para ser acrescentada a A sem violar assim sua estrutura, ou seja, a união de A com a aresta(u,v) é também um subconjunto de alguma AGM. Chamamos tal aresta de Aresta Segura para A. O Algoritmo geral é definido a seguir. Onde: AGM_GERAL(G,w) A 0 enquanto A não forma uma AGM faça: encontre uma aresta (u,v) que é segura para A A A U {(u,v)} retorne A i. Após a linha 1, o conjunto A satisfaz a propriedade do loop. ii. O loop nas linhas 2, 3 e 4 adiciona assim ao conjunto A apenas Arestas Seguras. iii. A linha 5 assim retorna uma árvore que deve ser uma AGM. Regra Trivialmente a parte de maior complexidade é encontrar as arestas seguras na linha 3, porem quando ela é executada a estrutura conclui que existe uma arvore geradora T, tal que, então deve haver uma aresta tal que sendo assim (u, v) é segura para A. 4

5 Definiremos a seguir alguns conceitos para mais tarde fornecermos uma regra de reconhecimento de arestas seguras para A. I. Corte (S, S-V) é uma partição de V em um grafo não direcionado G=(V,E). II. Uma aresta(u,v) Cruza o Corte quando um de seus pontos extremos está em S e o outro em S-V. III. Um corte Respeita o conjunto A de arestas se nenhuma aresta em A cruza o Corte. IV. Aresta Leve ou Aresta Mínima é aquela que tem o menor custo entre as arestas que cruzam o corte. Com os conceitos apresentados podermos assim estabelecer nossa Regra para reconhecer Arestas Seguras através do seguinte Teorema: Seja G = (V,E) um grafo conexo não-direcionado com função de custo. Seja A um subconjunto de E que está incluído em alguma Árvore Geradora Mínima de G e seja (S,V - S) qualquer corte de G que respeita A. Seja (u,v) uma aresta leve atravessando o corte (S,V - S). Então, a aresta (u,v) é segura para A. Prova Seja T uma árvore geradora mínima tal que A pertence T, e assuma que T não contém a aresta leve (u,v). A aresta (u,v) forma um ciclo com as arestas pertencentes ao caminho p de u para v em T. Supondo que u e v estão em lados opostos do corte (S,V - S), existe ao menos uma aresta no caminho p que também cruza o corte. Seja (x,y) essa aresta. A aresta (x,y) não pertence a A porque o corte respeita A. Como (x,y) está no caminho de u para v em T, ao removemos (x,y) dividimos T em duas partes. Adicionando (u,v), as partes de T são reconectadas formando uma nova árvore T = (T (x,y)) + {(u,v)}. Como (u,v) é uma aresta leve cruzando o corte (S,V - S) e (x,y) também cruza este corte, w(u,v) w(x,y). Então: w(t ) = w(t) w(x,y) + w(u,v) w(t). Porém, T é uma AGM então w(t) w(t ). Desta forma T também deve ser uma AGM. Resta mostrar que (u,v) é realmente uma aresta segura para A. Temos que A subconjunto T, pois A U T e (x,y) pertence A. Então A U {(u,v)} pertence T. Conseqüentemente, como T é AGM, (u,v) é segura para A. 5

6 Algoritmo de Kruskal Apresentação do Algoritmo Seu funcionamento é mostrado a seguir: - Crie uma floresta F (um conjunto de árvores). - - Crie um conjunto S contendo todas as arestas(pesos) do grafo. -Enquanto S for não-vazio, faça: - Remova uma aresta com peso mínimo de S - Se essa aresta conecta duas árvores diferentes, adicione-a à floresta, combinando duas árvores numa única árvore parcial - Do contrário, descarte a aresta Ao fim do algoritmo, a floresta tem apenas um componente e forma uma árvore geradora mínima do grafo. Representação do Algoritmo de Kruskal em Execução: Com o uso de uma estrutura de dados aceitável, o algoritmo de Kruskal pode ser demonstrado que executa em tempo: O (Aresta * log Vértices). 6

7 Algoritmo de Prim Apresentação do Algoritmo Dado um Grafo G, com n vértices e (n-1) aresta com determinados pesos. Seu funcionamento dá-se da seguinte forma: - Cria-se uma arvore A sem elementos. - Um vértice é selecionado. - Enquanto num. de elem. de A for menor que num. de Vértices faça: - Procura-se um vértice mais próximo aos elementos que já estão na Arvore A. - Ao encontrá-lo anexamos este vértice a arvore A. Ao fim teremos uma Arvore com o menor custo total. Representação do Algoritmo de Prim em Execução: A ordem de complexidade para o algoritmo de Prim é: O( Arestas * log Vértices ) 7

8 Exercícios Gerais Questão 1: Suponhamos que uma empresa que faça instalação de fibra ótica necessite interligar os bairros abaixo representados: A partir de um estudo meticuloso, os dados relevantes á instalação da fibra ótica, pode ser resumidas ao Grafo mostrado acima. Com posse deste, resolva os exercícios proposto. Gere a Árvore Geradora Mínima para este caso, usando a idéia do Algoritmo de Kruskal e de Prim. Questão 2: Use o Algoritmo de Prim para resolver a Árvore Geradora Mínima para o Grafo indicado.( Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Quinta Edição, Exercício 19 pagina 361) 8

9 Questão 3: Dado a seguinte matriz de adjacência, gere a arvore geradora mínima usando Prim ou Kruskal. Respostas: Referências: Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Quinta Edição, Judith L. Gerstring. Algoritmos, Teoria e Prática, Thomas H. Cormen. Além dos sites das Universidades UFRJ,USP,IME,UNICAMP... dentre outros. 9