A Desigualdade Pode Afetar a Eficiência do Sistema Financeiro? Um Modelo de Equilíbrio em Dois Períodos com Fricções na Intermediação Financeira.

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1 ISSN DOI.5935/ ,, 7 5 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Um Modelo de Equlíbro em Dos Períodos com Frcções na Intermedação Fnancera. Wenersamy Ramos de Alcântara *, Danela P. R. de Alcântara, José Mara F. J. da Slvera Sumáro: Palavras-chave: Códgos JEL: D3, O6.. Introdução;. Defnção do modelo; 3. Cartera ótma de nvestmento para um dado nível de recursos excedentes; 4. Solução do programa de otmzação; 5. Smlação Numérca do Equlíbro; 6. Análse dos resultados; A. Apêndce: Caracterzação do parâmetro de desgualdade γ. Sstema Fnancero, Efcênca, Desgualdade, Frcções, Crescmento Endógeno. Este trabalho apresenta um modelo de equlíbro que mostra um canal através do qual a desgualdade na dstrbução de rqueza pode afetar o desenvolvmento do sstema fnancero. Na presença de frcções, nomnalmente: um lmte à proporção de dívda nos projetos fnancados pelos bancos e um tamanho mínmo dos projetos dsponíves na economa, mostramos que a desgualdade pode afetar o volume ntermedado pelo sstema fnancero e consequentemente, consderando ganhos de escala, sua efcênca. Smulações com dversas parametrzações revelam uma relação não lnear e não monotônca entre desgualdade e efcênca do sstema fnancero, medda pelo spread entre captação e concessão de empréstmos. Ths study presents an equlbrum model that shows a channel through whch wealth nequalty may affect the fnancal system development. In the presence frctons, namely, a lmt to the proporton of debt n projects fnanced by banks and a mnmum sze of projects avalable n the economy, we show that nequalty may negatvely affect the volume of resources ntermedated by the fnancal system and, hence, ts effcency, gven the assumed gans of scale. Smulatons under several parameterzatons reveal a non-lnear, non-monotonc relaton between nequalty and fnancal system effcency, as measured by the spread between borrowng and lendng. * Professor das Faculdades Alfa, Faculdade Projeção e Analsta do Banco Central do Brasl. SBS Quadra 3 Bloco B, Edfíco Sede 4 Andar, Brasíla, DF. CEP E-mal: wenersamy.alcantara@alfa.br Analsta do Banco Central do Brasl. E-mal: pres.danela@gmal.com Professor do Departamento de Economa da Unversdade Estadual de Campnas Uncamp. E-mal: jmslv@eco.uncamp.br 7

2 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera. INTRODUÇÃO A relação entre desgualdade e o desenvolvmento do sstema fnancero fo avalada em trabalhos como os de Aghon e Bolton 997 e Beck, Demrguc-Kunt e Levne 5, ndcando que mperfeções do mercado fnancero, tas como custos de transação e de nformação, afetam especalmente os ndvíduos mas pobres por não possuírem acesso a garantas reas. Estas restrções de crédto podem mpedr o acesso de ndvíduos mas pobres a projetos de alto retorno, dada a dfculdade de obter fnancamento pelo mercado fnancero, um dos tópcos abordado pelas Nações Undas sobre polítcas contra a desgualdade Unted Natons, 3. Um sstema fnancero menos acessível e menos efcente, por sua vez, tem mpactos negatvos no desenvolvmento e crescmento econômco e também na dstrbução de renda, como em L, Squre e Zou 998. Para os autores, os resultados encontrados se devem ao aumento do acesso ao crédto aos mas pobres, o que lhes permte fazer nvestmentos produtvos. Este trabalho nvestga um canal para a nfluênca no sentdo nverso, ou seja, a desgualdade como obstáculo ao desenvolvmento do sstema fnancero. É possível, portanto, que exsta endogenedade na relação entre o desenvolvmento do sstema fnancero e a dstrbução de renda. O pressuposto do modelo é a exstênca de ganhos de escala na atvdade bancára. Consdera-se que o banco ncorre em custos fxos para manter sua capacdade de análse de crédto e esta capacdade já é sufcente para atender qualquer número de clentes, não havendo necessdade de novos nvestmentos no horzonte de decsões analsado. Dessa manera, o custo margnal da undade monetára emprestada, seja a clentes antgos ou novos clentes, é apenas o seu custo de captação: a remuneração dos depóstos. Como resultado, a efcênca do sstema aumenta com o aumento das recetas advndas do volume de empréstmos multplcado pelo spread entre captação e empréstmo. As restrções de nvestmento mínmo e de crédto, contudo, mpedem que uma parte da com população com menos recursos tome crédto para nvestr em projetos, lmtando a capacdade do sstema fnancero de converter poupança em nvestmento e, consequentemente, lmtando o crescmento da economa. O menor volume de recursos que crcula no sstema fnancero reduz sua efcênca tanto mas quanto mas desgual for a socedade, resultando em maores spreads e menor produção da economa como um todo. Assm, o canal através do qual a dstrbução de renda afeta a efcênca do sstema fnancero é a escala, dada pelo volume de recursos transferdos entre poupadores e nvestdores. Como os bancos apresentam ganhos de escala, quanto maor o volume transaconado, menor pode ser a dferença entre a taxa cobrada pelos empréstmos e a taxa oferecda para depósto, ou seja, o spread, que será usado como medda da nefcênca do sstema fnancero. Dos resultados do modelo, observou-se que este efeto compete com outro: quanto menor a desgualdade e a restrção ao nvestmento mínmo, menor a necessdade de empréstmos e de um sstema fnancero para reduzr os custos de coordenação, já que os agentes possuem dotação sufcente para nvestr no projeto por conta própra, se assm o decdrem. Quanto menor a desgualdade, mas mportante esse efeto, e para desgualdades muto baxas ele domna o efeto dos ganhos de escala, levando a uma menor efcênca do sstema fnancero em termos de menores volumes e maores spreads. O resultado fnal é que, dadas as restrções ao nvestmento e à concessão de crédto, há uma dstrbução de renda ntermedára para a qual a efcênca do sstema fnancero é máxma e o crescmento da economa através do nvestmento em atvos reas é o maor possível. Em resumo, este trabalho busca nvestgar a relação entre a efcênca do sstema fnancero e a desgualdade através de um modelo de equlíbro em dos períodos, com agentes avessos ao rsco e que tomam decsões entre consumo e nvestmento na presença de um sstema fnancero smplfcado que aufere lucro pela dferença entre as taxas de captação de recursos e de empréstmos. Ao especfcar dferenças nas dotações ncas de rqueza dos ndvíduos na presença de frcções restrção ao crédto e ao nvestmento mínmo, esta abordagem permte mostrar que a desgualdade também afeta a própra efcênca do sstema fnancero. 8

