Introdução à Computação Gráfica Radiosidade. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti

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1 Introdução à Computação Gráfca Radosdade Claudo Esperança Paulo Roma Cavalcant

2 Modelos Locas de Ilumnação Somente a luz dreta ou a prmera reflexão numa superfíce são consderadas (modelos de prmera ordem). Modelo de Phong. Completamente empírco. Modelo de Cook e Torrance. Esquema híbrdo que usa um modelo físco baseado na rugosdade das superfíces para calcular a ntensdade da reflexão e um modelo de ondas para certos efetos de cor. Modelo de Cabral. Baseado completamente numa smulação físca da rugosdade de superfíces. Modelo de Kajya. Completamente baseado na teora de ondas (the renderng equaton).

3 Modelos Globas de Ilumnação Traçado de raos. Usa um aspecto partcular da nteração luzobjeto: reflexão especular. Radosdade. avorece a nteração de superfíces dfusas em detrmento da reflexão especular. Baseado na teora de transmssão de calor (Engenhara Mecânca).

4 Problemas com o Ray-tracng B) /8 /64 / /6 /3 /4 A)

5 Defnções e Propredades Consdere-se um rao ou um fexe de energa ncdente num corpo: α fração de energa ncdente absorvda: absorção. ρ fração de energa ncdente refletda: reflectânca. τ fração de energa ncdente transmtda: transmssão.

6 Balanço de Energa G = αg + ρg + τg = α + ρ + τ. G (energa ncdente) ρg (energa refletda) αg (energa absorvda) τg (energa transmtda)

7 Materas Para maora dos sóldos em engenhara τ = 0. Para líqudos a mesma suposção pode ser feta (mas depende da espessura). Para gases a reflexão é muto pequena e consdera-se ρ = 0.

8 Modelos de Reflexão A reflexão da energa radante por uma superfíce é descrta em termos de dos modelos deas: refletores dfusos e especulares. Rugosdade da superfíce tem uma grande nfluênca sobre as propredades térmcas dos materas.

9 Comportamento em função da rugosdade. Se os elementos de rugosdade da superfíce são muto pequenos comparados ao comprmento de onda da radação a superfíce é especular. Se os elementos de rugosdade da superfíce são muto grandes comparados ao comprmento de onda da radação a superfíce é dfusa.

10 Corpos Negros A superfíce deal para o estudo da radação térmca é o corpo negro. absorve toda a energa ncdente em todos os comprmentos de onda (reflectânca = 0). Corpo negro é uma dealzação que pode ser magnado como uma cavdade numa superfíce com α < (buraco de fechadura). G n = (- α) n G 0.

11 Emssvdade A energa total emtda por um corpo por undade de área por undade de tempo é chamada de rradânca (potênca emssva). Toda superfíce não negra terá uma rradânca E menor do que a de um corpo negro à mesma temperatura. ε = E/E b (emssvdade).

12 Emssvdade x Temperatura Para condutores, emssvdades altas correspondem a altas temperaturas. O mesmo não é váldo para não condutores. Pela le de Krchhoff, α = ε.

13 Área Aparente (Vsta de uma dada dreção d) d A α A A = A cos(α)

14 Ângulo Sóldo É a área determnada pela nterseção de um cone com a esfera untára.

15 Ângulos Sóldos Elementares

16 Grandezas Radométrcas Irradânca: dφ da

17 Radânca Referente a um par de Elementos de Área: Uma área elementar da superfíce do objeto observado ( A ). Sensor Área do sensor que recebe energa de A ( A ). Radânca = Potênca / (Ângulo Sóldo (preto). Área Aparente (cone azul)) A A Objeto

18 Energa Total Irradada A energa total rradada por um elemento de superfíce da é nterceptada por um hemsféro magnáro centrado no elemento emssor. Para um corpo negro: dq - = I b cos(φ)da dω O ângulo sóldo untáro ω é defndo por: dω = da /r.

19 Irradânca Integrando sobre todo o hemsféro: da = rdφ (r sn(φ) dθ). Logo, d ω = rdφ( r sn( φ) dθ ) r = sn( φ) dφ dθ

20 Irradânca q = da π 0 π 0 I b cos( φ)sn( φ) dφ dθ que para um corpo negro (I b =c te ) resulta em: q da = π E b = I b Potênca emssva (rradânca) de um corpo negro é gual a π vezes a ntensdade da radação (radânca).

