INICIAÇÃO AO ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA - JOÃO PESSOA CENTRO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES - CAJAZEIRAS Relatóro Fnal INICIAÇÃO AO ESTUDO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Janete Soares de Carvalho Bolssta pelo Programa PIBIC - Mlêno Everaldo Souto de Mederos Orentador Francsco José de Andrade Coorentador Cajazeras, Agosto de 2003.

2 1 Introdução Este relatóro expõe um conjunto de atvdades exercdas pelo bolssta no Programa Insttuconal de Bolsas de Incação Centífca PIBIC - Mlêno entre Agosto de 2002 e Julho de Serão aqu exbdos uma exposção ntrodutóra do projeto: objetvos, metodologa,conteúdo pesqusado e bblografa utlzada. Como atvdades complementares de grande proveto para o bolssta, ele partcpou, sendo também palestrante, de um encontro envolvendo todos os ntegrandes do grupo que forma o Projeto de Pesqusa Integrado em Análse, coordenado pelo Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó, realzado em feverero e agosto de O bolssta agradece a sua partcpação neste mportante projeto de ncação centífca, patrocnado pelo PIBIC - Mlêno, pos reconhece a mportânca não só acadêmca, mas cultural (por despertar cratvdade e nteresse em pesqusa no ramo da Matématca) e socal (por ntegrá-lo em grupos de estudantes e professores crando, assm, um novo cclo de amzades). Com o apoo do Insttuto Mlêno ( Projeto Integrado de Pesqusa em Análse, coordenado pelo Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó), o orentando se benefca dos estudos em grupo, com colegas, professores e pesqusadores lgados a este projeto de pesqusa. Desta forma, crou-se um ambente centífco bastante dnâmco e motvador. 1.1 Objetvos O objetvo prncpal deste projeto fo o estudo das Equações Dferencas Parcas, e portanto, fo necessára um ntrodução em Anaálse Funconal, afm de embasar o aluno para assuntos mas avançados. As atvdades ncaram-se com os Espaços métrcos e normados, Espaços de Banach e de Hlbert, fnalzando, de acordo com o prevsto, com o estudo dos Espaços de Sobolev e aplcações em Equações Dferencas Parcas. Vale salentar também que um projeto desta natureza tem como fnaldade ntroduzr o aluno, anda em graduação, à pesqusa em Matemátca, abrndo, assm, as portas para uma futura pós-graduação. 2

3 1.2 Metodologa -Encontros semanas para dscussão de conteúdo e/ou apresentação de semnáros; - Letura de textos da bblografa. Agora, vamos expor os resultados estudados e pesqusados nos capítulos a segur. 2 Espaços Métrcos Neste período de níco de atvdades, foram estudadas bastantes defnções e teoremas referentes ao Capítulo 1 da ref. [1]. Abaxo têm-se um pequeno resumo do que fo trabalhado e dscutdo ao longo do bmestre ncal. O ponto de partda foram defnções, de certa forma novas para o aluno, do que vêm a ser espaços métrcos, sequênca de Cauchy, espaços completos. Foram relembradas outras defnções tas como função contínua, bola aberta, bola fechada, esfera, sequênca convergente, ponto de acumulação, fexo de um conjunto. Todos os teoremas estudados estão abaxo relaconados, bem como algumas defnções e resultados nteressantes. Sem necessdade de esclarecer novamente daqu para frente, mutos exercícos foram resolvdos de acordo com a teora exposta neste trabalho. Defnção: Um espaço métrco é um par (E, d) onde E é um conjunto e d uma função defnda em E E a valores reas, ou seja: d : E E R. Esta função é chamada de métrca e goza das seguntes propredades: M1. d(x, y) 0 x, y E; M2. d(x, y) = 0 x = y; M3. d(x, y) = d(y, x) (smetra); M4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (desgualdade trangular); Observação: a) Por ndução obtêm-se de 4 uma desgualdade trangular generalzada: d(x 1, x n ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) d(x n 1, x n ). 3

4 b) É costumero referr-se a um espaço métrco (E, d) apenas por E e proceder-se-á desta forma neste trabalho Um subespaço de um espaço métrco E consste em um conjunto F E e a restrção da métrca d ao conjunto F F. Ou seja, a métrca em F é a restrção d = d F F. Exemplos: 1- R mundo da métrca d(x, y) = x y 2- Espaço B(A) das funções lmtadas. Cada elemento k B(A) é uma função defnda e lmtada no conjunto A. A métrca apresentada para exemplo é: 3- Espaços l p (p 1) d(x, y) = sup x(t) y(t) t A Por defnção, cada elemento x l p é uma sequênca x = (a 1, a 2, a 3,... ) tal que: =1 a <. À este conjunto atrbue-se a segunte métrca: ( d(x, y) = a b p) 1/p =1 (1) onde x = (a n ) e y = (b n ) Na tentatva de provar os 4 axomas de métrca para esta função d : l p l p R, será necessáro utlzar a desgualdade de Mnkowsk: ( α + β p) 1/p ( α p) 1/p ( + β p) 1/p =1 j=1 m=1 (2) Interessados na demonstração da mesma devem consultar ref. [1] De fato: 4

5 Claramente d satsfaz as condções M1 até M3 notando-se que a convergênca da sére à dreta da equação (1) é dada por (2) quando b = β M4 pode ser obtda, usando a desgualdade trangular para números e (2), da segunte forma: d(x, y) = ( a b p) 1/p =1 ( ( a c + c b ) p) 1/p =1 ( a j c j p) 1/p ( + c m b m p) 1/p j=1 m=1 = d(x, z) + d(z, y), onde z = (c n ). Assm completa-se a prova de que l p é um espaço métrco Defnção: Uma sequênca (x n ) num espaço métrco X é dta convergente quando ocorrer (para algum x X): ε > 0 n 0 ; n > n 0 = d(x n, x) < ε. Costuma-se denotar (x n x quando n ) ou ( lm n x n = x) quando (x n ) é uma sequênca convergente Defnção: 5

6 Uma sucessão (x n ) num espaço métrco X é dta sequênca de Cauchy quando: ε > 0 n 0 ; m, n > n 0 = d(x m, x n ) < ε. Teorema 1 Toda sequênca convergente é uma sequênca de Cauchy. Prova: Seja (x n ) uma sequênca convergente. Logo: ε > 0 n 0 ; n > n 0 = d(x n, x) < ε 2. Tome agora m > n 0. Têm-se pela desgualde trangular que: m, n > n 0 = d(x m, x n ) d(x m, x) + d(x n, x) < ε 2 + ε 2 = ε. Portanto, (x n ) é uma sequênca de Cauchy Nem sempre temos como verdadera a recíproca desta observação. Quando o é, motva-se a segunte Defnção: Um espaço métrco X é completo quando toda sequênca de Cauchy em X é convergente Teorema 2 Os espaços métrcos R e C são completos Defnção: 1. x 0 é um ponto de acumulação de um conjunto M quando para toda vznhaça de x 0, exste um x x 0 ; x 0 M 2. seja X um espaço métrco e M X. Defne-se M = {x X; x M ou x é ponto de acumulação de M} Teorema 3 Seja M um conjunto não vazo de um espaço métrco X e M o seu fexo. Então: a) x M (x n ) em X; x n x 6