3 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero?. DEFINIÇÃO DO MODELO Incalmente serão defndos os agentes econômcos, sua dstrbução de rqueza e o parâmetro do modelo que está assocado à desgualdade. Também serão descrtos os projetos dsponíves na economa, sujetos a restrções de nvestmento mínmo e, fnalmente, será descrto o setor bancáro, cujo lucro depende do volume transaconado e do spread. Nesta economa smplfcada, há apenas dos preços: a taxa cobrada pelos bancos para empréstmos e a taxa que os bancos pagam pelos depóstos. Esses preços e a dstrbução de rqueza afetam a decsão de consumo, poupança e nvestmento dos agentes econômcos que, por sua vez, afetam o volume que equlbra poupança e nvestmento, bem como o lucro dos bancos. Nessa economa smplfcada, há apenas dos preços: a taxa cobrada pelos bancos para empréstmos e a taxa que os bancos pagam pelos depóstos. Esses preços e a dstrbução de rqueza, dadas as frcções modeladas, afetam a decsão de consumo, poupança e nvestmento dos agentes econômcos que, por sua vez, afeta o volume que equlbra poupança e nvestmento e o lucro dos bancos de modo que as taxas de empréstmo e captação e a decsão poupança e nvestmento são defndos conjuntamente. O problema será encontrar a combnação de consumo, poupança e nvestmento dos agentes econômcos que maxmza a sua utldade, sujeta às restrções de crédto e de nível mínmo de nvestmento, e escolher as taxas de captação e empréstmo que garantam que a poupança seja gual ao nvestmento e que o lucro dos bancos seja máxmo... Dotação ncal Consdere, portanto, uma população contínua de agentes econômcos ndexados por [,] que devem decdr como consumr completamente sua rqueza ou dotação ncal d, ao longo de dos períodos: t = e t =. Assume-se que tas agentes sejam avessos ao rsco e possuam preferêncas ntertemporas que admtam representação por uma função utldade esperada de von Neumann e Morgenstern. Partcularmente, usaremos a função: U = logc, + logc,, em que c, e c, representam, respectvamente, o consumo em t = e t = do ndvíduo, e corresponde a uma taxa de desconto da utldade do consumo futuro, o que nfluenca a preferênca relatva na decsão entre consumr no presente ou consumr no futuro. Tradconalmente assume-se que os agentes econômcos sejam mpacentes e que, portanto,. É possível assumr, sem perda de generaldade, que a dstrbução de rqueza seja uma função monotônca não decrescente de, de modo que a > b d,a d,b. Adconalmente, para evtar formalsmos desnecessáros, consdere que d, seja contínua e sempre postva. Nestas condções, a rqueza total ncal da população de agentes será dada por: D = d, d, de modo que a rqueza ncal de um quantl z da população como proporção da rqueza total pode ser dada por: z d, D, z = d, 3 D e é possível representar a dstrbução de rqueza grafcamente como na Fgura. Como D, z z, a Essa função utldade apresenta aversão ao rsco relatva constante CRRA e gual a, tem razoável aderênca empírca e resulta em decsões de nvestmentos sem efeto rqueza. 9

4 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Fgura. Representação da dstrbução da rqueza. D, z Dstrbução unforme da rqueza, d, = D Qualquer outra dstrbução monotônca d, não decrescente. z dferença entre a área abaxo da reta e a área abaxo de D, z pode ser utlzada como uma medda de desgualdade. Tal medda é usualmente conhecda como índce de Gn, que neste caso será dado por Gn = D, z dz = z d, D d dz. 4 Assumremos que a dstrbução de rqueza seja exponencal, de modo que a rqueza ncal será dada por d, = Ae γ, 5 em que A é um fator de escala e γ está relaconado com a desgualdade na dstrbução de rqueza, já que quando γ é muto pequeno d, = Ae γ aproxma-se da dstrbução unforme e quando γ cresce a dferença entre o mas pobre e o mas rco aumenta exponencalmente. A rqueza total da população no período t = será, portanto, D = d, d = Ae γ d = A γ eγ = A eγ ; 6 γ e a rqueza ncal de um quantl z da população como proporção da rqueza total será dada por z d, D, z = d = z Ae γ d = A z D D D γ eγ = A e γz = eγz D γ e γ. 7 O índce de Gn será então Gn = D, z dz = = Gn = eγ γ e γ e γz e γ dz 8

5 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? para todo γ >. No Apêndce A demonstramos que o índce de Gn é uma função estrtamente crescente de γ, de modo que quanto maor γ, maor a desgualdade, como mostrado na Fgura. Os agentes econômcos têm a opção de usar parte de sua rqueza não consumda em t = para nvestr em um projeto dsponível na economa. A rqueza gerada em t = pelo projeto depende da rqueza nvestda pelo agente, k, e do sucesso do projeto. O projeto será modelado como um expermento de Bernoull, possundo uma probabldade π se ser bem suceddo, caso em que gera a rqueza k + r S, e uma probabldade π de fracasso, stuação em que gera uma rqueza k + r F, sendo que r S > é o retorno em caso de sucesso e r F,r S é o retorno ocorrendo fracasso. Ao estpularmos que r F >, estamos assumndo que a responsabldade sobre os nvestmentos é lmtada ao captal nvestdo. A varável aleatóra correspondente ao retorno do projeto será denotada por r. Note que o retorno esperado e a varânca do retorno são dados, respectvamente, por e E [ r j ] = πr S + πr F 9 σ r = π r S E[r] + πr F E [ r] = π r S + πr F E [ r] = π πr S r F. Note anda que o produto πr S + πr F πr S + πr F está relaconado com a varânca πr S + πr F πr S + πr F = σ r + r S r F. Gnγ Fgura. Índce de Gn em função de γ..8 eγ γ e γ γ 5 5 De fato, a responsabldade lmtada é equvalente a r F, ou seja, a responsabldade do aconsta lmta-se a % dos bens nvestdos em atvos da empresa retorno lmtado nferormente em ou % de perda, não atngndo sua rqueza pessoal perda de mas de %. A exclusão da gualdade, resultando em r F >, smplfcará alguns resultados sem qualquer prejuízo para as conclusões do modelo.

