Otimização convexa sobre o preço de opções call europeias
|
|
- Ricardo de Mendonça
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1
2
3 Otiização convexa sobre o preço de opções call europeias Maria Carolina da Silva Rasquinho Mestrado e Métodos Quantitativos e Finanças Master in Quantitative Methods in Finance Dissertação de Mestrado MSc Dissertation Março de 2017
4
5 Agradecientos Gostaria de agradecer ao eu orientador, Doutor João Eduardo da Silveira Gouveia, pelo constante apoio e orientação. Aos eus pais por todo o apoio e carinho e por e possibilitare o terinar deste curso. À inha irã, por todo o carinho. Às inhas colegas de curso, Carla, Dulce, Inês e Vânia pela aizade, copanheiriso e bons oentos de trabalho e lazer ao longo dos últios cinco anos. Aos aigos coo o Rui, Tiago, Daniel, David e Margarida pelos oentos partilhados. Ao Bruce por toda a paciência e carinho. À Estudantina Feinina de Coibra por tantos bons oentos e deu e por e peritir fazer parte do elhor grupo a que pertenci. À Inês Santos por ser a inha faília durante os últios seis eses.
6
7 Resuo A atribuição de preços a opções é u problea fulcral de ateática financeira co elevada coplexidade resultante do caráter de incerteza associado ao poder de escolha do possuidor da opção. Nesse sentido, este trabalho pretende estabelecer liites para o preço de opções call europeias, assuindo a não existência de arbitrage. Não especificaos qualquer odelo para a dinâica do preço do ativo subjacente à opção, considerando apenas restrições sobre a distribuição probabilística do eso, na aturidade. Para isso, usaos o problea generalizado do oento e introduzios ferraentas de otiização convexa, noeadaente a prograação seidefinida. Partindo do trabalho de Bertsias e Popescu [1], coeçaos por considerar separadaente restrições sobre os oentos das distribuições e sobre preços de alguas opções do eso tipo da que pretendeos estudar. De seguida, co o intuito de elhorar os resultados obtidos pelas abordagens anteriores, propoos u étodo híbrido cujas propriedades analisaos. Finalizaos este trabalho co u estudo nuérico coparativo onde observaos elhorias co a utilização do étodo híbrido, e coparação às abordagens presentes na literatura analisadas nesta dissertação.
8
9 Conteúdo Lista de Figuras Lista de Tabelas ix xi 1 Introdução 1 2 Preliinares Problea generalizado do oento Prograação cónica Problea generalizado do oento Não negatividade de polinóios de ua variável Liitar preços de opções Introdução ao odelo teórico subjacente Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Validade de u vetor de oentos Liite superior Liite inferior Exeplos Inforação acerca dos preços de outras calls Validade da função de avaliação do preço da opção Liite superior Liite inferior Exeplos Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente e outros preços de opções Liite superior Liite inferior Resultados nuéricos Distribuição discreta e finita Moentos Preços Preços e oentos Distribuição discreta e infinita
10 viii Conteúdo Moentos Preços Preços e oentos Distribuição contínua Moentos Preços Preços e oentos Conclusão 47 Bibliografia 49 Anexo A Algorito usado 51
11 Lista de Figuras 2.1 Representação de u cone K e do seu dual K Representação do polinóio h(x), x [ 5 2, 5 2] Representação do polinóio h 2 (x), x [ 1 2,1] Preços de fecho do índice S&P 500 para o prieiro e segundo períodos de tepo considerados Preços reais e corrigidos de opções referentes ao índice S&P 500 entre 8 e 30 de abril de Preços reais e liites superior e inferior dados oito preços de outras opções sobre o índice S&P 500 de 4 a 15 de janeiro de Preços reais e liites superior e inferior dados oito preços de outras opções sobre o índice S&P 500 de 4 de janeiro a 5 de fevereiro de Intervalos definidos tendo e conta o preço de exercício requerido, k Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior pelas três abordagens estudadas do odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo de Poisson Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo de Poisson Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Poisson Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros sete oentos do odelo de Pareto Preços reais e liites superior e inferior dados seis preços de outras opções sobre o odelo de Pareto Preços reais e liites superior e inferior para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Pareto ix
12
13 Lista de Tabelas 3.1 Moentos epíricos do índice S&P 500 entre os períodos considerados Liite superior obtido por dois étodos considerando dois e três oentos Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o prieiro período de tepo Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o segundo período de tepo Preços observados e corrigidos de opções calls transacionadas dia 8 de Abril de 2005 sobre o índice S&P Preços reais e corrigidos de calls sobre o índice S&P 500 transacionadas no prieiro período de tepo, entre 4 e 15 de janeiro de Preços reais e liites superior e inferior de cinco opções dados oito preços sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 15 de janeiro do eso ano Preços reais e corrigidos de calls sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 5 de fevereiro de Preços reais e liites superior e inferior de cinco opções dados oito preços sobre o índice S&P 500 transacionadas e 4 de janeiro de 2016 e co aturidade e 5 de fevereiro do eso ano Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo do lançaento do dado Preços e preços de exercício de seis opções sobre o odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de outras opções do odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo do lançaento do dado Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo de Poisson Preços e preços de exercício de opções sobre o odelo de Poisson Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de opções do odelo de Poisson xi
14 xii Lista de Tabelas 4.8 Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Poisson Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros sete oentos do odelo de Pareto Preços e preços de exercício de seis opções sobre o odelo de Pareto Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções dados seis preços de opções do odelo de Pareto Preços reais e liites superior e inferior de alguas opções para os prieiros quatro oentos e preços de seis opções do odelo de Pareto
15 Capítulo 1 Introdução Opções são contratos que perite a copra de u produto financeiro, o ativo subjacente à opção, e são utilizadas por fora a reduzir o risco inerente à detenção de u ativo. Estes ativos são geralente ações, índices de ações, atérias-prias ou taxas de juro. Opções são contratos padronizados na edida e que tanto a quantidade de ativos, o preço a que os ativos serão transacionados e a aturidade, data e que a opção terina, são pré-definidos. [2] Podeos encontrar opções de dois tipos: opções de copra (call options) e de venda (put options). Existe tabé diferentes estilos de opções coo as de estilo aericano e europeu onde as prieiras se distingue das segundas pelo facto de podere ser transacionadas e qualquer oento até à aturidade. [3] As opções de copra europeias, que são o objeto de estudo desta dissertação, perite que o detentor da opção possa exercer o seu direito, as não o dever, de coprar u ativo por u deterinado preço, denoinado preço de exercício, na aturidade da opção. Assi, confore a evolução do ercado, o detentor da opção decide se pretende ou não exercê-la. Ao possível ganho do detentor chaaos payoff, sendo neste caso dado por ax(0,x k), onde k representa o preço de exercício e X o preço do ativo subjacente à opção na aturidade. Noteos que, por sere opções europeias, o ativo subjacente à opção apenas pode ser transacionado na aturidade. Devido ao caráter de incerteza associado ao poder de escolha do possuidor da opção, atribuir-lhe u preço justo, isto é, o preço que o que o coprador da opção paga ao vendedor para a ter e sua posse, torna-se bastante difícil. Esta é ua questão uito iportante na ateática financeira ua vez que, caso as opções seja al avaliadas, poderão existir no ercado oportunidades de arbitrage. Estas oportunidades de arbitrage são estratégias e que, se investiento inicial, há ua probabilidade positiva de gerar lucro no futuro se que haja possibilidades de perda [3]. Tal coo Black e Scholes, vários autores tê estudado a avaliação de opções assuindo não só a ausência de arbitrage as tabé ua dinâica para o preço do ativo. Por outro lado, nesta dissertação, apenas assuireos a não existência de arbitrage se considerar nenhua distribuição para o preço do ativo. Neste contexto, u resultado iportante dado por Harrison e Kreps [4] e 1
16 2 Introdução Harrison e Pliska [5, 6], foi a conexão entre o pressuposto da não arbitrage e a existência de ua edida de probabilidade neutra ao risco. Sob a suposição de não arbitrage, o preço de ua opção europeia pode ser atribuído pelo retorno esperado do ganho exercido na aturidade, descontado a ua taxa de juro, onde a esperança é toada sob a probabilidade neutra ao risco [3]. Assuindo que a taxa de juro se risco é nula, ignorando os custos de transação e considerando o payoff de ua opção call europeia, a frase anterior é equivalente a q(k) = E[ax(0,X k)], onde, ais ua vez, k representa o preço de exercício e X o preço do ativo subjacente à opção na aturidade. [1] O objetivo deste trabalho é assi encontrar liites superior e inferior para o preço de opções call europeias, assuindo apenas a não existência de arbitrage. No Capítulo 2, introduzireos alguns conceitos teóricos necessários. Lebrareos conceitos de prograação cónica e apresentareos u iportante problea da ateática financeira: o problea generalizado do oento. Este peritir-nos-á encontrar os liites referidos anteriorente através da resolução de probleas de otiização nu espaço de distribuições onde o integral de alguas funções é conhecido. Fareos ainda ua pequena abordage à não negatividade de polinóios co ua variável. Nos Capítulos 3 e 4, através da prograação seidefinida, encontrareos os liites para os preços das opções. Nua prieira fase, calculareos esses liites co base nos dados referentes aos oentos do preço do ativo subjacente. Seguidaente, consideraos soente os preços de opções do eso tipo e sobre o eso ativo as co preços de exercícios diferentes. Estes estudos serão feitos co base nos trabalhos de Bertsias e Popescu [1]. Finalente, tentareos ua nova abordage reunindo as inforações anteriores. Quereos verificar se a introdução de abas as inforações (oentos e preços de outras opções) nos garante resultados elhorados. Enquanto no Capítulo 3 exeplificareos o que foi estudado usando dados do ercado, no Capítulo 4 testareos dados teóricos. Procuraos co isto ter ua noção ais correta da aplicação dos resultados encontrados evitando os erros associados ao uso de dados reais. Por fi, no Capítulo 5 serão expostas as conclusões deste trabalho.