7 ( ) b) M é fechado x n x x M, (x n ) em X Prova: a) Seja x M. Se x M então pegue a sequênca da forma (x, x,...). Se x / M então para cada n N a bola aberta B 1/n (x) contém um x n M, já que x é ponto de acumulação de M. Portando x n x porque 1/n 0 quando n. Para a recíproca temos que: se (x n ) M e x n x então ou x M ou em cada vznhança de x exte x n x, o que o faz ponto de acumulação de M. Conclue-se, pela própa defnção de M, que x M b) é trval pos M é fechado M = M Teorema 4 (Subespaço completo) Um subespaço M de um espaço completo X, é tambêm completo se e somente se M é fechado em X. Prova:. Seja M um subespaço completo e x um ponto de acumulação deste conjunto. Por (3[a]) exste uma sequênca (x n ) em M que converge para x. Por (1) esta sequênca é de Cauchy. Como M é um subespaço completo, este x deve estar em M. O que acabou-se de verfcar fo: x M = x M ou seja, M M. Pela própra defnção do fexo, temos também que M M. Logo, M = M e portanto, M é fechado.. M é fechado. Seja então (x n ) um sequênca de Cauchy em M. Então (x n ) está em X e portanto x n x, pos X é completo. Têm-se assm que x M. Como M = M pos M é fechado, conclue-se que M é completo já que (x n ) era uma sequênca de Cauchy arbtrára. Exemplos: Agora serão lstados alguns exemplos de espaços métrcos completos e mcompletos 1. Completude de R n : Sabe-se que se x R n então x = (α 1, α 2,..., α n ) onde α R. Para este exemplo, é utlzada a métrca euucldana, como usual: ( n d(x, y) = (α β ) 2) 1/2 =1 onde y = (β ), {1,..., n} e β R 7

8 Utlzar-se-á a segunte notaçao para um elemento x m R n : x m = (α (m) ). Seja então (x m ) uma sequênca de Cauchy em R n. Logo: ( n ε > 0 m 0 ; m, r > m 0 d(x m, x r ) = =1 elevando ao quadrado ambos os membros, têm-se: n =1 (α (m) α (r) ) 2 < ε 2 (α (m) α (r) ) 2) 1/2 < ε como têm-se um somatóro de números postvos, para cada = 1,.., n, observa-se que: (α (m) α (r) ) 2 < ε 2 α (m) α (r) < ε Daí segue-se que ( α (1), α (2),... ) forma, para cada = 1,.., n, uma sequênca de Cauchy de números reas. Pelo teorema (2), estas sequêncas são convergentes. Faça então α (m) α e construa x = (α 1, α 2,..., α n ). Claramente x R n e x n x. Como (x n ) era uma sequênca arbtrára de Cauchy, têm-se a completude de R n provada 2. Completude de l p Prova: Seja (x n ) uma sequênca de Cauchy no espaço l p, onde Logo, x m = (α (m) 1, α (m) 2,... ). ε > 0, m 0 ; m, n > n 0 d(x m, x n ) < ε Pela defnção da métrca em l p, Elevando a p, ( =1 =1 α (m) α (m) 8 α (n) p) 1/p < ε α (n) p < ε p (3)

9 Como a sére acma é de termos postvos, para cada, obtêm-se: α (m) α (n) p < ε p = α (m) α (n) < ε Logo, as sequêncas ( α (1), α (2),... ) são de Cauchy. Pelo teorema (2) estas sucessões convergem. Faça então α (m) α e construa x = (α 1, α 2,... ). Deve-se mostrar agora que x l p e que x n x. Pela equação (3), k =1 α (m) Fazendo n, Agora k, α (n) p < ε p k = 1, 2,... k =1 =1 α (m) α (m) α p < ε p α p ε p Isto mostra que x m x l p. Pela desgualdade de Mnkowsk, verfcase que x l p pos x = x m (x m x). Também nota-se, extrando a raíz p-ésma na últma desgualdade, que x m x. Conclusão: l p é um espaço completo, pos (x m ) era uma sequênca de Cauchy arbtrára. 3. Consdere agora P(A) o conjunto de todas as funções polnomas defndas em um ntervalo Real fechado A = [a, b]. Utlzando a função d : P(A) P(A) R, d(x, y) = max x(t) y(t) t A verfca-se que P(A) é um espaço métrco. Porém, este espaço é não completo Defnção: Sejam X = (X, d) e Y = (Y, d) espaços métrcos. Então: a) Uma função T : X Y é uma mersão sométrca quando T preserva a dstânca entre elementos de X e Y. Isto é: d(x, y) = d(t x, T y) 9

10 b) Quando exstr uma mersão sométrca bjetva entre dos espaços X e Y, estes espaços são sométrcos. Também costuma-se dzer que há uma sometra entre X e Y. Teorema 5 Para um espaço métrco X = (X, d) exste um espaço métrco completo X = ( X, d ) que contém um subespaço W sométrco a X e denso em X. Este espaço é únco, exceto por sometras. Prova: Aqu va uma síntese da demonstração: Elabora-se portanto os segntes passos: (a) Construção do espaço X = ( X, d ) (b) Craçao de uma mersão sométrca bjetva entre X e W X, tal que W = X (c) Demonstração da completude de X (a) Seja A = { (x n ) X; (x n ) é de Cauchy }. Defne-se a segunte relação em A: (x n ) (x n) lm d(x n, x n n) = 0 Omte-se aqu a demonstração de que sto é uma relaçao de equvalênca, já que não é dfícl ver que: ) (x n ) A, (x n ) (x n ) ) (x n ) (y n ) (y n ) (x n ) ) (x n ) (y n ) e (y n ) (z n ) (x n ) (z n ) Têm-se portanto bem defnda a déa de classe de equvalênca. (x n ) := x e construa: X = A = { x, ŷ, ẑ,... } Denote Defna agora d : X X R uma função tal que: onde (x n ) x e (y n ) ŷ. d( x, ŷ) = lm n d(x n, y n ) 10

11 O prmero fato a ser explcado é que este lmte à dreta da equação ndepende da escolha dos representantes de x e ŷ. Isto é, se (x n) x e (y n) ŷ então: d( x, ŷ) = lm n d(x n, y n) = lm d(x n, y n ) n Segue adante a demonstraçao de que d realmente defne uma métrca em X. Acma de tudo, deve-se verfcar a exstênca deste lmte. Note que: Logo, d(x n, y n ) d(x n, x m ) + d(x m, y m ) + d(y m, y n ) d(x n, y n ) d(x m, y m ) d(x n, x m ) + d(y m, y n ) Trocando os lugares de m e n e procedendo como acma, obtêm-se: d(x n, y n ) d(x m, y m ) d(x n, x m ) + d(y m, y n ) Como (x n ) e (y n ) são sequêncas de Cauchy, vê-se que ( d(x n, y n ) ) também é de Cauchy, no entanto númerca, portanto convergente. M1 é trval pos como d é uma métrca em X, lm d(x n, y n ) é sempre n não-negatvo, logo d( x, ŷ) 0. M2 é verfcada usando o fato de que numa relação de equvalênca qualquer sabe-se que: x = y x y. M3 é automátco pos d( x, ŷ) = lm n d(x n, y n ) = lm n d(y n, x n ) = d(ŷ, x) Para provar M4 utlza-se o fato que d é uma métrca em X, logo: d(x n, y n ) d(x n, z n ) + d(z n, y n ) e portanto, obtêm-se a desgualdade trangular para d fazendo n Desta forma gera-se um espaço métrco ( X, d ) (b) Seja T : X W = T (X) X uma função que assoca, para cada a X, um elemento â X tal que (a, a, a,... ) â. Esta função claramete defne uma mersão sométrca pos: d(t a, T b) = d(â, b) = lm d(a, b) = d(a, b) n já que (a, a,... ) â e (b, b,... ) b. 11

