Universidade de Aveiro Departamento de Matemática SÍLVIA LIMA DA SILVA PROBLEMA DO SACO-MOCHILA COM ESTRUTURA EM ÁRVORE

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1 Unversdade de Avero Departamento de Matemátca 2008 SÍLVIA LIMA DA SILVA ROBLEMA DO SACO-MOCHILA COM ESTRUTURA EM ÁRVORE

2 Unversdade de Avero Departamento de Matemátca 2008 SÍLVIA LIMA DA SILVA ROBLEMA DO SACO-MOCHILA COM ESTRUTURA EM ÁRVORE dssertação apresentada à Unversdade de Avero para cumprmento dos requstos necessáros à obtenção do grau de Mestre em Matemátca, realzada sob a orentação centífca do Dr. Agostnho Agra, rofessor Auxlar do Departamento de Matemátca da Unversdade de Avero

3 o júr presdente rof. Dr. Domngos Morera Cardoso professor catedrátco da Unversdade de Avero rof. Dr. Agostnho Mguel Mendes Agra professor auxlar da Unversdade de Avero rof. Dr. Luís Eduardo Neves Gouvea professor assocado com agregação da Faculdade de Cêncas da Unversdade de Lsboa

4 Agradecmentos Em prmero lugar, ao Dr. Agostnho Agra, com quem tve a honra e o prvlégo de trabalhar nestes anos de mestrado, Agradeço o seu trabalho, dedcação e dsponbldade e, acma de tudo, as suas palavras de encorajamento e estímulo. À Unversdade de Avero e, em partcular, ao Departamento de Matemátca pela oportundade e pelas excelentes condções proporconadas para desenvolver este trabalho. À mnha famíla, pelo apoo, compreensão, pacênca e pelo estímulo constante à conclusão deste trabalho. A todos os que, drecta ou ndrectamente, contrbuíram para este trabalho e que faram uma extensa lsta.

5 alavras-chave roblema do Saco-mochla com Estrutura em Árvore (TK), programação dnâmca, formulações estenddas, reformulação de problemas, aplcações. Resumo Nesta dssertação, são apresentados alguns dos algortmos exactos exstentes que permtem resolver o roblema do Saco-mochla com Estrutura em Árvore (TK) e, em partcular, são apresentadas de forma unforme e completa as técncas de resolução do TK recorrendo a algortmos de programação dnâmca. osterormente, o TK é reformulado e são desenvolvdas duas formulações (S1 e S2) deste problema como um roblema de Camnho Mas Curto com Restrções de Capacdade. Em seguda, são desenvolvdas duas formulações estenddas (S3 e S4) do TK como um roblema de Camnho Mas Curto. ara comparar a efcênca destas duas últmas formulações, fo feta uma análse da sua mplementação computaconal consderando dferentes nstâncas do problema. Os resultados mostram que a sua efcênca depende da topologa da árvore. Fnalmente, é apresentada uma aplcação do TK ao Desenho de Redes de Acesso Local de Telecomuncações (LANTD).

6 Keywords Tree Knapsack roblem (TK), dynamc programmng, extended formulatons, problem reformulaton, applcatons. Abstract In ths dssertaton, we survey exact algorthms to solve the Tree Knapsack roblem (TK) and, n partcular, we provde a complete and unfed presentaton of dynamc programs. Then we present two dstnct reformulatons of the TK (S1 and S2) as a Capactated Shortest ath roblem. After that, we extend these formulatons and develop another two models (S3 and S4) of TK, as a Shortest ath roblem. In order to show the effcency of the last two models we conduct a computatonal analyss that concern dfferent problem nstances. Our results show that the effcency of these formulatons depends from the tree topology. Fnally, we present an applcaton of the TK to Local Access Network Telecommuncatons Desgn (LANTD).

7 Índce Agradecmentos... Resumo... Abstract... Índce... v 1. Introdução Âmbto da Tese Contrbuções da Tese Estrutura da Tese Concetos Báscos rogramação Lnear vs rogramação Intera Formulações Descrção do roblema e suas Aplcações Formulação do roblema Casos artculares roblema da Sub-árvore com Raz roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Cardnaldade Métodos Exactos de Resolução Branch and Bound artção do TK v

8 6.3. rogramação Dnâmca A Depth-Frst Dynamc rogrammng A Depth-Frst Dynamc rogrammng roft (DFS) A Depth-Frst Dynamc rogrammng Capactes (DFSC) A Bottom-Up Dynamc rogrammng A Bottom-Up Dynamc rogrammng roft (BU) A Bottom-Up Dynamc rogrammng Capactes (BUC) Resumo dos Algortmos de rogramação Dnâmca Reformulações Reformulação do TK como um roblema do Camnho Mas Curto com Restrções de Capacdade Reformulação S Reformulação S Complexdade Formulações Estenddas de Camnho Mas Curto para o TK Fundamentação Reformulação S Elmnação de Estados Reformulação S Experênca Computaconal Aplcação: Redes de Acesso Local de Telecomuncações Descrção do roblema Formulação do LANTD Conclusões Referêncas v

9 Capítulo 1 Introdução Introdução 1.1. Âmbto da Tese Nesta dssertação aborda-se o roblema do Saco-Mochla com Estrutura de Árvore (TK Tree Knapsack roblem), que tem aplcabldade na área das telecomuncações, das fnanças e da programação de máqunas, entre outras (ver Johnson e Nem, 1983, Shaw, 1994 e Magnant e Wolsey, 1995). O TK pode ser vsto como uma generalzação do problema do saco-mochla no qual os objectos a selecconar obedecem a uma ordem parcal partcular. Mas concretamente, a cada objecto, com excepção de um únco objecto, corresponde um só antecessor. Assm, um objecto só pode ser selecconado se o seu antecessor (caso exsta) também o tver sdo. Esta ordem pode ser representada através de uma árvore com raz (correspondente ao objecto sem antecessores) onde os nodos representam os objectos, e os arcos, as restrções de precedênca. Se um nodo é selecconado então todos os nodos no camnho da raz para esse nodo também devem ser selecconados. 1

10 Capítulo 1 Introdução 2008 O TK é também conhecdo pelo roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Capacdade (RSTC - Capacty Constraned Rooted Subtree roblem ) que fo estudado por Magnant e Wolsey em Os problemas de optmzação que envolvem restrções do tpo saco-mochla são, em geral, N-dfíces e o TK também pertence a essa classe de problemas. O TK é um problema já nvestgado e para o qual já foram estudados alguns métodos exactos de resolução: Cho e Shaw, 1997 e Johnson e Nem, 1983 desenvolveram técncas de programação dnâmca; Cho e Shaw, em 1998, desenvolveram um método de resolução baseado num algortmo do tpo Branch and Bound; e Merwe e Hattngh, em 2006, desenvolveram outro método de resolução do TK através de partções baseadas na cardnaldade da solução. Neste trabalho rá ser dada uma ênfase especal às técncas de programação dnâmca porque rá ser com base nestes algortmos que se rão construr novas formulações para o TK Contrbuções da Tese Do trabalho desenvolvdo destaca-se: Apresentação de um resumo dos métodos exactos de resolução deste problema com recurso a técncas de optmzação conhecdas, assm como problemas relaconados; Apresentação unforme e completa das técncas de programação dnâmca, nomeadamente, três algortmos já estudados (ver Johnson e Nem, 1983 e Cho e Shaw, 1997) e um novo algortmo (BU - Bottom-Up Dynamc rogrammng roft); Reduções do TK ao roblema de Camnho Mas Curto com Restrções de Capacdade; 2