6 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Adconalmente, assume-se que seja necessáro um captal mínmo para que se possa fazer o nvestmento, denotado por K, embora não haja lmtação quanto ao total de recursos nvestdos por todos os agentes ou por um deles, ndvdualmente, sendo necessáro, portanto, que k K... Intermedação fnancera Para todos os efetos, o sstema fnancero será modelado como um únco banco, de modo que questões relaconadas à concorrênca não serão analsadas. Assume-se que o banco tenha um custo fxo de montoração em t = denotado por C SF, ndependente do volume de recursos transaconados, levando a ganhos de escala. 3 Consdera-se que o custo margnal do banco seja exclusvamente o custo de captação dos depóstos. Como todos os empréstmos devem ser pagos um período adante e não há possbldade de saques antes dsso, não há depóstos compulsóros e a questão da gestão da lqudez e das corrdas bancáras não serão analsadas. Cada agente pode depostar, em t =, um montante p no sstema fnancero, correspondente a uma poupança de parte dos seus recursos excedentes ao consumo, pelo que receberá em t = o montante p +r p, r p >. Um agente também tem a possbldade de tomar um empréstmo em t = no valor b junto aos bancos, pelo qual terá que pagar b + r b em t =, de modo que: r b > r p. 3 O trabalho de Aghon e Howtt 998 sugere uma lmtação no crédto proporconal à rqueza ncal para nclur mperfeções de mercado no modelo. No modelo aqu apresentado, como toda a rqueza está dsponível no prmero período e parte dela será usada para consumo e não para nvestmento, é razoável assumr que os bancos só acetarão fornecer crédto sobre uma fração do nvestmento, caso contráro não haverá recursos para pagar o empréstmo. O crédto dependerá, portanto, das garantas e do rsco do projeto, e não da rqueza do nvestdor. Agentes com menor rqueza ncal, contudo, contnuarão prvados de crédto porque a fração do nvestmento ncal que precsa ser fnancada é muto grande. Assm, o montante máxmo que será emprestado a um agente será: b,max = αk, 4 ndcando que o sstema fnancero aceta fnancar uma fração < α < de cada projeto. Um valor conservador para α é α = + rf + r b. 5 Essa defnção garante que mesmo em caso de falha no projeto restaram garantas sufcentes para pagar ntegralmente a dívda: o banco acetará fnancar o valor termnal do projeto no por caso, ou seja, no caso de falha, descontado a valor presente pelo custo do empréstmo. Note que o pressuposto de responsabldade lmtada garante que + r F /+r b >. Adconalmente, como será mostrado em detalhes adante, para que coexstam depóstos e nvestmentos na economa é necessáro ter r b > r F. Tal relação, por sua vez, garante que +r F /+r b <, logo, a utlzação de 5 garante que < α <. A prmera condção de equlíbro de mercado no presente modelo é que os montantes depostados e emprestados sejam os mesmos: b d = p d. 6 3 Este pressuposto assume que o banco presta um servço de montoração delegada Damond, 984, um conceto que pode ser usado para explcar por que bancos atraem depóstos apesar de serem sujetos a corrdas bancáras Damond & Dybvg, 983. É nteressante ressaltar, contudo, que enquanto nos modelos de Damond e Dybvg os agentes são homogêneos, o presente modelo requer heterogenedade. Isto ocorre porque se deseja mostrar exatamente como a dstrbução de rqueza mpacta o equlíbro na presença de frcções na ntermedação fnancera. Assm, as frcções do sstema fnancero no presente modelo apenas afetam o equlíbro se houver heterogenedade, caso contráro, o únco equlíbro possível é o de autarqua, conforme será mostrado ao fnal da dscussão da seção.3.

7 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Quando há uma únca taxa para emprestar e tomar emprestado, a condção 6 é sufcente para garantr o equlíbro. No presente caso, contudo, podem exstr dversos pares de valores para r p e r b que garantem que a quantdade ofertada de recursos seja gual à quantdade demandada, sendo necessára uma segunda condção. A rqueza produzda pelo sstema fnancero será dada pelo spread entre o retorno dos empréstmos e o custo dos depóstos multplcado pelo montante total transaconado. Esta rqueza corresponde a um retorno r SF sobre C SF, que os bancos tentarão maxmzar: r SF = C SF r b b d r p p d = C SF rb r p = C SF rb r p b d p d. Os bancos escolherão o par de taxas r p e r b que satsfaz 6 e resulta no maor valor para r SF. A segunda condção de equlíbro é, portanto, que 7 seja máxmo..3. Condção de maxmzação O consumo de cada agente em t = e em t = será dado por 7 c, = d, k p + b ; c, = + rk + + r p p + b b b, 8 em que k, p e b serão escolhdos de modo a maxmzar a utldade esperada do agente, resultando no programa de otmzação dado por max E[U ] = lnc, + E lnc, b,p,k s.a. b αk p k = ou k K v < c, < d,. Pela condção v assume-se que os extremos c, = e c, = d, não ocorrem, em prmero lugar, por não fazerem parte do domíno da função utldade esperada já que teríamos consumo zero no prmero ou no segundo período. Em segundo lugar, o fato da utldade esperada tender a em qualquer um dos casos tem um sgnfcado econômco: o ndvíduo tem necessdades mínmas em ambos os períodos e ter consumo nulo em qualquer um deles é nacetável. Cumpre observar que um agente maxmzador de utldade nunca escolherá p > e b > smultaneamente, já que o custo do empréstmo é maor que o rendmento do depósto. Também nunca ocorrerá o caso em que k = p =, pos mplcara em b = já que não há nvestmento em projeto e, consequentemente, c, =, cuja possbldade já fo excluída pela condção v em 9. Dessa manera, poderão ocorrer apenas os seguntes casos: Caso A: b = e k K o agente nveste a rqueza excedente ao consumo em uma cartera de depósto e nvestmento em um projeto; Caso B: b = e k = o agente smplesmente faz depósto da rqueza excedente ao consumo no período ncal; 9 3

8 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Caso C: p = e k K o agente usa sua rqueza e possvelmente um empréstmo para nvestr em um projeto. Dadas as observações acma, é possível reespecfcar 9 de forma mas convenente. De níco, defnremos os recursos excedentes ao consumo no prmero período como Também é possível defnr a proporção de s nvestda no projeto: e a proporção de s nvestda em poupança ou tomada de empréstmo: de modo que s = d, c,. ω p,b Como não ocorre p > e b > smultaneamente, tem-se ω p,b o depósto e ω p,b ω k exste um únco valor de ω p,b ω k = k s, = p b s, ω k + ωp,b =. 3 = p /s caso o agente decda fazer = b /s caso o agente decda tomar um empréstmo. Usando 3, para cada valor de possível dado por ω p,b = ω k, 4 de modo que, por smplcdade, será usado apenas ω = ω k no resto do texto. Por 4, o consumo no segundo período pode ser reescrto como em que Fnalmente, defnndo c, = s + rω + + r ω ω, 5 r r ω = p, se ω, r b se ω >. f ω,s = E [ ] { lnc, = E [ln s + rω + + r ω ω }] 7 e usando as defnções de a 6, o programa de otmzação em 9 pode ser reespecfcado como { max ln d, s + f ω,s } ω,s s.a. s ω k αk = αω k s = ω k α ω k = ou ωk K s < s < d,

9 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Adconalmente, as relações e 4 resultam em ω s = p b, o que permte reescrever a condção de equlíbro de mercado em 6 como ω s d =, 9 em que ω e s são as soluções da otmzação 8 para cada a agente econômco. Da mesma manera, é possível reescrever o retorno para os bancos em 7 como r SF = ω s r ω d = ω s r ω d. 3 C SF C SF Desta forma, a economa estará em equlíbro e as taxas de captação e empréstmo bem defndas quando: a utldade dos agentes, sujeta às restrções de nvestmento e tomada de empréstmo, for máxma, conforme 8; a poupança for gual ao nvestmento, conforme 9; e o retorno para os bancos em 3 for máxmo. Ao decdr o consumo no período ncal, o agente automatcamente decde o valor s dos recursos excedentes. Na próxma seção será analsada a alocação destes recursos, que corresponde à decsão de quanto poupar e de quanto nvestr no projeto. Tal decsão é sujeta às restrções de rqueza, nvestmento mínmo e valor máxmo do empréstmo que pode ser obtdo através dos bancos, consderados o retorno do depósto, o custo do empréstmo e o rsco e retorno do nvestmento no projeto dsponível na economa. 3. CARTEIRA ÓTIMA DE INVESTIMENTO PARA UM DADO NÍVEL DE RECURSOS EXCEDENTES Antes de resolvermos a otmzação 8, será útl analsarmos o comportamento do valor ótmo de ω, que defne a alocação de recursos excedentes entre projeto, poupança e empréstmo, para um dado valor s = x, de modo que seja possível pesqusar algumas condções de regulardade bem como partculardades do problema como defndo neste modelo. Essa alocação ótma será representada por ω s =x e, como a utldade do prmero período só depende de s, pode ser expressa como ω s =x = arg max ω {} [ K s, α ] E [ ln {s ω + r + ω + r ω }] [ = arg max ω {} [ ] E lns + ln ω + r + ω + r ω ] K s, α [ = arg max ω {} [ ] E ln ω + r + ω + r ω ] K s, α = arg max ω {} [ ] K s, α { π ln ω + r S + ω + r ω + πln ω + r F + ω + r ω } { = arg max ω {} [ π ln ω ] r S r ω + + r ω K s, α } + πln ω r F r ω + + r ω 3 5