12 Pela própra defnção de W, esta função é bjetva. Logo X e W são sométrcos. Mostra-se agora que W é denso em X Consdere algum x X. Pegue então (x n ) x. Obvamente (x n ) é uma sequênca de Cauchy. Logo, ε > 0 N; n > N = d(x n, x N ) < ε 2 Consdere também a sequênca de Cauchy (x N, x N,... ). Pela defnção de T, têm-se que: T x N = x N W. Portanto: d( x, x N ) = lm n d(x n, x N ) ε 2 < ε Isto mostra que para cada vznhança de x X exste um x N W. O que quer dzer que W é denso em X. (c) Completude de X. Seja ( x n ) uma sequênca de Cauchy em X. O nato de W ser denso em X, leva à segunte afrmação: para cada x n exste um ẑ n W tal que: d( x n, ẑ n ) < 1 n Pela desgualdade trangular, d(ẑ m, ẑ n ) d(ẑ m, x m ) + d( x m, x n ) + d( x n, ẑ n ) < 1 m + d( x m, x n ) + 1 n O que sgnfca que (ẑ m ) é de Cauchy em W. Como exste uma sometra entre W e X, a pré magem desta sequênca também é uma sequênca de Cauchy em X: z m = T 1 ẑ m. Faça então x X ser a classe que (z m ) pertence. Mostra-se agora que este x é o lmte de ( x n ) pos: d( x n, x) d( x n, ẑ n ) + d(ẑ n, x) < 1 n + d(ẑ n, x). Note que (z m ) x e (z n, z n,... ) ẑ n pos ẑ n W. Logo, pela defnção de d, esta desgualdade fca: d( x n, x) < 1 n + lm m (z n, z m ). 12

13 Têm-se então que d( x n, x) 0 quando n, pos (z m ) é de Cauchy, conclundo portanto que x n x. Por ser ( x n ) uma sequênca de Cauchy arbtrára, prova-se a completude de X. Observação: Este espaço é únco, exceto por sometras, pos se exstr outro X atendendo as condções do teorema (5), então X é sométrco com X Para melhor aprovetamento das atvdades relaconadas aos próxmos tópcos, fez-se necessára uma substancal revsão em Álgebra Lnear e esta fo feta sem que precse expô-la neste trabalho. Portanto, defnções báscas como espaços vetoras, subespaços, transformaçẽs lneares, dependênca lnear, ndepêndenca lnear, base e dmensão serão aqu omtdas pos este não é o objetvo deste relatóro. Também teoremas báscos dervados das defnções acma serão menconados e utlzados. 3 Espaços de Banach e de Hlbert O estudo avança na ntrodução de outros novos (e báscos) concetos e teoremas da Análse funconal. Neste capítulo serão relatadas as defncões de espaços de Bannach e Hlbert, bem como teoremas, proposções e coroláros, a fm de embasar o aluno para estudos nos espaços L p, ferramentas mas que mportantes no conhecmento da teora aplcada na dscussão de exstênca e uncdade de soluções de equações dferencas parcas. Defnção: (Espaço normado) Um espaço vetoral V é normado quando defnmos uma função. : V R (denomnada norma) que, para cada x, y V e α R,. (x) = x goza das seguntes propredades: N1. x 0 N2. x = 0 x = 0 N3. αx = α x N4. x + y x + y Este espaço normado é denotado por (V,. ) ou, mas frequentemente vsto, por V Observação: É fácl verfcar que todo espaço normado é um espaço métrco pos, mundo de uma norma, pode-se defnr uma métrca em V tal 13

14 como segue: d(x, y) = x y. A verfcação das 4 propredades de métrca é feta sem dfculdades e, por exemplo, M4 é assm satsfeta: d(x, y) = x y = (x z)+(z y) x z + z y = d(x, z)+d(z, y) Para poder ser utlzada posterormente, observa-se que N4 mplca na desgualdade: x y x y Utlzando esta fórmula, fo provada a contnudade da norma. Ou seja, a norma é uma função contínua que leva x, um elemento de (V,. ), a um valor real x. Defnção: (Espaço de Banach) Um espaço normado é denomnado espaço de Bannach quando o mesmo é completo em relação à métrca nduzda por sua norma. Exemplos: (espaços de Banach) Serão apresentados pratcamente os mesmos exemplos utlzados nos espaços métrcos, vsto que estes espaços são mundos de métrcas provenentes de normas defndas nos mesmos. a) O conjunto R n, formado por n-tuplas em R é um espaço vetoral normado. Defna, para x = (α 1,..., α n ) R n : ( n ) 1/2 x = α 2 = α α2 n =1 Note que esta norma defne a já conhecda métrca no conjunto R n : ( n ) 1/2 d(x, y) = x y = (α β ) 2 A prova da completude deste espaço já fo vsta no capítulo 1 deste relatóro. b) C[a, b] é defndo como o conjunto de todas as funções contínuas no ntervalo fechado é de Bannach com a norma dada por: Este espaço é de Bannach =1 x = max t [a,b] {x(t)} 14

15 c) Espaço l p defna a norma neste espaço como: ( ) 1/p x = α p =1 A completude já fo provada neste espaço, vsto que a métrca utlzada na demonstração é nduzda por esta norma. Pelo que fo vsto, é óbvo que todo espaço normado é um espaço métrco pos, a partr de uma norma, sempre podemos defnr uma métrca. Mas a pergunta natural é: Será que todo espaço vetoral que possu uma métrca é normado? Ou equvalente: Toda métrca em um espaço vetoral é provenente de uma norma? A resposta é não e um exemplo dsto será dado depos do segunte teorema, que esclarece o fato: Teorema 6 (Invarânca por translação) Seja X um espaço vetoral e métrco. A métrca d deste espaço é provenente de uma norma. se e somente se d goza das seguntes propredades: 1) d(x + a, y + a) = d(x, y) 2) d(αx, αy) = α d(x, y) Prova:. Suponha que d é provenente de uma norma. Logo: e, d(x + a, y + a) = (x + a) (y + a) = x y = d(x, y) d(αx, αy) = αx αy = α(x y) = α x y = α d(x, y). Suponha agora que d é uma métrca defnda em X e goza das propredades 1) e 2). Prova-se agora que d é provenente de uma norma. Defna x = d(x, 0). Es a prova de que. realmente defne uma norma em X. N1. x = d(x, 0) 0 N2. x = 0 d(x, 0) = 0 x = 0 15

16 N3. αx = d(αx, 0) = d(αx, α0) = α d(x, 0) = α x N4. x + y = d(x + y, 0) = d(x + y y, 0 y) = d(x, y) d(x, 0) + d(0, y) = d(x, 0) + 1 d(y, 0) = x + y Feto sto, pode-se dar um exemplo de um espaço vetoral e métrco onde a métrca deste espaço não pode ser obtda de uma norma. Exemplos: Seja S(R) o conjunto de todas as sequêncas reas (lmtadas ou não). Seja x = (α ), y = (β ) S(R). Defna a função d como: d(x, y) = =1 1 α β α β A prova de que d realmente defne uma métrca em S(R) (que de fato é um espaço vetoral) pode ser vsta em [1]. Esta função não goza da propredade 2) do últmo teorema e portanto, não pode ser obtda de uma norma. Utlzando o teorema (4) pode-se mostrar, de forma medata, que: Teorema 7 Um subespaço Y de um espaço de Bannach X é completo se e somente se o conjunto Y é fechado em X. Prova: Defna a métrca d(x,y) em X como sendo x y. No começo deste capítulo, fo exposto o teorema que afrma que todo espaço métrco possu um completamento, e sto agora será extenddo, na segunte afrmação: Teorema 8 Para um espaņormado X = (X,. ) exste um espaço de Bannach X = ( X,. 1 ) que contém um subespaço W sométrco a X e denso em X. Este espaço é únco, exceto por sometras. Prova: É óbvo que aqu será usado o teorema (5) pos, como X é um espaço normado, a métrca nduzda pela norma o faz um espaço métrco e portanto a ele assoca-se um completamento, ou seja, assoca-se um espaço métrco completo X. Basta agora fazer deste espaço métrco um espaço normado, defnndo as operações de adção e produto por escalar e uma norma convenente. Seja portanto x e ŷ elementos de X. Convém lembrar que estes elementos são classes de equvalênca de sequêncas de Cauchy, e portanto seja (x n ) e 16

