Transformadas Digitais e Códigos de Bloco: Uma via de Mão Dupla

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1 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Computatonal and Appled Mathematcs Transformadas Dgtas e Códgos de Bloco: Uma va de Mão Dupla Arqumedes J A Paschoal Insttuto Federal de Educação, Cênca e Tecnologa de Pernambuco, IFPE, Caruaru, PE Rcardo M Campello de Souza 2 Departamento de Eletrônca e Sstemas, UFPE, Recfe, PE Hélo M de Olvera 3 Departamento de Estatístca, UFPE, Recfe, PE Resumo A construção de novos códgos de bloco lneares pode ser feta a partr de transformadas dgtas Aqu, mostramos que novas transformadas dgtas podem ser dervadas a partr de códgos corretores de erros Prmero, apresentamos a construção de códgos de Pascal, baseados na Transformada Numérca de Pascal (TNP), e então as transformadas de Hammng e Golay baseadas, respectvamente, nos códgos de mesmo nome Um Algortmo para a decodfcação de códgos de Pascal é apresentado Uma aplcação das transformadas numércas de Pascal, Hammng e Golay, como uma ferramenta de pré-processamento para cfragem de magens, é sugerda Palavras-chave TNP, Trângulo de Pascal, Transformadas Numércas, Transformada de Hammng, Transformada de Golay, Cfragem de Imagens Introdução Códgos corretores de erros são a ferramenta usual para proteger a ntegrdade da nformação que transta em um canal rudoso [] Dentre os códgos corretores de erros mas conhecdos estão os códgos de Hammng, por terem sdo os prmeros códgos desenvolvdos [5] Exstem númeras técncas para a construção de códgos corretores de erros e conforme mostrado em [,2] estes códgos também podem ser obtdos a partr de transformadas dgtas Neste cenáro, propredades verfcadas pela matrz de transformação de tas transformadas podem ser exploradas no sentdo de se produzr algortmos efcentes para decodfcação dos mesmos Neste artgo apresentamos os códgos de Pascal, obtdos a partr da recém ntroduzda Transformada Numérca de Pascal [7] Um algortmo efcente, baseado nas propredades do trângulo de Pascal, para sua decodfcação é apresentado De forma algo smlar, é possível crar novas transformadas dgtas a partr de códgos corretores de erros exstentes Neste artgo ntroduzmos as transformadas de arqumedespaschoal@caruarufpeedubr 2 rcardo@ufpebr 3 hmo@deufpebr

2 2 Hammng e de Golay Uma aplcação da TNP e destas transformadas como ferramentas de pré-processamento na cfragem de magens é apresentada Sua avalação é feta por meo dos ndcadores: hstograma, NPCR (Number of Changng Pxel Rate), UACI (Unfed Averaged Changed Intensty) e correlações horzontal, vertcal e dagonal Um teste de aderênca nos hstogramas das magens transformadas fornece uma ndcação da aproxmação de tas hstogramas por dstrbuções unformes Scrpts em Matlab R para transformação das magens, obtenção das métrcas de nteresse na área de processamento de magens e sua reconstrução foram desenvolvdos Foram utlzadas magens nos testes, obtdas da base de dados e convertdas para tons de cnza 2 Códgos de Pascal Sabe-se que a matrz de verfcação de pardade H de um códgo de bloco lnear satsfaz à relação vh T =, em que v é uma palavra do códgo [] Para qualquer matrz de transformação lnear T, tem-se que seus autovetores satsfazem à relação [T λi]v =, em que λ é o autovalor assocado ao autovetor v Identfcando-se a matrz de verfcação de pardade H com a forma escalonada padrão da matrz [T λi], percebe-se que, a partr de qualquer transformada dgtal, é possível defnr um códgo de bloco lnear [4] Especfcamente, esta técnca fo usada para construr as famílas dos códgos de Fourer e de Hartley [,2] Neste artgo, uma nova famíla de códgos de bloco lneares, denomnada de Códgos de Pascal, é construída Usando a matrz de Pascal sobre GF (p), P N [8], como matrz de transformação, podemos construr os códgos de Pascal, denotados CP (λ) (n, k, d), em que k é a dmensão do códgo e d é a sua dstânca mínma Determnando os autovalores da matrz P N, a matrz [P N λi] é encontrada Esta matrz, reduzda à forma escalonada, resulta na matrz de verfcação de pardade, H p (λ), do códgo A exstênca de um códgo de Pascal sobre GF (p) requer que o polnômo característco da matrz P N possua, pelo menos, um autovalor neste corpo Exemplo 2 Construção do códgo de Pascal de comprmento N = 3 sobre GF (3) Consdere a matrz de Pascal, sobre GF(3), cujo polnômo característco é p(x) = + 2x + x 3 + 2x 4 + x 9 + 2x + x 2 + 2x 3 = 2( + x) 2 (2 + x), P 3 = Os autovalores de P 3 são λ = 2, com multplcdade algébrca m = 2, e λ 2 =, com multplcdade algébrca m =