21 Interação entre Dos Elementos de Superfíce

22 ator de orma ator de orma é a parcela de energa que dexa um elemento de superfíce e atnge um outro elemento. A A = j energa radante atngndo A energa radante total dexando A j vndo de A em todas as dreções

23 Troca de Energa A energa rradada por da que ncde em da é: dq - = I b cos(φ )da dω - dω - éa área de da vsta por da. dω - = cos(φ )da /r A energa total rradada por da é: dq = I b π da Assm, a troca de energa entre dos elementos nfntesmas é dependente somente da geometra: da da = cos( φ )cos( ) π r φ da

24 ator de orma Supondo que um emssor nfntesmal transmte energa para uma superfíce fnta: da A = A I b cos( φ ) da π I b cos( φ ) da da / r Como I b e da são ndependentes de da cos( φ )cos( φ ) da A = da π r A

25 ator de orma No caso da troca de energa entre duas superfíces Lambertanas fntas: A A = A A I cos( φ) da cos( φ) da / A π I da r cos( φ )cos( φ ) A A = da da π A A A r

26 Propredades Exstem 4 relações entre fatores de forma que devem ser entenddas. Natureza adtva (quando o receptor é dvddo): Subdvsão do emssor. ( ) A = da da da da A A A = ( da A A A ) da

27 Teorema da Recprocdade Soma dos fatores de forma num ambente fechado é. n j= A A = Teorema da recprocdade (A - =A - ). j.0 A = A A cos( φ)cos( φ) π r da da

28 Recprocdade Smetra: k,. A k =,k. A

29 Irradânca da Imagem x Radânca do Objeto Para determnar como a rradânca da magem está relaconada com a radânca da superfíce, deve-se determnar o tamanho da regão da magem que corresponde ao patch na superfíce.

30 Irradânca (E) Ω

31 Conclusões Irradânca (E) da magem vara lnearmente com a radânca (L) do objeto para ângulos (com o exo ótco) pequenos. Não depende da dstânca do objeto ao sstema ótco.

32 Reflectânca B-dreconal BRD Radânca que sa em uma dreção Radânca que sa em uma dreção Irradânca que chega noutra dreção ρ(λ,θ r,φ r,θ,φ ) = r r r d I I ω θ φ θ λ φ θ φ θ λ λ λ ) )cos(,, ( ),, (,,,, = Smetra: ρ(d,d ) = ρ(d,d)

33 Superfíces Lambertanas Reflexão é dêntca em todas as dreções BRD: ρ(d,d ) = constante = /π d Ω L = (/π). E = = (/π). C. cosθ da E = dp / da = = K. d Ω / da = = K. (da cosθ / R ) / da = = (K / R ) cosθ = C. cosθ

34 Radosdade Clássca Todas as superfíces são opacas. Todas as superfíces são refletores dfusos perfetos (ρ = c te ). Superfíces são dscretzadas em retalhos pequenos (patches). Radosdade constante nos retalhos. Irradânca constante nos retalhos.

35 Conceto Método de relaxação. Trata a lumnação global como um sstema lnear. Requer BRD constante (superfíces dfusas). Resolve equação de lumnação como um problema matrcal. Processo Subdvde em retalhos. Calcula fatores de forma. Resolve radosdade. Exbe retalhos. Cornell Program of Computer Graphcs

36 Hemcubo para Computar atores de orma a) 45 retalhos b) 0 retalhos c) refnamento de b) por subdvsão adaptatva com 036 sub-retalhos

37 Sstema Lnear = + = n j j j j A B A E B A ρ j j j A A = = + = n j j j B E B ρ = n n nn n n n n n n n E E E B B B M M L M O M M L L ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

38 Um Exemplo atores de orma: g = b/a ( ), g g B A + + = + + =, g g C B g g C A + =, =,,,,,, B C C A C C C B B A B B A C A B A A K ρ ρ ρ ρ ρ ρ

39 Pratelera Infnta Só A emte e não reflete. A emte e reflete. Só B emte e não reflete. A e B emtem e refletem.

40 Cálculo dos atores de orma Necessdade de avalar uma ntegral de superfíce dupla. Invável computaconalmente para ambentes complexos. Inefcente computaconalmente.

41 Método Numérco Converte ntegral de superfíce dupla numa ntegral de lnha dupla (teorema de Stokes). Aproprado para ambentes smples. Método empregado no paper de 984 de Goral.