10 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Se K/s > / α então ω s =x =, de modo que nenhum agente com K/d, > / α d, < αk poderá nvestr no projeto. Neste ponto, cabe estabelecer algumas condções de regulardade para os retornos dos projetos. Como r S > r F, há três ntervalos abertos em que r ω pode estar. Estes ntervalos são consderados abertos para evtar a gualdade e smplfcar a manpulação algébrca quando termos em r S r ω ou r ω r F estverem no denomnador. Se r p estver à dreta de r S ou à esquerda de r F, há domnânca estocástca de prmera ordem do depósto ou do nvestmento no projeto, respectvamente, e a utldade esperada no segundo período será claramente máxma quando ω =, se r p > r S > r F, ou ω =, se r S > r F > r p, de modo que um dos dos, depósto ou nvestmento, nunca sera feto: se a taxa de equlíbro r p for muto alta, nenhum projeto na economa será feto, mas se for muto baxa, nenhum depósto será feto e não exstrá ntermedação fnancera. Em relação a r b, dado que r S > r F > r b = r S > r F > r p, ao exclurmos a possbldade de que r S > r F > r p também estamos admtndo que não ocorre r S > r F > r b. Adconalmente, r b > r S > r F também não pode ocorrer, pos sso mplcara na nvabldade do fnancamento dos projetos com dívda, já que a contração de dívda para nvestmento em projetos sgnfcara smplesmente a redução de rqueza no segundo período. Como estamos admtndo que toda a dotação está dsponível no prmero período, neste caso também não havera necessdade da ntermedação fnancera. Assm, a própra exstênca do sstema fnancero e a coexstênca de depóstos e nvestmentos em projetos na economa, estes últmos possvelmente fnancados com dívda, pressupõem que a remuneração dos depóstos e o custo das dívdas sejam tas que r S > r ω > r F, 3 para qualquer valor de ω. A análse mas mportante que pode ser trada de 3, contudo, é que, a menos das restrções, a alocação ótma ndepende de s, e este fato, essencal para a solução fnal do problema, pode ser estabelecdo como ω s =x = ω, 33 ou seja, a alocação ótma rrestrta no segundo período para s = x, representada por ω s =x, é gual à alocação ótma rrestrta no segundo período qualquer que seja o valor de s, representada por ω. Para achar tal alocação, ndependente de restrções, ncalmente é necessáro estudar o comportamento da expressão E [ ln ] [ ] c, /s que se deseja maxmzar em 3. E ln c, /s é defnda e contínua entre ω r S r ω + + r ω = = ω = + r ω 34 r S r ω e ω r F r ω + + r ω = = ω = + r ω r ω r F. 35 De r S > r ω resulta que 34 é sempre menor que zero e, portanto, r ω = r p. Por outro lado, de r ω > r F > resulta que 35 é sempre maor que, de modo que neste caso, r ω = r b. Como resultado, o domíno de E [ ln ] c, /s em função de ω é Dom E [ ln c ] {, = ω s R + r p < ω r S r < + r } b. 36 p r b r F É nteressante notar que, dada a condção de regulardade 3, a restrção do programa de otmzação 8 torna rrelevante o lado esquerdo de 36. Já o lado dreto da condção de regulardade 36 6

11 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? pode tornar rrelevante a restrção em 8 caso ocorra α > + r b r b r F = r b r F > + r b α αr b α + r b > + r F α > + rf + r b, ou seja, se a restrção ao crédto for pouco rgorosa, ela torna-se rrelevante frente ao rsco de perdas com o projeto. Dessa manera, assumremos que α + rf + r b, 37 de modo que 3 em conjunto com a restrção em 8, assumndo que vale 37, garantem que 36 seja obedecda. É mportante ressaltar que a gualdade em 37 corresponde à utlzação de 5 para a restrção de crédto, que já é conservadora. Agora se demonstra outra propredade desejável de tal relação: sua utlzação garante que ω obedeça 36. Para se encontrar o máxmo de E [ ln ] c, /s em 36, faz-se necessáro analsar suas dervadas onde estas estão defndas. A prmera dervada parcal em relação a ω é: [ E ln c ], s r S r ω = π ω ω r S r ω + + r ω + π r F r ω ω r F r ω + + r ω, 38 que não é defnda em ω =, já que r ω não é dferencável nesse ponto. Embora E [ ln ] c, /s não seja dferencável em ω =, é possível encontrar os lmtes lateras da dervada: [ E ln c ], s r S r p lm = π ω ω r F r p + π r S r p + + rp r F r p + + rp = π r S r p π rf r p + + r S + r F = π r S r p + rf + π r F r p + rs + r S + r F = E[ r] + rs r F r p + πr F + πr S + r S + r F E[ r] rp + πrf + πr S σ r =, + r S + r F 39 em que o últmo passo vem de. De modo análogo, obtém-se [ E ln c ], s E[ r] rp + πrf + πr S σ r lm = ω ω + r S + r F 4 Como E [ ln c, /s ] é contínua em ω = ou seja, os seus lmtes lateras são guas ao seu valor em ω =, E [ ln c, /s ] possu um canto em ω = após o qual a dervada vara bruscamente. 7