17 Capítulo 2 Preliinares O objetivo deste capítulo é introduzir alguns conceitos teóricos necessários ao desenvolviento dos capítulos seguintes. Coeçareos por fazer ua revisão sobre prograação cónica e introduzireos o problea generalizado do oento, co base no trabalho de Lasserre [7]; seguidaente, ireos deparar-nos co a questão da não negatividade de polinóios de ua variável, tal coo estudara Bertsias e Popescu [1]. 2.1 Problea generalizado do oento Nesta secção ireos trabalhar co ua forulação do problea generalizado do oento sob o ponto de vista da otiização convexa. Alé da forulação deste problea e do seu dual, apresentareos alguas considerações suficientes que garante a dualidade forte entre os esos Prograação cónica Coeceos por recordar alguns conceitos de geoetria convexa que serão utilizados. U conjunto K diz-se u cone convexo se for fechado para a adição e ultiplicação por escalares. Seguidaente apresentaos a definição de cone dual. Definição Dado u cone K R n, o seu cone dual, K, é o conjunto {y R n : y,x 0, x K}. Vejaos exeplos de cones e dos seus cones duais: ( R n +) = R n + ; ( S n +) = S n +, onde S n + representa o conjunto das atriz positivas seidefinidas; Cone K e K presentes na Figura 2.1. Recordeos tabé que o dual de u cone dual é o fecho do cone principal. Nesta dissertação trabalhareos co probleas de prograação cónica, sendo estes definidos do seguinte odo. 3
18 4 Preliinares Fig. 2.1 Representação de u cone K e do seu dual K. Dado u cone convexo e fechado K R n, u prograa cónico sobre K na fora noral é u problea de otiização do tipo p = in c T x s.a. Ax = b x K, (2.1) onde A R n, b R e c R n e o seu problea dual é p = ax b T y s.a. c A T y K. (2.2) Surge-nos agora a questão da aplicabilidade da dualidade forte e fraca a estes probleas. Para a dualidade fraca, teos u teorea seelhante ao que se verifica na prograação linear. Teorea (Dualidade Fraca). Se x for solução adissível de (2.1) e y solução adissível de (2.2) então c T x b T y. Noteos, e particular, que p p. Deonstração. Se x e y fore adissíveis para o prial e dual, respetivaente, teos c T x b T y = c T x y T Ax + y T Ax y T b = ( c T y T A ) x + y T (Ax b) 0, ua vez que ( c T y T A ) T K e x K, por definição de cone dual ve ( c T y T A ) x 0. Ao contrário da dualidade fraca, a dualidade forte uitas vezes exige condições adicionais coo as condições de Slater. Teorea (Dualidade Forte co condições de Slater). Se o prial (2.1) (resp. dual (2.2)) for estritaente adissível, isto é, se for adissível quando substituíos K pelo seu interior nas restrições do prial (resp. K pelo seu interior nas restrições do dual) então p = p e o prial (resp. dual) te u otiizante Problea generalizado do oento O problea generalizado do oento (PGM) é u problea fundaental que surge co o propósito de dar resposta a probleas e uitas áreas da ateática aplicada e outras. No contexto desta
19 2.1 Problea generalizado do oento 5 dissertação, aparece co o objetivo de resolver o problea de encontrar liites para o preço de opções call europeias se ser assuido nenhu odelo para a dinâica do preço do ativo subjacente. De u odo geral perite-nos abordar probleas de otiização nu espaço de distribuições onde o integral de alguas funções é conhecido. Definição Seja S u subconjunto de R n e M (S) o conjunto das edidas de Borel finitas e S. Definios o Problea generalizado do oento coo ρ = ax µ M (S) S s.a. S F dµ h j dµ = e j, j = 1,...,, onde e 1,...,e R e F,h 1,...,h são integráveis co respeito a qualquer µ M (S). Ua vez que ireos aplicar resultados de prograação cónica, tereos de reescrever o PGM coo u prograa de otiização cónico. Para isso, sendo e = (e 1,...,e ), considereos o cone (2.3) { } C(S) = (x 0,e) : x 0 = F dµ, e j = h j dµ, j = 1,..., para todo µ M (S). (2.4) S S Podeos então reescrever o problea (2.3) coo ρ = ax x 0 R x 0 s.a. (x 0,e) C(S). (2.5) Noteos que C(S) é u cone convexo as, e geral, não fechado. Assi, ireos considerar o problea de otiização sobre o seu fecho ρ = ax x 0 R x 0 s.a. (x 0,e) C(S). Este é u problea cónico. Atendaos que poderá acontecer que (2.6) tenha u axiizante quando e (2.5) o valor ótio não é atingido. No resultado seguinte apresentaos o cone dual de C(S). Lea Considerando y = (y 1,...,y ), o cone dual de C(S) é P(S) onde P(S) := { (y 0,y) : y 0 F(x) + i=1 y i h i (x) 0, x S Deonstração. Ora o cone dual de C(S) é o eso que o cone dual de C(S), que é dado por { (y0,y) R +1 : (y 0,y) T (x 0,e) 0, (x 0,e) C(S) }. }. (2.6) Por definição de C(S), a condição (x 0,e) C(S) traduz-se por (x 0,e) = ( S Fdµ, S h jdµ, j = 1,...,, µ M (S)). Assi,
20 6 Preliinares C(S) = { (y 0,y) R +1 : y 0 S F dµ + y i i=1 S h i dµ 0, para todo µ M (S) }, ou seja, C(S) = { (y 0,y) R +1 : y 0 F(x) + i=1 y i h i (x) 0, para todo o x e S }. Reescrevendo o problea (2.6) na fora canónica do dual, ve ρ = ax x 0 R x 0 É siples agora construir o prial de ρ coo s.a. (0,e) ( 1,0,..,0)x 0 C(S). ρ = in i=1 e i y i s.a. ( 1,y) C(S) = P(S). (2.7) Aplicando a definição de P(S), veos que (2.7) é equivalente a ρ = in s.a. i=1 i=1 e i y i y i h i (x) F(x), x S, (2.8) problea a que chaareos PGM-D. Este problea passa por encontrar os coeficientes de peso ínio tal que a cobinação linear das funções h i co esses coeficientes seja u ajorante para F e S. Pela dualidade fraca, sabeos que ρ ρ as, para garantir a igualdade, é necessário que se verifique alguas condições, coo as condições de Slater apresentadas no Teorea Noteos ainda que, se e vez do PGM original estivésseos interessados e teríaos coo dual o problea ρ = in µ M (S) S s.a. S F dµ h j dµ = e j, j = 1,...,, (2.9) ρ = ax s.a. i=1 i=1 e i y i y i h i (x) F(x), x S, (2.10)
21 2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável 7 e verificar-se-ia ρ ρ. Pretendeos agora verificar se existe dualidade forte entre (2.3) e (2.8) e tabé entre (2.9) e (2.10). Para isso, considereos o seguinte resultado. Proposição Se as funções F(x) e h i (x), i = 1,...,, fore não negativas e S, então o problea (2.10) é estritaente adissível. Nessas condições teos ainda que o problea (2.8) é estritaente adissível se e só se for adissível. Deonstração. Coeceos por analisar o problea (2.10). O vetor nulo verifica as restrições pelo que este problea é sepre adissível. Então para qualquer λ = (λ 1,...,λ ) R +, o vetor λ é tabé adissível ua vez que F(x) 0 i=1 λ i h i (x), x S. Assi, coo R + está contido nos pontos adissíveis do problea e te interior não vazio, (2.10) é estritaente adissível. Pensando agora e (2.8) e aditindo que existe u y que verifica as restrições então y + R + é tabé adissível e, tendo interior não vazio, podeos concluir que o problea (2.8) é estritaente adissível. Podeos agora apresentar as condições de dualidade forte. Corolário Se as funções F(x) e h i (x), i = 1,...,, fore não negativas e S, então os probleas (2.9) e (2.10) tê a esa solução. Teos ainda que, se (2.8) for adissível, então há dualidade forte entre (2.3) e (2.8). Deonstração. Basta recorrer às condições de Slater apresentadas no Teorea Não negatividade de polinóios de ua variável Encontrar condições para que u polinóio seja não negativo é ua questão iportante na deterinação do liite dos preços de opções. Ela surge de ua fora natural porque, coo vios na secção anterior, o problea da deterinação dos liites para os preços leva a u problea de desigualdade entre funções. Quando se trata de polinóios de ua só variável esta questão torna-se siples, ua vez que basta verificar se é possível escrever os polinóios coo ua soa de quadrados (SDQ), isto é, basta verificar se existe polinóios q 1,...,q n R[x] tais que g(x) = n i=1 q i (x) 2, x R. Bertsias e Popescu apresenta e [1] condições para que u polinóio de ua variável e de grau par seja não negativo, usando étodos de prograação seidefinida, apresentadas seguidaente. É fácil verificar que, se u polinóio de ua variável puder ser escrito coo ua SDQ então é não negativo. A condição contrária tabé é verdadeira. Suponhaos que u dado polinóio é não negativo na reta real. Isto iplica que as raízes reais do polinóio tenha ultiplicidade par, digaos 2s l para cada raiz r l, ua vez que se a ultiplicidade fosse ípar, o sinal do polinóio udaria perto
22 8 Preliinares dessas raízes e o polinóio não seria não negativo. Sendo j a ultiplicidade das raízes coplexas e a j + ib j, a j ib j os pares conjugados dessas raízes, g pode ser escrito coo g(x) = c (x r l ) 2s l l j (x (a j + ib j )) j (x (a j ib j )) j. Obviaente que se g é não negativo então o coeficiente c tabé o é, logo podeos escrever c = ( ( ) c) 2 e (x (a j + ib j ))(x (a j ib j )) = (x a j ) 2 + b 2 j. Reescrevendo g obteos g(x) = ( c ) 2 (x r l ) 2s l l j ( (x a j ) 2 + b 2 j) j. Expandindo os teros, veos que g pode ser escrito coo ua SDQ obtendo o resultado seguinte. Teorea U polinóio de ua variável é não negativo se e só se puder ser escrito coo ua SDQ. Tendo encontrado a relação entre a não negatividade de polinóios e as SDQ, procuraos agora relacionar a prograação seidefinida co o estudado. Suponhaos então que g é não negativo de grau 2n, logo é ua SDQ. Podeos escrever g à custa de ua atriz positiva seidefinida Q e dos vetores x n = ( 1,x,x 2,...,x n),q k = ( 1,q k 1,qk 2,...,qk n) onde os qi (x) se pode escrever coo q i T x n, i = 0,...,n. Ve então g(x) = n i=1 n q i (x) 2 = qi i=1( T ) n 2 x n = x T n q i q T T i x n = x n i=1 ( n T q i q i i=1 ) x n = x n T Qx n. (2.11) Por outro lado, se g se pode escrever coo (2.11) então obviaente que g(x) 0 para todo o x R, por definição de atriz positiva seidefinida. Obteos assi o resultado que associa prograação seidefinida e não negatividade de polinóios na reta real. Proposição O polinóio g(x) = 2n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todo o x R se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida, tal que g(x) = x n T Qx n, ou seja, y r = i, j: i+ j=r q i j, r = 0,...,2n. (2.12) Ilustreos o que acabáos de estudar co u exeplo. Considereos o polinóio h(x) = x 4 + 2x 3 2x 2 6x + 5 cujo gráfico para x [ 5 2, 5 2] está presente na Figura 2.2. Podeos escrever este polinóio coo ua SDQ à custa da sua raiz real, x = 1, de ultiplicidade 2, e das raízes iaginárias x = 2 i, x = 2+i obtendo ( ) h(x) = (x 1) 2 (x + 2) = ( x 2 + x 2 ) 2 + (x 1) 2.