17 (y n ) representantes destas classes, respectvamente. Defna (z n ) = (x n ) + (y n ). Logo, (z n ) é de Cauchy, pos z n z m = x n + y n (x m + y m ) x n x m + y n y m. Portanto, pode-se defnr uma soma em X sendo ẑ = x + ŷ. ẑ é tal que (z n ) ẑ. Prova-se também pela desgualdade trangular da métrca nduzda pela norma que esta soma ndepende da escolha dos representantes de x e ŷ. O produto por escalar também é defndo da segunte forma: Seja (x n ) x um representante de x. faça α x como sendo a classe de equvalênca à qual (αx n ) pertence. Esta operação novamente ndepende da escolha de representantes. O elemento zero será a classe de equvalênca contendo todas as sequêncas de Cauchy que convergem para zero. Assm demonstra-se que estas duas operações obedecem toda a axomátca de espaço vetoral. Mas anda, como X e W são sométrcos e d(x, 0) = x, obtêm-se uma norma nduzda em W e utlzando o fato de que W é denso em X, pode-se extender esta norma para todo o espaço X fazendo x 1 = d( x, 0). Esta parte dedca-se ao estudo de algumas nteressantes propredades dos espaços normados de dmensão fnta. Para sto enunca-se um mportante lema: Lema 1 Seja x 1,..., x n um conjunto LI de vetores em um espaço normado X. Então exste um escalar c > 0 tal que para cada combnação lnear deste conjunto obtêm-se: α 1 x α n x n c( α α n ) Com este resultado em mãos não é dfcl verfcar que: Teorema 9 Todo espaço normado X de dmensão fnta é completo. Prova: Consdere qualquer sequênca de Cauchy arbtrára (x m ) em X. Seja dm(x) = n e {e 1,..., e n } uma base para o mesmo. Logo, cada elemento desta sequênca tem representação únca da forma: x m = α (m) 1 e α n (m) 17 e n

18 Como (x m ) é de Cauchy então segue da defnção que para cada ε > 0 encontra-se um índce n 0 tal que: x m x r < ε sempre que m, r > n 0. Logo, pelo lema (1) vem: Ou seja: n ε > x m x r = α (m) =1 (α (m) α (r) α (r) n =1 ( n )e c α (m) =1 α (r) < ε c α (m) α (r) para todo m, r > n 0. Isto dz que as n sequêncas (α (1), α (2),... ) são de cauchy sobre os reas ou complexos. Logo, convergem. Admta que α (m) α e construa: x = α 1 e α n e n É fácl ver que x X e x n x. Portanto X é completo. Teorema 10 Todo subesespaço fnto Y de um espaço normado X é fechado em X. Observação: É claro que sto não vale para o caso de dmensão nfnta pos do espaço das funções contínuas em um ntervalo da reta pode-se retrar o subespaço de todas as funções polnomas deste ntervalo, que não é fechado. ) Algo nteressante a ser ctado é que num espaço normado de dmensão fnta X, todas as normas defndas no mesmo levam para a mesma topologa em X, ou seja, os conjuntos abertos de X são os mesmos, ndferente da norma escolhda para se trabalhar no conjunto. Isto decorre da defnção e do teorema ctados abaxo: Defnção: Uma norma. em um espaço vetoral X é dta equvalente a uma norma. 0 em X se exstem números postvos a e b tas que para todo x X, têm-se: a x 0 x b x 0 18

19 Teorema 11 Em um espaço normado de dmensão fnta, quasquer duas normas são equvalentes. Dando contnudade às atvdades no mês de Dezembro, foram estudadas algumas defnções e teoremas envolvendo Compacdade. Uma consequênca medata deste trabalho fo a possbldade de se estudar um mportante Teorema 12 Se um espaço normado X tem a bola fechada M = { x x 1} compacta, então X é de dmensão fnta. Prova: É consequênca medata do Lema de Resz, que afrma: Lema 2 Sejam Y e Z subespaços de um espaço normado X. Suponha Y fechado e um subconjunto própro de Z. Então para cada número real 0 no ntervalo (0, 1) exste um z Z tal que: z = 1, z y 0 para todo y Y. Teorema 13 Sejam X e Y espaços métrcos e T : X Y uma função contínua. Então a magem de um compacto é também um compacto. Daí foram elaborados alguns estudos em caráter revsatóro sobre transformações lneares. A teora estudada é vsta como desnecessára a uma exposcão aqu neste relatóro, pos acredta-se que esta atvdade de revsão não faça parte do objetvo do mesmo. Prossegue-se portanto com a apresentação de algumas defnções e alguns teoremas mportantes que antecedem a noção de espaço Dual. Defnção: Operadores lneares lmtados. Sejam X e Y espaços normados e T : D(T ) Y um operador lnear onde D(T ) X. O operador T é lmtado se exste um numéro real c tal que para todo x D(T ), T x c x. É defndo também: T = T x sup x D(T ) x com x 0 19

20 T é chamada de norma do operador T. Isso fará sentdo mas na frente, quando for defndo o espaço vetoral das transformações lneares contínuas de V em W. É mportante notar que, pela defnção, vem: T x T x Este fato será usado frequentemente nas demonstrações dos próxmos teoremas a serem exbdos. Teorema 14 Se um espaço normado X tem dmensão fnta, então todo operador lnear defndo em X é lmtado (ndependente da dmensão do contradomíno.) Este teorema é de fundamental mportânca no estudo de espaços vetoras de dmensão fnta pos é com a utlzação do mesmo que prova-se que todo espaço de Banach de dmensão fnta é reflexvo. Para melhor entendmento do que fo dto acma, é necessára a letura de algumas novas defnções, mas a frente expostas. Porém antes, temos o segunte: Teorema 15 (Contnudade e Lmtação). Seja T um operador lnear defndo em um espaço vetoral X. Então T é contínuo se e somente se T é lmtado. Um fato nteressante, só para efeto de curosdade, é que para chegarmos a prova de que T é lmtado, basta termos a contnudade em um únco ponto. Pos, como ser lmtado mplca em ser contínuo, chegamos a conclusão de que se T for contínuo em um únco ponto, T será contínuo. Defnção: Sejam X, Y espaços vetoras normados. a) T(X, Y ) = {T : X Y ; T é lnear} b) B(X, Y ) = {T : X Y ; T é lnear e lmtado} c) É chamado de funconal lnear qualquer operador lnear f : X R. d) V = T(X, R). V é chamado de dual algébrco de V 20

