ROTEAMENTO DE LEITURISTAS: UM PROBLEMA NP-DIFÍCIL

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1 ROTEAMENTO DE LEITURISTAS: UM ROLEMA N-DIFÍCIL Fábo Luz Usbert Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação UNICAM Cdade Unverstára Zeferno Vaz, Av. Albert Ensten, 4. CE: , Campnas - S fusbert@yahoo.com aulo Morelato França Departamento de Matemátca, Estatístca e Computação - FCT/UNES R. Roberto Smonsen, 35. CE: 96-9, res. rudente - S paulo.morelato@fct.unesp.br André Luz Morelato França Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação UNICAM Cdade Unverstára Zeferno Vaz, Av. Albert Ensten, 4. CE: , Campnas - S morelato@dsee.fee.uncamp.br RESUMO O roblema de Roteamento de Leturstas (Meter Reader roblem MR), anda pouco estudado na lteratura, é de nteresse para as companhas dstrbudoras de energa elétrca, água e gás que realzam medção peródca do consumo de seus clentes. O MR é smlar ao roblema de Roteamento em Arcos Capactado (Capactated Arc Routng roblem CAR), que já fo demonstrado pertencer à classe N-Dfícl e para o qual foram propostos dversos algortmos aproxmados e exatos. Este trabalho apresenta duas reduções de problemas combnatóros: uma delas mapea qualquer nstânca MR em uma nstânca CAR em tempo polnomal, permtndo resolver o prmero problema a partr de algortmos já exstentes para o segundo. A segunda redução mapea qualquer nstânca CAR em uma nstânca MR em tempo polnomal, demonstrando que o MR também pertence à classe N-Dfícl e justfcando o desenvolvmento de heurístcas para obtenção de soluções de boa qualdade. ALAVRAS-CHAVE. Roteamento em Arcos, roblemas N-Dfíces, Redução de roblemas, Otmzação Combnatóra. ASTRACT The Meter Reader roblem (MR), despte lterature s poor attenton to t, s of man mportance to electrc, gas and water companes whch perform perodc consumpton measure from ther clents. The MR s smlar to the Capactated Arc Routng roblem (CAR), whch has been proven to belong to the class of problems N-Hard. There are many proposed algorthms that solves CAR approxmately or even to optmalty. Ths work shows two problem s reductons: the frst one maps any MR nstance to a CAR nstance n polynomal tme. Ths turns possble to solve the frst problem by known algorthms to the second problem. The second reducton maps any CAR nstance to a MR nstance n polynomal tme. Ths demonstrates that the MR s N-Hard as well, justfyng the development of heurstcs n order to obtan good qualty solutons. KEYWORDS. Arc Routng, N-Hard roblems, roblem Reducton, Combnatoral Optmzaton. 836

2 . Introdução O roblema de Roteamento de Leturstas Meter Reader roblem (MR) destaca-se pela sua natureza prátca na medda em que nteressa a grandes empresas dstrbudoras de energa elétrca, água e gás que perodcamente necesstam medr o consumo de seus clentes urbanos. Esse problema prevê a elaboração de um conjunto de rotas abertas, que serão percorrdas pelos leturstas que anotam os consumos dos clentes. Uma solução ótma para este problema procura mnmzar o tempo total gasto para os leturstas realzarem o servço de letura, respetando restrções como suas jornadas prevstas de trabalho. A motvação deste trabalho provém tanto da escassa lteratura dedcada a ele como da percepção de uma demanda por soluções computaconas aplcadas. Dentre as prncpas razões de tal demanda, destacam-se: rande dfculdade de obter soluções de qualdade de forma manual; Rápda obsolescênca das rotas correntes, sobretudo nas metrópoles, causada pela mudança do cenáro consumdor em vrtude do crescmento da demanda, adensamento urbano e expansão do sstema elétrco. Necessdade de obter soluções no curto prazo. Dentre as poucas pesqusas dedcadas ao MR destaca-se o trabalho ponero de Stern e Dror (979) aplcado ao roteamento dos leturstas da companha de energa elétrca da cdade de eersheva, Israel. Eles desenvolveram um algortmo com