3 3 A matrz [P 3 λ I], reduzda à forma escalonada, é H (2) 3 = O códgo de Pascal gerado é o códgo CP (2) (3, 4, 4) e sua matrz geradora é 2 G (2) 3 = Para o autovalor λ 2 =, obtém-se o códgo CP () (7,, 7) Isto lustra o fato de que é possível se obter códgos de comprmentos dferentes do comprmento da transformada 2 Decodfcação dos códgos de Pascal Os códgos de Pascal, sendo códgos lneares de bloco, podem ser decodfcados va técncas usuas [] Todava, uma forma alternatva de decodfcação pode ser concebda explorando-se característcas específcas da matrz de transformação de Pascal, P N Consdere que a palavra recebda seja escrta como r = v + e, em que v é a palavra-códgo transmtda e e é o vetor erro possvelmente ntroduzdo pelo canal Como as palavrascódgo do códgo de Pascal são autovetores assocados à matrz de transformação, resulta que a aplcação da TNP à palavra recebda r produz: T NP (r) = λv + T NP (e) Sem perda de generaldade, seja λ = Assm, caso a palavra recebda não contenha erros, T NP (r) = r = v Caso contráro, a palavra recebda contém erros Assm, a síndrome da palavra recebda r corresponde ao cálculo da TNP de r Consdere ncalmente a ocorrênca de um únco erro na posção, (p ) Então T NP (e) = l, em que l é a -ésma lnha da matrz de transformação da TNP Desta forma, podemos escrever T NP (r) = v + l Denotando T NP (r) por R = [R R R p ] e v = [v v v p ], resulta T NP (r) = R R R p = [ Matrz Geradora de Autovetores (MGA) ] + l () = l () l (p ) em que l (j) corresponde à j-ésma componente da -ésma lnha da matrz de Pascal A matrz geradora de autovetores (MGA) é obtda como solução do sstema v = P N v Note que como as lnhas da matrz de Pascal sempre ncam por e são todas dstntas, basta saber o segundo elemento do vetor que representa a -ésma lnha da matrz de Pascal, que todo o vetor estará determnado A segur, apresentamos o pseudocódgo para decodfcação em caso de erro únco,