21 e) V = B(X, R). V é chamado de dual topológco ou smplesmente dual de V. Alguns comentáros julgados mportantes: É fácl ver que todos esses conjuntos acma são espaços vetoras e que partcularmente B(X, Y ) é um espaço vetoral normado com a norma defnda anterormente. Note que num espaço de dmensão fnta V, V = V. A mportânca do dual é devdo ao fato de que ndependente de V ser ou não um espaço de Banach, o dual de V é sempre um espaço de Banach. Esta últma observação decorre medatamente do próxmo teorema. Teorema 16 Se Y é um espaço de Banach, então B(V, Y ) é um espaço de Banach Daí, tomando Y = R (que é um espaço de Banach), vemos que V sempre normado e completo. é Em resumo, neste período ncou-se atvdades de pesqusa numa área de crucal mportânca para a Análse Funconal, que é o espaço de Hlbert. Crucal pos sua teora é mas rca do que espaços de Bannach mas geras. Em um espaço de Hlbert, exstem algumas propredades tas como: (1) A déa de ortogonaldade; (2) representação de elementos do espaço como uma soma dreta de um elemento de um subespaço fechado e outro de seu complementar ortogonal; (3) o teorema da representa ao de Resz que permte dentfcar cada funconal lnear no dual como um produto nterno no própo espaço. Defnção: Um espaço com produto nterno é um espaço vetoral X com um produto nterno defndo em X. Um espaço de Hlbert é um espaço com produto nterno completo (na norma defnda pelo produto nterno). Aqu um produto nterno é uma função <, >: X x X K onde K é o corpo onde X está defndo; sto é, para cada par de vetores x, y em X é assocado um número em K escrto < x, y > e chamado de produto escalar de x e y, tal que: 1 < x + y, z > = < x, z > + < y, z > 2 < αx, y > = α < x, y > 21

22 3 < x, y > = < y, x > 4 < x, x > 0; < x, x > = 0 x = 0 Um produto nterno em X defne uma norma da segunte forma: x = < x, x > e também defne uma métrca: d(x, y) = x y = < x y, x y > Portanto todo espaço de Hlbert é necessaramente um espaço de Bannach. A barra em 3 denota o conjugado complexo e portanto, se estamos falando de espaços veotoras reas, temos smplesmente como axoma 3 a smetra. Para realmente provar que < x, x > defne uma norma em um espaço com produto nterno, é feto o uso da Desgualdade de Schwarz: < x, y > x y Outro fato a ser menconado devdo a sua aplcabldade é que uma norma que é provenente de um produto nterno satsfaz a segunte dentdade do paralelogramo: x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). E recprocamente, se V é um espaço normado tal que a norma satsfaz a gualdade acma, pode-se defnr um produto nterno nele das seguntes formas: 1. < x, y > = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) quando V for um espaço real. 2. Re(< x, y >) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) Im(< x, y >) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) quando V for um espaço complexo. 22

23 Também fo estudado que para qualquer espaço com produto nterno X, exste um espaço de Hlbert que possu um subconjunto W denso e sométrco a X. Em outras palavras, pode-se ver que para todo espaço com produto nterno, podemos assocar de forma únca (exceto por sometras) um espaço de Hlbert correspondente. A necessdade de expor o teorema que afrma tal fato fo descartada pos sto não passa de uma smples consequênca do teorema 5 exposto e demonstrado neste relatóro. A partr de então o bolssta ncou o estudo de uma sére de defncões (na verdade bastante ntutvas) necessáras para o entendmento da teora de ortogonaldade e soma dreta, tas como: dstânca de um ponto a um conjunto; segmento; convexdade de um conjunto, etc. Como crucal resultado a ser demasadamente utlzado daqu para frente, o teorema que segue é de mportânca fundamental no estudo das aplcações em equações dferencas parcas, que é o objetvo fnal deste trabalho. Teorema 17 (Teorema da representação de Rez-Frechet). f H u H únco tal que f(v) =< u, v > v H (4) Além dsso, é verfcada a segunte gualdade: z = f (5) A partr de então, ncam-se as atvdades referentes ao segundo semestre da ncação centífca. Deste ponto em dante, o lvro base de estudo do aluno passar a ser ([4]), por apresentar mas objetvdade no que se dz respeto ao alcance da meta do projeto de pesqusa, que é estudar as aplcações da teora exposta neste trabalho. O bolssta parte portanto para um mportante teorema a ser utlzado na demonstração do tão conhecdo teorema de Stampaccha e seu coroláro, o teorema de Lax-Mlgran. Optouse por colocar a demonstração detalhada deste teorema por ter sdo ele um tópco apresentado pelo bolssta para o grupo de pesqusa que está engajado. Teorema 18 ( Teorema do Ponto Fxo de Banach) Seja X um espaço métrco completo e seja F : X X um aplcação tal que d(f v 1, F v 2 ) α d(v 1, v 2 ) v 1, v 2 X com α < 1 Então F tem um ponto fxo únco u = F u. 23

24 Demonstração : Consdere a sequênca (x 2 = F (x 1 ), x 3 = F (x 2 ),..., x n = F (x n 1 ),...) Então: Mas d(x m+1, x m ) = d(f (x m ), F (x m 1 )) αd(x m, x m 1 ) d(x m, x m 1 ) = d(f (x m 1 ), F (x m 2 )) αd(x m 1, x m 2 ) Logo E assm Portanto d(x m+1, x m ) α 2 d(x m 1, x m 2 ). d(x m+1, x m ) α m 1 d(x 2, x 1 ) d(x m+p, x m ) d(x m+p, x m+p 1 ) + d(x m+p 1, x m+p 2 ) d(x m+1, x m ) (α m+p 2 + α m+p α m 1 )d(x 2, x 1 ) m+p 2 = ( α k )d(x 2, x 1 ) ( k=m 1 k=m 1 α k )d(x 2, x 1 ) 0 pos α < 1 e quando m numa sére convergente seu termo geral converge para zero. logo (x n ) é de Cauchy em M. Portanto convergente. Faça x n x 0 em M. Como F é contínua então F (x n ) F (x 0 ). Mas F (x n ) = x n+1 e portanto F (x 0 ) = x 0. Defnção: Seja a : H H R uma forma blnear. Dzemos que 1. a é contínua se exste uma constante C > 0 tal que a(u, v) C u v u, v H 2. a é coercva se exste uma constante α > 0 tal que a(v, v) α v 2 24

25 Utlzando, portanto, estas defnções, o teorema do ponto fxo acma demonstrado e o teorema da representação de Rezs-Frechet, pode-se demonstrar o Teorema 19 (Stampaccha) Seja a : H H Ruma forma blnear, contínua e coercva. Seja K um convexo, fechado e não-vazo. Então dado ϕ H exste u K únco tal que a(u, v u) < ϕ, v u > v K. (6) Além dsso, se a é smétrca, então u pode ser caracterzado pela propredade u K 1 2a(u, u) < ϕ, u >= mn v K e por consegunte temos o { } 1 a(v, v) < ϕ, v > 2 Teorema 20 Lax-Mlgran Seja a uma forma blnear, contínua e coercva, então para todo ϕ H exste u H únco tal que (7) a(u, v) =< ϕ, v > v H (8) Além dsso se a é smétrco então u está caracterzado pela propredade u H e 1 { } 1 a(u, u) < ϕ, u >= mn a(v, v) < ϕ, v > (9) 2 v H 2 4 Espaços L p Inca-se aqu o estudo da teora básca e necessára para a compreensão do que vem a ser um espaço de Sobolev. Todos os resultados neste capítulo apresentados são utlzados dretamente nesses espaços, tendo em vsta que tratar-se-ão de subconjuntos dos espaços L p. É mportante salentar que, apesar do aluno não ter-se ncado num curso (ou estudo) de Medda de Integração, com o ncentvo de seu orentador e a fm de poder atngr seu objetvo fnal, alguns teoremas e resultados deste tópco não pesqusado foram vstos rapdamente, garantndo assm uma forma rápda e efetva (porém bastante ardlosa ) de se estudar matemátca de qualdade. O aluno se dá por satsfeto pelo conhecmento adqurdo com estes concetos e teoremas, pos é bem sabdo que oportundades futuras estão garantdas para o estudo detalhado de Medda de Integração. Segue portanto, a teora estudada neste 25