uma estratéga roteamentoagrupamento, que a prncípo trata o problema como não capactado, crando uma grande rota por todo um grafo que representa o arruamento da cdade. Em seguda são realzadas partções nessa rota, cada qual destnada a um letursta. Wunderlch et al. (992) trabalharam com o MR aplcado ao roteamento de leturstas da companha de gás SOCAL - Southern Calforna as Company - de Los Angeles, Estados Undos. Os autores utlzaram uma adaptação do algortmo de partconamento de arcos desenvolvdo por odn e Levy (989), posterormente aperfeçoado por odn e Levy (99). O algortmo de partconamento de arcos trabalha com uma estratéga nversa ao algortmo de Stern e Dror (979), ou seja, uma estratéga agrupamento-roteamento. rmeramente o grafo é partconado em regões, cada qual destnada a um letursta. Em seguda, são elaboradas rotas no nteror dessas regões. Mas recentemente, Usbert (27) e Usbert et al. (27) estudaram as estratégas roteamento-agrupamento e agrupamento-roteamento e propuseram modfcações em aspectos sujetos à melhora, resultando em duas novas heurístcas. Os estudos comparatvos entre os algortmos orgnas e os modfcados revelaram que esses últmos se sobressaíram em termos de qualdade das soluções obtdas. Sabe-se que o MR é smlar ao roblema de Roteamento em Arcos Capactado Capactated Arc Routng roblem (CAR). A prncpal dferença é que no MR as rotas podem ser abertas, ou seja, começam e termnam em qualquer nó do grafo, enquanto que no CAR elas devem partr e termnar sempre em um mesmo nó denomnado depósto. Além dsso, o CAR é em geral apresentado como um problema enfrentado por carteros, e não leturstas, que devem percorrer as rotas de entrega das correspondêncas. Assm como no MR, o grafo que representa o CAR contém arestas requerdas e não requerdas. As prmeras necesstam ser percorrdas pelo menos uma vez, enquanto que as últmas podem ser utlzadas desde que contrbuam para melhorar a solução. O CAR fo ntroduzdo por olden e Wong (98) que demonstraram que ele pertence à 837

3 classe N-Dfícl. Isso sgnfca que é mprovável a exstênca de algum algortmo exato de tempo polnomal para esse problema. Não obstante, e ao contráro do observado para o MR, há dversas heurístcas que resolvem o CAR de forma aproxmada, como os métodos pathscannng proposto por olden et al. (983), o augment-merge proposto por olden e Wong (98), o algortmo augment-nsert de earn (99), além de outras heurístcas propostas por Ulusoy (985) e earn (989). Soluções de qualdade superor foram obtdas por metaheurístcas, como as baseadas em busca tabu desenvolvdas por Eglese e L (996) e por Hertz et al. (2), assm como o algortmo genétco proposto por Lacomme et al. (2), o algortmo híbrdo Tabu- Scatter Search de restorfer (23) e a busca local guada utlzada por eullens et al. (23). Há também na lteratura um algortmo exato para o CAR baseado no método branch and bound desenvolvdo por Hrabayash et al. (992), que no entanto consegue resolver apenas nstâncas pequenas (de até 2 arestas requerdas). Há também dversos métodos que determnam lmtantes nferores e/ou superores para o CAR e que estão descrtos em olden e Wong (98), Assad et al. (987), earn (988), enavent et al. (992), elenguer e enavent (23) e elenguer et al. (26). Apesar da semelhança entre o MR e o CAR, até o momento não há na lteratura qualquer estudo que demonstre ser o MR pertencente à classe N-Dfícl. Além dsso, também não se encontra na lteratura qualquer algortmo que resolva o MR até a otmaldade. Este trabalho demonstra que o MR pode ser reduzdo polnomalmente ao CAR. Isso possblta utlzar qualquer algortmo do CAR para resolver um MR. Assm, o MR passa a admtr algortmos exatos, bastando para sso aplcar a redução proposta, segudo de algum algortmo exato para o CAR. Este trabalho também mostra uma redução do CAR para o MR em tempo polnomal. elo fato do CAR pertencer à