4 4 Algorthm Decodfcação dos Códgos de Pascal para um únco erro : procedure DecodePascal(R) 2: f (R = r) then 3: Não houve erro ou erro não detectável 4: else f (R () = R (p ) ) then 5: Erro na posção zero 6: k é solução do sstema R = MGA + kl 7: else 8: k R () R (p ) 9: l (p ) : v p R (p ) : j 2 2: repeat 3: l p j 4: j j + 5: untl (l p j ) 6: A lnha está determnada 7: end f 8: end procedure é solução do sstema R = MGA + kl 3 As Transformadas de Hammng e de Golay Na Seção 2 construu-se a matrz de verfcação de pardade, H, de um códgo de bloco lnear, escalonando-se a matrz quadrada sngular [T λi] Aqu, segue-se o sentdo oposto, e, partndo da matrz de pardade de um códgo de bloco lnear C(n, k, d), acrescentamos, à mesma, k lnhas de modo a obter uma matrz quadrada (sngular) de ordem n, H e, correspondente à matrz [T λi] Este procedmento leva à construção de uma nova matrz de transformação T = H e + λi Tal transformada recebe o nome do códgo de bloco lnear usado na sua construção Assm, se C(n, k, d) representa o códgo de Hammng sobre GF (p), então T representa a matrz de transformação da Transformada Numérca de Hammng (TNH) sobre GF (p) Uma forma de representar algebrcamente a TNH é consderar a matrz de verfcação de pardade H no formato h(x) xh(x) H =, x n k h(x) em que h(x) é o polnômo de pardade do códgo de Hammng cíclco sobre GF (p) [6] As k lnhas necessáras para compor a matrz H e são obtdas deslocando-se cclcamente o polnômo h(x) Exemplo 3 Consdere o códgo de Hammng cíclco bnáro C(7, 4, 3) com polnômo de verfcação de pardade dado por h(x) = x 4 + x 2 + x + A matrz de verfcação de

5 5 pardade H é dada por H = [ A matrz de transformação da transformada numérca de Hammng, neste caso, é T () H = De forma smlar, defnmos a Transformada Numérca de Golay usando o polnômo de pardade do códgo de Golay escolhdo 3 Propredades das transformadas numércas de Hammng e Golay Além da lneardade, as propredades lstadas a segur são satsfetas pelas Transformadas de Hammng e de Golay [9], além da lneardade ) Deslocamento no domíno do tempo: Consdere a sequênca v = ( v,, v N ) em que v = v m Então, v V, em que V = x m V ) Deslocamento no domíno da frequênca: Consdere a sequênca V = ( V,, V N ) em que V k = V k l Então, v = x l v ) Transformada da sequênca constante: A transformada da sequênca v = (r, r,, r) é a sequênca de componentes V k = r peso(h(x)) (mod p), k v) Transformada da sequênca mpulso: A transformada da sequênca δ = (,,, ), corresponde à prmera coluna da matrz T (λ) H, sto é, aos coefcentes do polnômo x[h(x) + λ(x)], em que λ(x) é o polnômo constante 4 Aplcações em Processamento de Imagens ] Uma possível aplcação ncal das transformadas numércas de Pascal, Hammng e Golay é como uma ferramenta de pré-processamento na cfragem de magens Neste cenáro, a correlação entre pxels adjacentes é uma medda ndcatva da capacdade da transformada em dspersar (dfundr) nformação; outras meddas desta capacdade são o hstograma, a entropa e os valores do NPCR (Number of Changng Pxel Rate) e UACI (Unfed Averaged Changed Intensty) [3, ] Todas estas meddas foram mplementadas usando-se o Matlab como ferramenta de programação As magens utlzadas nos testes foram obtdas da base de dados e convertdas para tons de cnza Para efeto de processamento de magens, a magem orgnal (52 52 pxels) fo dvdda em 496 blocos de 8 8 pxels Como a magem é convertda em tons de cnza, os valores dos pxels varam de até 255 Portanto, usou-se o corpo fnto GF (257)