12 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Além dsso, de r F > resulta que + πr F + πr S > π + r S >, 4 e como r b > r p, a varação brusca após o canto em ω = é negatva e a dervada dmnu de valor. A segunda dervada parcal em relação a ω é E [ ln c, s ω ] r S r ω = π π ω r S r ω + + r ω r F r ω ω r S r ω + + r ω, 4 que também não está defnda em ω =. Como r S > r ω > r F, 4 é obvamente negatva em todos os pontos em que é contínua e a prmera dervada é estrtamente decrescente nos ntervalos em que também é contínua, além de varar negatvamente ao passar pelo seu ponto de descontnudade em ω =. Se 39 e 4 tverem snas opostos, ou se um deles tver valor nulo, então E [ ln ] c, /s cresce a taxas decrescentes até ω = e decresce a partr daí, de modo que E [ ln ] c, /s terá um máxmo global em ω =. Alternatvamente, se 39 e 4 forem dferentes de zero e possuírem o mesmo snal, E [ ln ] c, /s terá um máxmo global quando 38 for gual a zero. Esse máxmo global ocorrerá para ω = ω, tal que: r S r ω π ω + rs + r F r ω + π ω + r ω ω + rf + = ω + r ω r S r ω = π ω rs r r F r ω = π ω + + r ω ω rf r ω + + r ω π ω rf r ω + + r ω r F r = π ω rs r ω + + r ω ω r S r ω π ω + + r ω r F r = π ω ω + + r 4 ω r S r ω ω = π + r ω r F r + π + r ω ω r S r ω + r ω ω = π r + π ω r F + r ω r S r ω, que é uma méda ponderada pelas probabldades π e π dos pontos de descontnudade 34 e 35, de modo que ω seguramente pertence ao domíno de E [ ln ] c, /s se assumrmos que < π <, pos se π = ou π = teríamos o mesmo problema de domnânca estocástca de prmera ordem que fo evtado ao assumrmos que r S e r F são tas que r S > r ω > r F. Nestas condções e dado ω, exste uma vznhança ao redor de ω em que 38 é contínua, mudando de snal nesta vznhança: é postva à esquerda de ω e negatva à dreta, já que 38 é estrtamente decrescente. Se 39 e 4 forem ambos negatvos, então ω = ocorre à dreta de ω e, portanto, ω <. Se 39 e 4 forem ambos postvos, então ω = ocorre à esquerda de ω e, portanto, ω >. Adconalmente, como ω < não pode ser solução para o problema 3, se ω, então a utldade esperada para ω estará num trecho decrescente dervada negatva, e o máxmo, consderando-se 4 r F > = πr F > π = + πr F + πr S > π + πr S = + πr F + πr S > π + r S >. 8

13 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? a restrção ω, ocorrerá para ω =, ou seja, nnguém, ndependentemente da rqueza ncal, terá nteresse em nvestr no projeto, logo, qualquer projeto vável na economa deverá ser tal que ω > : ω > = π + r ω r + π ω r F + r ω r S r ω > π + r ω r > π + r ω ω r F r S r ω π r > π ω r F r S r pos + r ω ω > π r S r ω > π r ω r F pos r S > r ω > r F πr S πr ω > πr ω πr F πr S + πr F > πr ω + πr ω E[ r] > r ω, ou seja, um projeto só será vável se seu retorno esperado for maor que o retorno certo do depósto ou que o custo do empréstmo usado para fnancá-lo. Este resultado era esperado já que a utldade logarítmca é côncava e, portanto, apresenta aversão ao rsco. Em resumo, há três possbldades para o comportamento de E [ ln ] c, /s dependendo dos valores de π, r S e r F, que defnem o rsco e retorno do projeto, e das taxas de equlíbro da economa, r p e r b. A prmera possbldade é que 39 e 4 possuam snas opostos ou uma delas possua valor nulo, caso em que o máxmo global de E [ ln ] c, /s ocorre para ω =. Um exemplo deste caso é apresentado na Fgura 3. A segunda possbldade é que as dervadas lateras sejam ambas negatvas, mplcando em r ω <, como mostrado na Fgura 4. Fnalmente, a tercera possbldade é que as dervadas lateras sejam ambas postvas, resultando em ω > Fgura 5. Como 39 é sempre maor que 4, as dervadas lateras serão postvas quando 4 for postvo: 43 E[ r] + r S r F r b + πr F + πr S + r S + r F = r p < r b < = E[ r] r b + πr F + πr S σ r + r S + r F E[ r] + r S r F + πr F + πr = E[ r] σ r S + πr F + πr, S > 44 negatvas quando 39 for negatvo: E[ r] + r S r F r p + πr F + πr S E[ r] rp + πrf + πr S σ r = < + r S + r F + r S + r F = r b > r p > E[ r] + r S r F + πr F + πr = E[ r] σ r S + πr F + πr, S 45 e haverá máxmo global em ω = nos casos ntermedáros: r b E[ r] + r S r F + πr F + πr = E[ r] σ r S + πr F + πr r p. 46 S 9

14 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Fgura 3. Máxmo global de E [ ln c, /s ] em ω = quando as dervadas lateras possuem snas dstntos. Neste exemplo π = 59 %, r S = 5 %, r F = 5 %, r p = % e r b = % E[lnc, /s ] ω Fgura 4. Máxmo global de E [ ln c, /s ] em ω =,44 < quando as dervadas lateras são negatvas. Neste exemplo π = 53 %, r S = 5 %, r F = 5 %, r p = % e r b = % E[lnc, /s ] ω =, Student Verson of MATLAB ω Ou seja, lembrando que E[ r] > r b > r p é uma condção de regulardade, o resultado fnal dependerá do rsco do projeto. Dado um nível de retorno E[ r], tanto σ r quanto que r S aumenta ou r F dmnu. 5 σ r +πr F + πr S crescem à medda 5 Fxando o retorno esperado em r, então π = r rf r S r r S r F e π = r S r F, resultando em σ r = r S r r r F e σ r r S +πr F + πr S = r r r F r+r S +r F. Usando rs > r > r F e mas a condção de responsabldade lmtada do projeto, as dervadas parcas tanto de σ σ r como de r +πr F + πr S em relação a rs e r F possuem o mesmo snal. 3

15 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Fgura 5. Máxmo global de E [ ln c, /s ] em ω =,67 > quando as dervadas lateras são postvas. Neste exemplo π = 65 %, r S = 5 %, r F = 5 %, r p = % e r b = % E[lnc, /s ].5. ω =, ω Se o projeto envolver pouco rsco, vale a condção 44 e haverá estímulo para usar fnancamento no projeto ω >. Se o projeto envolver rsco moderado, ocorre a stuação em 46 e todo o recurso excedente será nvestdo no projeto, mas sem alavancagem ω =. Fnalmente, se o rsco do projeto for muto alto, uma parte dos recursos excedentes ao consumo no prmero período será poupada < ω <. Mesmo que exsta a possbldade de fnancamento, rscos desestmulam a utlzação de empréstmos. As consequêncas desta conclusão e sua relação com a rqueza ncal do ndvíduo constam da próxma seção. Assm, algebrcamente: Máxmo global em < ω < : projeto com alto rsco e vale a condção 45; Máxmo global em ω > : projeto com baxo rsco e vale a condção 44; Máxmo global em ω = : projeto com rsco moderado e vale a condção 46. Trata-se de um resultado mportante porque mostra que a alocação ótma do excedente ao consumo ndepende da rqueza do agente. Na ausênca de frcções, a proporção do excedente ao consumo que sera nvestda só depende do perfl de rsco e retorno do projeto, em relação ao custo do empréstmo e ao retorno dos depóstos. Se essa proporção é a mesma para cada agente da economa, também é a mesma para a economa como um todo, de modo que todos tenderam a poupar ou todos tenderam a tomar emprestado, e o volume de equlíbro de poupança e nvestmento sera zero. A únca fonte de dferencação possível para as preferêncas de alocação ω entre os agentes da população sera o parâmetro, a preferênca relatva entre consumr no presente e consumr no futuro, 6 que não podera ser unforme entre os agentes e tera que ser ncluído na maxmzação efetuada em 3. Neste caso, a efcênca do sstema fnancero dependera dos valores de, e a dstrbução de 6 Se tvesse sdo utlzada uma função utldade CRRA com parâmetro de aversão ao rsco por exemplo, Uc = c ν / ν, em que ν é o nível de aversão ao rsco a varação deste parâmetro entre os agentes também podera ser uma fonte de dferencação entre as escolhas de alocação ótma do excedente ao consumo. Da mesma manera, expectatvas dversas quanto aos retornos do projeto também dferencaram as escolhas de alocação ótma. De qualquer modo, estes fatores só adconam complexdade sem melhorar a explcação dos efetos que são objeto de análse do modelo. 3