classe N-Dfícl, a exstênca dessa redução demonstra que o MR também pertence à classe N-Dfícl, tornando mprovável a exstênca de algortmos exatos de tempo polnomal para o MR. A contrbução deste trabalho é fundamentalmente teórca, mas as transformações propostas podem ser utlzadas para resolver o MR utlzando algum algortmo CAR, ou vceversa. Além dsso, saber que um problema, como o MR, pertence à classe N-Dfícl justfca o emprego de metaheurístcas para encontrar boas soluções para o problema, já que métodos exatos dfclmente serão adequados para resolver nstâncas prátcas de porte mnmamente realsta. 2. Apresentação dos roblemas Defnção 2. (olden & Wong (98)): roblema de Roteamento em Arcos Capactado - Capactated Arc Routng roblem (CAR) Dado um grafo (V,E), tem-se que E é um conjunto de arestas que podem ser partconadas em dos subconjuntos: arestas requerdas (R) e não-requerdas (N), ou seja, E = R N e R N = φ. Consdera-se um nó depósto v V. Defne-se uma função custo + + c : E R e uma função demanda d : E R. Sejam dados M carteros dêntcos com capacdades D, o objetvo do CAR consste em = K j ( e j = j-ésma aresta do cclo L, =,...,M, j = L ) é destnado a um cartero que nca e termna seu trabalho no nó depósto v. Deseja-se mnmzar a soma dos custos das arestas pertencentes à solução L, de modo que cada aresta requerda seja vstada ao menos uma vez, sem ultrapassar a capacdade dos carteros. encontrar um conjunto L de cclos, onde cada cclo L { e, e, 2, e } 838

4 A segur será apresentado um modelo matemátco smplfcado apenas com o objetvo de melhor caracterzar o CAR. MIN s.a. = M L = j= c ( e ) M r L r R L j= j U (2) ( j ) d e D =,..., M (3) v L =,..., M (4) A função objetvo () corresponde à mnmzação do custo da solução, ou seja, a soma dos custos das arestas pertencentes à solução. A restrção 2 garante que toda aresta requerda estará presente em pelo menos um cclo. A restrção 3 restrnge a demanda total de um cclo, que não deve ser superor à capacdade do cartero. Fnalmente a restrção 4 garante que todo cclo passa pelo nó depósto. Defnção 2.2: roblema de Roteamento de Leturstas - Meter Reader roblem (MR) Dado um grafo (V,E), tem-se que E é um conjunto de arestas que podem ser partconadas em dos subconjuntos: arestas requerdas (R) e não-requerdas (N), ou seja, + E = R N e R N = φ. Defne-se uma função custo c : E R e uma função demanda + d : E R. Sejam dados M leturstas dêntcos com capacdades D, o objetvo do MR consste em = K j ( e j = j-ésma aresta do camnho, =,...,M, j = ) é destnado a um letursta. Deseja-se mnmzar a soma dos custos das arestas pertencentes à solução, de modo que cada aresta requerda seja vstada ao menos uma vez e sem ultrapassar a capacdade dos leturstas. De forma análoga apresenta-se um modelo matemátco smplfcado para o MR. encontrar um conjunto de camnhos onde cada camnho { e, e, 2, e } MIN s.a. M = j= c ( e ) M r r R = ( j ) = j= j U (6) d e D,..., M (7) () (5) A função objetvo 5 corresponde à mnmzação do custo da solução, ou seja, a soma dos custos das arestas pertencentes à solução. A restrção 6 garante que toda aresta requerda estará presente em pelo menos um camnho, enquanto que a restrção 7 assegura que a demanda total de um camnho não deve ser superor à capacdade do letursta. 839

5 3. Redução olnomal do MR para o CAR Teorema 3.: Um MR pode ser reduzdo a um CAR em tempo polnomal. A partr de um grafo (V,E) de uma nstânca MR, com M leturstas, adcone um nó vrtual v e um conjunto de arestas não-requerdas N - com custos e demandas nulas ce () = de () =, e N - lgando v a todos os nós de (V,E). Forma-se então um novo grafo (V,E ), onde V = v V e E = N E (vde Exemplo ). Essa transformação leva um tempo computaconal da ordem O( V ), portanto é lnear com o tamanho do grafo. É possível obter uma solução ótma do MR para a nstânca a partr de uma solução ótma L do CAR para a nstânca da segunte manera:. = L \ N, ou seja, uma solução ótma do MR é obtda extrando-se as arestas vrtuas de uma solução ótma do CAR correspondente. 