3. Representação de Sistemas

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1 3. Representção de Sistes 0 3. Representção de Sistes 3. Introdução Os sistes físicos que serão objeto de tenção neste curso são quees cujo coportento pode ser descrito por eio de equções diferenciis ordináris e que o tepo (t) é vriáve independente ineres e coeficientes constntes. rtse, piis de sistes ineres invrintes no tepo (SLI s) e ess descrição (ou su equivente n for de função de trnsferênci) é o que se ch qui de odeo teático do siste. A construção do odeo teático norente é feit prtir ds eis físics que rege o coportento do siste e estudo eis de Kirchhoff pr sistes eétricos, eis de ewton pr sistes ecânicos, etc. É fundent não confundir o odeo teático co reidde. O prieiro sepre te ssocido si u conjunto de iitções que condicion su vidde. Assi, por exepo, qundo dotos o odeo teático v R i pr descrever o coportento de u resistor re, estos supondo que o cor produzido por efeito i(t) Joue não é suficiente pr "queir" o resistor; reção entre tensão e corrente está sendo ideizd coo iner; e prticur, estáse supondo que os sinis são suficienteente entos pr que efeitos indutivos ou cpcitivos poss ser desprezdos se os sinis vrire v(t) rpidente, u odeo coo o à esquerd i(t) poderá ser is fie o coportento do resistor re. R videnteente, o engenheiro de controe e não pens ee! deve procurr trbhr sepre co o odeo is sipes que ind sej úti à náise/projeto de cd probe específico. Auentndose copexidde do odeo, podese ehorr su precisão; por outro do, o nuseio do odeo se torn cd vez is trbhoso e copicdo, o que crcteriz existênci de u coproisso entre precisão e sipicidde. É cou, utiizndose experiênci e bo senso, prtirse de u odeo sipes pr resover u probe prático e, posteriorente, pr vidr s hipóteses sipificdors dotds, utiizrse então u odeo is copexo. A odege teátic é u fse cruci de todo probe de náise ou projeto e engenhri de controe. É por e que coeç e é e que deterin o sucesso n soução do probe. este curso, serão considerdos excusivente co sistes ineres pr os quis se pic o princípio d superposição e invrintes no tepo. stes sistes pode ter seu coportento descrito por equções diferenciis ordináris coeficientes constntes. Qundo o coportento do siste for centudente não iner, teori ser qui discutid ind poderá ser picáve o probe referente à operção e u pequen região e torno de u ponto (condição) noin. As ferrents sere desenvovids tbé poderão ser picds sistes vrintes no tepo qundo ess vrição for ent e coprção co veocidde dos sinis de interesse. ste é o cso, por exepo, do pioto utoático de viões pr operção e cruzeiro ebor ss do siste sej vrinte no tepo (e rzão d quei de cobustíve), podeos considerá constnte e fce d rpidez ds perturbções que tende desvir o vião de su rot (coo rjds de vento trnsversis ou oviento de pssgeiros no interior do vião). 3. Funções de rnsferênci L As funções de trnsferênci definese pens pr SLIs coo sendo reção entre s rnsfords de Lpce dos sinis de síd e de entrd do siste, considerndose condições iniciis nus (quiescentes). v(t) R

2 3. Representção de Sistes x(t) S.L.I.. y(t) s s C I Q... Sej o S.L.I.. descrito pe seguinte equção diferenci: n n d y d y dy d x y b b d x dx b b x n n n n 0 0 Considerndo s condições iniciis coo sendo nus e tondo rnsford de Lpce de bos os ebros, resut: G s s s b0 s s 0 n b s s n b n s b s Crente, Função de rnsferênci (F..) é u descrição do siste equivente àque express por eio d equção diferenci no sentido de que prieir e segund estão recionds de neir biunívoc. Fic cro tbé que sistes físicos diferentes pode ter es F... As rízes d equção crcterístic são os poos de G(s). As rízes d equção são os zeros de G(s). 3.3 xepos n n 0 s s n s n b 0 s b s b s b 0 0 n. Siste étrico i(t) ntrd: Síd: Hipóteses: e i (t) e o (t) eeentos ideis e i (t) R L C e o (t) frequênci suficienteente bix, pr ver ei de Kirchhoff Lei de Kirchhoff, considerndo condição inici (tensão) nu no cpcitor: e t i e t o L di t t R it C i t t C i t 0 0