16 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera rqueza sera rrelevante. Se consderarmos as frcções, nomnalmente: a restrção ao nvestmento mínmo e à concessão de crédto, os agentes com menos recursos não podem alocar seus excedentes de manera ótma. Assm, a exstênca de frcções torna a dstrbução de renda relevante para a defnção do volume de equlíbro de poupança e nvestmento, e para a efcênca do sstema fnancero. Na seção segunte serão quantfcados os efetos das frcções na defnção da alocação do excedente ao consumo, prescndndo-se da dferencação nos valores de, que serão consderados unformes entre os agentes econômcos. 4. SOLUÇÃO DO PROGRAMA DE OTIMIZAÇÃO É nteressante ganhar alguma ntução sobre a otmzação antes de resolvê-la. Como exemplo, a Fgura 6 mostra a superfíce de utldades esperadas para um agente com dotação ncal d, = e com = 7 %, em uma economa em que o projeto exge nvestmento ncal K =, a chance de sucesso é π = 7 %, com retorno em caso de sucesso de r S = 5 % e retorno em caso de fracasso de r F = 3 %. Utlzou-se anda r b = 4,7 % e r p = 8,7 %. Nesta stuação, como 4,7 % σ E[ r] r +πr F + πr S =,7 % 8,7 %, temos o caso em que ω =. Se não houvesse restrções, o máxmo de utldade sera obtdo para: ln d, s + f ω,s = s e d, s + s = s = d, + σ ω =, se r b E[ r] r ω +πr = F + πr S r p +rω π + π +rω rω, nos demas casos, r F r S rω conforme dscutdo na seção anteror. As curvas de nível da superfíce na Fgura 6 são mostradas na Fgura 7, destacando-se o ótmo rrestrto em s = 4,8 e ω =. Se forem ncluídas as restrções, a solução deverá ser escolhda dentre os pontos da unão entre o segmento de reta com ω = e a regão delmtada à esquerda pela restrção de nvestmento mínmo e à dreta pela proporção máxma de dívda, como mostrado na Fgura 8. Por 8, a restrção ao nvestmento mínmo corresponde à hpérbole ω = K/s e a restrção ao fnancamento máxmo corresponde à reta ω = α. Para smplfcar a análse, consderamos ncalmente apenas a restrção ao nvestmento mínmo, pos se trata da restrção mas complexa matematcamente e a restrção ao fnancamento poderá ser ncluída adante sem muto esforço. Na medda em que d, va dmnundo, o conjunto de soluções possíves va reduzndo-se, mas a restrção de captal mínmo não será lmtante enquanto o ponto de máxmo sem restrção estver no conjunto de soluções possíves. O máxmo rrestrto sará da regão de soluções possíves para valores de d, menores que aqueles que fazem com que a hpérbole ω = K/s

17 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Fgura 6. Utldade esperada para r S = 5 %, r F = 3 %, p = 7 %, K =, α = 4 %, = 7 %, d, =, r b = 4,7 % e r p = 8,7 %. Fgura 7. Curvas de ndferença correspondentes à utldade esperada exbda na Fgura Excedente ao consumo Alocação do excedente ao consumo passe pelo ponto de máxmo sem restrção. Logo, a restrção será lmtante quando: s ω < K = d, ω + < K K+ σ, se r b E[ r] r +πr F + πr S r p = d, < K+ +rω [π +rω ], nos demas casos. + π rω r F r S rω 49 33

18 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Fgura 8. Restrções quanto ao nvestmento mínmo e ao lmte de fnancamento. No nosso exemplo sto ocorre quando, mantendo-se todos os demas parâmetros constantes, d, < 48,57. A stuação lmítrofe, quando d, = 48,57, está lustrada na Fgura 9. Na medda em que d, sofre reduções posterores, o máxmo passa a ocorrer sobre a hpérbole ω = K/s, no ponto em que esta tangenca uma das curvas de ndferença. O lagrangeano do problema com a restrção ao nvestmento mínmo, nestas condções, fca: Lω,s,λ = ln d, s + f ω,s λs ω K. 5 Para evtar o problema da descontnudade de r ω, consderaremos que seu valor é uma constante r. Após obtermos uma solução em função de r, este será substtuído por aquele entre os possíves valores r p ou r b que for compatível com o ω correspondente ω < para r p e ω > para r b. Se os dos resultados forem ncompatíves, é porque a solução ocorre no ponto de descontnudade, em que ω = e s = K. Grafcamente, uma possbldade sera como aquela representada na Fgura. Intutvamente, fo representada na Fgura apenas uma possbldade para a solução de canto em que o máxmo da utldade, dado um valor fxo s = K, ocorre a esquerda de ω =. É possível conclur sso porque, vsualmente, a nclnação da curva de ndferença, destacada com lnha contínua, tem nclnação negatva à esquerda de ω =, o que quer dzer que os pontos numa vznhança à esquerda de ω =, dado s = K, são nterores à curva de ndferença, possundo, portanto, utldade maor que no ponto ω = e s = K. Isso corresponde ao caso em que vale a condção 45. Já no caso em que vale a condção 44, deslocamentos numa vznhança à dreta de ω = devem aumentar a utldade, e, portanto, a nclnação da curva de ndferença deve ser postva à dreta de ω = para que os pontos correspondentes a uma vznhança à dreta de ω =, dado s = K, estejam no nteror da curva de ndferença. Como a dervada à esquerda de ω = também é postva, pos tem que ser maor que a dervada à dreta de ω = uma vez que a curva de ndferença é convexa, sso sgnfca que não há como exstr solução de canto no caso em que vale a condção 44. Esta stuação é lustrada na Fgura. Contudo, é possível estabelecer as condções para a solução de canto de manera mas rgorosa. A dervada da restrção hperbólca é dada por ds dω ω s =K = d K = K dω ω ω. 34

19 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Fgura 9. Stuação lmítrofe a partr da qual reduções em d, tornam a restrção ao nvestmento mínmo lmtante em relação ao ótmo rrestrto Curvas de nvel Restrção de nvestmento mínmo Restrção de fnancamento 35 Excedente ao consumo Alocação do excedente ao consumo Fgura. Exemplo de solução de canto em que ω = e s = K. Como a solução de canto somente ocorrerá para om =, a dervada da restrção hperbólca neste ponto terá o valor K. Por outro lado, as curvas de nível da função utldade, que correspondem às curvas de ndferença, são dadas por F ω,s = ln d, s + f ω,s = ln [ d, s + {lns + E ln + rω + + r ω ω ]} = h, 5 em que h é um nível constante de utldade esperada. Nos pontos de contnudade da função utldade esperada, ou seja, no seu domíno e assumndo que r ω = r, a dervada total de F ω,s, df ω,s = 35