2. c( ) = c( L ), ou seja, o custo ótmo do MR é gual ao custo ótmo do CAR correspondente. Essa prova será feta em etapas, a partr dos Lemas 3. a 3.3 e Coroláro 3.. Lema 3.: Uma solução do MR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma L do CAR para a nstânca ( = L \ N ), não ultrapassa a capacdade de nenhum letursta. Observa-se que a solução é um subconjunto de arestas da solução L. Como as demandas das arestas vrtuas de L são nulas, as capacdades utlzadas pelos carteros são guas às capacdades utlzadas pelos leturstas de. Lema 3.2: Uma solução do MR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma L do CAR para a nstânca ( = L \ N ), vsta todas as arestas requerdas. Observa-se que a solução fo formada extrando-se somente as arestas vrtuas da solução L, portanto contém todas as arestas requerdas de. Coroláro 3.: Uma solução do MR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma L do CAR para a nstânca ( = L \ N ), é factível, ou seja, não ultrapassa a capacdade dos leturstas (Lema 3.) e vsta todas as arestas requerdas (Lema 3.2). Lema 3.3: Uma solução do MR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma L do CAR para a nstânca ( = L \ N ), é ótma. Como c ( e N ) =, então c( L ) = c( L \ N ) e c ( ) ( ) = c L. Suponha c ( ) > c( ), ou seja, que a solução não é uma solução ótma. Além dsso, suponha que é uma solução ótma MR. É possível transformar em uma solução CAR ( L ), nserndo um nó vrtual depósto e arestas vrtuas lgando as extremdades dos camnhos de 84

6 ao depósto, ou seja, L = N. Novamente como c ( e N ) =, temos que c ( L ) = c( ), e portanto c ( L ) = c( ) ( ) ( ) < c = c L, mas essa conclusão é contradtóra, pos afrma que a solução L possu custo nferor à solução L, que é ótma. O resultado do Teorema 3. permanece váldo mesmo se o grafo (V,E ) for consttuído com o conjunto N sendo defndo pelas arestas vrtuas não-requerdas que lgam v aos nós de todas as arestas requerdas de (V,E). Isso é assegurado por meo do Lema 3.4 e resulta em uma smplfcação da redução proposta. Lema 3.4: Exste uma solução ótma do MR para a nstânca onde as extremdades de todos os camnhos são arestas requerdas. Consdere uma solução ótma para o MR que possu um camnho onde em uma de suas extremdades exste um sub-camnho S de arestas não-requerdas. Suponha uma solução Q dêntca a, exceto pelo camnho, do qual removeu-se o sub-camnho S. É possível afrmar que a solução Q é factível pos não houve aumento da demanda de nenhum camnho e, além dsso, nenhuma aresta requerda dexou de ser vstada. Com relação ao custo, se alguma aresta e S possur custo postvo, então c( Q ) < c( ), o que é uma contradção com a hpótese de ser ótmo. Assm, todas as arestas e S devem possur custo nulo, ou seja, c( Q ) = c( ), portanto Q também é uma solução ótma. 4. Redução olnomal do CAR para o MR Teorema 4.: Um CAR pode ser reduzdo a um MR em tempo polnomal. A partr de um grafo (V,E) de uma nstânca CAR qualquer, com M carteros e um nó depósto v, adcone 2M nós vrtuas (V ) e 2M arestas vrtuas requerdas (R ) com custos elevados c( r R ) = >> maxe[ c( e E) ] e demandas nulas d ( r R ) =, lgando os nós vrtuas a v, ou seja: ( v V ) ( r R ): r = ( v, v). Forma-se então um novo grafo (V,E ), onde V = V V e E = R E (vde Exemplo 2). Essa transformação leva um tempo computaconal da ordem O(M) e, como M R, pode-se afrmar que a transformação é lnear com o tamanho de. É possível obter uma solução ótma L CAR para a nstânca a partr de uma solução ótma MR para a nstânca da segunte manera:. L = \ R, ou seja, uma solução ótma do CAR é obtda extrando-se as arestas vrtuas de uma solução ótma do MR correspondente. 2. c( L ) = c( ) ( 2M ), ou seja, o custo ótmo do CAR é gual ao custo ótmo do MR correspondente subtrando-se o custo das arestas vrtuas. Essa prova será feta em etapas, a partr dos Lemas 4. a 4.6, Coroláro 4. e Teorema 4.2. Lema 4.: Consdere uma solução do MR para a nstânca composta por um camnho que vsta (n + 2) arestas (n ), das quas duas arestas são vrtuas e n arestas são 84