23 2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável ,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Fig. 2.2 Representação do polinóio h(x), x [ 5 2, 5 2]. Assi, o polinóio é não negativo e R e a atriz Q será dada por ( 2,1,1)( 2,1,1) T +( 1,1,0)( 1,1,0) T, isto é, [ ] Q = Pretendeos agora verificar quando é que u polinóio é não negativo nu sub-intervalo de R. Coeceos por considerar o intervalo [a,b] onde a e b são dois núeros reais tais que a < b. Verificar se u polinóio g(x) = n r=0 y rx r é não negativo neste intervalo é o eso que verificar a condição seguinte ( 1 +t 2 ) ( n t 2 ) g a + (b a) 1 +t 2 0, t R. Noteos que coo t2 [0,1] então a + (b a) t2 [a,b] e a ultiplicação de g por (1 + t 2 ) n 1+t 2 1+t 2 garante que a expressão anterior seja u polinóio. Fazendo as operações e siplificações necessárias e usando o binóio de Newton, obteos ( 1 +t 2 ) ( n t 2 ) g a + (b a) 1 +t 2 = n l=0 ( l t 2l n l+ ( )( ) r n r y r )a r b. =0 r= l Aplicando agora a Proposição obteos ua caracterização de não negatividade. Proposição O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [a,b] se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l q i j = l =0 l = 1,...,n, n+ l ( r y r r= )( ) n r a r b, l l = 0,...,n. (2.13) Para u polinóio g(x) = n r=0 y rx r ser não negativo nu intervalo do tipo [0,a], onde a > 0, basta-nos garantir que ( 1 +t 2 ) n g ( at 2 1 +t 2 ) 0, t R.
24 10 Preliinares É de notar que at2 1+t 2 [0,a] e ais ua vez ( 1 +t 2) n garante que a expressão anterior seja u polinóio. Usando o binóio de Newton, facilente se prova que ( 1 +t 2 ) ( ) n at 2 g 1 +t 2 = n l=0 ( l ( ) n r t 2l y r )a r. r=0 l r Usando novaente a Proposição obteos na proposição seguinte o resultado para este tipo de intervalo. Proposição O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [0,a] se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l q i j = l r=0 l = 1,...,n, ( ) n r y r a r, l r l = 0,...,n. (2.14) Finalente estudareos as condições de não negatividade de polinóios e intervalos do tipo [a, [. Basta-nos garantir que g ( a ( 1 +t 2)) 0, t R. Noteos que a ( 1 +t 2) [a, [. Usando o binóio de Newton e siplificando ve g ( a ( 1 +t 2)) = n l=0t 2l ( n r=l y r( r l )a r ) Aplicando ais ua vez a Proposição obteos a caracterização desejada.. Proposição O polinóio g(x) = n r=0 y rx r satisfaz g(x) 0 para todos os x [a, [ se e só se existe ua atriz Q = [q i j ] i, j=0,...,n positiva seidefinida tal que q i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l n r q i j = y r( r=l l l = 1,...,n, ) a r, l = 0,...,n. (2.15) Ilustreos esta últia proposição co u exeplo. Considereos o polinóio h 2 (x) = 2x 3 x 2 cuja representação gráfica para x [ 1 2,1] está presente na Figura 2.3. Quereos verificar se o polinóio h 2 é não negativo e [ 1 2, [. Ora, isto é equivalente a verificar se h 2 ( 1 2 ( 1 +t 2 )) = 1 4 ( 1 +t 2 ) ( 1 +t 2 ) 2 1 = (t 2 ( 1 +t 2) ) 2 4
25 2.2 Não negatividade de polinóios de ua variável ,5 0-0,5-0,5 0 0,5 1 Fig. 2.3 Representação do polinóio h 2 (x), x [ 1 2,1]. é não negativo para t R. Este polinóio te coo raízes x = 0, x = i, x = i todas de ultiplicidade 2 podendo assi ser reescrito coo ua SDQ da fora seguinte 1 4 (t 2 ( t ) 2 ) = t6 4 + t4 2 + t2 4 = ( t 3 2 ) 2 ( ) t 2 2 ( t ) Assi, a atriz Q resulta de ( 0,0,0, 1 ) ( )( 2)( 0,0,0, 1 T T 2 + 0,0, 1 2,0 0,0, 1 ( 2,0) + 0, 1 2,0,0)( 0, 1 2,0,0) T, ou seja, Q = Coo facilente se verifica, esta atriz verifica as condições dadas pela Proposição q 01 + q 10 = 0, q 21 + q 12 + q 30 + q 03 = 0, q 32 + q 23 = 0, q 00 = 0, q 20 + q 11 + q 02 = 1 4, q 31 + q 22 + q 13 = 1 2, q 33 = 1 4. Para terinar esta secção deixaos ua breve nota sobre o caso ultivariado. Neste caso, a existência de soas de quadrados é apenas condição necessária para a não negatividade. Por esta razão, o estudo de ais de ua variável é ais delicado e está fora do âbito deste trabalho.
26
27 Capítulo 3 Liitar preços de opções 3.1 Introdução ao odelo teórico subjacente O objetivo deste capítulo é deterinar liites para o preço de ua opção call europeia co deterinado preço de exercício, considerando a inforação acerca dos oentos do ativo subjacente e os preços de outras opções sobre o eso ativo e co a esa aturidade. Aditireos daqui e diante que X é ua variável aleatória não negativa que representa o preço do ativo subjacente à opção que quereos avaliar na data de aturidade da esa. Vaos designar o preço da opção que quereos liitar por q e por k o seu preço de exercício. Assi, dado u k, assuindo que são conhecidos os prieiros oentos de X, e 1,...,e, e 0 = 1, e ainda possivelente preços de n opções sobre esse ativo co a esa aturidade, q 1,q 2,...,q n, cujos preços de exercício são 0 < k 1 <... < k n, respetivaente, estaos interessados e calcular liites para q(k). E teros da variável aleatória teos as seguintes restrições. 1. E[X i ] = e i, i = 0,...,; 2. E[ax(0,X k i )] = q i, i = 1,...,n. Aditios ainda que k 0 = 0 e q 0 = q(0) = E[ax(0,X 0)] = E[X]. Podeos definir u liite superior K para o preço do ativo X na aturidade da call. Isto é feito estabelecendo k n+1 = K e q n+1 = q(k) = 0. Caso contrário assuios siplesente k n+1 =. Coeceos por verificar quais os liites para o preço das calls que obteos quando consideraos apenas os oentos do ativo subjacente. 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Pretendeos nesta secção usar os oentos do ativo subjacente. Para verificar a validade dos dados, geralente sujeitos a uito ruído, é necessário averiguar quando é que u vetor é u vetor de oentos de algua variável aleatória. 13
28 14 Liitar preços de opções Validade de u vetor de oentos Quereos deterinar se e = (e 0,e 1,...,e ), onde e 0 = 1, é passível de ser u vetor de oentos para ua distribuição não negativa. Este é conhecido coo problea do oento de Stieltjes truncado, u problea clássico da teoria das probabilidades. Quando se trata apenas de ua variável aleatória não negativa, Curto e Fialkow apresenta e [8] condições necessárias e suficientes que garante a validade u vetor de oentos. Antes de as apresentar, considereos algua notação necessária. Para j 0 e e 0,...,e 2 j+1 R, definios as atrizes de Hankel, A( j) e B( j), coo e 0 e j e 1 e j+1 A( j) =.., B( j) =.. e j e 2 j e j+1 e 2 j+1 e o vetor v(i, j) = [e i,,e i+ j ]. Teorea Considereos + 2 núeros positivos e 0,...,e +1, 0, sendo g = +1 2,h = 2 +1, e A(g), B(h 1), v(g+1,g) e v(g+1,g 1) coo definidos acia. O vetor e = (e 0,...,e +1 ) C(R + ), isto é, existe ua edida de Borel positiva, µ, e [0, [ tal que t n dµ = e n (0 n + 1) e t +2 dµ < + se e só se A(g) 0, B(h 1) 0, v(g + 1,g) R(A(g)) se é par e v(g + 1,g 1) R(B(h 1)) se é ípar, onde A( ) 0 representa as atrizes positivas seidefinidas e R( ) é o espaço das linhas de ua atriz. Noteos que as condições deste teorea garante-nos que (e 0,e) pertence ao cone C(S) definido no capítulo anterior, satisfazendo assi o problea (2.5). No entanto, coo estaos interessados e resolver o problea (2.6) sobre C(S), basta-nos, para isso, ua relaxação do teorea anterior onde consideraos apenas as prieiras duas condições. Considereos, por exeplo, o vetor (e 0,e) = (1,1,1,2). Aplicando o Teorea obteos A(1) = [ ] , B(1) = [ ] , [ ] v(2,1) 11. Ebora as duas prieiras condições se verifique sepre, a terceira nunca é satisfeita pois v(2,1) = (1,2) / (1,1) e portanto (e 0,e) / C(R + ). Considerando u ε que verifique 2 1 ε > 0, e ua pequena perturbação no vetor inicial, (e 0,e ) = (1,1,1 + ε,2), tereos as condições [ ] A(1) = ε 0, B(1) = [ ] ε 1 + ε 2 0, v(2,1) = [ ] 1 + ε 2 R 2. Estas três condições são sepre verificadas e por isso concluíos que o vetor perturbado, (e 0,e ) pertence a C(R + ). Assi, (e 0,e) C(R + ).