11 Capítulo 1 Introdução 2008 Na sequênca das equações de programação dnâmca e das formulações do TK como um roblema de Camnho Mas Curto com Restrções de Capacdade são apresentadas novas formulações estenddas para o problema, que podem ser vstas como um roblema de Camnho Mas Curto. O roblema do Camnho Mas Curto consttu um dos problemas mas estudados em optmzação combnatóra. Comparação das formulações estenddas do TK do tpo Camnho Mas Curto e avalação da sua efcênca em função da topologa da árvore; Descrção de uma das aplcações do TK: o desenho de Redes de Acesso Local de Telecomuncações (LATND Local Access Telecommuncatons Network Desgn) Estrutura da Tese A tese é composta por nove capítulos, sendo o prmero a presente ntrodução. Nesta secção faz-se uma pequena descrção dos conteúdos de cada um dos capítulos. No capítulo 2 é feta uma revsão de alguns concetos báscos de rogramação Lnear e de rogramação Intera, assm como das relações entre esses modelos. No capítulo 3 é feta uma descrção do problema TK e das suas aplcações. No capítulo 4 é apresentada a formulação do TK. No capítulo 5 são descrtos alguns dos casos partculares do TK, nomeadamente, o roblema da Sub-árvore com Raz e o roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Cardnaldade. No capítulo segunte (capítulo 6) são apresentados dversos métodos de resolução para o TK, nomeadamente, o método Branch and Bound, um método que consste na partção do 3

12 Capítulo 1 Introdução 2008 problema em função cardnaldade da solução e quatro algortmos de programação dnâmca. O capítulo 7 consttu o núcleo fundamental da tese e nele são apresentadas as reformulações do TK como um problema de Camnho Mas Curto com Restrções de Capacdade e são apresentadas duas formulações estenddas para o problema, que podem ser vstas como roblemas de Camnho Mas Curto em grafos expanddos. É também neste capítulo que se testam as duas formulações estenddas do TK e se avala qual é delas é a mas efcente em função da topologa da árvore. No capítulo 8 é apresentada uma das aplcações do TK: o Desenho de Redes de Acesso Local de Telecomuncações (LATND). Fnalmente, no capítulo 9, são tecdas algumas consderações globas ao trabalho realzado e são apresentadas perspectvas para trabalho futuro de melhora dos algortmos. 4

13 Capítulo 2 Concetos Báscos Concetos Báscos O TK é um problema de optmzação combnatóra que pode ser formulado em rogramação Lnear Intera. Neste capítulo é feta uma revsão de alguns concetos báscos de rogramação Lnear e de rogramação Intera, assm como das classes de formulações em rogramação Lnear Intera rogramação Lnear vs rogramação Intera Consdere-se o problema de rogramação Lnear (L) na sua forma canónca: { : b, x 0} max cx Ax onde A é uma matrz com m lnhas e n colunas, c é um vector lnha de dmensão n, b é um vector coluna de dmensão m e x é um vector coluna de dmensão n de varáves desconhecdas. 5

14 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 Geometrcamente, as restrções lneares, defnem um poledro, que é chamado de conjunto das soluções admssíves. Assm, um poledro é um subconjunto de n número fnto de desgualdades lneares: = { x : Ax b} R. n R descrto por um Sabe-se que exstem algortmos polnomas como por exemplo, o do método do elpsóde (Khachyan, 1979) ou do método do ponto nteror (Karmarkar, 1984) que permtem resolver qualquer nstânca de um problema de.l. Neste caso, dz-se que estes problemas pertencem à classe (ver Garey e Johnson, 1979). Um problema de rogramação Lnear Intera (LI) é um problema de rogramação Lnear (L) em que todas ou alguma(s) das suas varáves são dscretas e têm de assumr valores nteros. Num modelo de LI podem ocorrer as seguntes stuações: a) todas as varáves de decsão são nteras, sto é, todas as varáves estão sujetas à condção de ntegraldade; neste caso, estamos perante um problema de rogramação Lnear Intera ura (LI): max cx s. a.: Ax b x 0 e ntero b) só parte das varáves de decsão são nteras; neste caso, trata-se de um problema de rogramação Lnear Intera Msta (LIM): max cx + dy s. a.: Ax + Ey b x 0 y 0 e ntero onde A é d é um vector lnha de dmensão p e y é um vector coluna de dmensão p de varáves nteras desconhecdas. 6

15 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 c) todas as varáves de decsão são bnáras, sto é, todas a varáves têm como valores admssíves 0 ou 1; neste caso, estamos perante um problema de rogramação Lnear Intera Bnára (LIB): max cx s. a.: Ax b x { } 0,1 n d) só parte das varáves de decsão são bnáras; neste caso, trata-se de um problema de rogramação Lnear Intera Bnára Msta (LIBM): max cx + dy s. a.: Ax + Ey b x 0 y { } 0,1 p odera parecer à prmera vsta que os problemas de LI são relatvamente fáces de resolver, já que exstem muto menos soluções a serem consderadas do que num problema de L (apenas soluções nteras). Acontece mesmo que os problemas de LI cujo conjunto das soluções possíves seja lmtado têm um número fnto de soluções possíves. Nada mas falso! A verdade é que a smples ntrodução das restrções de ntegraldade das varáves num problema de L, transforma-o num problema de característcas dferentes. Em geral, os problemas de LI são N-dfíces, portanto, não é conhecdo qualquer algortmo que permta obter a solução óptma de toda a nstânca desse tpo de problemas, num número de passos que possa ser majorado por uma função polnomal do tamanho da nstânca. E se, tal como é conjecturado, N; então não exstrá tal algortmo (ver detalhes, por exemplo, em Nemhauser e Wolsey, 1988). Quando um problema de LI tem um número fnto de soluções possíves, pode surgr (erradamente) a dea da enumeração exaustva como abordagem smples e efcente para a determnação da solução óptma: é que um número fnto não é necessaramente um 7