7 reas. Suponha que o custo de uma aresta vrtual é e que o custo mínmo de um camnho que vsta somente as n arestas reas é k ( >> k ). Nesse caso, as seguntes afrmações são equvalentes: () O camnho é de custo mínmo. (2) O camnho nca em um nó vrtual, percorre as arestas reas a um custo mínmo e termna em outro nó vrtual. (3) O camnho possu custo (2 + k). () (2): Um lmtante nferor para o custo do camnho consste em vstar, além das arestas reas a um custo mínmo, as duas arestas vrtuas uma únca vez. Esse lmtante só é atngível se o camnho nca em um nó vrtual e termna em outro nó vrtual, pos as demas alternatvas mplcam na re-vstação de arestas vrtuas. A Fgura ajuda a mostrar porque sso é verdade, pos somente o camnho (a) consegue vstar as arestas vrtuas uma únca vez. (2) (3): Se o camnho nca em um nó vrtual e termna em outro, ele passa por duas arestas vrtuas (custo 2), além dsso, percorre um certo camnho mínmo cobrndo o conjunto de arestas reas (custo k). (3) (): Um lmtante nferor para o custo de vstação das duas arestas vrtuas corresponde a 2 e o custo mínmo de vstar as arestas reas do grafo é k. ortanto, todas as (n + 2) arestas foram vstadas a um custo mínmo, logo o camnho é de custo mínmo. Camnho (a) Iníco: Nó vrtual Fm: Nó vrtual Custo: Camnho (b) Iníco: Nó real Fm: Nó vrtual Custo: Camnho (c) Iníco: Nó vrtual Fm: Nó real Custo: Camnho (d) Iníco: Nó real Fm: Nó real Custo: Fgura. Alternatvas de camnhos que vstam as arestas requerdas de um grafo. Lema 4.2: Consdere uma solução do MR para a nstânca composta por um camnho que vsta (m + n) arestas, das quas m são vrtuas e n são reas (2 m 2M, n ). Suponha que o custo de uma aresta vrtual é e o custo mínmo de um camnho que vsta somente as n arestas reas é k ( >> k ), então o custo mínmo para o camnho vstar as (m + n) arestas é dado pela equação 8: C mn ( m, n) = ( 2m 2) + k (8) A prova será feta por ndução matemátca. ase: m = 2 C mn ( 2, n) = ( 2 2 2) + k = 2 + k De fato, o Lema 4. mostra que o custo mínmo para o camnho vstar as (n + 2) arestas é 842

8 (2 + k). Hpótese ndutva: C ( m, n) = ( 2m 2) + k mn é o custo mínmo para um camnho vstar m arestas vrtuas e n arestas reas (m 2 e n ) de uma nstânca. asso ndutvo: Vstando (m + ) arestas vrtuas. C mn ( m +, = ( 2( m + ) 2) + k C mn ( m +, n) = ( 2m + 2 2) + k Cmn ( m +, n) = ( 2m 2) + k + 2 Cmn ( m +, n) = Cmn ( m, n) + 2 (9) elo fato de as arestas vrtuas estarem lgadas ao grafo por uma únca extremdade, somente duas arestas vrtuas de podem ser vstadas sem repetção, enquanto as demas, ao serem vstadas, provocam um acréscmo no custo de 2 referente a duas passagens (da e volta), como mostra a equação 9. ortanto o passo ndutvo se mostra correto. Teorema 4.2: Todos os camnhos de uma solução ótma vstam exatamente duas arestas vrtuas dstntas. Um lmtante nferor para o custo da solução mplcara necessaramente em vstar uncamente todas as arestas vrtuas. O Lema 4. mostrou que se um camnho vsta exatamente duas arestas vrtuas, então é possível vstá-las sem repetção. Já o Lema 4.2 mostrou que quando um camnho excede duas arestas vrtuas vstadas, cada aresta vrtual a mas mplcará em um aumento de 2 no custo, correspondente a duas passagens (da e volta). Como possu 2M arestas vrtuas, se todo camnho que compõe a solução vsta exatamente duas arestas vrtuas, então essas arestas serão todas vstadas sem repetção. Lema 4.3: Uma solução L do CAR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma do MR para a nstânca ( L = \ R ), não ultrapassa a capacdade de nenhum