29 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Liite superior Nesta secção o nosso objetivo é encontrar u áxio, se existir, sob todas as distribuições de X para E[ax(0,X k)] considerando as restrições dos oentos referidas anteriorente. Baseando-nos e Bertsias e Popescu [1], forulaos este problea da seguinte fora ρ = ax X E[ax(0,X k)] s.a. E[X i ] = e i, i = 0,1,...,. Considerando as distribuições associadas a X, este problea é equivalente a ρ = ax µ M (S) s.a. 0 0 ax(0,x k) dµ x i dµ = e i, i = 0,1,...,. (3.1) Coo facilente observaos, este é u caso do PGM onde S = R +, F(x) = ax(0,x k) e h i (x) = x i, i = 0,...,. Associaos a cada restrição de (3.1) as variáveis duais (w 0,...,w ) obtendo o problea ρ = in s.a. i=0 i=0 e i w i w i x i ax(0,x k), x R +. (3.2) Foi provado por Isii [9] que teos dualidade forte entre estes dois probleas, ou seja, ao resolver o problea anterior, obteos a solução de (3.1). De facto, recorrendo ao Corolário 2.1.1, verificaos que qualquer solução adissível de (3.2) é tabé solução de (3.1). Este facto deve-se a (3.2) ser adissível já que as funções ax(0,x k) e x i, i = 0,...,, são não negativas e R + e (w 0,w 1,...,w ) = (0,1,0,...,0), é ua solução possível pois x ax(0,x k) e R +. Podeos reescrever a região adissível de (3.2) obtendo i=0 i=0 Podeos ainda reagrupá-las obtendo as restrições w i x i 0, x [0,k], w i x i x k, x [k, [. i=0 (w 0 + k) + (w 1 1)x + w i x i 0, x [0,k], i=2 w i x i 0, x [k, [. (3.3) Coo facilente se constata, encontrar esta região passa por verificar a não negatividade de polinóios e dois intervalos diferentes. Para tal, recorreos ao estudado anteriorente na Secção 2.2 sobre não
30 16 Liitar preços de opções negatividade de polinóios univariados. Assi, pela Proposição 2.2.3, depreendeos que, para ser verificada a prieira condição, basta que exista ua atriz T = [t i j ] i, j=0,..., positiva seidefinida que verifique as condições seguintes. t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 0,...,. (3.4) Usando a Proposição na segunda restrição de (3.3) verificaos que é necessário a existência de ua atriz Z = [z i j ] i, j=0,..., positiva seidefinida, que verifique z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l r z i j = w r( r=l l ) k r, l = 1,...,, r=2 r=2 w r k r, w r rk r, l = 2,...,. (3.5) Reunindo estas condições, obteos o resultado que nos dá o liite superior para o preço de opções calls europeias. Teorea O liite superior para o preço de ua opção call europeia co preço de exercício k, dados os prieiros oentos do preço do ativo subjacente, e 1...,e, e e 0 = 1, é dado pela solução do seguinte problea de otiização seidefinido: in s.a. i=0 e i w i t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 1,...,, z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l T,Z 0. r z i j = w r( r=l l ) k r, r=2 r=2 w r k r, l = 0,...,, w r rk r, l = 2,...,, (3.6)
31 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Liite inferior Tendo agora e vista a obtenção do liite inferior anteriorente referido, pretendeos encontrar o ínio, caso exista, para E[ax(0,X k)] sobre todas as distribuições e considerando as restrições dos oentos. Forulaos então o problea da seguinte fora. ρ = in µ M (S) s.a. 0 0 ax(0,x k) dµ x i dµ = e i, i = 0,1,...,. (3.7) Usando ua vez ais as variáveis w 0,w 1,...,w, obteos o problea dual. ρ = ax s.a. i=0 i=0 e i w i w i x i ax(0,x k), x R +. (3.8) Aplicando novaente o Corolário verificaos que existe sepre dualidade forte entre estes dois probleas ua vez que ax(0,x k) e x i,i = 0,...,, são funções não negativas e R +. ou seja, A região adissível de (3.8) pode escrever-se coo ( i=0 w i x i ax(0,x k), x R +, i=0 (w 0 + k) + (w 1 1)x + w i x i 0, x [0,k], i=2 w i x i ) 0, x [k, [. Constataos que, para encontrar a região adissível de (3.8), é necessário recorrer de novo às condições de não negatividade de polinóios. Notaos ainda que estas são as condições siétricas das condições presentes e (3.3). Assi, para encontrar o liite inferior para o preço das opções, basta substituir no Teorea a função objetivo pela sua siétrica e as últias restrições por T 0 e Z 0. Posto isto, obteos o teorea que se segue. (3.9) Teorea O liite inferior para o preço de ua opção call europeia co preço de exercício k, dados os prieiros oentos do preço do ativo subjacente, e 1...,e, e e 0 = 1, é dado pela solução
32 18 Liitar preços de opções do seguinte problea de otiização seidefinido: in ( i=0e i w i ) s.a. t i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 i, j: i+ j=2l t i j = l r=0 z i j = 0, i, j: i+ j=2l 1 l = 1,...,, ( ) r w r k r, l r l = 1,...,, z 00 = (w 0 + k) + (w 1 1)k + z 11 + z 02 + z 20 = (w 1 1)k + i, j: i+ j=2l T,Z 0. r z i j = w r( r=l l ) k r, r=2 r=2 w r k r, l = 0,...,, w r rk r, l = 2,...,, (3.10) Exeplos No que se segue serão ilustrados os resultados anteriorente expostos considerando dados reais referentes a u conjunto de opções onde o ativo subjacente é o índice S&P 500. Este é u índice coposto por quinhentos ativos (ações) cotado e bolsas norte-aericanas. Considerareos dois conjuntos de opções: u co início no dia 4 de janeiro de 2016 e co térino e 15 de janeiro do eso ano e outro co início tabé dia 4 de janeiro as co aturidade a 5 de fevereiro de Designareos estes períodos de tepo por 1 e 2, respetivaente. A inforação relativa aos preços das opções foi retirada do site no dia 7 de janeiro de Os dados que analisareos referentes à evolução do ativo estarão enquadrados nu período de tepo igual ao tepo de vida da opção, terinando no dia anterior à transação da esa. Isto significa que entre 4 e 15 de janeiro de 2016, coo a bolsa esteve funcional durante 10 desses dias, ireos considerar os preços de fecho dos 10 dias úteis anteriores a esse período. O análogo será feito para o segundo período de tepo considerado. Coeceos por analisar os preços de fecho do índice durante o prieiro e segundo períodos, ilustrados na Figura 3.1. A inforação relativa à cotação de fecho do índice S&P 500 foi retirada do site no dia 7 de janeiro de Ireos considerar os oentos epíricos do índice ua vez que não é objetivo desta dissertação aprofundar a previsão dos esos. Tabé não considerareos os custos de transação associados. Assi sendo, os resultados que obtereos serão afetados por esta ingénua aproxiação. Posto isto, os quatro prieiros oentos epíricos do índice referido acia são os presentes na Tabela 3.1. Na literatura encontraos fórulas para os liites do preço das calls quando teos inforação acerca dos prieiros dois e três oentos de X. Será portanto interessante coparar estas fórulas e os resultados obtidos coputacionalente pelos Teoreas e
33 Cotações de Fecho 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente Cotações fecho 2º período Cotações fecho 1º período /11 3/12 7/12 10/12 15/12 18/12 23/12 29/12 31/12 Data Fig. 3.1 Preços de fecho do índice S&P 500 para o prieiro e segundo períodos de tepo considerados. 1º Mo. 2º Mo. 3º Mo. 4º Mo. 1º Período de tepo 2047, , , ,70 2º Período de tepo 2056, , , ,30 Tabela 3.1 Moentos epíricos do índice S&P 500 entre os períodos considerados. Dois oentos Coeceos por fazer ua análise quando são considerados apenas os dois prieiros oentos. Tereos, prieiraente, de garantir que e = (1,e 1,e 2 ) é u vetor de oentos. Usando o Teorea para = 1, g = 1, h = 1, veos que a prieira e segunda condições passa por garantir que as atrizes [ ] 1 e1 A(1) = e 1 e 2 e B(0) = e 1 seja positivas seidefinidas, isto é, que e 2 e 2 1, e 2 0 e e 1 0. A terceira condição do teorea é trivialente verificada ua vez que v(2,0) = e 2 e o espaço das linhas de B(0) é siplesente R. Para ua leitura ais siples, definios µ e γ coo sendo e 1 = µk, e 2 = e 2 1γ para u k positivo. O vetor de oentos passa a ser ( 1, µk, γ(µk) 2) e as condições anteriores resue-se na proposição seguinte. Proposição Seja e = (1,e 1,e 2 ). Se definiros µ e γ coo e 1 = µk e e 2 = e 2 1γ, para u dado k positivo, então e é u vetor de oentos se e só se γ 1 e µ 0. Podeos encontrar e [10] ua fórula fechada dada por Lo para o liite superior quando são conhecidos apenas os dois prieiros oentos, e consequenteente, a édia e a variância do ativo subjacente. Bertsias e Popescu e [1] deonstra esta fórula através da resolução do problea (3.2), as por questões de notação, ireos apoiar-nos na forulação de Zuluaga [11] para a apresentar. Neste artigo encontraos a fórula considerando k = 1, sendo feito aqui o ajuste para u qualquer k positivo, que representa o preço de exercício da opção que estaos a avaliar.