26 capítulo. Denota-se Ω como sendo um aberto do R N dotado da medda de Lebesgue dx. Desgna-se por L 1 o espaço das funções ntegráves sobre Ω com valores em R cuja norma é dada por: f L 1 = f(x) dx Duas funções em L 1 são guas quando concdem q.t.p (quase todo ponto), ou seja, exceto num conjunto de medda nula. Todos os teoremas que abaxo procedem estão aqu expostos por serem de extrema mportânca na demonstração de resultados crucas para os espaços L p e mas precsamente para os espaços de Sobolev, que serão vstos mas adante em outro capítulo. Teorema 21 (Teorema da convergênca monótona de Beppo Lev) Seja (f n ) uma sequênca crescente de funções de L 1 tal que sup f n <. n Então f n (x) converge q.t.p. em Ω, sto é, f n (x) f(x) onde f(x) é um lmte fnto. Além do mas f L 1 e f n f L 1 0. Teorema 22 Convergênca domnada de Lebesgue Seja (f n ) uma sequênca crescente de funções de L 1. Suponhamos que: 1. f n (x) f(x) q.t.p. em Ω; Ω 2. exste uma função g L 1 tal que para cada n, f n (x) g(x) q.t.p em Ω. Então f L 1 (Ω) e f n f L 1 0 Notação: Denota-se por C c (Ω) o espaço das funções contínuas de Ω y com suporte compacto, sto é, C c (Ω) = {f C(Ω); f(x) = 0 x Ω\K donde K Ω é um compacto} Sejam Ω 1 R N 1 e Ω 2 R N 2 abertos e seja F : Ω 1 Ω 2 R uma função mensurável. 26

27 Teorema 23 (Tonell) Suponhamos que Ω 2 F (x, y) dy < para quase todo x Ω 1 e que dx F (x, y) dy < Ω 1 Ω 2 Então F L 1 (Ω 1 Ω 2 ) Teorema 24 Teorema da densdade O espaço C c (Ω) é denso em L 1 (Ω), quer dzer, f L 1 e ε > 0, f 1 C c (Ω) tal que f f 1 L 1 < ε O teorema acma surge como resultado bastante utlzado em dversas demonstrações de teoremas conseguntes. Teorema 25 (Fubn) Suponhamos que F L 1 (Ω 1 Ω 2 ). Entãopara quase todo x Ω 1, F (x, y) L 1 y(ω 2 ) e F (x, y) dy L 1 x(ω 1 ) Ω 2 Igualmente para quase todo y Ω 2 F (x, y) Lx(Ω 1 1 ) e F (x, y) dx L 1 y(ω 2 ) Ω 1 Além dsso se verfca dx Ω 1 F (x, y) dy = Ω 2 dy Ω 2 F (x, y) dx = Ω 1 F (x, y) dx dy Ω 1 Ω 2 Defnção: Denota-se L (Ω) = {f : Ω R é mensuravél e exste uma constante C tal que f(x) < C q.t.p. em Ω} Com uma norma defnda por f L = nf{c ; f(x) C q.t.p. em Ω} 27

28 Defnção: Seja p R com 1 p < ; defne-se L p = {f : Ω R; f é mensuravél e f p L 1 (Ω)} E cuja norma é defnda por: [ f L p = f(x) p dx Ω ] 1 p Defnção: Se defne L (Ω) = {f : Ω R é mensuravél e exste uma constante C tal que f(x) < C q.t.p. em Ω} E a norma é defnda por f L = nf{c ; f(x) C q.t.p. em Ω} Observação: Se f L, então f(x) f L q.t.p. em Ω De fato, exste uma sequênca C n tal que C n f L e para cada n, f(x) C n q.t.p. em Ω. Assm, f(x) C n x Ω\E n com E n de medda nula. Se escreve E = n x Ω\E. E n de forma que E é de medda nula n e Notação: Seja 1 p ; se desgna por p o conjugado de p. Com estas ferramentas pode-se provar que ao utlzarmos os espaços L p em aplcações futuras, temos a garanta que os mesmos são espaços vetoras normados e completos, portanto, espaços de Bannach. Abaxo segue a demonstração da reflexvdade dos espaços L p Teorema 26 L p é reflexvo para 1 < p < A demostração é feta demonstrando-se três etapas dstntas: 1. (Prmera desgualdade de Clarkson) Seja 2 p < ; se verfca f + g p 2 + f g p L 2 1 ( f p L + g p ) p L 2 p L f, g L p (10) p p 28

29 2. L p é unformemente convexo, e portanto reflexvo para 2 p. 3. L p é reflexvo para 1 < p 2. Com os resultados acma obtdos, podemos extender o teorema da densdade já apresentado acma para um teorema mas abrangente: Teorema 27 O espaço C c (Ω) é denso em L p para 1 p <. O aluno precsou estudar uma outra defnção e outro lema para poder ter as ferramentas necessáras para a prova deste teorema. Defnção: Seja 1 p ; Uma função f : Ω R pertence a L p Loc (Ω) quando f1 k L p (Ω) para todo compacto K Ω Lema 3 Seja f L 1 Loc (Ω) tal que fu = 0 u C c (Ω) (11) Então f = 0 q.t.p em Ω Demonstração do Teorema 27: É sabdo que C c (Ω) é denso em L 1 (Ω). Suponha então 1 < p <. Para demonstrar que C c (Ω) é denso em L p (Ω) é bastante verfcar que se h L p (Ω) satsfaz hu = 0 u C c (Ω), então h = 0. Mas h L 1 Loc (Ω) e h1 k h L p k 1 p < e assm pode-se aplcar o Lema 3 para conclur que h = 0 q.t.p. Outro resultado básco e que fo estudado com detalhes numa apresentação feta pelo estudante para o grupo de pesqusa que partcpa fo o: Teorema 28 L p (Ω) é separável para 1 p <. 29

30 Por ter sdo bastante dscutdo e trabalhado, segue aqu um resumo da demonstração: Desgna-se por (R ) I a famíla (enumerável) de retângulos R da forma R = N ]a k, b k [, a k, b k Q e Q Ω k=1 Se desgna por E o espaço vetoral sobre Q gerado pelas funções 1 R (.e. as combnações lneares fntas com coefcentes raconas das funçõse 1 R ); de modo que E é enumerável. Demonstremos que E é denso em L p. Sejam f L p (Ω) e ε > 0 fxos. Seja f 1 C c (Ω) tal que f f 1 L p < ε. Seja Ω um aberto lmtado tal que Supp f 1 Ω Ω. Como f 1 C c (Ω ), constró-se uma função f 2 E tal que Supp f 2 Ω e que f 2 (x) f 1 (x) ε Ω 1 p q.t.p em Ω pos começamos recobrndo Supp f 1 com um número fnto de retângulos R sobre os quas a osclação de f 1 é nferor a ε. Ω 1 p Daí resulta que f 2 f 1 L p ε e então f f 2 L p < 2ε. O próxmo resultado afrma que exste uma sometra entre o dual do espaço L 1 com o espaço L. Ou seja, ao olharmos para (L 1 ), podemos smplesmente utlzar o espaço L 30

