ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS NÃO ESTRUTURADAS APLICADOS A ESCOAMENTOS EM ÁGUAS RASAS

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1 SIMMEC / EMMCOMP 14 XI Simpósio de Mecânica Computacional II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14 ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS NÃO ESTRUTURADAS APLICADOS A ESCOAMENTOS EM ÁGUAS RASAS Luciana S. da S. Martino lusantos@lncc.br Laboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, Brasil Colégio Pedro II, Rio de Janeiro, Brasil Elson M. Toledo emtc@lncc.br Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil Laboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, Brasil Regina C. P. Leal-Toledo leal@ic.uff.br Universidade Federal Fluminense, Niterói, Brasil Abstract. Observando as limitações impostas pelo uso de malhas cartesianas no que se refere à modelagem de escoamentos com domínio irregular ou que apresentem regiões com elevado gradiente do campo de velocidades descrevemos um modelo baseado no método de volumes finitos, onde a equação de conservação de massa é discretizada por um esquema semi-implícito aplicado à uma malha não estruturada ortogonal staggered. A determinação da componente tangencial da velocidade e de suas componentes nas direções dos eios do sistema de coordenadas cartesianas, no conjunto completo de equações de águas rasas é dada através do método da profundidade integrada. As aplicações incluem, para as malhas cartesianas, a modelagem de um escoamento geofísico aplicado a um trecho do rio Amazonas, e para as malhas não estruturadas, problemas com condição inicial descontínua, do tipo dam break. Palavras-chave: águas rasas, malhas não estruturadas, método da profundidade integrada

2 1 INTRODUÇÃO Este trabalho abrange um estudo sobre escoamentos em águas rasas e sobre os métodos de diferenças finitas disponíveis para sua representação. No caso bidimensional das equações de águas rasas a análise característica desse sistema de equações justifica a escolha de um esquema semi-implícito, sendo utilizada inicialmente na discretização espacial uma malha staggered do tipo (C) com o sistema de equações reescrito na forma de uma única equação para a elevação da superfície livre, de acordo com os trabalhos de [Casulli (199)] e [Casulli and Cheng (199)]. A estabilidade desse esquema semi-implícito é independente da celeridade do escoamento e da fricção com o fundo, sendo dependente apenas da escolha do operador de diferenças utilizado na discretização dos termos convectivos e viscosos. Se os termos viscosos são negligenciados este esquema é incondicionalmente estável. É apresentado também o método do gradiente conjugado pré condicionado utilizado na resolução desse sistema de equações. Como aplicações para o análise da eficiência desse esquema temos um escoamento geofísico aplicado a um trecho rio Amazonas. Um outro procedimento utilizado para se obter uma versão discreta de uma equação diferencial é dado a partir da integração dessa equação em uma região, ou volume, do espaço. Este método, chamado de método de volumes finitos será aplicado à equação da superfície livre do sistema de águas rasas bidimensional, enquanto que um esquema de diferenças finitas semi-implícito será aplicado à equação de conservação de momentum, com o uso de uma malha não estruturada ortogonal, obtida através de uma triangulação de Delauna. Neste esquema utiliza-se o conceito de malha staggered, sendo as variáveis a serem determinadas a componente da velocidade normal a cada um dos lados da malha e a elevação da superfície livre, [Casulli and Walters ()]. O método da profundidade integrada proposto por [Kleptsova et al. (9)] é utilizado na reconstrução da componente da velocidade tangencial a cada um dos lados da malha, e consequente reconstrução do campo de velocidades de um escoamento determinado pelo conjunto completo das equações de águas rasas. Como aplicações temos um problema do tipo dam break com fundo que representa uma variação abrupta de velocidade. UM ESQUEMA DE DIFERENÇAS SEMI-IMPLÍCITO O sistema de equações de águas rasas, sendo u(,, t) e v(,, t) as médias ao longo da profundidade das componentes da velocidade nas direções e, é dado por u t + u u + v u v t + u v + v v = g η + ν ( u + u ) + τ s γu + fv = g η + ν ( v + v ) + τ s γv fu η t + (Hu) + (Hv) =, (1) SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