34 20 Liitar preços de opções Teorea Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2 ) e u dado k > 0, onde µ e γ verifica a Proposição 3.2.1, o liite superior para o preço de opções call europeias obtido pela resolução do problea (3.2) é dado por: ρ = k 2 ((µ 1) + ) (γ 1)µ 2 + (µ 1) 2 k ( ) µ 1 γ Para o liite inferior, teos o teorea seguinte. se µ 2 γ, se µ > 2 γ. Teorea Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2 ) e u dado k > 0, onde µ e γ verifica a Proposição 3.2.1, o liite inferior para o preço de opções call europeias obtido pela resolução do problea (3.8) é dado por: ρ = k ax(µ 1,0). Noteos que apenas o prieiro oento te influência na fórula do liite inferior. Usando a inforação acerca dos oentos do índice S&P 500 nos dois períodos considerados, verificáos que os liites obtidos resolvendo o problea de otiização e as fórulas anteriores, fora os esos. Consultando as Tabelas 3.3 e 3.4 verificaos que os liites obtidos não se aproxia dos valores reais, o que era expectável. Isto deve-se ao uso dos oentos epíricos e ainda a outras siplificações coo a não consideração dos custos de transação. Três oentos Ireos agora analisar que fórulas se pode encontrar quando consideraos o terceiro oento. Ua vez ais, através do Teorea 3.2.1, obteos as condições para que e = (1,e 1,e 2,e 3 ) seja u vetor de oentos válido. A prieira condição que surge é A(1) 0, que foi analisada anteriorente. Esta reflete-se e garantir que e 2 e 2 1. Seguidaente tereos de verificar quando é que B(1) 0, isto é, [ ] e1 e B(1) = 2 0. e 2 e 3 Esta condição traduz-se por verificar quando é que e 1 e 3 e 2 2 e e 1,e 3 0. Por fi, deparao-nos co a condição de v(2,1) = (e 2,e 3 ) pertencer ao espaço gerado pelas linhas de A(1). Desta últia, surge dois casos: se a atriz A(1) é singular então e 2 = e 2 1 e a condição de v(2,1) estar no espaço das linhas de A(1) reduz-se a existir u t tal que v(2,1) = (e 2 1,e 3 ) = t(1,e 1 ) o que é equivalente a e 3 1 = e 3. Esta, por sua vez, é equivalente a e 1 e 3 = e 2 2 ; se a atriz A(1) é não singular então esta condição verifica-se sepre e teos ainda e 2 > e 2 1 o que iplica que a condição e B(1) seja e 1 e 3 e 2 2 e e 1 > 0. Assi, para que (1,e 1,e 2,e 3 ) seja u vetor de oentos não trivial, teos de garantir ua das duas condições seguintes: e 2 = e 2 1, e 1 0 e e 1 e 3 = e 2 2,
35 3.2 Inforação acerca dos oentos do ativo subjacente 21 e 2 > e 2 1, e 1 > 0 e e 1 e 3 e 2 2. Coo anteriorente, usareos ua fora ais legível definindo µ,γ e β coo e 1 = µk, e 2 = e 2 1 γ e e 3 = βe 3 1 co k > 0. O vetor de oentos passa a ser ( 1, µk, γ(µk) 2, β(µk) 3) e resuios estas condições na proposição seguinte. Proposição Seja e = (1,e 1,e 2,e 3 ). Se definiros µ,γ e β coo e 1 = µk, e 2 = e 2 1 γ e e 3 = βe 3 1, para u dado k positivo, então e é u vetor de oentos se e só se é verificada ua das duas condições seguintes 1. γ = 1, µ 0 e β = γ 2 2. γ > 1, µ > 0 e β γ 2. Sabendo agora coo garantir que u vetor de três oentos seja válido, analiseos as fórulas que podeos encontrar quando se verifica cada ua das condições anteriores. Novaente usareos os resultados de Zuluaga [11] apresentados seguidaente para u qualquer k real positivo. Considereos o prieiro caso da Proposição Teorea Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ) e u dado k > 0, onde µ, γ e β verifica a condição 1. da Proposição o liite superior e inferior para o preço de opções call europeias é dado por ρ = ρ = k ax (µ 1γ ),0. Noteos que, para este caso, os liites superior e inferior coincide. Analiseos agora o segundo caso da Proposição Teorea Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ), onde µ, γ e β verifica a condição 2. da Proposição e u dado k > 0, o liite superior para o preço de opções call europeias é dado por k in {a(µ,γ,β), b(µ,γ)}, ρ kb(µ,γ), ( ρ = k µ 1 ), se µ > 2 γ γ, se µ 2γ β se 2γ β < µ 2 γ, onde a(µ,γ,β) = b(µ,γ) = µ 1 2γµ+β µ (4β 2 µ 2 7γµ γµ+β µ 2 (4γµ 3) γµ+β µ 2 (1 1 2γµ+β µ 2 γµ) 1+8, 1 2γµ+β µ 2 1) 3 (4 1 2γµ+β µ 2 + ( ) (µ 1) + (γ 1)µ 2 + (µ 1) 2. ) Noteos que para µ > 2 γ teos o eso liite dado por Lo no Teorea Coo verificaos, para µ 2 2γ γ apenas encontraos u ajorante para o liite superior e aqui, soente para µ β é que o terceiro oento traz algua elhoria, sendo este u caso pouco cou. Seguidaente apresentaos u exeplo deste caso.
36 22 Liitar preços de opções 2 Moentos 3 Moentos Fórulas 0,1837 0,1452 Prob. Opti. 0,1837 0,1441 Tabela 3.2 Liite superior obtido por dois étodos considerando dois e três oentos. Considereos o vetor de oentos e = (1,e 1,e 2,e 3 ) onde k = 3, µ = 0,8, γ = 1,1 e β = 1,3. Aplicando as fórulas anteriores, obteos os resultados presentes na Tabela 3.2. Verificaos que a adição do terceiro oento diinui o valor obtido usando apenas dois oentos para abos os étodos. Notaos ainda que o valor obtido pelas fórulas usando três oentos é u ajorante do valor que resulta do problea de otiização, coo era previsto. Averigueos agora o liite inferior para a segunda condição da Proposição Teorea Considerando o vetor e = (1,e 1,e 2,e 3 ), onde µ, γ e β verifica a condição 2. da Proposição e u dado k > 0, o liite inferior para o preço de opções call europeias é dado por: onde µ = k (µ 1) se µ µ, ρ = k (γµ 1)2 β µ γ se 1 γ < µ µ, 0 se µ 1 γ, 2(γ 1) (β γ) (β 3γ + 2) 2 + 4(γ 1) 3. Coo podeos aferir, a consideração do terceiro oento elhora o liite inferior para valores de µ a satisfazer 1 γ < µ µ. Considerando os dois exeplos referentes a opções sobre o índice S&P 500, podeos ver a influência do terceiro oento nas Tabelas 3.3 e 3.4. Coparando o segundo e terceiro oentos, para o prieiro período, notaos que apenas encontraos ua ligeira elhoria de 0,02 no liite inferior para k = 2030 e de 0,102 no liite superior para k = Para o segundo período considerado, encontraos ua elhoria nos liites superiores de 0,085, 0,133 e 0,137 para k = 2070, 2100 e 2140, respetivaente. Quatro oentos Ebora não seja conhecidas fórulas para o preço de opções quando são considerados os quatros prieiros oentos do ativo, podeos calculá-los co base na resolução dos probleas de otiização, coo anteriorente. Recorrendo ao Teorea 3.2.1, verificaos que as condições que torna e = (1,e 1,e 2,e 3,e 4 ) u vetor de oentos válido são A(2) 0, ou seja, 1 e 1 e 2 e 1 e 2 e 3 0, e 2 e 3 e 4 B(1) 0, analisada anteriorente, e v(3,1) = (e 3,e 4 ) pertencer ao espaço das linhas de B(1).
37 3.3 Inforação acerca dos preços de outras calls 23 As Tabelas 3.3 e 3.4 perite-nos observar as diferenças existentes quando consideraos o quarto oento e os esos conjuntos de dados apresentados nas subsecções anteriores relativos ao índice S&P 500. k=1875 k=1930 k=1970 k=2030 k=2085 L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. 2 Mo. 172, , , ,412 77,500 78,869 17,500 22, ,687 3 Mo. 172, , , ,412 77,500 78,869 17,502 22, ,585 4 Mo. 172, , , ,011 77,500 78,366 17,509 22, ,113 V. Real 125,40 90,60 51,50 14,75 2,65 Tabela 3.3 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o prieiro período de tepo. k=1995 k=2015 k=2070 k=2100 k=2140 L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. L. inf. L. sup. 2 Mo. 61,678 64,104 41,678 45, , , ,827 3 Mo. 61,678 64,104 41,678 45, , , ,690 4 Mo. 61,678 63,489 41,678 44,076 0,238 7, , ,909 V. Real 44,70 42,30 14,00 6,80 1,73 Tabela 3.4 Preços reais e liites superior e inferior de opções obtidos coputacionalente considerando dois, três e quatro oentos do índice S&P 500 para o segundo período de tepo. Facilente se constata que, e abos os exeplos, a adição do quarto oento estreita o intervalo entre o liite inferior e superior principalente devido à diinuição dos liites superiores. Novaente, estes valores não são próxios dos valores reais. Coo já foi referido, dadas as siplificações assuidas e a aproxiação pelos oentos epíricos, tal era esperado. 3.3 Inforação acerca dos preços de outras calls Tendo agora e conta o preço de alguas opções co preços de exercício 0 < k 1 < k 2 <... < k n, procuraos novaente liitar o preço de ua outra opção sobre o eso ativo e co a esa aturidade das opções consideradas as co diferente preço de exercício, k. Considerareos que k, está entre k j e k j+1, isto é, k j < k < k j+1, j = 1,...,n 1. Lebreos que o preço de ua opção call europeia sob o ativo cujo preço é representado por X é dado por q(k) = E[ax(0,X k)], onde consideraos a taxa de juro e os custos de transação nulos Validade da função de avaliação do preço da opção Para o uso correto da inforação acerca dos preços de opções e consequente boa aplicação da teoria subjacente, surge-nos a questão de verificar se os preços observados no ercado são válidos.