6 6 4 Avalac a o de desempenho das transformadas As transformadas nume rcas de Pascal, Hammng e Golay sa o avaladas por meo dos seguntes ndcadores: hstogramas, NPCR, UACI, rxx (correlac a o horzontal entre pxels vznhos), ryy (correlac a o vertcal entre pxels vznhos), rxy (correlac a o dagonal entre pxels vznhos) e Entropa de Shannon H(S) A Fgura mostra duas das magens () Lena (2) Mandrl Fgura : Imagens utlzadas, seus hstogramas e correlac o es vertcas, TNP das magens, hstogramas das transformadas e correlac a o vertcal das transformadas utlzadas nos testes, juntamente com os ndcadores menconados Note que a aplcac a o da TNP produz uma magem dfusa, apresentando um hstograma que se aproxma de uma dstrbuc a o unforme A Tabela resume os valores obtdos para as transformadas apresentadas aqu Em termos de correlac a o entre pxels, percebe-se que as transformadas de Pascal e de Hammng apresentam resultados smlares, enquanto que a transformada de Golay apresenta resultados nferores, o que e confrmado vsualmente nas magens das transformadas [9] Tabela : Coefcentes de correlac a o das magens antes e depos da aplcac a o da TNP, TNH e TNG Me trca rxy (h) rbxy (h) rxy (v) rbxy (v) rxy (d) rbxy (d) 5 TNP Lena Mandrl,9848,758,37 -,5,972,864,39,39,9586,725,34 -, TNH Lena Mandrl,9849,762,68,27,9722,865 -,43,,9594,7283,4 -,3 TNG Lena Mandrl,9865,7879,25,282,974,8786,398,3,969,7493,64,9 Concluso es A transformada nume rca de Pascal fo usada na construc a o de novos co dgos de bloco multnı ves, os co dgos de Pascal A ntroduc a o das transformadas nume rcas de Hammng

7 7 (TNH) e de Golay (TNG) representa uma mportante aplcação da teora ntroduzda em [, 2], e delnea a exstênca de um somorfsmo entre códgos de bloco lneares e transformadas dgtas Umas das propredades marcantes destas novas transformadas é que a transformada de um vetor constante (propredade ) resulta em um vetor no domíno da transformada também constante Isto contrasta fortemente com as transformadas usuas Os resultados obtdos para as transformadas dgtas TNP, TNH e TNG como ferramentas para o pré-processamento de cfragem de magens são apresentados Referêncas [] R M Campello de Souza, E S V Frere and H M de Olvera, Fourer codes In th Internatonal Symposum on Communcaton Theory and Applcatons, Amblesde, UK, 29 Also avalable n the repostory arxv: [csit] [2] R M Campello de Souza, R M C Brtto e H M de Olvera, Códgos de Hartley em corpos fntos In Anas do XXIX Smpóso Braslero de Telecomuncações, Curtba, 2 [3] S Das, S N Mondal and N Ghoshal, An Innovatve Approach n Image Encrypton Proc of Int Conf on Recent Trends n Informaton, Telecommuncaton and Computng, 58-66, 24 DOI: 2ITC24596 [4] E S V Frere, Construção de Códgos de Bloco Lneares va Transformadas Dgtas Dssertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, UFPE, 29 [5] R W Hammng, Error detectng and error correctng codes, Bell Labs Techncal Journal, v29, 47-6, 95 [6] T K Moon Error Correcton Codng: Mathematcal Methods and Algorthms John Wley and Sons, 25 [7] A J A Paschoal, R M Campello de Souza, H M de Olvera, A Transformada numérca de Pascal In Anas do XXXIII Smpóso Braslero de Telecomuncações, Juz de Fora, Brasl, 25 [8] A J A Paschoal, R M Campello de Souza e H M de Olvera, Novas relações na matrz de transformação da transformada numérca de Pascal Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Computatonal and Appled Mathematcs, v6, 28 [9] A J A Paschoal, Novas Transformadas em Corpos Fntos: Defnções e Cenáros de Aplcação Tese de Doutorado, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da UFPE, 28 [] S Ln and D J Costelo Error Control Codng Englewood Clffs, Prentce Hall, 24 [] Y Wu, J P Noonan and S Agaan NPCR and UACI randomness tests for mage encrypton Journal of Selected Areas n Telecommuncatons, 3 38, 2