3 3. Representção de Sistes rnsforndo segundo Lpce, considerndo dicionente condição inici (corrente) nu no indutor: Dí: I s i s L s Is R Is C s I s o s C s i s o s LC s RC s. Siste Mecânico ntrd: F(t) Síd: x(t) k F(t) Hipóteses: trito viscoso iner o iner co ss desprezíve x(t) f Lei de ewton: d x t dx t Ft k xt f Supondo condições iniciis nu e picndo rnsford de Lpce: Dí: s s F s k s f s s s F s s f s k ot: Observse, portnto, que função de trnsferênci te es for dque do siste eétrico visto nteriorente. Sistes distintos que possue es Função de rnsferênci ou, equiventeente, es equção diferenci são ditos náogos. ste fto perite estudr o coportento de u siste de u deterind nturez co bse e outro de nturez distint. o exepo ci, poderíos utiizr o siste eétrico que é, e ger, is sipes de nipur e bortório pr tirr concusões respeito do siste ecânico. É precisente est rzão d utiidde (e do noe!) dos coputdores/siudores nógicos.

4 3. Representção de Sistes 3 3. Siste etroecânico MCC controdo pe rdur ntrd: v (t) i (t) i f = cte Síd: Hipóteses: (t) L desprezíve R J MCC iner eixo rígido trito viscoso iner v (t) e (t) (t) f cpo MCC constnte (L : indutânci d rdur; MCC: otor de corrente contínu) Lei de Kirchhoff: V s R I s s v t R i t e t quções do MCC controdo pe rdur: s K s e t K t v s K I s t K i t Lei de ewton supondo condições iniciis nus: J d t t f t Desss qutro equções resut: J s f s s v V s K s R J s R f K K v Observção: Pr o MCC controdo peo cpo: ntrd: Síd: e f (t) (t) i f (t) Lei de Kirchhoff: t di f e f t Rf i f t Lf s R s L I s f f f f Motor controdo peo cpo (I constnte): t K i t f s K I s f e f (t) R f L f R (t) I = cte

5 3. Representção de Sistes 4 Portnto: s s R K s L f f f 4. Siste érico ntrd: q e (t) e Síd: (t) = i (t) e i (t) Hipóteses: tepertur extern constnte e unifore tepertur intern unifore q e (t) q s (t) perd de cor pens por condução (rdição e convecção desprezíveis) isonte térico hoogêneo e iner: q t K t K t s i e (,c) onde K é condutânci téric. queciento do fuido regido por: q t q t c d t e s onde c é cpcitânci téric. Dí: q t K t c d t e e portnto: s Q s c s K e ote que este siste é náogo o MCC do exepo 3. Linerizção: A inerizção é u procediento que se pic sistes não ineres qundo s vriáveis do probe present pequens futuções e torno de condições de operção noinis. Mostrse seguir, por eio de u exepo, coo proceder nu cso desses.

6 3. Representção de Sistes 5 5. Siste de íve de Líquido Condição estcionári: Q, H Qq e (t) ntrd: q e (t) [ 3 /s] Síd: h(t) [] Hipóteses: fuxo turbuento fuido incopressíve diensões do orifício desprezíveis (fce H ) superfície do fuido horizont Hh(t) áre A Qq s (t) Pr fuxo turbuento, vzão estcionári de síd é dd por: Q k H Suponhos que vzão de entrd Q sofr u pequen perturbção q e (t), pssndo Q qe (t). Coo conseqüênci, tbé sofrerão pequens perturbções tur do íquido no tnque ( h (t) ) e su vzão de síd ( q s (t) ), pssndo ser, respectivente, H h(t) e Q q (t). Sendo h u pequen perturbção ( h H ), vzão de síd pode ser proxid peo tero iner d série de yor, isto é: Dí: Q qs k H h k h H k q t H h t s Bnço de voue de íquido no intervo t: Voue que entr: Voue que si: Q q t t e Q q t t s h H H Vrição do voue no interior do reservtório (Lei de Conservção): Dí: H ht t A H ht dh t A q t q t A q t kh s. A Q q t t Q q t t e s e ht dh t k ht A H A q t e e s