3 onde η(,, t) é elevação da superfície livre a partir da superfície da água não perturbada, h(, ) é a profundidade da água, também medida a partir da superfície da água não perturbada, g é a aceleração da gravidade, τ s e τ s são os termos relacionados as tensões de cisalhamento causadas pelo vento, nas direções e respectivamente, e γ é o coeficiente de fricção dado por γ = g u + v C z H, () sendo H(,, t) = h(, ) + η(,, t) a profundidade total da água, e C z o coeficiente de fricção de Chez. Discretizamos as equações (1) através de um esquema de diferenças semi-implícito onde o gradiente da elevação da superfície nas equações de conservação de momentum e o divergente da velocidade na equação da continuidade são discretizados implicitamente. Os termos convectivos nas equações de conservação de momentum são discretizados eplicitamente. E, para que o sistema algébrico resultante seja linear, os termos de fricção nas equações de consevação de momentum são discretizados implicitamente, mas o coeficiente de fricção γ é calculado eplicitamente. Além disso, a equação da continuidade é considerada em sua forma conservativa η t + [(h + η)u] + [(h + η)v] =, (3) onde u e v são discretizados implicitamente, enquanto que a profundidade total H = h + η é calculada eplicitamente. Aplicaremos este esquema a uma malha staggered bidimensional, a malha (C) de Mesinger e Arakawa, que [Harlow and Welch (1965)] aplicam as equações de Navier-Stokes. Os elementos dessa malha são numerados pelos índices (i, j), posicionados no centro de cada elemento, ao longo das direções e, respectivamente. Os lados dos elementos são numerados com a metade dos valores dos índices, (i+ 1, j), (i 1, j), (i, j + 1) e (i, j 1 ), nas direções e, respectivamente. A velocidade horizontal discreta u é definida no ponto médio de cada lado vertical de cada elemento. A velocidade v é definida no ponto médio de cada lado horizontal de cada elemento, e a elevação da superfície livre é definida no centro geométrico de cada elemento. Um elemento dessa malha é mostrado na Figura(1). SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

4 Figura 1: Elemento de uma malha bidimensional staggered do tipo (C) As equações abaio descrevem um esquema semi implícito de discretização do sistema de equações de águas rasas bidimensionais (1), nas quais τ = τ =, em uma malha staggered do tipo (C) sendo η k+1 i,j u k+1 = F t ( ) i+ 1,j uk g η k+1 i+ 1,j i+1,j ηk+1 i,j v k+1 i,j+ 1 = F v k i,j+ 1 = ηi,j k t ( ) H k i+ 1,juk+1 i+ 1,j Hk i 1,juk+1 i 1,j H (, k = ma h i± 1,j i± 1,j + ηk i,j + ηi±1,j k ) t γ k i+ 1,j g t ( ) γ k η k+1 i,j+1 ηk+1 i,j+ i,j t 1 t e H k i,j± 1 H k i+ 1,j u k+1 i+ 1,j H k i,j+ 1 v k+1 i,j+ 1 ( H k v k+1 H k v k+1 i,j+ 1 i,j+ 1 i,j 1 i,j 1 ( = ma, h i,j± 1 ), (4) + ηk i,j + ηi,j±1 k ). (5) Para qualquer estrutura dada a F as equações (4) constituem um sistema de 3nm equações e 3nm incógnitas u k+1 i+ 1 vk+1,j, e η k+1 i,j+ 1 i,j. Seguindo o trabalho de Casulli (1995) o sistema (4) é reescrito como um sistema cuja única incógnita é η k+1 i,j, com a substituição das epressões para u k+1 e i± 1 vk+1 da equação da continuidade,j i,j± 1 obtendo SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

5 η k+1 i,j [ g t (Hk i+ 1,j),j t(ηk+1 H k + i+ 1,j γk i+ 1 [ g t H k i,j+ 1 (Hk ) i,j+ 1 + γ k t (ηk+1 i,j+ 1 i+1,j ηk+1 i,j i,j+1 ηk+1 i,j ) ) (H k i 1,j) H k i 1,j + γk i 1,j t(ηk+1 i,j η k+1 i 1,j ) ] H k i,j 1 ηi,j k t [ (H k i+ 1,j) H k + uk i+ 1,j γk i+ 1,j tf i+ 1,j (H k i,j 1 ) t [ (H k ) i,j+ 1 H k + γ k t F vk i,j+ 1 i,j+ 1 i,j+ 1 ] + γ k t (ηk+1 i,j η k+1 i,j 1 ) = i,j 1 (Hk ] i 1,j) H k + uk i 1,j γk i 1,j tf i 1,j H k i,j 1 (H k i,j 1 ) + γ k i,j 1 t F vk i,j 1 ]. (6) Esse sistema é linear, pentadiagonal e positivo definido, e resolvido em cada passo de tempo para determinar, pelo método do gradiente conjugado, os valores de η a partir das condições iniciais e de contorno. Para a discretização dos termos convectivos quer-se obter uma forma eplícita para F e ainda assim incondicionalmente estável através de uma aproimação semi lagrangeana. Reescrevemos então os termos convectivos como Du Dt = u t + u u + v u Dv Dt = v t + u v + v v, (7) onde o operador derivada total D indica a taa de variação no tempo ao longo da linha de corrente Dt definida por d dt = u e d dt Denotando por a = u t e b = v t epressões para F u k e F i+ 1,j vk são i,j+ 1 = v. (8) os números de Courant as equações (7) implicam que as F u k i+ 1,j = uk i+ 1 a,j b e F v k i,j+ 1 = v k i a,j+ 1 b. (9) Note que F u k e F i+ 1,j vk são os valores de u e v no tempo t i,j+ 1 k em (i + 1 a, j b) e em (i a, j + 1 b) que estão sendo transportados respectivamente para (i + 1, j) e (i, j + 1 ), no intervalo de tempo t. No geral, entretanto, a e b não são inteiros, e então (i + 1 a, j b) e SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