42 Método do Hemcubo Introduzdo em 985 pelo grupo de Cornell. Dstânca entre dos retalhos é grande comparada a área do retalho. Integral nterna não vara muto em relação a ntegral externa. Integral área-área é aproxmada pela ntegral dferencalárea. cos( φ )cos( φ) A A da da A = π r A

43 Analoga de Nusselt ator de forma é equvalente a fração do círculo untáro correspondente a projeção do retalho sobre o hemsféro, seguda pela projeção sobre a base do círculo. N da j φ N j r φ j A j

44 Dscretzação do Hemcubo Qualquer retalho que tenha a mesma projeção sobe o hemsféro tem o mesmo fator de forma. Pode-se projetar sobre um hemcubo ao nvés de um hemsféro. aces do hemcubo são dvddas em pxels. Cada pxel é consderado um retalho. atores dferencal-área são pré-calculados (fatores delta) e armazenados em uma tabela de busca.

45 Hemcubo

46 Oclusão Todo retalho de superfíce é projetado no hemcubo. Se o mesmo pxel contver a projeção de dos retalhos, usa-se aquela correspondendo ao retalho mas próxmo (análogo ao z-buffer).

47 Soma dos atores Delta

48 Integração dos atores Delta Por fm teremos conjuntos conexos de pxels que são projeções dos retalhos mas próxmos. Executa-se então a soma para cada j (q é o conjunto de pxels sobre o qual A j se projeta. = j q q

49 Pré-cálculo dos atores Delta Na superfíce no topo do hemcubo: Na superfíce lateral perpendcular a x: A y x A r q q j q + + = = ) ( ) )cos( cos( π π φ φ ( ) A z z q q q + + = y q π

50 Geometra para Cálculo dos atores Delta x

51 Projeção dos Retalhos Centro de projeção é o centro do hemcubo. Cada face do hemcubo defne um frustrum de vsão. Arestas do hemcubo defnem planos de recorte. Retalhos são projetados sobre cada face do hemcubo.

52 Traçado de Raos Pode-se usar uma esfera dscretzada em elementos de área com fatores delta précalculados. Raos são lançados através de cada elemento de área da esfera. Consdera-se a nterseção com um retalho mas próxma do centro da esfera. Troca-se a complexdade do códgo hemcubo pela do códgo de traçado de raos.

53 Acumulação = n n n n n n n n E E E B B B M M L M O M M L L ρ ρ ρ ρ ρ ρ Resolve Ax = b como um sstema lnear MB = E Solução de uma lnha provê a solução de um únco retalho. Intensdade de cada retalho é atualzada de acordo com sua posção na matrz. Jacob B (k+) = E Σ j M j B j (k) Radosdade = Emssão mas outras radosdades refletdas Gauss-Sedel B = E Σ j M j B j Cálculo no local. Sobre-relaxação B (k+) = 0% B j (k+) 0% B j (k) Gauss-Sedel é muto conservatvo B

54 Refnamento Progressvo A magem ntera é atualzada a cada teração, ao nvés de um únco retalho. B Invertendo a relação: B j devdo a devdo a = ρ B, j Requer um únco hemcubo centrado em. Um únco retalho atra luz na cena e as radosdades de todos os retalhos são atualzadas smultaneamente. atores de forma são calculados on the fly. B B j j j A = ρ jb j, j A j

55 Algortmo Um retalho é escolhdo por vez para dsparar luz. O retalho dspara B, a radosdade que recebeu desde a últma teração. Dsparam prmero os retalhos que nfluencam mas a cena ( B A maor). Incalmente, B = B =E, para todo retalho.

56 Pseudo-Códgo Selecone retalho ; Calcule j para cada retalho j; Para cada retalho j faça { } Rad = ρ j B j A /A j; B j = B j + Rad; B j = B j + Rad; B = 0;

57 Dsparo = n n n n n n n n E E E B B B M M L M O M M L L ρ ρ ρ ρ ρ ρ Refnamento Progressvo Dstrbu radosdade extra B pelos outros retalhos B j (k+) = B j (k) + ρ j j B Radosdade extra não dsparada é o que recebemos da últma teração B = B j (k) B j (k-) Energa parte dos emssores Dstrbu progressvamente pela cena Pode usar um termo ambente durante o processamento da cena, que é dmnuído a medda que a radosdade progressva converge B IBM

58 Calculando Radosdade nos Vértces Uma vez obtdas as radosdades nos retalhos, precsamos extrapolá-las para os vértces. Radosdades nos vértces almentam então um vsualzador tpo Gouraud. a b c B e =B +B +B 3 +B 4 d e 3 4 f (B b +B e )/=(B +B )/ (B a +B e )/ = B g h

59 Problemas da Solução por Inversão O sstema MB = E pode ser resolvdo nvertendo-se a matrz M. O tamanho de M é enorme e acarreta problemas de armazenamento e de nversão. M é quadrada (n x n, n número de retalhos.) Dobrar n quadruplca o número de elementos de M.