16 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 número pequeno! De facto, o número de soluções possíves pode faclmente tornar-se demasado grande, nvablzando do ponto de vsta computaconal a sua enumeração exaustva. Torna-se portanto necessáro usar métodos que examnem apenas uma parte do conjunto de soluções possíves. A Relaxação Lnear de um problema de LI, é defnda pelo modelo de L correspondente: max cx s. a.: Ax b x 0 e ntero max cx s. a.: Ax b x 0 Uma abordagem comum na resolução de problemas de LI consste no arredondamento das soluções obtdas pela relaxação lnear. Apesar da sua smplcdade aparente, esta técnca pode ter város nconvenentes: 1ª. O trabalho envolvdo pode ser muto grande, pos o número de soluções arredondadas pode ser muto elevado; para cada solução arredondada é necessáro verfcar se se trata de uma solução admssível e, em caso afrmatvo, calcular o valor correspondente da função objectvo; só desta manera se encontrará a melhor de todas as soluções arredondadas. Suponhamos um modelo de LI com 10 varáves nteras, cuja solução obtda por relaxação dá orgem a 10 valores não nteros; cada varável pode ser arredondada por defeto ou por excesso, pelo que haverá 2 10 =1024 soluções arredondadas! 2ª. A solução óptma do problema de L após o arredondamento pode não ser admssível para o modelo de LI (embora o modelo de LI tenha soluções). Consdere-se o segunte modelo cuja representação gráfca se encontra na fgura 1: 8

17 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 max F = 11x + 10x s. a.: 2,75x + 10x x + 6x x, x 0 e nteras Fgura 1 Nenhuma das quatro soluções obtdas por arredondamento é possível 3ª. A solução ntera (resultante do arredondamento da solução óptma do problema de L) pode estar relatvamente afastada da solução óptma do problema de LI (sendo o afastamento meddo em termos da função objectvo). Consdere-se o segunte modelo cuja representação gráfca se encontra na fgura 2: max F = 35x + 70x 1 2 s. a.: 3 x + 7x x 11x 18, x, x 0 e nteras Fgura 2 A solução ntera, obtda por arredondamento, não é a solução óptma do LI 9

18 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 Conclu-se assm pela necessdade de métodos que examnem apenas uma parte do conjunto de soluções admssíves e que aprovetem as vantagens do algortmo Smplex. São exemplo destes, o Método de artção e Avalação Sucessvas (Branch and Bound), o Método dos lanos de Cortes (Cuttng lanes) e o que se obtém da combnação destes dos (Branch and Cut). De facto, todos estes algortmos recorrem à resolução de problemas de L cuja regão admssível va sendo sucessvamente reduzda até se alcançar a solução do problema de LI. Estes métodos são geras, pos podem ser aplcados a qualquer modelo de LI Formulações A dfculdade de resolução de determnados problemas, chamados N-dfíces, tem motvado o estudo de formulações alternatvas e o desenvolvmento de algortmos com vsta à obtenção de melhores majorantes e mnorantes para o valor da solução óptma. Apesar de formulações alternatvas para o mesmo problema fornecerem a mesma solução ntera, elas podem apresentar dferenças substancas em termos das correspondentes relaxações em programação lnear. A exstênca de boas formulações cujo valor da relaxação lnear em programação lnear é uma boa aproxmação do valor da solução óptma, revela-se mportante, não só na obtenção de lmtes para o valor óptmo, mas também no contrbuto que pode dar para se alcançar esse valor, ao permtr, frequentemente, dmnur o número de nodos da árvore de pesqusa no método Branch and Bound. As formulações em rogramação Lnear Intera que tratare nesta dssertação, relatvamente ao TK, podem ser agrupadas em duas classes: Formulações Naturas contêm uma varável, e apenas uma, para cada arco ncluído no grafo subjacente; Formulações Estenddas usam outras varáves que podem ou não estar assocadas aos arcos. Estas novas varáves podem ser consderadas como supérfluas, no sentdo de que não são necessáras para obter uma formulação válda para o problema. Contudo, a nformação adconal assocada às novas varáves pode reduzr consderavelmente o número de restrções envolvdas no modelo. 10

19 Capítulo 2 Concetos Báscos 2008 Dadas duas formulações 1 e 2 para um conjunto de soluções admssíves X, no mesmo espaço das varáves, sto é, n n X = 1 Z e X = 2 Z, dz-se que 1 é melhor formulação que 2 se 1 2. Denota-se por conv(x), o envolvente convexo do conjunto X que é um conjunto tal que o segmento de recta que une dos quasquer dos seus pontos, está contdo no conjunto X, sto é, é o conjunto de todos os pontos que se obtêm como combnação convexa de elementos de X. Desgna-se por formulação deal de X o poledro conv(x). Encontrando uma formulação deal para um problema de LI sgnfca que esse problema pode ser resolvdo através de técncas de resolução de problemas de L. Contudo, a dfculdade desta abordagem resde, por um lado, no facto de que em mutos casos não se consegur obter uma caracterzação smples das desgualdades do poledro conv(x) (caso dos problemas pertencentes à classe N-dfícl, que têm facetas dfíces"), e, por outro lado, no facto deste poledro poder ser descrto por um número exponencal de desgualdades. ara provar que uma formulação é deal para X, ou seja, = conv(x), exstem váras técncas (ver Wolsey, 1998). Quando não se consegue obter a formulação deal pode ter nteresse recorrer a formulações estenddas, cujo conjunto das soluções admssíves quando projectado no subespaço das varáves naturas está mas próxmo do envolvente convexo do conjunto de soluções admssíves do que a relaxação lnear da formulação orgnal (ver Gouvea e res, 1996). or vezes consdera-se a formulação estendda exacta, no sentdo em que a solução da relaxação lnear tem sempre valores nteros e, neste caso, a projecção do conjunto das soluções admssíves no espaço natural (que nem sempre se consegue obter explctamente) concde com conv(x), técnca usada nesta tese, já que as formulações estenddas de Camnho Mas Curto são exactas. 11

20 Capítulo 3 Descrção do roblema e suas Aplcações Descrção do roblema e suas Aplcações O roblema do Saco-Mochla com Estrutura de Árvore (TK - Tree Knapsack roblem ) fo ntroduzdo por Lukes (1974) que propôs o prmero algortmo de programação dnâmca para a sua resolução. osterormente, em 1978, Ibarra e Km propõem outros algortmos de resolução para este problema. O TK pode ser vsto como um roblema do Saco-Mochla 0-1 (0-1K) com restrções de precedênca entre os objectos com estrutura em árvore, de tal modo que se um nodo é selecconado para o saco-mochla, então todos os nodos do camnho, que va do nodo selecconado até à raz, também têm que ser selecconados para o saco-mochla. Dada uma árvore não orentada T=(V,E) com raz no nodo 0, a cada nodo v V está assocado uma necessdade e um lucro ndvsíves. O TK consste em encontrar uma sub- -árvore T de T com raz no nodo 0 tal que a soma dos lucros sobre T é maxmzada e a soma das necessdades sobre T não excede uma dada capacdade do saco-mochla H. O TK é um problema N-dfícl (Garey e Johnson, 1979). 12