7 3. Representção de Sistes 6 Considerndose condições iniciis nus: C. I. Q. k s Hs A H A Q s e Obtendose: H s Q s e k A s A H ot: este siste é náogo o siste eetroecânico do exepo 3 (MCC controd pe rdur). 6. rnsissão por ngrengens: Sej: = torque no eixo otor; = torque no eixo d crg; = ânguo de rotção do eixo otor; = ânguo de rotção do eixo d crg; = veocidde ngur do eixo otor; = veocidde ngur do eixo d crg; r r r r = rio d engrenge do eixo otor; = rio d engrenge do eixo d crg; = núero de dentes d engrenge do eixo otor; = núero de dentes d engrenge do eixo d crg; F = gnitude d forç no dente ( es pr s dus engrengens) qucionento d forç no dente (Lei de Conservção): F r F r r r Coptibiidde de desocentos (se escorregento): r r r r r r Suponhos que, sobre o eixo d crg, se tenh: J (t), (t) f k

8 3. Representção de Sistes 7 Vejos coo o otor "enxerg" ess crg. eos: J f k Utiizndo s reções: e, obtése: J f k. Dí: J que pode ser escrit coo: onde: f k,, J,, f k, J, J,, f f,, k k.,,, Assi, do ponto de vist do otor, tudo se pss coo se sobre seu eixo houvesse u crg J, f, k. Dizeos que est é crg refetid pr o eixo do otor. ote que, qundo trnsissão é u redução, isto é, J,,, J, f f, k k, então: As potêncis n trnsissão do do do otor e do do d crg são, respectivente: Portnto: P e P P P P P A trnsissão por engrengens é náog os trnsfordores ideis e circuitos eétricos.

9 3. Representção de Sistes Funções de rnsferênci de eentos e Csct Considere rede eétric o do. i(t) ntrd: e (t) Síd: ese: e (t) et R it it C t 0 e (t) R C e (t) e t t it C 0 Atrvés d rnsford de Lpce chegse : I s s R IS C s s I s C s iinndo I(s): s s s C R s C Portnto: s s R C s Considereos gor seguinte rede (entrd e (t) e síd e 3 (t)): i (t) i (t) R e (t) R e 3 (t) e (t) C C Confore já visto:

10 3. Representção de Sistes 9 s 3 s R C s Poderíos pensr que: Gs 3 s s Ms isto não está correto! 3 s s qucionndo o o circuito, verificse que: s? s R C s R C s s 3 s R C s R C s R C s O erro está no fto de se ter considerdo que o ro (R,C ) não crreg o ro (R,C ). verdde: e si: s s R C s s R C s s R C s R C s R C s xercício: verificr vidde dest expressão. Concusão: só é vido firr que Função de rnsferênci de eeentos e csct é igu o produto ds Funções de rnsferênci individuis qundo não há crregento entre ees (isto é, os eeentos que estão situdos is "à frente" não provoc terções ns síds dos nteriores). o cso do circuito eétrico visto ci, seri necessário introduzir u pificdor de isoção de gnho unitário (ipedânci de entrd infinit e ipedânci de síd nu) entre os circuitos (R,C ) e (R,C ): i (t) i=0 i (t) e (t) R e (t) C Apificdor de isoção (Gnho ) R C e 3 (t) 3.5 Digrs de Bocos Qundo definios Funções de rnsferênci, fizeos seguinte figur: x(t) S.L.I.. Se, e ugr disso, representros o SLI por eio de su Função de rnsferênci o que sbeos ser possíve de for biunívoc tereos: (s) G(s) y(t) (s)