20 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Fgura. Quando vale a condção 44 não há possbldade de solução de canto. F/ ω dω + F/ s ds, será [ ] r r df ω,s = E dω + rω + + r ω + + d, s ds, 5 mas como a dervada total é zero ao longo de um curva de nível, resulta que a nclnação da reta tangente a uma curva de nível em um ponto ω,s, será r r E dω + rω + + r ω + + d, s ds s = [ ] r r = ds E 53 + rω + + r ω =. dω df= + d, s A solução de canto tem que ocorrer no cruzamento da hpérbole ω s = K com a reta vertcal ω =, resultando em = E [ ] r r + r π rs r +r = S + π rf r +r F ds dω df= ω =,s =K d, K + K = K d, K K d, K s d, K K π rs r + r S + π rf r + r F Como as curvas de ndferença são fechadas e convexas, para que o ponto ω,s =,K seja solução de canto é necessáro e sufcente que a hpérbole apenas toque, mas não cruze, a curva de nível, caso contráro exstra uma curva de nível nteror, e portanto com maor utldade, em que estara a solução. Assm, o lmte à esquerda da dervada da curva de ndferença no ponto ω,s =,K deve ser maor menor em valor absolto que a nclnação da hpérbole dada por K, enquanto o lmte à dreta da dervada da curva de ndferença no ponto ω,s =,K deve ser menor maor em valor. s 54 36

21 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? absoluto que K, garantndo que o ponto ω,s =,K seja o únco em que a hpérbole toca a curva de ndferença. Usando 54, sto pode ser expresso como π rs r p +r S + π rf r p +r F > K ω,s =,K Kd, K K d, K e Kd, K π K d, K rs r b +r S + π rf r b +r F < K. 55 Note que π rs r + r + π rf r S + r = + πrf + πr S E[ r] + r S r F F + r S + r F + πr F + πr r, S então segue que ω,s =,K Kd, K +πr F + πr S K d, K +r S +r F e Kd, K +πr F + πr S K d, K +r S +r F > K d, K K d, K E[ r]+r S r F +πr F + πr S r p E[ r]+r S r F +πr F + πr S r b > < E[ r] + r S r F + πr F + πr S r p > K d, K K d, K + πrf + πr S rp r + r S + r F b < + d, K E[ r] + r S r F +πr F + πr S K d, K + πr F + πr r S p +r S +r F < d, K K d, K r b r p. O últmo passo fo possível porque +πrf + πr S +r S +r F >, dada a condção de responsabldade lmtada, r F >. Fnalmente, as condções em 55 podem ser reescrtas como ω,s + r S + r F =,K < + πr F + πr + d, K E[ r] + r S r F S K d, K + πr F + πr r S p < d, K K d, K 56 r b r p. A condção 56 mplca que d, K K d, K >, já que r b r p > por defnção, e, portanto, ω,s d, K =,K = K d, K > = ou K+ Como >, a últma desgualdade nunca será verdadera, resultando: > d, > K K+ < d, < K. ω,s =,K = K + > d, > K 57 37

22 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Dada a condção 57, d, < K+ = K d, K >, o que nos permte reescrever 56 como: ω,s =,K < K d, K + r S + r F + πr F + πr S + d, K E[ r] + rs r F + πr F + πr S < d, K r b r p < K + + r S + r F K E[ r] + r S r F + πr F + πr S + Kr p + d, E[ r]r S r F d, + r S + r F + πr F + πr S d, r p < d, K r b r p < K + + r S + r F + r S r F K E[ r] + r S r F + πr F + πr S + Kr p d, + rp < d, K r b r p < K + rs + r F + πr F + πr S + K + r p d, + rp < d, K r b r p K + r S + r F d, + rp < + πr F + πr S + K + r p < d, + r b K r b r p K+r S +r F +r b +πr F + πr S + K < d, e K+r d, < S +r F +r p +πr F + πr S + K. Ocorre que de d, < K + / e 58 vem: 58 e K + r S + r F + r b + πr F + πr S + K < d, d, < K + = K < K + K + r S + r F + r b + πr F + πr S E[ r] + r S r F = r b > + πr F + πr, S ndcando 7 que as condções em 58 nunca serão satsfetas quando o projeto for de baxo rsco, já que para esse caso ocorrer é necessáro que r p < r b < E[ r] + r S r F / + πr F + πr S. Logo, nunca ocorrerá solução de canto quando ω >, que é a mesma conclusão a que já havíamos chegado anterormente de forma mas ntutva. Já para projetos de rsco moderado, em que ω =, só não haverá a possbldade de solução de canto se r b = E[ r] + r S r F / + πr F + πr S, e fcam valendo as condções necessáras e sufcentes para a exstênca de solução de canto expressas em 58, que também são váldas para projetos de rsco alto, com < ω < e r b > r p > E[ r] + r S r F / + πr F + πr S. Note que até agora temos assumdo que as condções em 58 são váldas apenas se d, < K+. Contudo, como estamos tratando de uma stuação em que a restrção nvestmento mínmo é lmtante, vale a condção 49, d, < K+, que quando ω ω = equvale a d, < K+. 7 No últmo passo utlzou-se o fato de que + r S + r F = E[ r] + r S r F + + πr F + πr S. 38

23 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Já quando < ω <, K+ < K+ ω, e a condção 49 pode ser satsfeta com K+ ω > d, K+, mas neste caso não havera solução de canto. No entanto, a condção d, < K + / será redundante para < ω < se = = K + r S + r F + rp + πrf + πr S + K K + + r S + r F + rp + πrf + πr S r S + r F + πr F + πr S + rp = E[ r] + rs r F + + πr F + πr S + πr F + πr S + rp E[ r] + r S r F = + πr F + πr + r S p. Como < <, tem-se também que: E[ r] + r S r F + πr F + πr + > S = E[ r] + r S r F + πr F + πr + > S E[ r] + r S r F + πr F + πr S + E[ r] + r S r F + πr F + πr S, resultando, portanto, que para a condção d, < K + / ser redundante no caso em que < ω < é necessáro que E[ r] + r S r F E[ r] + r S r F r p > + πr F + πr S + πr F + πr S = r p > E[ r] + r S r F + πr F + πr S Como para < ω < vale a relação r b > r p > E[ r] + r S r F / + πr F + πr S, a condção acma é sempre satsfeta. Resulta que apenas as restrções em 58 já representam de forma completa as condções necessáras e sufcentes para que exsta solução de canto. Nos casos em que não há solução de canto, é possível resolver a otmzação através de uma otmzação com restrção convenconal. Lembrando que f ω,s = E [ ] lnc, [ = E ln s + rω + + r ω ω ] = lns + E [ ln + rω + + r ω ω ] = lns + π ln + r S ω + + r ω ω + πln + r F ω + + r ω ω, 39