21 Capítulo 3 Descrção do roblema e suas Aplcações 2008 O TK tem váras aplcações, nomeadamente no desenho e expansão de Redes de Acesso Local de Telecomuncações (LATN) (Shaw, 1994 e Magnant e Wolsey, 1995). As Redes de Acesso Local de Telecomuncações têm, normalmente, uma estrutura em árvore, onde os clentes ndvduas, os nodos, estão lgados a uma central de dstrbução, a raz da árvore. A solução óptma do problema do desenho e expansão das LATN pode ser encontrada resolvendo uma sequênca de problemas do saco-mochla com estrutura em árvore. Neste caso, o TK pode ser nterpretado da segunte forma: sempre que um clente no nodo é servdo por uma central de dstrbução, a sua necessdade d, deve ser completamente satsfeta (hpótese da ndvsbldade da necessdade) e o lucro c é recebdo. Assume-se que se um clente é servdo, então todos os clentes no únco camnho que va desse clente à central de dstrbução também têm que ser servdos (hpótese da contnudade) por essa central. O objectvo do TK é encontrar um conjunto de clentes que satsfaça a hpótese da contnudade, de tal forma que o lucro total recolhdo dos clentes servdos é máxmo, enquanto a soma das suas necessdades não exceder a capacdade H. Este problema serve também para modelar, por exemplo, problemas de nvestmento (Johnson e Nem, 1983; Magnant e Wolsey, 1995). Estes problemas podem ter uma estrutura em árvore, onde os potencas nvestmentos, os nodos, estão assocados a um nvestmento ncal, a raz da árvore. Neste caso, o TK pode ser nterpretado da segunte forma: assumndo que um dado nvestmento só pode ser realzado caso os nvestmentos precedentes o tverem sdo e sabendo que se determnado nvestmento é feto, então é necessáro dsponblzar um captal d para obter um lucro c. O objectvo do TK é encontrar o conjunto de nvestmentos a fazer de tal forma que o lucro total desses nvestmentos é máxmo, enquanto o captal nvestdo não ultrapassar o captal total dsponível H. ara além das aplcações já referdas, este é um problema que também se pode aplcar aos problemas de programação de máqunas (Magnant e Wolsey, 1995). Estes problemas que, normalmente, têm uma estrutura em árvore, onde cada tarefa a realzar pela máquna, os nodos, estão dependentes de uma tarefa ncal, a raz da árvore (que pode ser smplesmente, o lgar da máquna). Neste caso o TK pode ser nterpretado da segunte 13

22 Capítulo 3 Descrção do roblema e suas Aplcações 2008 forma: assumndo que determnada tarefa a realzar pela máquna só pode ser realzada se todas as tarefas que a precedem o já tverem sdo e sabendo que para que determnada tarefa seja realzada é necessáro dsponblzar um tempo d para se obter um lucro c. O objectvo do TK é encontrar o conjunto de tarefas a realzar de tal forma que o lucro total é máxmo, enquanto a capacdade total de produção da máquna H não for excedda. O TK, também denomnado roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Capacdade (RSTC - Capacty Constraned Rooted Subtree roblem ), é um caso partcular de um problema muto estudado conhecdo pelo roblema do Saco-Mochla com Restrções de recedênca (recedence-constraned Knapsack roblem ver Samphaboon e Yamada, 2000). 14

23 Capítulo 4 Formulação do roblema Formulação do roblema Seja T=(V,E) uma árvore não orentada com raz no nodo 0 e seja V={0,1,2,,n} o conjunto dos nodos e E o conjunto das arestas. ara cada nodo V, sejam: c um ntero que representa o lucro no nodo ; d um ntero não negatvo que representa a necessdade no nodo ; p o antecessor do nodo no únco camnho da raz para o nodo (com p 0 = 0 ). [, j] o únco camnho do nodo para o nodo j. Seja H a capacdade do saco mochla. O roblema do Saco-Mochla com Estrutura de Árvore (TK) consste em encontrar uma sub-árvore T =(V,E ) de T com raz no nodo 0, tal que: max c V ' s. a.: d H V ' 15

24 Capítulo 4 Formulação do roblema 2008 sto é, pretende-se encontrar uma sub-árvore T de T com raz no nodo 0 tal que a soma dos lucros sobre T é maxmzada e a soma das necessdades sobre T não excede uma dada capacdade do saco-mochla H. Seja x j 1, se j V ' =. 0, caso contráro O TK pode ser formulado como um problema de rogramação Lnear Intera. Assm pretende-se: (TK) max n j= 0 s. a.: x x, j = 1,2,..., n p j n j= 0 x j c x j j j d x j j { 0,1} H A restrção x x, j = 1,2,..., n sgnfca que se um nodo é selecconado para o saco- p j j -mochla, então o seu antecessor também tem que ser selecconado para o saco-mochla e a restrção n d j x j H sgnfca que soma das necessdades sobre T não excede uma dada j= 0 capacdade do saco-mochla H. Sem perda de generaldade, assume-se que: d H, j = 0,1,2,..., n j e n j= 0 d j > H Caso contráro, ou o tamanho do problema pode ser reduzdo ou as restrções de saco- -mochla podem ser elmnadas e o problema é reduzdo ao roblema do Saco-mochla com Estrutura em Árvore sem Capacdades. Se remover as restrções x p j x, o TK é reduzdo ao roblema do Saco-Mochla 0-1. j 16

25 Capítulo 5 Casos artculares Casos artculares 5.1. roblema da Sub-árvore com Raz O roblema da Sub-árvore com Raz (RST - Rooted Subtree roblem ) consste em, dada uma árvore, encontrar sub-árvores óptmas com raz, sto é, dada uma árvore T com raz no nodo 0 e um lucro c para cada nodo de T, encontrar uma sub-árvore T de T que contenha a raz e de tal forma que o lucro total árvore vaza (com lucro zero). c seja o maor possível. T pode ser a T ' Este problema não é mas do que o problema do saco-mochla com estrutura em árvore sem capacdades. ara a resolução do RST exste um algortmo de programação dnâmca cuja complexdade é O(n) (Magnant e Wolsey, 1995) e que, em seguda, se descreve. Seja p v, antecessor de v, o prmero nodo u v no únco camnho em T que lga o nodo v à raz 0, e seja δ + ( v) o conjunto dos sucessores medatos do nodo v (sto é, δ + ( v) conjunto de todos os nodos u tas que p u = v). ara qualquer nodo v de T, seja T(v) a é o 17

26 Capítulo 5 Casos artculares 2008 sub-árvore de T com raz no nodo v (sto é, T(v) é a árvore que se obtém pelo corte de T elmnando a aresta {p v,v} ncdente no nodo v). O algortmo de programação dnâmca que se aplca a este problema e que permte determnar a sua solução óptma, pode ser aplcado para resolver mutos problemas defndos em árvores (é um procedmento tpo). Este é ncalzado nos nodos folha e termna na raz ( Bottom-Up Algorthm ). ara cada nodo v de T, seja (v) o valor da solução óptma do problema da sub-árvore com raz defndo na árvore T(v) com o nodo v como raz. Então pode-se encontrar o valor óptmo (0) recorrendo ao segunte procedmento recursvo: Algortmo 1 1. Incalzação Se v é um nodo folha de T, v max{ c } raz de T(v) sejam o nodo {v} e a árvore vaza. ( ) = 0, v, desde que as duas úncas sub-árvores com 2. Determnação do valor óptmo Calcula-se (u), para todos os sucessores do nodo v e determna-se (v) usando a segunte equação recursva: ( v) = max 0, cv + ( u). u δ + ( v) Neste procedmento recursvo podem ocorrer dos casos: a sub-árvore óptma de T(v) com raz no nodo v é também vaza ou então contém o nodo v. Neste últmo caso, a árvore também contém (a possbldade vaza) a sub-árvore com raz óptma para cada nodo u em δ + ( v). Note-se que, desde que cada nodo u, excepto a raz, esteja contdo em exactamente um subconjunto δ + ( v), este procedmento recursvo é muto efcente: ele apenas requer uma adção e uma comparação para cada nodo de T. Depos de se efectuar o movmento ascendente até à raz e de determnar (0) (o valor óptmo do problema da sub-árvore defnda sobre a árvore T) determna-se uma sub-árvore com raz óptma T elmnando de T todas as sub-árvores com (u) = 0. 18