11 3. Representção de Sistes 0 sse é, pois, o digr de bocos do siste e questão. ss representção signific que os sinis de entrd e síd estão reciondos por: s Gs s As sets represent o sentido e que se dá o fuxo dos sinis. U ds vntgens de se trbhr co digrs de bocos é que, pr u siste copexo, podeos sipesente interigr os digrs dos subsistes que o constitue (desde que não hj crregento). Devese observr que u eso digr de bocos pode representr diferentes sistes físicos (d es for que ocorre co Funções de rnsferênci!). Detector de rro ou Coprdor s Rs Cs R(s) (s) ou R(s) (s) Sodor Zs s s (s) (s) Z(s) ou (s) (s) Z(s) Os sinis sere diciondos ou subtrídos deve ter es nturez físic e s ess uniddes pr que operção indicd fç sentido. Por exepo: tensões eétrics e Vots, forçs e kgf, etc. Siste e Mh Fechd figur o do, o boco G(s) que podeos encrr coo representndo ssocição e csct do controdor co o tudor, co pnt e co o sensor te (s) coo entrd (que, coo se vê, depende d síd ), o que crcteriz u siste co reientção. otr que, no ponto de junção, síd de u boco pode ser conectd diversos bocos ou pontos de so do digr. o entnto, sepre entrd de cd boco é u único sin. R(s): sin de referênci : sin de síd do siste e h fechd (s): sin de erro R(s) (s) G(s) ponto de junção o siste e h fechd representdo ci, os sinis de referênci e síd tê es nturez físic. R(s) (s) o entnto, uits vezes isso pode requerer gu cuiddo. G(s) Considereos, por exepo, u siste de controe do tipo pioto utoático de nvio, cujo objetivo é contror o ruo de nvegção. B(s) este cso, o sin de referênci deve ser estbeecido peo tioneiro H(s) que, cionndo o tião, ger u sin n for de u tensão eétric (R(s): Vots), enqunto que o sin de síd do siste é o ânguo de ruo d ebrcção (: grus). É necessário, então, utiizr u boco que convert ânguo e tensão eétric pr ientr dequdente o detector de erro. ss conversão é representd peo boco H(s) d figur ci.

12 3. Representção de Sistes Definese: Função de rnsferênci de Mh Abert: Função de rnsferênci do Ro Direto: Função de rnsferênci de Mh Fechd: B C C R s s s s s s H Gs Vejos coo Função de rnsferênci de Mh Fechd se recion co G(s) e H(s). Do digr de bocos: Cs Gs s s Rs Bs Rs Hs Cs Substituindo úti expressão n nterior, ve: e portnto: Cs Gs Rs Gs Hs Cs C s R s Gs H s s o cso de reientção unitári (H(s)=): C s R s R(s) (s) G(s) Distúrbios e Sistes e Mh Fechd Distúrbios (ou perturbções externs) são sinis que ge no siste e sobre os quis não se pode tur diretente. o cso do pioto utoático de nvios, o boco K (s) poderi representr o controdor juntente co os tudores (áquin do ee e ee). O boco G(s) poderi representr o nvio propriente dito. O boco H (s) poderi representr o sensor de ruo. esss condições, o distúrbio (s) representri os torques externos tuntes sobre ebrcção (provocdos pe ção de ventos, correntes, onds, etc.) Coo o siste é iner, propriedde de superposição perite concuir que síd pode ser escrit coo so ds contribuições C R (s) e C (s), ssocids respectivente o sin de referênci R(s) e o distúrbio (s): C s C s C s xercício: Mostre que (iedito!) i) C R s R K K s Gs s Gs H s R s (s) (distúrbio) R(s) (s) K (s) G (s) H(s)

13 3. Representção de Sistes ii) C s Gs s Gs H s s K.