24 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera as condções de prmera ordem fcam: L = + ω s d, s s λ = L πr F r π r S r = s ω λ + + = r ω + + r F ω + r ω + + r S ω L λ = K s ω = A solução do sstema 59 leva a duas equações polnomas do segundo grau, uma em ω e outra em s, resultando em dos valores para ω e dos outros para s : s Soluções = + r + [ d, + r + K + r r r S r F + ± + r 4K + K r r F r r S ] r πr F + + πr S + d, + rr πr F + + πr S + d, + r K r F + r S + π r F r S + r S r + / 6 e ω Soluções = K r r F r r S + d, + rr πr F + + πr S [ d, + r + K + r r r S r F + + r 4K + K r r F r r S r πr F + + πr S + d, + rr πr F + + πr S + d, + r K r F + r S + π r F r S + r S r + / ] 6 Isto ocorre porque não fo ncluída a restrção ao crédto e, consequentemente, não fcou garantdo que os valores obtdos para ω estvessem no domíno estabelecdo em 36. Para smplfcar a notação, faça: [ ] A = d, + r + K + r r r S r F + r πr F + + πr S B = K r r F r r S + d, + rr πr F + + πr S C = + r 4K + C + d, + r K r F + r S + π r F r S + r S r + 4

25 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? = s Soluções = ω Soluções A ± B + r + = A B C. 6 Se há equlíbro, apenas o menor valor de ω, e consequentemente o maor valor de s = K/ω, estará no domíno de f ω,s. A prncípo, a solução será, portanto, a segunte combnação de valores em 6: e s s+ A + B = + r + ; 63 ω s = A B C. 64 Há um caso, contudo, em que 63 e 64 não representam as soluções fnas quando o nvestmento mínmo é lmtante. Se as restrções forem muto fortes, seja a restrção ao crédto, seja a restrção hperbólca ao nvestmento mínmo, o que sgnfca que d, é muto pequeno em relação a K, então a utldade máxma obtda com as restrções será cada vez menor, até que se torne menor que a maor utldade sem nvestmento em projeto, com ω =, que ocorre, por 47, quando s = d, +. Esta utldade mínma, abaxo da qual o ótmo passa a ser o ponto ω,s =,d, +, será F,d, +, que por 5 fca: [ F,d, = ln d +, d, + + ln d, + ln ] + r + p d, + d, d, + rp = ln + + ln + d, d, + = ln + + ln + = lnd, ln + + [ lnd, + ln + rp ln + ] 65 = + lnd, + ln + + ln +. A solução fnal é:,d,, se F ω + s,s s+ < + lnd, ω,s = + ln + + ln + A B C, A + B + r, caso contráro Esta stuação é lustrada na Fgura que mostra como, dependendo do nível de desgualdade e da severdade da restrção ao nvestmento mínmo, os agentes mas pobres podem smplesmente não ter qualquer acesso a nvestmentos que poderam melhorar seu bem estar. É possível nferr que a redução no volume nvestdo tenha mpactos não apenas na efcênca do sstema fnancero como também no crescmento econômco, chegando-se a um resultado semelhante ao de Aghon e Howtt 998, contudo, o modelo aqu proposto trás uma varação não dscutda pelos autores: elevados graus de desgualdade e de equdade mpactaram negatvamente a efcênca. 4

26 Wenersamy R. de Alcântara, Danela P. R. de Alcântara e José Mara F. J. da Slvera Fgura. Exemplo de stuação em que as restrções mpõem um lmte tão severo à proporção de nvestmento que se torna mas preferível não fazer nvestmento algum em projeto. Resta, por fm, ntroduzr a restrção de crédto, que pode porar anda mas a stuação dos agentes mas pobres. Se o nvestmento mínmo não é lmtante, o ótmo será smplesmente: ω mn,,d α, Já para o caso em que o nvestmento mínmo é lmtante, basta usar a nterseção da hpérbole da restrção ao nvestmento mínmo com a reta ω = / α: ω s = K ω = = s = K α. 68 α A consderação sobre a utldade dessa solução ser menor que a utldade em ω,s =,d, + também é válda na stuação com nvestmento mínmo e restrção ao crédto lmtantes, e a solução fnal fca:,d,, se F ω s +,s s+ < + lnd, ω,s = α,k α, caso contráro. 5. SIMILAÇÃO NUMÉRICA DO EQUILÍBRIO + ln + + ln + rp Dada a complexdade da solução do modelo descrto, suas mplcações foram analsadas através do cálculo numérco do equlíbro para o conjunto de parâmetros descrtos na Tabela. A escolha dos pro- 69 4

27 A Desgualdade Pode Afetar a Efcênca do Sstema Fnancero? Tabela. Parâmetros usados nas smulações numércas. Parâmetro Projeto dsponível na economa Restrção ao nvestmento mínmo como proporção da rqueza total no período ncal K/D Valores smulados Projeto : r S = %, r F = 9% e π = 6% Projeto : r S = 48%, r F = 8% e π = 6% Projeto 3: r S = 65%, r F = 5% e π = 35%.,., e Taxa de desconto da utldade do consumo futuro,5;,5 e,75 Desgualdade γ,, 3, 4 e 5 jetos fo orentada por valores típcos de retorno esperado e desvo padrão de bolsas de países desenvolvdos Projeto e emergentes Projeto. O Projeto 3 tem retorno esperado e desvo padrão típcos de países emergentes, mas ncorpora uma assmetra maor em dreção a retornos postvos. Em smulações prospectvas observou-se que nem sempre exste o equlíbro. A combnação de nível de desgualdade e restrção ao nvestmento mínmo pode gerar stuações em que smplesmente não há empréstmos nem depóstos. Por exemplo, se o nvestmento mínmo for muto alto, o projeto pode não ser acessível ou desejável nesta escala para a maora da população. Se não houver nvestmento no projeto, não haverá tomada de crédto e os bancos fcam sem função no modelo não há empréstmo entre agentes smplesmente para ajustar suas preferêncas ntertemporas de consumo e poupança. Por outro lado, se a desgualdade for muto baxa e o nvestmento mínmo não mpuser um lmte muto alto, os agentes não precsam do sstema fnancero para nvestr. Novamente o banco fca sem função e não há equlíbro. A escolha da restrção ao nvestmento mínmo buscou usar valores de modo que houvesse o maor número possível de stuações em que exste o equlíbro. Os valores escolhdos para smplesmente buscam uma cobertura razoável para o ntervalo entre e. Como as smulações são computaconalmente muto custosas, decdu-se utlzar apenas três valores em todas as combnações possíves. Analogamente, a escolha de γ buscou uma cobertura razoável dos valores de índce de Gn encontrados em economas reas, conforme a equação 8. Até o valor 5, a relação entre o índce de Gn e γ apresenta pouca não-lneardade, como mostrado na Tabela. Para cada valor de γ fo necessáro usar um valor correspondente do parâmetro de escala A, conforme a relação 6, de modo que a rqueza total da economa não mudasse de uma smulação n para Tabela. Valores de γ usados, índces de Gn correspondentes e economas reas cujos índces de Gn aproxmam-se dos utlzados na smulação. Fonte: Unted Natons 9. γ Índce de Gn Correspondente Exemplo de países com índce de Gn próxmo 6,4% Menor que Dnamarca 3,3% Canadá, Eslovêna, Paqustão 3 43,8% Ngéra, Hong Kong, Flpnas 4 53,73% Brasl, Equador, Paragua 5 6,36% Botswana, Hat 43