27 Capítulo 5 Casos artculares roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Cardnaldade Outro caso partcular do TK é aquele em que cada nodo v tem necessdade d v = 1 e, assm, a restrção de capacdade transforma-se numa restrção de cardnaldade: v V ( T ) x v K onde a árvore escolhda pode conter no máxmo K = H nodos - roblema da Sub-árvore com Raz, com Restrções de Cardnaldade (RSTCD: Cardnalty Constraned Rooted Subtree roblem ). O TK pode ser transformado num RSTCD, substtundo as restrções de capacdade por restrções de cardnaldade (Aghezaff, Magnant e Wolsey, 1995). Esta transformação não é polnomal porque o número de nodos depende lnearmente da grandeza dos coefcentes, e o exemplo segunte mostra como é que essa transformação pode ser feta Exemplo Consdere-se o segunte TK, onde os números dentro dos quadrados ndcam as necessdades: Fgura 3 Árvore com os respectvos pesos d 19

28 Capítulo 5 Casos artculares 2008 As restrções de capacdade do problema são: com x { } x x 2x 3x 2x j 0,1, j = 0,...,4. A árvore anteror pode ser transformada na segunte, em que cada nodo tem necessdade 1: Fgura 4 - Árvore com pesos untáros O TK pode então ser transformado num RSTCD com a segunte restrção de cardnaldade: x0 x1 x21 x22 x31 x32 x33 x41 x42 5 x com { 0,1} = x x, x21 = x22, x31 = x32 = x33 e 20

29 Capítulo 6 Métodos de Resolução Métodos Exactos de Resolução Neste capítulo descrever-se-ão os prncpas métodos utlzados para a resolução do TK Branch and Bound Geon Cho e Dong X. Shaw (1998) desenvolvem um método de resolução do TK baseado num algortmo Branch and Bound. No método por eles desenvolvdo, usa-se a relaxação lagrangeana para obter um lmte superor do TK. Este lmte concde com o lmte superor obtdo através da relaxação lnear do TK e, com base no conhecmento do objecto crítco obtdo pela relaxação lagrangeana faz-se um aperfeçoamento do lmte superor. Fnalmente, usa-se um algortmo Branch and Bound para determnar a solução do TK. Geon Cho e Dong X. Shaw chegaram à conclusão de que este algortmo não só é melhor do que o algortmo de rogramação Dnâmca por eles proposto (cf. Cho e Shaw, 1997) como também é melhor que o algortmo de programação dnâmca proposto por D. S. Johnson e K. A. Nem (1983). 21

30 Capítulo 6 Métodos de Resolução artção do TK Na maora dos problemas de grande dmensão, a árvore de pesqusa do algortmo Branch and Bound pode rapdamente ultrapassar a capacdade prmára da memóra de um computador. ara resover este problema, D. J. Van Der Merwe e J. M Hattngh (2006) propõem um outro método de resolução do TK que consste em resolver sucessvamente o problema adconando restrções de cardnaldade: j V x j = p obtendo-se o TK(p). O TK pode ser resolvdo, resolvendo TK(p) parametrcamente, varando o valor de p. O problema é resolvdo em duas etapas (a que correspondem duas partções do problema). Na prmera etapa, em vez de resolver a relaxação lnear do TK, denotada por TK R, relaxando as condções de ntegraldade { 0,1} x para 0 1, pode-se resolver a relaxação lnear de TK(p), desgnada por TK R (p), para os város valores de p (partção de 1ª ordem). A solução óptma de TK R (p) deverá dar uma ndcação dos nodos que devem estar na solução de TK(p). x Na segunda etapa consdera-se uma solução específca do TK R (p) obtda na prmera etapa, x *, j = 0,1,2,..., n, contam-se o número de nodos (ou varáves) que foram ncluídos j com valor 1 ( * 1 j * x = ). Assumndo que esse número é l, defne-se Sl = { j xj = 1, j = 0,1,2,..., n} como o conjunto que contém os índces das varáves ncluídas com valor 1 ( x * j = 1) para o TK R (p), e defne-se S = V \ S como o conjunto que contém os índces dos restantes n l nodos do problema, onde V { 0,1,2,..., n} l = é o conjunto dos nodos do problema. O objectvo é nvestgar a mudança de nodos do conjunto teratvamente. S l para o conjunto Sn l, 22

31 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 Escolhe-se q { l 1, l 2, l 3,...,0} e defne-se o modelo da partção de segunda ordem TK(p,q): max n j= 0 s. a.: x x, j = 1,2,..., n p j n j= 0 j Sl j Sn l j j j j j j j { } x 0,1, j = 0,1,2,..., n j c x d x x H = q x = p q Através da resolução do TK(p,q) com q { l 1, l 2, l 3,...,0} óptma para o TK(p), pos todos os valores de q são enumerados. encontrar-se-á a solução 23

32 Capítulo 6 Métodos de Resolução rogramação Dnâmca D. S. Johnson e K. A. Nem (1983) também propõem duas técncas de programação dnâmca para a resolução do TK. Uma desgnaram por Left-to-Rght Dynamc rogrammng e a outra por Bottom-Up Dynamc rogrammng, que vsam mnmzar a capacdade do saco utlzada, proporconando um lucro de pelo menos q. Geon Cho e Dong X. Shaw (1997) propõem uma técnca de programação dnâmca para a resolução do TK que desgnaram por A Depth-Frst Dynamc rogrammng, que vsa maxmzar o lucro obtdo enquanto a soma das necessdades não exceder uma dada capacdade do saco- -mochla H. Estas técncas, que rão ser apresentadas nesta secção, dependem da ordem de pesqusa e do objectvo: Na subsecção serão apresentadas duas técncas baseadas na ordem de pesqusa em profunddade (DFS), uma em que as equações recursvas se baseam na maxmzação do lucro obtdo (DFS) ntroduzda por Cho e Shaw (1997) e outra em que as equações recursvas se baseam na mnmzação da capacdade do saco utlzada (DFSC) ntroduzdas por Johnson e Nem (1983); Na subsecção serão apresentadas duas técncas baseadas na ordem de pesqusa de baxo para cma (BU), uma em que as equações recursvas se baseam na maxmzação do lucro obtdo (BU) ntroduzda nesta tese, de forma a unformzar todas as técncas de programação dnâmca, e outra em que as equações recursvas se baseam na mnmzação da capacdade do saco utlzada (BUC), ntroduzdas por Johnson e Nem (1983). Há autores que consderam o DFS como o roblema rmal e o DFSC o seu Dual, e também o BU como o roblema rmal e o BUC o seu Dual. Chrstan Blum (2007) desenvolveu também, muto recentemente, uma técnca de programação dnâmca que permte determnar sub-árvores óptmas em árvores com pesos nos nodos e/ou arestas. Assm, esta técnca permte resolver extensões do TK com pesos nos nodos e também nas arestas. 24