cartero. Observa-se que a solução L é um subconjunto de arestas da solução. Como as demandas das arestas vrtuas de são nulas, as capacdades utlzadas pelos carteros de L são guas às capacdades utlzadas pelos leturstas de. Lema 4.4: Uma solução L do CAR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma do MR para a nstânca ( L = \ R ), vsta todas as arestas requerdas de. Observa-se que a solução L fo formada extrando-se somente as arestas vrtuas da solução. Assm, L contém todas as arestas requerdas de. Lema 4.5: Uma solução L do CAR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma do MR para a nstânca ( L = \ R ), é formada por cclos que vstam o depósto v de. 843

9 O Teorema 4.2 mostra que todos os camnhos da solução ótma possuem exatamente duas arestas vrtuas. O Lema 4. revela que qualquer camnho de custo mínmo que vsta exatamente duas arestas vrtuas nca em um nó vrtual e termna em outro nó vrtual. Assm, todos os camnhos de possuem como extremos arestas vrtuas dstntas. Como todas as arestas vrtuas se conectam ao grafo somente pelo depósto v, elmnado-se essas arestas vrtuas de, os camnhos transformam-se em cclos que passam por v. Coroláro 4.: Uma solução L do CAR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma do MR para a nstânca ( L = \ R ), é factível, ou seja, não ultrapassa a capacdade dos carteros (Lema 4.3), vsta todas as arestas requerdas (Lema 4.4) e é formada por cclos que vstam o nó depósto v de (Lema 4.5). Lema 4.6: Uma solução L do CAR para a nstânca, obtda a partr da solução ótma do MR para a nstânca ( L = \ R ), é ótma. Consdere c( ) = c( \ R ) + ( 2M ) como o custo de uma solução ótma do MR para. Sabe-se que todo camnho de percorre exatamente duas arestas vrtuas (Teorema 4.2), tem-se que a parcela (2M) é um lmtante nferor para c ( ). or sua vez, a parcela ( ) c \ R deve ser mínma para que a solução seja ótma, mas se L = \ R, então c ( L ) também terá custo mínmo. ortanto, o MR mnmza os custos dos cclos referentes ao CAR orgnal. Teorema 4.3: O MR é um problema N-Dfícl. Utlzando-se do teorema de Cook (97), basta provar que um problema reconhecdamente N-Dfícl, como o CAR, se reduz polnomalmente ao MR (Teorema 4.). A segur serão exbdos dos exemplos, um deles mostrando a obtenção de uma solução ótma de um MR a partr da solução ótma de um CAR gerado pela redução sugerda no Teorema 3.. O outro exemplo mostra a obtenção de uma solução ótma de um CAR a partr da solução ótma de um MR gerado pela redução sugerda no Teorema Exemplo O exemplo a segur mostra uma nstânca MR com quatro leturstas, cujo grafo (V,E) é composto por 6 nós e dos subconjuntos de arestas, 7 requerdas e 7 não-requerdas. Todas as arestas possuem custo e demanda untáros. A capacdade dos leturstas corresponde a 3 undades (Fgura 2a). Segundo a metodologa apresentada no Teorema 3., para transformar um MR em um CAR deve-se ncalmente crar um nó vrtual que corresponderá ao depósto do CAR. Em seguda, são cradas arestas não-requerdas, com custo e demanda nulos, lgando os nós 844

10 pertencentes às arestas requerdas ao nó depósto (Fgura 2b). Resolvendo o CAR gerado fo possível obter uma solução ótma com custo de undades, como mostra a Fgura 2c. A partr da solução ótma do CAR, é possível extrar a solução ótma do MR, como consta no Teorema 3.. ara sso, são removdas todas as arestas vrtuas. A solução resultante é ótma para o MR orgnal, cujo custo é equvalente ao da solução ótma do CAR, como prevsto no Teorema 3.. A Fgura 2d mostra que após a remoção das arestas vrtuas restaram os camnhos que cada letursta deverá percorrer, atendendo as demandas das arestas requerdas a um custo mínmo. Instânca MR com 4 leturstas Transformação MR / CAR c(e R) = c(e N) = d(e R) = d(e N) = D =3 Aresta requerda Aresta não-requerdas Nó Vrtual Depósto Arestas Vrtuas Não-Requerdas (a) Solução Ótma CAR: Custo Total = Cartero, c = d = 3 Cartero 2, c = d = 3 Cartero 3, c = d = 3 Cartero 4, c = d = (b) Solução Ótma MR: Custo Total = Letursta, c = d = 3 Letursta 2, c = d = 3 Letursta 3, c = d = 3 Letursta 4, c = d = (c) Fgura 2. Resolução de um MR a partr de sua transformação em CAR. (d) 6. Exemplo 2 O segundo exemplo mostra uma nstânca CAR com quatro leturstas, cujo grafo (V,E) é composto por 7 nós (um deles sendo o depósto) e dos subconjuntos de arestas, 9 requerdas e 9 não-requerdas. Todas as arestas possuem custos e demandas untáras. A capacdade dos leturstas corresponde a 7 undades (Fgura 3a). Segundo o procedmento descrto no Teorema 4., para transformar o CAR em um MR correspondente, deve-se crar um número de nós e arestas vrtuas gual a duas vezes a quantdade de leturstas da nstânca. Assm, para esse exemplo serão crados oto nós vrtuas e oto arestas vrtuas, onde cada aresta vrtual é ncdente a um nó vrtual e ao nó depósto do CAR orgnal. Essas arestas, de acordo com o Teorema 4., são requerdas e possuem custos relatvamente altos e demandas nulas (Fgura 3b). Como mostra o Teorema 4.2, a solução ótma da nstânca MR será de tal forma que cada camnho sempre apresentará um par de arestas vrtuas, uma em cada extremdade, como mostra a Fgura 3c. ercebe-se que a solução ótma do MR resultou em um custo gual a (25 + 8) onde corresponde ao custo de uma aresta vrtual. ara transformar a solução ótma MR na solução ótma do CAR orgnal devem ser extraídas as arestas vrtuas da solução. A solução resultante corresponde a um conjunto de cclos que vstam o nó depósto orgnal do CAR. O custo dessa solução corresponde ao custo da solução ótma do MR subtrando-se os custos das arestas vrtuas (Fgura 3d). 845

11 Instânca CAR com 4 leturstas Nó depósto Aresta requerda Aresta não-requerdas c(e R) = c(e N) = d(e R) = d(e N) = D = 7 (a) Solução Ótma MR: Custo Total = Letursta, c = 7 + 2, d = 7 Letursta 2, c = 6 + 2, d = 6 Letursta 3, c = 6 + 2, d = 6 Letursta 4, c = 6 + 2, d = 6 Transformação MR / CAR Nós Vrtuas Arestas Vrtuas Requerdas (b) Solução Ótma CAR: Custo Total = 25 Cartero, c = d = 7 Cartero 2, c = d = 6 Cartero 3, c = d = 6 Cartero 4, c = d = 6 (c) Fgura 3. Resolução de um CAR a partr de sua transformação em MR. (d) 7. Conclusões Este trabalho apresentou duas reduções polnomas de problemas de grande nteresse teórco e prátco pertencentes à famíla de problemas de roteamento em arcos. A prmera redução mostra como transformar em tempo polnomal qualquer nstânca MR em uma nstânca CAR equvalente. Essa redução representa uma grande contrbução para resolução de um MR, pos permte que qualquer algortmo CAR, seja ele aproxmatvo ou exato, seja utlzado na resolução de uma nstânca MR. A segunda redução mostra como transformar em tempo polnomal qualquer nstânca CAR em uma nstânca MR equvalente. Fo demonstrado que a exstênca dessa redução permte conclur que o MR é um problema N-Dfícl. Essa descoberta nsere o MR em uma classe de problemas amplamente estudados pela teora da computação. Como os problemas N- Dfíces provavelmente não possuem algortmos exatos efcentes (de tempo polnomal), a adoção de metaheurístcas, para obtenção de soluções de boa qualdade do MR, fca teorcamente justfcada. 8. Agradecmentos Este trabalho contou com o apoo fnancero do CNq (processos 354/26-9 e 47499/26-7). 9. Referêncas Assad, A., earn, W. L. e olden,. L. (987), The capactated Chnese postman problem: lower bounds and solvable cases, Amercan Journal of Mathematcal and Management Scence, 7, elenguer, J. M. e enavent, E. (23), A cuttng plane algorthm for the capactated arc routng problem, Computers and Operatons Research, 3(5), elenguer, J. M., enavent, E., Lacomme,. e rns, C. (26), Lower and upper bounds for the mxed capactated arc routng problem, Computers and Operatons Research, 33(2),

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