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Eenta Noções Básicas sobre Erros Zeros Reais de Funções Reais Resolução de Sisteas Lineares Introdução à Resolução de Sisteas Não-Lineares Interpolação Ajuste de funções
Leia maisCap. 7 - Corrente elétrica, Campo elétrico e potencial elétrico
Cap. - Corrente elétrica, Capo elétrico e potencial elétrico.1 A Corrente Elétrica S.J.Troise Disseos anteriorente que os elétrons das caadas ais externas dos átoos são fracaente ligados ao núcleo e por
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 1. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 1 1. Resolução de Sisteas Lineares. 2. Métodos de substituição e escalonaento. 3. Coordenadas e R 2 e R 3. Roteiro 1 Resolução de Sisteas Lineares Ua equação linear é ua equação
Leia maisTeorema Chinês dos Restos
Teorea Chinês dos Restos Sauel Barbosa 22 de arço de 2006 Teorea 1. (Bézout) Seja a e b inteiros não nulos e d seu dc. Então existe inteiros x e y tais que d = ax + by. Se a e b são positivos podeos escolher
Leia maisTÓPICOS. Matriz pseudo-inversa. 28. Quadrados mínimos e projecção num subespaço. 1 W. , temos, neste caso,
Note be: a leitura destes apontaentos não dispensa de odo algu a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chaa-se a atenção para a iportância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo
Leia maisPropagação de erros. independentes e aleatórios
TLF 010/11 Capítulo V Propagação de erros independentes e aleatórios 5.1. Propagação da Incerteza na Soa ou Dierença. Liite superior do Erro. 50 5.. Propagação da Incerteza no Produto ou Diisão. Liite
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
Geoetria Analítica e Álgebra Linear Ale Nogueira Brasil Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade de Itaúna http://www.alebrasil.eng.br brasil@uit.br 0 de fevereiro de 00 Geoetria Analítica e Álgebra
Leia maisA, B, C polinómios conhecidos X, Y polinómios desconhecidos
Equações Diofantinas 23 Considere-se a equação AX + BY = C A, B, C polinóios conhecidos X, Y polinóios desconhecidos Há soluções? Quantas soluções há para ua dada equação? E geral, a equação pode ser definida
Leia maisINTRODUÇÃO ÀS FINANÇAS TAXAS NOMINAIS vs EFECTIVAS TAXAS EQUIVALENTES PARA PERÍODOS DIFERENTES TAE E TAEG
INTRODUÇÃO ÀS FINANÇAS TAXAS NOMINAIS vs EFECTIVAS TAXAS EQUIVALENTES PARA PERÍODOS DIFERENTES TAE E TAEG 2006. António Goes Mota, Cleentina Barroso, Helena Soares e Luís Laureano. Taxas Noinais vs Efectivas
Leia maisANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES
VII- &$3Ì78/ 9,, ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES 7.- INTRODUÇÃO O étodo de localização e análise do lugar das raízes é ua fora de se representar graficaente os pólos da função de transferência de u sistea
Leia maisHabilidades com Somatórios
S E M I N O G A I D A Á L R I O Habilidades co Soatórios Luís Cruz-Filipe 5 o ano da LMAC Ciência da Coputação lcf@ath.ist.utl.pt 4 de Outubro de 000 Palavras Chave soatório, característica, notação de
Leia maisII Matrizes de rede e formulação do problema de fluxo de carga
Análise de Sisteas de Energia Elétrica Matrizes de rede e forulação do problea de fluxo de carga O problea do fluxo de carga (load flow e inglês ou fluxo de potência (power flow e inglês consiste na obtenção
Leia maisLIMITES FUNDAMENTAL. Jair Silvério dos Santos * sen x
MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 4,?? 200) Cálculo Cálculo Diferencial e Integral I TEOREMA DO SANDUICHE LIMITES FUNDAMENTAL Jair Silvério dos Santos * Teorea 0 Dadas f, g, h : A R funções e 0 ponto de acuulação
Leia maisOBMEP ª FASE - Soluções Nível 3
OBMEP 008 - ª FASE - Soluções Nível 3 QUESTÃO 1 a) Só existe ua aneira de preencher o diagraa, coo ostraos a seguir. O núero 9 não pode ficar abaixo de nenhu núero, logo deve ficar no topo. Acia do núero
Leia maisDispersão de um pacote de ondas livres
Dispersão de u pacote de ondas livres Nos cursos introdutórios de ecânica quântica há sepre o problea da dispersão do pacote de ondas gaussiano para partícula livre, quando evolui segundo a equação de
Leia maisComecemos por recordar que neste jogo há um tabuleiro
ATRACTOR O triângulo de Sierpinski e as Torres de Hanói No âbito de ua colaboração entre a Gazeta e o Atractor, este é u espaço da responsabilidade do Atractor, relacionado co conteúdos interativos do
Leia maisLFEB notas de apoio às aulas teóricas
LFEB notas de apoio às aulas teóricas 1. Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau Este tipo de equações aparece frequenteente e sisteas oscilatórios, coo o oscilador harónico (livre
Leia maisQuantidade de movimento ou momento linear Sistemas materiais
Quantidade de oiento ou oento linear Sisteas ateriais Nota: s fotografias assinaladas co fora retiradas do liro. ello, C. Portela e H. Caldeira Ritos e Mudança, Porto editora. s restantes são retiradas
Leia mais5 Resultados Experimentais
5 Resultados Experientais Os resultados obtidos neste trabalho são apresentados neste capítulo. Para o desenvolviento deste, foi utilizado u robô óvel ("irobot Create") e u único sensor LRF(URG 4L UG ),
Leia maisGabarito Lista 5. f(x)dx ponto-a-ponto denindo: x c. 1 se x c. x c. O monopolista irá cobrar a transferência que deixa o tipo x = c + 1 λ
Professor: Lucas Maestri Microeconoia III Monitor: Pedro Solti EPGE / EBEF - 1 Gabarito Lista 1 O problea do onopolista é: ax Ix Ix x c 1 F x fxdx fx O onopolista axiiza escolhendo o valor da função Ix.
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
NOTAS DE AULA Geoetria Analítica e Álgebra Linear Reta e Plano Professor: Lui Fernando Nunes, Dr. Índice Geoetria Analítica e Álgebra Linear ii Estudo da Reta e do Plano... -. A Reta no Espaço... -.. Equação
Leia maisCOKRIGAGEM. Aplicação da cokrigagem
COKRIGAGEM Procediento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas pode ser estiadas e conjunto, co base na correlação espacial entre si. É ua extensão ultivariada do étodo da krigage
Leia mais7 Exemplos do Método Proposto
7 Exeplos do Método Proposto Para deonstrar a capacidade do étodo baseado nua análise ultirresolução através de funções wavelet, fora forulados exeplos de aplicação contendo descontinuidades e não-linearidades.
Leia maisMovimento oscilatório forçado
Moviento oscilatório forçado U otor vibra co ua frequência de ω ext 1 rad s 1 e está ontado nua platafora co u aortecedor. O otor te ua assa 5 kg e a ola do aortecedor te ua constante elástica k 1 4 N
Leia maisCCI-22 CCI-22. 7) Integração Numérica. Matemática Computacional. Definição Fórmulas de Newton-Cotes. Definição Fórmulas de Newton-Cotes
CCI- CCI- Mateática Coputacional 7 Integração Nuérica Carlos Alberto Alonso Sances Fórulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de
Leia maisCapítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos
Métodos Nuéricos Iterativos Métodos Nuéricos Iterativos Capítulo 3. Métodos Nuéricos Iterativos 1. Métodos nuéricos Sepre que se pretende resolver u problea cuja solução é u valor nuérico, é habitual ter
Leia maisInstrumentação e Medidas
nstruentação e Medidas Licenciatura e Engenharia Electrotécnica Exae (ª Chaada) de Julho de 20 Antes de coeçar o exae leia atentaente as seguintes instruções: Para alé da calculadora, só é peritido ter
Leia maisA 3,0. Em conclusão uma solução cinematicamente admissível é:
Considere a laje (de espessura,, E= 1 MPa e ν=,) siplesente apoiada ao longo de todo o seu contorno representada na Figura, subetida a ua carga uniforeente distribuída de 1 kpa..1 Deterine ua solução cineaticaente
Leia maisMatemática Computacional. Carlos Alberto Alonso Sanches Juliana de Melo Bezerra
CCI- Mateática Coputacional Carlos Alberto Alonso Sances Juliana de Melo Bezerra CCI- 7 Integração Nuérica Fórulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos
Leia maisBUSCA ASSÍNCRONA DE CAMINHOS MÍNIMOS
BUSCA ASSÍNCRONA DE CAMINHOS MÍNIMOS Silvio do Lago Pereira Luiz Tsutou Akaine² Lucio Nunes de Lira Prof. Dr. do Departaento de Tecnologia da Inforação FATEC-SP Prof. Esp. do Departaento de Tecnologia
Leia mais4 Mercado de Arrendamento
4 Mercado de Arrendaento O ercado de arrendaento de terras pode, e princípio, estabelecer ua alocação eficiente de recursos na agricultura. Entretanto, desde Ada Sith, iperfeições desse ercado vê intrigando
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS. Programação Dinâmica. Prof. Sérgio Fernando Mayerle
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS Prograação Dinâica . INTRODUÇÃO Na análise de uitos probleas operacionais, é conveniente considerar a idéia de u
Leia maisx = Acos (Equação da posição) v = Asen (Equação da velocidade) a = Acos (Equação da aceleração)
Essa aula trata de ovientos oscilatórios harônicos siples (MHS): Pense nua oscilação. Ida e volta. Estudando esse oviento, os cientistas encontrara equações que descreve o dito oviento harônico siples
Leia maisSecção 3. Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde Secção 3 Aplicações das equações diferenciais de prieira orde (Farlow: Sec 23 a 26) hegou a altura de ilustrar a utilidade prática das equações diferenciais
Leia maisXXIX OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Fase Final (5 de novembro de 2005) Nível α (5 a e 6 a séries do Ensino Fundamental)
XXIX OLIPÍADA PAULISTA DE ATEÁTICA Prova da Fase Final (5 de novebro de 2005) Nível α (5 a e 6 a séries do Ensino Fundaental) www.op.at.br Folha de Perguntas Instruções: A duração da prova é de 3h30in.