33 Capítulo 6 Métodos de Resolução A Depth-Frst Dynamc rogrammng Seja T=(V,E) uma árvore não orentada com raz no nodo 0 e seja V={0,1,2,,n} o conjunto dos nodos e E o conjunto das arestas. Etquetem-se os nodos da árvore T por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta (DFS: Depth-Frst-Left-Rght-Search ), começando na raz, nodo Fgura 5 Árvore T Fgura 6 Árvore T com os nodos etquetados por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta, começando na raz, nodo 0. Ao longo de toda esta dssertação consderar-se-á sempre os nodos da árvore etquetados por esta ordem. A fgura 7 mostra como funconam as técncas de programação dnâmca de pesqusa em profunddade começando na raz, nodo Fgura 7 rocedmento recursvo de pesqusa em profunddade. Neste caso a ordem de pesqusa é a da segunte sequênca: (0, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 4, 0). 25

34 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 A sequênca que traduz a ordem de vsta de cada nodo é dada por: (0) (0,1) (0,1, 2) (0,1, 2,1) (0,1, 2,1,3) (0,1, 2,1,3,1) (0,1, 2,1,3,1, 0) (0,1, 2,1,3,1, 0, 4) (0,1,2,1,3,1,0, 4,0) onde, por exemplo (0,1,2,1,3) quer dzer que o prmero nodo a ser vstado é o zero, o segundo é o 1, depos o 2, recua-se para o nodo 1 e vsta-se o nodo 3. or uma questão de smplfcação de notação, optar-se-á por traduzr esta sequênca por um par ordenado (, j) onde representa o nodo vstado e j a j-ésma vsta do nodo : (0,1) (1,1) (2,1) (1, 2) (3,1). (1,3) (0, 2) (4,1) (0,3) Daqu para a frente va-se também consderar a segunte notação: s, j o j-ésmo sucessor do nodo (,0 s é o prórpo nodo ) n o número de sucessores do nodo ( n = 0 quando não tem sucessores). 26

35 Capítulo 6 Métodos de Resolução A Depth-Frst Dynamc rogrammng roft (DFS) Geon Cho e Dong X. Shaw (1997) propõem uma técnca de programação dnâmca para a resolução do TK que desgnaram por A Depth-Frst Dynamc rogrammng, onde as equações recursvas se baseam na maxmzação do lucro obtdo enquanto a soma das necessdades não exceder uma dada capacdade do saco-mochla H. Assm, re desgná-la por A Depth-Frst Dynamc rogrammng roft (DFS) e que passare a expor: ara uma dada árvore T=(V,E) não orentada com raz no nodo 0, etquetam-se os nodos de T por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta. ara uma dada capacdade h e para um dado nodo v V, defne-se valor Y ( v,, h ) como sendo o valor máxmo do lucro até à -ésma vsta do nodo v, sto é, sv, 1 sv, 1 Y ( v,, h) = max ck xk xp x,0, 1, 1 j j < j sv dk xk h xv = k = 0 k = 0. Então, o max{ Y (0, n 1, H ),0} 0 + é o valor óptmo do TK. Assm, pretende-se encontrar uma sub-árvore T =(V,E ) de tal forma que as necessdades em T não excedam h, para cada h = 0,1,2,,H e o somatóro dos lucros de T é máxmo. ara determnar Y (0, n + 1, H ), utlza-se a abordagem de pesqusa em profunddade recorrendo ao 0 segunte procedmento recursvo: Algortmo 2 1. Incalzação (v=0 e =1) Começa-se na raz, o nodo 0 e calcula-se Y (0,1, h ) para todo o h = 0,1,2,,H: c0, se d0 h H Y (0,1, h) =, outros casos (6.1) 27

36 Capítulo 6 Métodos de Resolução Avança-se para vstar pela prmera vez o nodo v (v>0 e =1) Sempre que se vsta um nodo novo v pela prmera vez e por ordem de pesqusa em profunddade, calcula-se Y ( v,1, h ), para cada h = 0,1,2,,H: Y ( pv, jp, h - d ), v v + cv se d j h Y (,1, ) j [ 0, v] v h =, outros casos (6.2) 3. Recua-se para revstar nodos (v 0 e >1) Se o nodo vstado v for um nodo folha ou for um nodo tal que todos os seus sucessores já foram vstados, revsta-se h = 0,1,2,,H: p e calcula-se o valor de Y ( v,, h ), para todo o v { } Y ( v,, h) = max Y ( v, 1, h), Y ( w, n + 1, h) (6.3) w onde w é o (-1)-ésmo sucessor de v. Se anda exstrem nodos sucessores de prmero sucessor de p v não vstado. p v não vstados, então avança-se vstando o 4. Determnação do valor óptmo O procedmento termna quando o nodo raz for revstado a partr do seu últmo sucessor, e fnalmente encontra-se o valor óptmo max{ Y (0, n 1, H ),0} 0 +. Teorema 6.1: O Algortmo 2 tem complexdade O(nH) onde n é o número de nodos e H a capacdade do Saco-Mochla. 28

37 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 rova: O Algortmo 2 realza essencalmente duas operações: o movmento para a frente e o movmento para trás, para todo o nodo v V \{ 0}. De facto, se um nodo tem um sucessor não vstado, o algortmo realza o movmento para a frente. Caso contráro, realza o movmento para trás. No nodo raz, o algortmo realza apenas o movmento para a frente, Assm, o Algortmo 1 faz exactamente n + 1 movmentos para a frente e n movmentos para trás. Como cada movmento requer O(H) operações, a complexdade total do Algortmo 2, em termos de tempo é O(nH). Como em cada teração não é necessáro executar novamente os cálculos de Y ( v,, h ) para todo o v V e para todo o h = 0, 1, 2,, H das terações anterores, a complexdade do Algortmo 2, em termos de espaço também é O(nH) Exemplo Consdere a árvore da fgura 8 com H = 11: Fgura 8 - Exemplo Neste exemplo, os nodos foram etquetados por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta. Os números dentro dos quadrados ndcam as necessdades e os que estão por cma destes ndcam os lucros. 29

38 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 O procedmento começa no nodo 0 e calcula-se Y (0,1, h ) para todo o h = 0,1,2,,H: 30, se 2 h 11 Y (0,1, h) =, outros casos Em seguda, vsta-se o nodo 1 e calcula-se Y (1,1, h ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: Y (1,1, h) Y (0,1, h - 4) + 13, se d j h, outros casos = j [ 0,1] , se 6 h 11 43, se 6 h 11 Y (1,1, h) = Y (1,1, h) = outros casos outros casos Agora vsta-se o nodo 2 e, de forma semelhante, calcula-se Y (2,1, h ) para todo o h = 0,1,2,,11: Y (2,1, h) Y (1,1, h - 4) + 5, se d j h, outros casos = j [ 0,2] 43+5, se 10 h 11 48, se 10 h 11 Y (2,1, h) = Y (2,1, h) = outros casos outros casos Como o nodo 2 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 1, e calcula-se Y (1,2, ) h, usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: 48, se 10 h 11 Y (1,2, h) = max{ Y (1,1, h), Y (2,1, h) } = 43, se 6 h < 10, outros casos 30