60 Métodos de Relaxação Város métodos teratvos foram desenvolvdos que ncam o vetor B com uma solução ncal e então a refnam até que o erro esteja dentro de uma tolerânca pré-defnda. Radosdade utlza métodos de relaxação.

61 Um Pouco de Teora Seja um sstema lnear Kx = b, onde K é uma matrz n x n, x e b são vetores coluna de dmensão n. Será gerada uma sére de soluções aproxmadas x que devem convergr para a solução real. x (g) é a aproxmação no passo g.

62 Erro da Aproxmação e (g) = x x (g) é o erro. r (g) = b K x (g) = K e (g) é o resíduo. Métodos de relaxação usam o resíduo para refnar a aproxmação e gerar o sucessor x (g+). A estratéga é olhar para um elemento r (g) do vetor de resíduo e aplcar uma transformação ao elemento correspondente x (g) de forma a que r (g) 0.

63 Convergênca Outros elementos de r podem crescer, mas espera-se que a tendênca geral seja na dreção de valores menores para todos os elementos do resíduo. ) ( ) (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) (, g g g g n k k g g k k g n k g k k x K r x K x K r x K b x K b x K + = + = = = + = =

64 Parada Ajustar um elemento até que seu resíduo vá para zero é chamado de relaxamento do elemento. Crtéros de parada são baseados numa tolerânca t: max( r ) < t x (g) x (g+) < t

65 Iteração de Jacob

66 Método de Gauss-Sedel Iteração de Gauss-Sedel é smlar a de Jacob. Jacob calcula o resíduo a partr do x (g) corrente e os próxmos elementos são computados a partr dele. Não se usam os novos valores x (g+) até que todos os elementos tenham sdo computados. Gauss-Sedel atualza os valores no local e calcula o resíduo de novo para cada elemento.

67 Iteração de Gauss-Sedel

68 Método de Southwell Gauss-Sedel atualza os elementos em ordem. Se o resíduo é grande para um elemento e pequeno para os outros, o elemento grande será processado uma únca vez por teração. Southwell usa uma heurístca gulosa para relaxar os elementos de maor magntude prmero. Um mesmo elemento pode ser ajustado repetdamente em detrmento dos outros de menor magntude.

69 Iteração de Southwell

70 Sobre-relaxação Pode ser usada com qualquer método. Ao nvés de subtrar apenas a quantdade necessára de cada elemento para levar seu resíduo para zero, subtra-se a mas. Esta é uma estratéga agressva, que antecpa o futuro por um fator ω.

71 Iteração com Sobre-relaxação. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ao nvés usa -se, g g g g g g g g r r x x x x x x ω ω = + = + = + + +

72 Interpretação dos Dversos Métodos Emssão é a prmera estmatva para radosdade dos retalhos. Resíduo mede a dferença entre a emssão e a radosdade refletda. Duas parcelas: radosdade emtda (dsparada) e não dstrbuída (anda). Resíduo mede quanta radosdade a mas devera estar sendo emtda mas anda não fo.

73 Jacob Jacob atualza todos os elementos do vetor de uma vez. A radosdade de cada retalho é ncrementada para representar a energa não dstrbuída. Este método não é muto usado. Um número pequeno de retalhos nfluencam a cena no níco. É um desperdíco atualzar todos os retalhos a cada passo se eles não contrbuem muto na luz da cena.

74 Gauss-Sedel Atualza a solução ntera a cada passo, mas usa os novos valores computados para ser mas efcente. A equação de radosdade é a soma da potênca emtda e a refletda, acumulada de todos os outros retalhos da cena.

75 Southwell Relaxa-se o elemento com o maor resíduo. Sgnfca que se usa o retalho com a maor radosdade não dstrbuída para dsparar a sua energa na cena. Começa com a maor fonte de luz e dstrbu a sua energa para as outras superfíces. Refnamento progressvo usado por Cohen em 995 emprega uma varante deste método.

76 Um Exemplo Real Refnamento progressvo depos de,, 4 e 00 passos. 500 retalhos, 7000 sub-retalhos. Radosdade ambente estmada fo adconada.