14 3. Representção de Sistes Redução de Digrs de Bocos Os digrs de bocos pode ser redesenhdos utiizndose gus regrs sipes, confore discutido seguir. ) Z Z Z Z Z ) G. G G. G (s) G (s) G. G G. G (s) G (s) 3) G. G G. G (s) G (s) G (s). G (s) G G. 4) G (s) G (s) G. G. (G G ). G (s)g (s) (G G ). 5) G. G (s) G. G (s) G (s) G. 6) G (s) G.( ) G. G (s) G.( ) G (s) G. 7) G (s) G. G (s) G. G (s) G. 8) G (s) G. G (s) G. G (s) 9) G (s) G (s) G. G. G. G. G (s) G. G (s) G (s) G. G. G. G. 0) G (s) G (s) G (s) G (s) G (s)

15 3. Representção de Sistes 4 ) G (s) G (s) G G G Observr que s regrs 9 e 0 são prticurente iportntes. Usndo esss regrs, digrs copexos pode ser reduzidos outros equiventes, de specto is sipes. Dus regrs básics pr sipificção dos digrs de bocos são s seguintes: o produto ds Funções de rnsferênci no sentido direto, desde entrd té síd, não deve se terr co s nipuções efetuds; o produto ds Funções de rnsferênci e cd h fechd deve se nter constnte. xepos: "Feedforwrd" G 3 (s) G (s) G (s) o Psso: Desocr G pr ntes do coprdor G (s) G 3 (s) G (s) G (s) o Psso: Intercbir o coprdor e o sodor G 3 (s) G (s) G (s) G (s) 3 o Psso: Juntr G e G 3 G (s) G 3 (s) G (s) G (s) 4 o Psso: Reduzir h fechd G (s) G 3 (s) G G G

16 3. Representção de Sistes 5 5 o Psso: Agrupr os bocos e csct G G G 3 G G ote que se ) / G ( ), 3( s então G ( s) G( s) G ( s) G ( ) ( ) ( ) 3 s G s G ( s) G ( s) G ( s) G ( s), ou sej, ( s) ( s). xercício: Ccur niticente função de trnsferênci ( s)/ ( s) pr verificr o resutdo. xepo: desenhr o digr de bocos e ccur Função de rnsferênci de h fechd do servoecniso de posição d figur bixo. R L r e Ap e i e b J f c i f = cte K = gnho do detector de erro potencioétrico (V/rd) O servoecniso utiiz u otor de corrente contínu controdo pe rdur que, trvés de u ecniso de trnsissão por engrengens, cion u crg. O siste present dois potenciôetros. O prieiro dees perite estbeecer u sin de referênci de posição r, que se pretende fzer crg seguir. O segundo, ontdo diretente sobre o eixo d crg, perite edir posição ngur c dest (sin de síd). O sin de erro e t K r t c t é picdo n entrd de u pificdor de potênci de gnho K p que ient rdur do otor co u tensão e. R e L represent, respectivente, resistênci e indutânci do circuito d rdur (é usu desprezrse L ). O cpo do otor é suposto constnte, de neir que forç contreetrootriz induzid n rdur e b é proporcion à veocidde de rotção do eixo do otor:

17 3. Representção de Sistes 6 e t K t b b Aé disso, o torque desenvovido no eixo do otor é ditido proporcion à corrente de rdur i : t K i t e represent os núeros de dentes ds engrengens copds os eixos do otor e d crg, respectivente. A crg, cuj posição ngur se desej contror, é constituíd por u inérci J e por u prce dissiptiv de trito viscoso, representd peo coeficiente f. Detector de erro potencioétrico R(s) K (s) s K R s C s K V rd Apificdor (s) K p (s) s K s p Motor CC s R s L I s s e t R i t L i t e t b b s K s s e t K t b b b b s K I s t K i t (s) R s L I (s) K (s) b (s) rtse de u reientção, pois b (s) depende de u sin (s) que precerá is dinte! rnsissão s C s s s (s) (s) (s) Crg Mecânic

18 3. Representção de Sistes 7 t J c t f c t s J s f s Cs c(t) (t) J f (s) s J s f Juntndo todos esses bocos nu eso digr, teos: R(s) K K p K R s L s J s f K s b Definindo: K R s L s J s f H s K s b h de reientção intern pode ser reduzid u boco equivente G (s): R(s) K K p G (s) onde: K s L J s L f R J s R f K Kb Podeos, gor, grupr os dois bocos do ro direto e u único, obtendo: R(s) K K p G (s)

19 3. Representção de Sistes 8 Por fi, este digr pode ser reduzido u único boco: R(s) G 3 (s) onde: 3 KK pg K K G p s s