39 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 Como o nodo 1 tem um nodo sucessor que anda não fo vstado, o nodo 3, va-se vstá-lo e calcular Y (3,1, h ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: Y (3,1, h) Y (1,1, h -3) + 14, se d j h, outros casos = j [ 0,3] 43+14, se 9 h 11 57, se 9 h 11 Y (3,1, h) = Y (3,1, h) = outros casos outros casos Como o nodo 3 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 1, e calcula-se, Y (1,3, ) h usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: 57, se 9 h 11 Y (1,3, h) = max{ Y (1,2, h), Y (3,1, h) } = 43, se 6 h < 9, outros casos Agora o nodo 1 já não tem sucessores que não tenham sdo vstados, então revsta-se o nodo 0 e calcula-se Y (0, 2, h ), usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: 57, se 9 h 11 43, se 6 h < 9 Y (0,2, h) = max{ Y (0,1, h), Y (1,3, h) } = 30, se 2 h < 6, outros casos Como o nodo 0 anda tem um nodo sucessor que anda não fo vstado, o nodo 4, va-se vstá-lo e calcular Y (4,1, h ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: 31

40 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 Y (4,1, h) Y (0, 2, h - 2) + 7, se d j h, outros casos = j [ 0,4] , se h = 11 64, se h = , se 8 h < 11 50, se 8 h < 11 Y (4,1, h) = Y (4,1, h) = , se 4 h < 8 37, se 4 h < 8 outros casos outros casos Como o nodo 4 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 0, e calcula-se Y (0,3, ) h, usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o h = 0,1,2,,11: 64, se h = 11 57, se 9 h < 11 50, se h = 8 Y (0,3, h) = max{ Y (0,2, h), Y (4,1, h) } = 43, se 6 h < 8 37, se 4 h < 6 30, se 2 h < 4, outros casos Como o nodo raz fo revstado a partr do seu últmo sucessor, fnalmente encontrou-se o max Y (0, n + 1, H ), 0 = Y (0,3,11) = 64. valor óptmo: { } 0 A fgura 9 mostra a solução óptma para este exemplo, obtda fazendo o percurso para trás: Fgura 9 Solução óptma para o exemplo 32

41 Capítulo 6 Métodos de Resolução A Depth-Frst Dynamc rogrammng Capactes (DFSC) D. S. Johnson e K. A. Nem (1983) propõem uma técnca de programação dnâmca para a resolução do TK, que desgnaram por Left-to-Rght Dynamc rogrammng, onde as equações recursvas se baseam na mnmzação da capacdade do saco utlzada, proporconando um lucro de pelo menos q. Com base nesta técnca re expor um algortmo que se basea nas técncas de programação dnâmca de pesqusa em profunddade, começando na raz, nodo 0 e que desgnare por Depth-Frst Dynamc rogrammng Capactes (DFSC). A dferença entre esta técnca e a anteror descrta em é que nesta técnca as equações recursvas são baseadas na mnmzação da capacdade para um dado lucro e, na anteror, as equações recursvas eram baseadas na maxmzação do lucro obtdo enquanto a soma das necessdades não exceder a capacdade do saco-mochla. ara uma dada árvore T=(V,E) não orentada com raz no nodo 0, etquetam-se os nodos de T por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta. Escolha-se Q de forma a que este seja um lmte superor para o lucro. ara um dado lucro 0 q Q e para um dado nodo v V, defne-se peso Y ( v,, q ) como sendo o peso mínmo da sub-árvore contda no percurso até à -ésma vsta do nodo v que proporcona um lucro de pelo menos q, sto é, C sv, 1 sv, 1 YC ( v,, q) = mn dk xk xp x,0, 1, 1 j j < j sv q ck xk xv = k = 0 k = 0. Então, o max{ q : 0 q Q YC ( 0, n0 1, q) } + < + é o valor óptmo do TK. Assm, pretende-se encontrar uma sub-árvore T =(V,E ) de tal forma que os lucros em T sejam pelo menos q e o somatóro das necessdades de T é mínmo. ara determnar ( 0, 1, ) Y n + q, utlza-se a abordagem de pesqusa em profunddade da esquerda para a C 0 dreta recorrendo ao segunte procedmento recursvo: 33

42 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 Algortmo 3 1. Incalzação (v=0 e =1) Começa-se na raz, o nodo 0 e calcula-se Y (0,1, q ), para todo o q = 0,1,2,,Q: C d0, se q c0 YC (0,1, q) = +, outros casos (6.4) 2. Avança-se para vstar pela prmera vez o nodo v (v>0 e =1) Sempre que se vsta um nodo novo v pela prmera vez e por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta, calcula-se YC ( v,1, q ), para todo o q = 0,1,2,,Q: YC ( pv, j p, r) + d, (,, ) v v se YC pv jp r + d v v H YC ( v,1, q) = +, outros casos (6.5) onde r max{ q c } = 0, v. 3. Recua-se para revstar nodos (v 0 e >1) Se o nodo vstado v for um nodo folha ou for um nodo tal que todos os seus sucessores já foram vstados, revsta-se q = 0,1,2,,Q: p e calcula-se o valor de Y ( v,, q ), para todo o v C { } Y ( v,, q) = mn Y ( v, 1, q), Y ( w, n + 1, q) (6.6) C C C w onde w é o (-1)-ésmo sucessor de v. Se anda exstrem nodos sucessores de prmero sucessor de p v não vstado. p v não vstados, então avança-se vstando o 34

43 Capítulo 6 Métodos de Resolução Determnação do valor óptmo O procedmento termna quando o nodo raz for revstado a partr do seu últmo sucessor, e fnalmente encontra-se o valor óptmo: max{ q : 0 q Q YC ( 0, n0 1, q) } + < +. Teorema 6.2: O Algortmo 3 tem complexdade O(nC*) onde n é o número de nodos e C* é o valor óptmo da função objectvo. rova: Conforme se provou no teorema 6.1, sera fácl conclur que a complexdade do Algortmo 3 é O(nQ) onde n é o número de nodos e Q é um lmte superor para o lucro. Mas tal como é explcado por Johnson e Nem (1983) é possível provar-se que a complexdade do Algortmo 3 é O(nC*) onde C* é o valor óptmo da função objectvo. Note-se que o algortmo funcona com Q ndependentemente de Q ser um lmte superor ou nferor para o valor óptmo. Seja L um lmte nferor para o lucro tal que L Q max{ c j } = =. O Algortmo 3 executa-se teratvamente fazendo em cada teração Q = 2Q até Q > C *. Logo na últma teração tem-se Q < 2 C *. j V Q 4 O Algortmo 3 pára com Q < 2 C * porque o anteror anda é Q < C * C* Q 3 1ª teração: O(nL) 2ª teração: O(n2L) Q 2 L Q 1 Fgura 10 3ª teração: O(n4L).. k-ésma teração: O(n2 k-1 L) Q < 2 C * 35