Leia maisRepresentação De Modelos de Sistemas Dinâmicos:
Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência 03 Representação De Modelos de Sisteas Dinâicos: - Equação Input-Output (I/O) - Função de Transferência INTRODUÇÃO Vereos,
Leia maisExperiência de Difracção e Interferências de ondas electromagnéticas
1º Seestre 2003/2004 Instituto Superior Técnico Experiência de Difracção e Interferências de ondas electroagnéticas Licenciatura e Engenharia Física Tecnológica Ricardo Figueira nº53755 André Cunha nº53757
Leia maisMANUAL OPERAÇÃO SIMULADOR DE BALANÇA DINÂMICA SÉRIE 1420
MANUAL DE OPERAÇÃO SIMULADOR DE BALANÇA DINÂMICA SÉRIE 1420 ENGELETRO COMERCIAL LTDA. Rua Gabriela de Melo, 484 Olhos d Água Norte 30390-080 Belo Horizonte MG Tel (31)3288-1366 Fax (31)3288-1099/1340 http://www.engeletro.ind.br
Leia maisMatemática D Extensivo V. 5
ateática D Extensivo V. 5 Exercícios 01 B I. Falso. Pois duas retas deterina u plano quando são concorrentes ou paralelas e distintas. II. Falso. Pois duas retas pode ser perpendiculares ou paralelas a
Leia maisNúmeros Bi-Harmônicos Semiprimos
NEAD Núcleo de Educação a Distância COLIMAT Coordenadoria do Curso de Licenciatura e Mateática TCC Trabalho de Conclusão de Curso Núeros Bi-Harônicos Seiprios Trabalho de Conclusão de Curso elaborado coo
Leia maisO Problema da Intersecção de Segmentos. António Leslie Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
O Prolea da Intersecção de Segentos António Leslie Bajuelos Departaento de Mateática Universidade de Aveiro 1 Cálculo do ponto de intersecção entre dois segentos Vaos a tratar o seguinte prolea: Dados
Leia maisValter B. Dantas. Geometria das massas
Valter B. Dantas eoetria das assas 6.- Centro de assa s forças infinitesiais, resultantes da atracção da terra, dos eleentos infinitesiais,, 3, etc., são dirigidas para o centro da terra, as por siplificação
Leia maisIII Introdução ao estudo do fluxo de carga
Análise de Sisteas de Potência (ASP) ntrodução ao estudo do fluxo de carga A avaliação do desepenho das redes de energia elétrica e condições de regie peranente senoidal é de grande iportância tanto na
Leia mais281 educação, ciência e tecnologia
8 CONCEITOS TEÓRICOS SOBRE FIGURAS MULTIDIMENSIONAIS A MATEMÁTICA IMPLÍCITA DE PITÁGORAS A FERMAT HOMAM ASAFKAN * PARTE I INTRODUÇÃO Breve Histórico que nos Reete às Figuras Multidiensionais O ateático
Leia maisPISM 3 QUESTÕES ABERTAS GABARITO
PISM 3 QUESTÕES ABERTAS GABARITO ) Deterine a equação da circunferência que passa pelos pontos A,5, B6, 3 e 0, Seja r a reta que passa pelos pontos A e B e s a reta que passa pelos pontos B e C. Coeficientes
Leia maisf (x) = 10 2x e f (x) = -2. H(x) = [-2] é sempre negativo então a função é côncava.
1. Para cada ua das seguintes funções, verifique se ele é côncava, convexa ou nenhua das duas, justificando e cada caso. (a) f(x) = 1x x (b) y = x 3 + x x + 1 (a) y = 1x x f (x) = 1 x e f (x) = -. H(x)
Leia maiscomprimento do fio: L; carga do fio: Q.
www.fisicaexe.co.br Ua carga Q está distribuída uniforeente ao longo de u fio reto de copriento. Deterinar o vetor capo elétrico nos pontos situados sobre a reta perpendicular ao fio e que passa pelo eio
Leia maisINVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios
INVESTIGÇÃO OPERIONL Prograação Linear Exercícios ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização ntónio arlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) i ap. VI nálise de
Leia maisDinâmica Estocástica. Instituto de Física, novembro de Tânia - Din Estoc
Dinâica Estocástica Instituto de Física, novebro de 06 Tânia - Din Estoc - 06 Modelo de Glauber-Ising a capo nulo Siulações de Monte Carlo Teorea central do liite & Modelo de Glauber-Ising Tânia - Din
Leia maisMecânica Newtoniana: Trabalho e Energia
Mecânica Newtoniana: Trabalho e Energia 2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-ail: walter@azevedolab.net 1 Trabalho Realizado por Ua Força Constante Considereos o sistea
Leia mais4 Análise da Estimativa da Máxima Injeção S m e da Margem M
4 Análise da Estiativa da Máxia Injeção e da Marge M O presente capítulo te coo objetivo analisar os índices de avaliação das condições de segurança de tensão, que é ua estiativa da áxia potência que poderia
Leia maisMODELAGEM MATEMÁTICA: MOVIMENTO COM RESISTÊNCIA DO AR PROPORCIONAL À VELOCIDADE
MODELAGEM MATEMÁTICA: MOVIMENTO COM RESISTÊNCIA DO AR PROPORCIONAL À VELOCIDADE Matheus Bernardi da Silva 1 Dyorgyo Poperaier Valesan 2 Karen Carrilho da Silva Lira 3 Gustavo Henrique Dalposso 4 RESUMO
Leia maisTeoria do Consumidor: Equilíbrio e demanda. Roberto Guena de Oliveira 18 de Março de 2017
Teoria do Consuidor: Equilíbrio e deanda Roberto Guena de Oliveira 18 de Março de 2017 1 Estrutura geral da aula Parte 1: Restrição orçaentária Parte 2: Equilíbrio Parte 3: Deanda 2 Parte I Restrição orçaentária
Leia maisINTRODUÇÃO "Todas as coisas são números". Pitágoras
MINICURSO: Explorando o Geoplano Professora Rosa Maria Machado e-ail: r@ie.unicap.br RESUMO Apresentareos neste evento alguas atividades sob a fora de inicurso a sere trabalhadas nas aulas de Mateática
Leia mais4 Modelo Proposto para Análise de Barras de Controle Local de Tensão
odelo roposto para Análise de Barras de Controle ocal de Tensão. Introdução A siulação de fluxo de carga é ua das principais ferraentas na análise de sisteas elétricos de potência e regie peranente. É
Leia maisEscoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos Circulares
Exeplo resolvido (Holan 5-7) Ar a 0 o C e 1 at escoa sobre ua placa plana a 35 /s. A placa te 75 c de copriento e é antida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa. opriedades avaliadas à
Leia maisPara um sistema elétrico, com NB barras, as equações básicas do fluxo de carga para
Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente II Fluxo de carga não linear: algoritos básicos II. Forulação do problea básico Para u sistea elétrico, co NB barras, as equações básicas do fluxo
Leia maisFísica Geral I. 1º semestre /05. Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C
Física Geral I 1º seestre - 2004/05 1 TESTE DE AVALIAÇÃO 2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA 1487 - OPTOMETRIA E OPTOTÉCNIA - FÍSICA APLICADA 8 de Novebro, 2004 Duração: 2 horas + 30 in tolerância Indique
Leia maisAVALIAÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 2: Geometria analítica: retas paralelas e retas perpendiculares Robson de Oliveira Bastos
10/12/2012 COLÉGIO: Colégio Estadual Fagundes Varela PROFESSOR: Robson de Oliveira Bastos MATRÍCULA: 09117847 SÉRIE: 3 a - Ensino Médio TUTOR (A: Cláudio Rocha de Jesus GRUPO: 07 AVALIAÇÃO DO PLANO DE
Leia maisCAPÍTULO 7. Seja um corpo rígido C, de massa m e um elemento de massa dm num ponto qualquer deste corpo. v P
63 APÍTLO 7 DINÂMIA DO MOVIMENTO PLANO DE ORPOS RÍGIDOS - TRABALHO E ENERGIA Neste capítulo será analisada a lei de Newton apresentada na fora de ua integral sobre o deslocaento. Esta fora se baseia nos
Leia maisCap 16 (8 a edição) Ondas Sonoras I
Cap 6 (8 a edição) Ondas Sonoras I Quando você joga ua pedra no eio de u lago, ao se chocar co a água ela criará ua onda que se propagará e fora de u círculo de raio crescente, que se afasta do ponto de
Leia maisExemplo: Controlo digital de um motor de corrente contínua
Modelação, Identificação e Controlo Digital 5-Controlo co técnicas polinoiais 5 Exeplo: Controlo digital de u otor de corrente contínua Pretende-se projectar u controlador digital para a posição de u pequeno
Leia maisTeoria Elementar da Fotodetecção 1
Prof. Carlos R. Paiva Departaento de Engenharia Electrotécnica e de Coputadores Instituto Superior Técnico Março de 6 Teoria Eleentar da Fotodetecção. Introdução A fotodetecção é u dos processos fundaentais
Leia maisMAT 130- EQUAÇÔES DIFERENCIAIS E APLICAÇÕES Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Primeiro Semestre de 2013
MAT 130- EQUAÇÔES DIFERENCIAIS E APLICAÇÕES Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Prieiro Seestre de 2013 EQUAÇÕES DE ORDEM 2 E COEFICIENTES VARIÁVEIS - TEOREMAS DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE.
Leia maisTEORIA E PRÁTICA NA BUSCA DE NÚMEROS PRIMOS DE MERSENNE
TEORIA E PRÁTICA NA BUSCA DE NÚMEROS PRIMOS DE MERSENNE Coissão Técnica: Prof. Dr. Edival de Morais Prof. M. Sc. Eduardo Quadros da Silva Profa. Dra. Maria da Conceição Pinheiro Autores: Prof. M. Sc. Leonardo
Leia maisGabarito - Lista de Exercícios 2
Gabarito - Lista de Exercícios Teoria das Filas Modelos Adicionais. U escritório te 3 datilógrafas e cada ua pode datilografar e édia, 6 cartas por hora. As cartas chega para sere datilografadas co taxa
Leia maisUma EDO Linear de ordem n se apresenta sob a forma: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 2 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = b (x) ; (6.
6. EDO DE ORDEM SUPERIOR SÉRIES & EDO - 2017.2 Ua EDO Linear de orde n se apresenta sob a fora: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 2 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = b (x) ; (6.1) onde os coe
Leia maisMESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2016/2017
MESTRDO INTEGRDO EM ENG. INFORMÁTIC E COMPUTÇÃO 2016/2017 EIC0010 FÍSIC I 1o NO, 2 o SEMESTRE 30 de junho de 2017 Noe: Duração 2 horas. Prova co consulta de forulário e uso de coputador. O forulário pode
Leia maisUma Variável Booleana é uma variável com domínio {0,1} (ou, equivalentemente, {falso, verdadeiro}).