31 Teorema 29 Seja ϕ (L 1 ). Então exste u L únco tal que < ϕ, f >= u f f L 1. Além do mas temos a gualdade: u L = ϕ (L 1 ) Observação: O espaço L 1 não é reflexvo. De fato, suponhamos que 0 Ω. Consderemos a sequênca f n = α n 1 B(0, 1 ) com n sufcentemente n grande para que B(0, 1 n ) Ω e α n = B(0, 1 n ) 1 de modo que f n L 1 = 1. Se L 1 fosse reflexvo exstra uma subsequênca (f nk ) e uma função f L 1 tal que f nk f na topologa fraca σ(l 1, L ). Assm pos, f nk ϕ fϕ ϕ L. (12) Quando ϕ C c (Ω\{0}) nota-se que grande. Resulta de (12) que fϕ = 0 f nk ϕ = 0 para k sufcentemente ϕ C c (Ω\{0}) aplcando o Lema 3 no aberto Ω\{0} a função f (restrngda a Ω\{0}) obtemos que f = 0 q.t.p. em Ω\{0}. E portanto f = 0 q.t.p em Ω. porém se f 1 em (12), resulta que f = 1, o que é um absurdo. Façamos um estudo agora das propredades báscas do L A bola untára fechada B L é compacta na topologa fraca σ(l, L 1 ) Se (f n ) é uma sequênca lmtada em L, pode-se retrar uma subsequênca convergente em L na topologa fraca σ(l, L 1 ) Porém, L não é reflexvo ( caso contráro, L 1 sera). O dual de L contêm L 1 (pos (L 1 ) = L ) e é estrtamente maor que L 1 ; exstem formas lneares contínuas ϕ sobre L que não são do tpo < ϕ, f >= uf f L com u L 1 31

32 Observação: O espaço L não é separável. O lema acma pode ser demonstrado utlzando o Lema 4 Seja E um espaço de Banach. Suponhamos que exste uma famíla (O ) I tal que 1. Para todo I, O é um aberto não vazo de E. 2. O O j = se j. 3. I não é enumerável. Então E não é separável. Adentramos no penúltmo semestre de nossas atvdades estudando resultados de convolução e regularzação. Resultados estes bastante utlzados no capítulo posteror na demonstração de uma sére de teoremas envolvendo densdades de espaços nos espaços de Sobolev. Como fo anterormente dto, os espaços de Sobolev são a teora fnal básca necessára para fnalmente estudarmos suas aplcações e, portanto, qualquer resultado anteror que explque o funconamento e a teora por trás destes espaços tem prordade absoluta nesta ncação à pesqusa centífca. Daí a necessdade de se trabalhar este tópco. O materal base utlzado contnuou (como contnuará até o fnal) sendo a ref. [4]. Notações a serem utlzadas: C k (Ω) é defndo por ser o espaço das funçoes k vezes dferencáves contnuamente sobre Ω. C = k C k (Ω) C k c (Ω) = C k (Ω) C c (Ω) C c (Ω) = C (Ω) C c (Ω) Teorema 30 Sejam f L 1 (R N ) com 1 p e g L p (R N ). Então para quase todo x R N, a função y f(x y)g(y) é ntegrável sobre R N. Defne-se como (f g)(x) = f(x y)g(y) dy R N 32

33 então f g L p (R N ) e f g L p f L 1 g L p Com este teorema em mãos é medato a Proposção 1 Sejam f L 1 (R N ), g L p (R N ) e h L p (R N ). Então (f g)h = g( f h) Onde f(x) = f( x). Proposção 2 Sejam f C k c (R N ) e g L 1 Loc (RN ) (k natural). Então f g C k (R N ) e D k (f g) = (D k f) g. Em partcular, se f C c (R N ) e g L 1 Loc (RN ), então f g C (R N ) Proposção 3 Sejam f L 1 (R N ) e g L p (R N ). Então Supp(f g) Supp f + Supp g Isto nos gera portanto a conclusão natural de que se duas funções possuem suporte compacto, então a convolucão delas também possurá. Proposção 4 Sejam f C c (R N ) e g L 1 Loc (RN ). Então f g C(R N ) Todas estas proposções acma ctadas foram estudas com o objetvo de poder-se defnr uma poderosa ferramenta que é o conceto de sequêncas regularzantes, que, como o própro nome já dz, tem como objetvo, regularzar uma função L p de forma que possamos utlzá-la de forma menos complcada. Defnção: Defne-se como sequênca regularzante (ou mollfer) qualquer sucessão (ρ n ) de funções tal que ρ n C c (R N ), Supp ρ n B(0, 1 n ), ρ n = 1, ρ n 0 em R N 33

34 É natural após uma defnção tão complcada, perguntar-se se realmente exstem tas funções. Para sso deve-se provar que de fato podemos construr sequêncas de funções que satsfaçam tas condções. Basta fxar uma função ρ Cc (R N ) com Supp ρ B(0, 1), ρ n 0 em R N e ρ > 0; E consderar ( ) 1 a sequênca ρ n (x) = Cn N ρ(nx) com C = ρ Com estas sequêncas defndas, os dos resultados adante são o que realmente nos nteressa, pos com eles, por exemplo, provamos teoremas de densdade para os espaços de Sobolev, que serão vstos logo mas. Lema 5 Seja f C(R N ); então ρ n f f unformemente sobre todo compacto de R N. Prova. Seja K R N um compacto fxo. Para todo ε > 0 exste δ > 0 (que depende de K e de ε) tal que f(x y) f(x) < ε x K, y B(0, δ) Tem-se (ρ n f)(x) f(x) = [f(x y) f(x)]ρ n (y)dy = [f(x y) f(x)]ρ n (y)dy B(0, 1 n ) E então, para n > 1 δ e x K, (ρ n f)(x) f(x) ε ρ n = ε Por consegunte, temos o Teorema 31 Seja f L p (R N ) com 1 p <. Então ρ n f f em L p (R N ). O prmero resultado de densdade que ganhamos com a noção de sequêncas regularzantes é: Proposção 5 Sejam Ω R N um aberto qualquer. Então C c (Ω) é denso em L P (Ω) para 1 p <. 34

35 5 A Teora de Resz-Fredholm e O Espectro de um Operador Compacto Para estudar a alternatva de Resz-Fredholm, alguns concetos de compacdade, operadores compactos, operadores auto-adjuntos e operadores de magem fnta foram trabalhados. Sejam E e F espaços de Banach. Defnção: Dz-se que um operador T L(E, F ) é compacto se T (B E ) é relatvamente compacto na topologa forte. Defne-se por H(E, F ) o conjunto dos operadores compactos e denotase H(E) = H(E, E) Como resultado ncal temos que o conjunto H(E, F ) é um subespaço vetoral fechado de L(E, F ). Defnção: Um operador T L(E, F ) tem magem fnta se dm R(T ) <. Para podermos executar uma demonstração da alternatva de Resz- Fredholm, utlzaremos o segunte lema: Lema 6 (Lema de Resz) Seja E um espaço vetoral normado e seja M E um subconjunto fechado tal que M E. Então ε > 0 u E tal que u = 1 e dst(u, M) 1 ε e por consequênca o segunte, e extremamente mportante, Teorema 32 (Resz) Seja E um espaço vetoral normado tal que B E é compacta. Então E é de dmensão fnta. Teorema 33 (Alternatva de Fredholm) Seja T H(E). Então 1. N(I T ) é de dmensão fnta, 2. R(I T ) é fechado, e mas exatamente R(I T ) = N(I T ) 3. N(I T ) = {0} R(I T ) = E 4. dm N(I T ) = dm N(I T ). 35

