GRAFOS Aula 10 Fluxo em Redes Max Pereira

Transcrição

1 Ciência da Computação GRAFOS Aula 10 Max Pereira

2 É a transferência de algum tipo de recurso quantificável e sujeito a restrições de equilíbrio, de um local (origem) para outro (destino) através de uma rede. Exemplos: Líquido fluindo por uma rede de tubos, como a rede de abastecimento de água ou a rede de esgoto; Peças se deslocando por linhas de montagem; Voz, imagem ou dados em redes de comunicação; Sistemas elétricos de transmissão.

3 Aplicações Considere a seguinte situação modelada por um grafo: Cada aresta representa uma rua; O valor de cada aresta indica o maior fluxo possível ao longo da rua (veículos/hora). Qual o maior número possível de veículos que pode viajar do local u até o local v em uma hora?

4 Imagine que temos uma transportadora, e queremos enviar algumas encomendas de uma cidade para outra. Você pode enviá-las usando vários vôos com diferentes rotas. No entanto, cada vôo tem um limite de espaço que podemos utilizar. Uma questão importante é, qual o volume de encomendas que podemos enviar para o destino, usando os diferentes vôos disponíveis? Para responder a essa questão vamos explorar um tópico chamado de fluxo em redes, através de modelos de grafos.

5 Um grafo de fluxo em redes G = (V, E) é um grafo orientado (direcionado) com dois vértices especiais: o vértice origem, e o vértice destino (sorvedouro). Cada vértice representa uma cidade onde podemos enviar ou receber encomendas. Uma aresta (u, v) no grafo significa que há um vôo direto entre u e v. Cada aresta tem uma capacidade associada, sempre finita, representando a quantidade de espaço disponível naquele vôo.

6 Com esse grafo, nós queremos saber quantas encomendas podemos enviar de s para t. Como as encomendas fluem através do grafo, de s para t, chamamos esse problema de o problema do fluxo máximo. Uma solução intuitiva é encontrar caminhos entre s e t onde podemos enviar o máximo de fluxo possível, e depois atualizar o grafo para verificar o espaço utilizado. O primeiro número na aresta é o fluxo e o segundo a capacidade

7 Nós escolhemos o caminho s u v t. As capacidades ao longo desse caminho são 3, 3, 4 respectivamente. O que significa que temos um gargalo de capacidade igual a 3, ou seja, podemos enviar no máximo 3 unidades ao longo do fluxo.

8 Agora precisamos atualizar o grafo. Uma escolha óbvia seria subtrair, da capacidade de cada aresta utilizada, o valor 3 como usamos 3 espaços disponíveis em cada aresta, então a capacidade de cada aresta deve ser dimuída por 3. Atualizando desse forma, há um único outro caminho partindo de s para t (s v t). A aresta (s,v) tem capacidade 2 e a aresta (v,t) agora tem capacidade 1 (devido ao fluxo de 3 no caminho anterior).

9 Nosso algoritmo agora termina, pois não temos outros caminhos de s para t. Porém, podemos fazer melhor? Se enviarmos apenas 2 unidades através de u,v e direcionar a terceira unidade para u,t então abriremos um novo espaço em ambas as arestas (u,v) e (v,t). Podemos enviar agora mais uma unidade para o caminho s v t, aumentado o nosso fluxo total para 5, o que de fato é o máximo possível.

10 Então, o que tinha de errado com nosso algoritmo? Um problema foi a ordem de escolha dos caminhos. Se tivéssemos escolhido primeiro o caminho s u t e depois o caminho s u v t, então encontraríamos a solução ótima. Mas a escolha da ordem dos caminhos pode se tornar difícil. Testando novamente... Qual o fluxo máximo?

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12 Método de Ford-Fulkerson Depende de três ideias importantes: Redes residuais: consite em arestas que podem admitir mais fluxo. Caminhos de aumento: consiste de um caminho simples desde a origem até o destino, no grafo da rede residual. Cortes: Separam o grafo em duas partes, uma com o vértice de origem e outra com o vértice de destino.

13 Método de Ford-Fulkerson Redes residuais: Considerando-se uma grafo G e um fluxo f, a rede residual consiste em arestas que podem admitir mais fluxo. A capacidade residual C f é a quantidade de fluxo adicional que pode passar por (u, v) sem exceder a capacidade c(u, v): C f (u, v) = c(u, v) f(u, v) O grafo residual de uma rede de fluxo é essencialmente o grafo da rede exceto que para toda aresta (u, v) que possui x unidades de fluxo, há uma aresta (v, u) com capacidade x no grafo residual.

14 Método de Ford-Fulkerson O grafo residual de uma rede de fluxo é essencialmente o grafo da rede exceto que para toda aresta (u, v) que possui x unidades de fluxo, há uma aresta (v, u) com capacidade x no grafo residual. As arestas tracejadas são as arestas acrescentadas no grafo residual. A capacidade das arestas tracejadas é igual as unidades de fluxo contidas nas arestas sólidas na direção oposta.

15 Grafo residual C f u v = c u v f u v, se u v E f u v se v u E 0, caso contrário Um caminho no grafo residual é chamado de caminho de aumento.

16 Caminhos de aumento São caminhos simples da origem (s) ao destino (t) através do grafo residual G f. A capacidade residual de um caminho de aumento p, corresponde à menor dentre as capacidades residuais das arestas que fazem parte de p. C f = min{c f (u, v) (u, v) p}

17 Cortes Um corte é uma partição de vértices distribuída um dois conjuntos distintos S e T. Em uma rede de fluxo, a origem está localizada em S, e o destino em T. O conjunto do corte (cut-set) é um conjunto de arestas que começam em S e terminam em T. A capacidade de um corte é a soma dos valores das arestas que começam em S e terminam em T.

18 Cortes

19 Cortes

20 Método de Ford-Fulkerson (chamado método porque encontrar caminhos de aumento não é especificado). Os passos: 1º Escolhe-se um caminho qualquer desde a origem até o destino cujas arestas possuam capacidade positiva (>0). 2º Procurar nesse caminho a aresta com menor capacidade (c). 3º Diminuir c da capacidade de fluxo em cada aresta do caminho no sentido direto e aumentar c na capacidade das arestas no sentido inverso. Voltar ao 1º passo. Se já não existir nenhum caminho em que todas as arestas tenham capacidade positiva, então o fluxo máximo já está determinado.

21 Método de Ford-Fulkerson

22 Método de Ford-Fulkerson

23 Método de Ford-Fulkerson

24 Método de Ford-Fulkerson

25 Método de Ford-Fulkerson

26 Método de Ford-Fulkerson

27 Método de Ford-Fulkerson (algoritmo)

28 Teorema do Fluxo Máximo Para toda a rede com uma só origem e um só destino o fluxo máximo é igual ao valor mínimo de corte entre todos os cortes possíveis da rede.

29 Método de Ford-Fulkerson

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31 Fluxo máximo = 23

32 Corte mínimo C = 29 C = 26 C = 24

33 Corte mínimo C = 35 C = 34

34 Corte mínimo C = 34 C = 23 Corte mínimo

35 Encontrar o fluxo máximo (método de Ford-Fulkerson)