Ua Variável Booleana é ua variável co doínio {0,1} (ou, equivalenteente, {falso, verdadeiro}). Ua Fórula é ua ligação de variáveis através de conectivos lógicos, ou operadores. ex: F= x3 /\ (( x1/\ x2)
Leia maisFísica II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 8
59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Oscilações Forçadas e Ressonância Nas aulas precedentes estudaos oscilações livres de diferentes tipos de sisteas físicos. E ua oscilação
Leia maisFísica II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 9. Oscilações Forçadas e Ressonância (continuação)
597 ísica II Ondas, luidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Oscilações orçadas e Ressonância (continuação) Nesta aula, vaos estudar o caso que coeçaos a tratar no início da aula passada, ou seja,
Leia maisCONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 03 / 2016
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO REITORIA Avenida Rio Branco, 5 Santa Lúcia 956-55 Vitória ES 7 3357-75 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 3 / 16 Professor do Magistério do Ensino Básico,
Leia maisLEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ. Paulo Pinto ppinto/ 2 GENES LIGADOS AO SEXO 2
Instituto Superior Técnico Departaento de Mateática Secção de Álgebra e Análise Notas sobre alguas aplicações de o Seestre 007/008 Álgebra Linear LEAb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ Paulo Pinto http://www.ath.ist.utl.pt/
Leia maisControlo digital de um motor de corrente contínua
43 Controlo digital de u otor de corrente contínua Pretende-se projectar u controlador digital para a posição de u pequeno otor de corrente contínua de ían peranente. u(k) D/A AP Motor y D/A y(k) Adite-se
Leia mais2.1. Um consumidor possui a função de utilidade do tipo Cobb-Douglas Considere um consumidor que possui a seguinte função de utilidade:
Microeconoia I Ficha : Capítulos 5, 6 e 8 Exercícios propostos Capítulo 5.1. U consuidor possui a função de utilidade do tipo Cobb-Douglas U(x 1, x ) = x 1 1/3 x /3. a) Utilize o ultiplicador de Lagrange
Leia maisOs Números Racionais e Irracionais. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum: Critérios de divisibilidade. n e n. m são ditas irredutíveis,
0/0/0 Máio divisor cou e ínio últiplo cou: Dados dois núeros naturais e n, chaareos de aior divisor cou entre n e o núero natural dc (,n) que é otido pelo produto dos fatores couns entre e n. Assi podeos
Leia mais(A) 331 J (B) 764 J. Resposta: 7. As equações de evolução de dois sistemas dinâmicos são:
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 018/019 EIC0010 FÍSICA I 1º ANO, º SEMESTRE 18 de junho de 019 Noe: Duração horas. Prova co consulta de forulário e uso de coputador. O forulário pode
Leia maisSISTEMAS BINÁRIOS ESTELARES
SISTEMAS BINÁRIOS ESTELARES A aioria das estrelas encontra-se e sisteas duplos ou últiplos, estando fisicaente associadas entre si, sob influência de ua ação gravitacional útua. Através do estudo dos sisteas
Leia maisDETERMINAÇÃO DO NÚMERO ÓTIMO DE CLASSIFICAÇÕES IMPERFEITAS NA AVALIAÇÃO DA CONFORMIDADE DE PRODUTOS
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO ÓTIMO DE CLASSIFICAÇÕES IMPERFEITAS NA AVALIAÇÃO DA CONFORMIDADE DE PRODUTOS Roberto da Costa Quinino Departaento de Estatística ICEX UFMG E-ail: roberto@est.ufg.br v.6, n.2, p.
Leia maisUMA HEURÍSTICA PARA UM PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO PRODUTO-MÁQUINA. Armando Zeferino Milioni, Nelson Miguel Marino Junior. Marcos Antonio Pereira
UMA HEURÍSTICA PARA UM PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO PRODUTO-MÁQUINA Arando Zeferino Milioni, Nelson Miguel Marino Junior Marcos Antonio Pereira Instituto Tecnológico de Aeronáutica (055 12 3947-5912) UniSoa
Leia maisEletromagnetismo I. Aula 9
Eletroagnetiso I Prof. Dr. R.M.O Galvão - 2 Seestre 214 Preparo: Diego Oliveira Aula 9 Solução da Equação de Laplace e Coordenadas Cilínicas e Esféricas Vaos ver coo a Equação de Laplace pode ser resolvida
Leia maisMÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS PARA A SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE STEFAN
CMNE/CILAMCE 007 Porto, 13 a 15 de Junho, 007 APMTAC, Portugal 007 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MÓVEIS PARA A SIMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE STEFAN Jaie Rodrigues 1,*, Rui Robalo, Maria do Caro Coibra 1 e Alírio
Leia maisCapítulo I Noções básicas sobre incertezas em medidas (cont.) Capítulo II Propagação de erros
Técnicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eng. Bioédica 2007/08 Capítulo I Noções básicas sobre incertezas e edidas (cont.) Discrepância entre duas edidas da esa grandeza Incerteza e edidas directas:
Leia mais2 Flambagem Viscoelástica
2 Flabage Viscoelástica ste capítulo apresenta alguns conceitos relacionados à viscoelasticidade linear e à instabilidade de sisteas estruturais viscoelásticos. Co o eprego de exeplos siples, os conceitos
Leia maisSegunda lista de exercícios
Segunda lista de exercícios 3 de abril de 2017 Docente Responsável : Prof. Dr. Antônio C. Roque Monitor: Renan Oliveira Shioura Os exercícios desta lista deve ser resolvidos e Matlab. Para a criação dos
Leia maisTeste Intermédio 1. Nº: Nome:
Faculdade de Econoia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade B 1º Seestre 2008/2009 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Maruo Daniel Monteiro Nº: Noe: Data: 25 de Outubro
Leia mais4 Chaveamento Automático de Banco de Capacitores
4 Chaveaento Autoático de Banco de Capacitores 4.1 Introdução robleas relacionados co a incapacidade do sistea e anter as tensões nas barras e níveis seguros de operação após u distúrbio tornara-se ais
Leia maisModelos stock-recrutamento
Modelos stock-recrutaento. O odelo Beverton-Holt Os odelos stock-recrutaento, usados pelos biólogos que trabalha co populações exploradas pela pesca, são u exeplo típico de odelos bioateáticos baseados
Leia maisDISTORÇÕES PROVOCADAS POR AGRUPAR ATIVIDADES E RECURSOS NO SISTEMA ABC
DISTORÇÕES PROVOCADAS POR AGRUPAR ATIVIDADES E RECURSOS NO SISTEMA ABC Edson de Oliveira Paplona, Dr. Escola Federal de Engenharia de Itajubá, Departaento de Produção - Av. BPS, 1303 - Itajubá-MG CEP:
Leia maisDocente Marília Silva Soares Ano letivo 2012/2013 1
Ciências Físico-quíicas - 9º ano de Unidade 1 EM TRÂNSITO 1 Movientos e suas características 1.1. O que é o oviento 1.2. Grandezas físicas características do oviento 1.3. Tipos de Moviento COMPETÊNCIAS
Leia maisCapítulo 1 Introdução, propriedades e leis básicas dos fluidos.
Capítulo 1 Introdução, propriedades e leis básicas dos fluidos. 1.1. Introdução A expressão fenôenos de transporte refere-se ao estudo sisteático e unificado da transferência de quantidade de oviento,
Leia maisAlgoritmo genético para o balanceamento de linhas de produção
Algorito genético para o balanceaento de linhas de produção Sérgio Fernando Mayerle (EPS / UFSC ayerle@eps.ufsc.br) Rodrigo Nereu dos Santos (EPS / UFSC rodns@eps.ufsc.br) Resuo Neste artigo é discutido
Leia maisMódulo 3 Trabalho e Energia
ódulo 3 Trabalho e Energia Objetio: Verificar a conseração da energia ecânica Até os dias de hoje, nenhu eperiento conseguiu erificar nenhua iolação, por enor que seja, da lei de conseração da energia.
Leia maisAnálise da capacidade de suporte horizontal de uma estaca isolada
Manual de engenharia No. 16 Atualização: 04/016 Análise da capacidade de suporte horizontal de ua estaca isolada Prograa: Arquivo: Estaca Deo_anual_16.gpi O objetivo deste anual de engenharia é explicar
Leia maisMicroeconomia I. Licenciaturas em Administração e Gestão de Empresas e em Economia
Microeconoia I Licenciaturas e Adinistração e Gestão de Epresas e e Econoia 009-010 1º Seestre Fernando Branco 14 de Abril de 010 Francisco Silva Teste Interédio Maria Jardi Fernandes O teste te a duração
Leia maisOnde estão os doces? Soluções para o Problema da Rua Encantada
Onde estão os doces? Soluções para o Problea da Rua Encantada Rossana Baptista Queiroz 1 1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS) Prograa de Pós-Graduação e Ciência da Coputação
Leia maisDistribuindo os partos ao longo do ano: o sistema da UNESP - Jaboticabal
Distribuindo os partos ao longo do ano: o sistea da UNESP - Jaboticabal Kleber Toás de Resende Professor do Departaento de Zootecnia da UNESP - Câpus de Jaboticabal. Rodovia Carlos Tonanni, k 5-14870.000
Leia maisEscala na Biologia. Na natureza, há uma grande variação dos tamanhos dos seres vivos.
Escala na Biologia Na natureza há ua grande variação dos taanhos dos seres vivos O copriento característico de u ser vivo é definido coo qualquer copriento conveniente para cálculos aproxiados Exeplos:
Leia maisMétodo Subgradiente Incremental para Otimização Convexa não Diferenciável
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA VANDO ANTÔNIO ADONA Método Subgradiente Increental para Otiização Convexa não Diferenciável Goiânia 2014 VANDO ANTÔNIO ADONA Método
Leia maisPGF MECÂNICA QUÂNTICA I (2010) Resolução Comentada da Lista de Problemas 5 Eduardo T. D. Matsushita
PGF51 - MECÂNICA QUÂNTICA I (1) Resolução Coentada da Lista de Probleas 5 Eduardo T. D. Matsushita 1. Considere ua partícula de carga e no capo elétrico de ua carga puntifore de carga igual a Ze. A hailtoniana
Leia mais