44 Capítulo 6 Métodos de Resolução 2008 Como se pode ver através da fgura 10 e da sua explcação lateral, atendendo a que em cada teração não é necessáro executar novamente os cálculos das terações anterores, então no global rão ser realzadas O(nQ) com Q < 2 C *. Logo tem-se O(nC*) operações e a complexdade do Algortmo 3 é, então, O(nC*) Exemplo Consdere a árvore da fgura 8 com Q = 69 e H = 11: Fgura 8 - Exemplo Neste exemplo, os nodos foram etquetados por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta. Os números dentro dos quadrados ndcam as necessdades e os que estão por cma destes ndcam os lucros. O procedmento começa no nodo 0 e calcula-se Y (0,1, q ) para todo o q = 0,1,2,,69: C 2, se q 30 Y (0,1, q) = +, outros casos Em seguda, vsta-se o nodo 1 e calcula-se Y (1,1, q ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69. Seja r max{ q } C 1 = 0, 13, então: YC (0,1, r) + 4, se YC (0,1, r) YC (1,1, q) = +, outros casos 36

45 Capítulo 6 Métodos de Resolução se q 43 6 se q 43 YC (1,1, q) = YC (1,1, q) = +, outros casos +, outros casos Agora vsta-se o nodo 2 e, de forma semelhante, calcula-se Y (2,1, q ) para todo o q = 0,1,2,,69. Seja r max{ q } 2 = 0, 5, então: C YC (1,1, r) + 4, se YC (1,1, r) YC (2,1, q) = +, outros casos 6+4, se q 48 10, se q 48 YC (2,1, q) = YC (2,1, q) = + outros casos + outros casos Como o nodo 2 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 1, e calcula-se Y (1,2, ) C q, usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69: 6, se q 43 YC (1,2, q) = mn{ YC (1,1, q), YC (2,1, q) } = 10, se 44 q 48 + outros casos Como o nodo 1 tem um nodo sucessor que anda não fo vstado, o nodo 3, va-se vstá-lo e calcular Y (3,1, q ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o C q = 0,1,2,,69. Seja r max{ q } 3 = 0, 14, então: YC (1,1, r) + 3, se YC (1,1, r) YC (3,1, q) = +, outros casos 6+3, se q 57 9, se q 57 YC (3,1, q) = YC (3,1, q) = + outros casos + outros casos Como o nodo 3 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 1, e calcula-se, Y (1,3, ) C q usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69: 37

46 Capítulo 6 Métodos de Resolução , se q 43 YC (1,3, q) = mn{ YC (1,2, q), YC (3,1, q) } = 9, se 44 q 57 + outros casos Agora o nodo 1 já não tem sucessores que não tenham sdo vstados, então revsta-se o nodo 0 e calcula-se Y (0, 2, q ), usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69: C 2, se q 30 6, se 31 q 43 YC (0,2, q) = mn{ YC (0,1, q), YC (1,3, q) } = 9, se 44 q 57 +, outros casos Como o nodo 0 anda tem um nodo sucessor que anda não fo vstado, o nodo 4, va-se vstá-lo e calcular Y (4,1, q ), usando o 2º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69. Seja r max{ q } C 4 = 0, 7, então: YC (0,2, r) + 2, se YC (0,2, r) YC (4,1, q) = +, outros casos 2 + 2, se q 37 4, se q , se 38 q 50 8, se 38 q 50 YC (4,1, q) = YC (4, 1, q) = 9 + 2, se 51 q 64 11, se 51 q 64 +, outros casos +, outros casos Como o nodo 4 é um nodo folha, revsta-se o seu antecessor, o nodo 0, e calcula-se Y (0,3, ) C q, usando o 3º passo do procedmento recursvo, para todo o q = 0,1,2,,69: 38

47 Capítulo 6 Métodos de Resolução , se q 30 4, s e 31 q 37 6, se 38 q 43 YC (0,3, q) = mn{ YC (0,2, q), YC (4,1, q) } = 8, se 44 q 50 9, se 51 q 57 11, se 58 q 64 +, outros casos Como o nodo raz fo revstado a partr do seu últmo sucessor, fnalmente encontrou-se o valor óptmo: max{ q q Q YC ( n0 q) } : 0 0, + 1, < + = 64. Como a árvore consderada para este exemplo é a mesma que a consderada no exemplo anteror , a fgura 9 também mostra a solução óptma para este exemplo. 39

48 Capítulo 6 Métodos de Resolução A Bottom-Up Dynamc rogrammng Seja T=(V,E) uma árvore não orentada com raz no nodo 0 e seja V={0,1,2,,n} o conjunto dos nodos e E o conjunto das arestas. Etquetem-se os nodos da árvore T por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta, começando na raz, nodo 0. A fgura 11 mostra como funconam as técncas de programação dnâmca de pesqusa de baxo para cma (BU - Bottom-Up-Search ), começando nos nodos folha Fgura 11 - rocedmento recursvo de pesqusa de baxo para cma. No prmero nível, representado na fgura 11 a vermelho estão todos os nodos. O segundo nível está representado a verde, o tercero a azul, o quarto a rosa, o qunto a amarelo e fnalmente o sexto a preto. 40

49 Capítulo 6 Métodos de Resolução A Bottom-Up Dynamc rogrammng roft (BU) Esta técnca de programação dnâmca para a resolução do TK é ntroduzda nesta tese por forma a unformzar a apresentação das equações de programação dnâmca e basea-se na técnca de programação dnâmca ntroduzda por D. S. Johnson e K. A. Nem (1983) desgnada por Bottom-Up Dynamc rogrammng. A Bottom-Up Dynamc rogrammng roft (BU) é uma técnca de programação dnâmca para a resolução do TK, onde as equações recursvas se baseam na maxmzação do lucro obtdo enquanto a soma das necessdades não exceder uma dada capacdade do saco-mochla H, e que, em seguda, passare a expor. ara cada v V e 0 nv, seja T[v,] a sub-árvore nduzda por v, onde v é a raz da sub-árvore e é o número de sucessores medatos de v ncluídos nessa sub-árvore, segundo a ordem da esquerda para a dreta (ver fgura 11). 0 T[1,2] T[3,1] 4 Fgura 12 - T[v,] ara uma dada árvore T=(V,E) não orentada com raz no nodo 0, etquetam-se os nodos de T por ordem de pesqusa em profunddade da esquerda para a dreta. ara uma dada capacdade h, para um dado nodo v V e para = 0,...n v, defne-se valor X (,, ) v h como sendo o valor máxmo do lucro da sub-árvore contda na sub-árvore T[v,], sto é, X ( v,, h) = max ck xk xp x, ( [, ]), 1 j j j V T v dk xk h xv = k V ( T [ v, ]) k V ( T [ v, ]). 41