36 Espectro de um Operador Compacto Defnção: Seja t L(E). O conjunto resolvente é ρ(t ) = {λ R; (T λi) é bjetva de E sobre E} O espectro σ(t ) é o complementar do conjunto resolvente, σ(t ) = R\ρ(T ). Dzemos que λ é valor própro e escreve-se λ V P (T ) se N(T λi) 0; N(T λi) é dto espaço própro assocado a λ. Proposção 6 O espectro σ(t ) é um conjunto compacto e σ(t ) [ T, T ]. Demonstração : Seja λ R com λ > T ; mostremos que T λi é bjetva e sto provará que σ(t ) [ T, T ]. Dado f E a equação T u λu = f admte solução únca pos a equação escreve-se como u = 1 (T u f) e aplca-se então o Teorema do Ponto Fxo de Banach.Mostremos λ agora que ρ(t ) é aberto. Seja λ 0 ρ(t ). Dados λ R (próxmo a λ 0 ) e f E trata-se de resolver T u λu = f (13) Mas (13) escreve-se T u λ 0 u = f + (λ λ 0 )u.e. u = (T λ 0 I) 1 [f + (λ λ 0 )u]. (14) Aplcando novamente o Teorema do Ponto Fxo de Banch conclu-se que (14) possu solução únca se λ λ 0 (T λ 0 I) 1 < 1 Desta forma, fnalzamos o estudo deste capítulo com o segunte: Teorema 34 Seja t H(E), com dm E =. então temos: 1. 0 σ(t ), 2. ρ(t )\{0} = V P (T )\{0}, 3. Uma das seguntes stuações: σ(t ) = {0}, σ(t )\{0} é fnto, σ(t )\{0} é uma sucessão que tende a zero. Fnalmente, atngmos no últmo capítulo de nosso trabalho, que é o tão menconado espaço de Sobolev e as aplcações tão procuradas. 36

37 6 Espaços de Sobolev de Dmensão Um e Suas Aplcações O estudo começa, novamente, com uma sére de defnções e resultados que precsam ser expostos neste relatóro, para fnalmente conclur-se o trabalho do bolssta. Defnção: Denota-se W 1,p (I) o conjunto W 1,p (I) = {u L p (I) ; g L p (I) tal que escreve-se H 1 (I) = W 1,2 (I) Para cada u W 1,p (I) denota-se u = g. I uϕ = gϕ ϕ Cc 1 (I)} I Observação: Na defnção de W 1,p (I) chamamos ϕ de uma função teste. Tanto faz utlzarmos Cc 1 (I) e Cc (I) como conjunto de funções testes já que se ϕ Cc 1 (I), então ρ n ϕ Cc (I) para n sufcentemente grande e ρ n ϕ ϕ em C 1 ver ). Observação: Se u C 1 (I) L p (I) e se u L p (I) (aqu u é a dervada usual de u,) então u W 1,p (I). Além dsso a dervada usual de u concde com a dervada de u no sentdo de W 1,p. Em partcular se I está lmtado, então C 1 (I) W 1,p (I) para todo 1 p. O espaço W 1,p está dotado da norma u W 1,p = u L p + u L p ou ás vezes da norma equvalente [ u p L p + u p L p ] 1 p. O espaço H 1 está dotado do porduto escalar A norma assocada (u, v) H 1 = (u, v) L 2 + (u, v ) L 2. u H 1 = [ u 2 L 2 + u 2 L 2 ] 1 2 é equvalente a norma em W 1,2. Daqu para frente, segue-se com os resultados já esperados: O espaço W 1,p é um espaço de Banach para 1 p. O espaço W 1,p é reflexvo para 1 < p < e separável para 1 p <. O espaço H 1 é um espaço de Hlbert separável. 37

38 Após esta sére de resultados báscos na teora de espaços de Sobolev, fo estudado o mportante Teorema 35 Seja u W 1,p (I); então exste uma função u C(I) tal que u = u q.t.p em I e u(x) u(y) = x y u (t) dt x, y I Esse teorema afrma que toda função u W 1,p admte um representante contínuo e é únco,.e., exste uma função contínua pertencente a classe de equvalênca de u para a relação u v se u = v q.t.p. Sempre que for necessáro, substturemos u por seu representante contínuo. A demonstração deste teorema se dá através dos dos seguntes lemas: Lema 7 Seja f L 1 Loc (I) tal que f ϕ = 0 então exste uma constante C tal que I ϕ C 1 c (I) f = C q.t.p. Lema 8 Seja g L 1 Loc (I); para y 0 fxo em I e denotando por v(x) = x y 0 g(t)dt x I temos que v C(I) e I vϕ = gϕ I ϕ C 1 c (I). O lema 8 nos dz que a prmtva v de uma função de L p pertence a W 1,p sempre que v L p ocorrendo sempre quando I é lmtado. O teorema abaxo nos dá outras caracterzações para funções de Sobolev (ou seja, funções que pertencem ao espaço de Sobolev) Teorema 36 Seja u L p com 1 < p. As seguntes propredades são equvalêntes: 38

39 1. u W 1,p. 2. Exste uma constante C tal que uϕ C ϕ L p (I) I ϕ C c (I). 3. Exste uma constante C tal que para todo aberto ω I e todo h R com h < dst (ω, I) verfca-se τ h u u L p (ω) C h. Além dsso, pode-se escolher C = u L p em (2) e (3.) É sabdo que algumas operações fundamentas da Análse só têm sentdo para as funções defndas em todo R. Assm, poder prolongar uma função u W 1,p (I) a uma função ū W 1,p (R), é encarado como uma mportante ferramente em toda a teora de espaços de Sobolev, e, portanto temos o segunte teorema que possblta tal prolongamento. Teorema 37 (Operador de Prolongamento) Seja 1 p. Exste um operador de prolongamento P : W 1,p (I) W 1,p (R) tal que 1. P u I = u u W 1,p (I). 2. P u L p (R) C u L p (I) u W 1,p (I). 3. P u W 1,p (R) C u W 1,p (I) u W 1,p (I). (donde C só depende de I.) Teorema 38 (Densdade) Seja u W 1,p (I) com 1 p <. Então exste uma sucessão (u n ) em Cc (R) tal que u n I u em W 1,p (I). O teorema acma se faz útl na prova de algumas propredades das funções de Sobolev, vsto que podem ser demonstradas estas propredades por densdade. Para tanto, utlzar-se-á bastante a teora de sequêncas regularzantes vsta no fnal do capítulo 3. Teorema 39 Exste uma constante C (dependente só de I ) tal que u L (I) C u W 1,p (I) u W 1,p (I), 1 p (15) Dto de outro modo W 1,p (I) L (I) com mersão contínua para todo 1 p. 39

40 Este resultado nos garante todas aquelas regrnhas que tínhamos para dervadas no sentdo usual (regra do produto, regra da cadea) porém com algumas restrções em onde estamos trabalhando. A fm de chegarmos nos últmos resultados estudados no projeto se fez necessára anda uma passagem na segunte defnção: Defnção: Dado 1 p <, denotamos por W 1,p 0 (I) o fecho de Cc 1 (I) em W 1,p (I) Com sto elabora-se o Teorema 40 Seja u W 1,p (I), então u W 1,p 0 (I) se e somente se u = 0 sobre I E através do mesmo, provamos a mportante (Desgualdade de Poncaré) Suponhamos que I é lmtado. Então exste uma constante C (dependendo de I tal que) u W 1,p C u L p u W 1,p 0 (I) Ou seja, em W 1,p 0 (I) a quantdade u L p é uma norma equvalente a norma de W 1,p (I) Importante pos ao trabalharmos com o espaço W 1,p 0 (I), podemos utlzar uma norma bastante smples e convenente, que é u L p já que a desgualdade afrma que ambas as normas são equvalentes. APLICAÇÃO Com todas estas ferramentas nas mãos, fnalmente podemos enuncar um segunte problema, que faclmente será resolvdo utlzando o que fo vsto neste relatóro. Consderemos o segunte problema. Dada uma f C([a, b]) exste uma função u(x) que verfca { u + u = f em [a, b] u(a) = u(b) = 0 (16) Uma solução clássca do problema (16) é uma função de classe C 2 em [a, b] que verfca (16) no sentdo usual. Ignoraremos aqu o fato de (16) poder ser resolvda explctamente com um cálculo bem smples. Faremos sto com o propósto de lustrar o método a partr deste exemplo elementar: 40