6 Martino, L. S. da S., Toledo, E. M., Leat-Toledo, R. C. P. (i a, j + 1 b) não são pontos da malha computacional. Por isso deve-se usar uma fórmula de interpolação para aproimar o lado direito das equações (9). Uma possibilidade é usar uma generalização do conceito de interpolação de uki+ 1 a,j b entre três ou mais pontos da malha sem necessariamente incluir o ponto (i + 1, j). Aqui consideramos o caso em que uki+ 1 a,j b é aproimado por uma interpolação bilinear dada pelos valores assumidos pela variável u nos quatro pontos vizinhos ao ponto (i + de tempo os valores de a e b, [Casulli (199)].1 1 a, j b), determinando a cada passo Escoamento geofísico aplicado ao Rio Amazonas Trataremos de um escoamento geofísico aplicado a um trecho do Rio Amazonas, apresentado na Figura(), próimo à cidade de Coari, no Estado do Amazonas. Esta aplicação teve como motivação inicial o problema da dispersão acidental de óleo em águas fluviais, e os potenciais riscos de poluição que a atividade petrolífera troue para esse trecho de rio com a construção do oleoduto de Coari. Figura : Rio Amazonas, próimo à cidade de Coari Paralelamente a essa construção o Projeto Potenciais Impactos Ambientais no Transporte Fluvial de Gás Natural e Petróleo na Amazônia, o Projeto PIATAM, financiado pelo Plano Nacional de Ciência e Tecnologia para o setor de Petróleo e Gás Natural (CTPetro), foi criado para avaliar, prevenir e monitorar prováveis fontes de risco durante o processo de produção, transporte e refino de petróleo e derivados. Em parceria com este projeto a Universidade Federal do Amazonas forneceu dados de batimetria referentes a um trecho desse rio, para latitudes de 4 até 3.9 e longitudes de até O domínio computacional é dado por uma malha staggered tipo (C), com 74 intervalos espaciais na direção e 149 na direção, sendo os intervalos espaciais dados por = = 5m. Os parâmetros do escoamento são: aceleração da gravidade, g = 9.81m/s, coeficiente de Chez, Cz = 8, e τ = τ =. A condição de contorno para as componentes u e v nas paredes laterais do canal são u = v =, de acordo com a hipótese de aderência do fluido com a fronteira sólida. Na entrada do canal temos como condição de contorno para a componente u da velocidade uma maré SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

7 M com período de 1h e amplitude de.4m. A mesma condição de contorno é aplicada para a componente v da velocidade na fronteira de saída. A simulação começa com toda a massa de água em repouso, com eceção das fronteiras de entrada e saída, como já especificado anteriormente. O passo de tempo adotado é de 6s, sendo a discretização dos termos convectivos feita através de um esquema lagrangeano, com dois subintervalos de tempo, com τ = 3s. Os resultados apresentados na Figura(3) representam a elevação da superfície livre após 3h, 6h, 9h e 1h do início do escoamento, o que corresponde a 18, 36, 54 e 7 passos de tempo. 3 horas 6 horas.1 eta eta (a) horas 1 horas.15.1 eta eta (b) Figura 3: Elevação da superfície livre para um escoamento em um trecho do rio Amazonas após (a) 3h e 6h, e (b) 9h e 1h do início do escoamento, correspondendo a 18, 36, 54 e 7 passos de tempo 3 MALHAS NÃO ESTRUTURADAS PARA AS EQUAÇÕES DE ÁGUAS RASAS Nesta seção descrevemos um modelo baseado no método de volumes finitos aplicado a uma malha não estruturada ortogonal staggered para o tratamento das equações de águas rasas proposto por [Casulli and Walters ()]. Neste esquema as equações de conservação de momentum são discretizadas de acordo com um esquema semi-implícito de diferenças finitas, com uma aproimação lagrangeana para os termos convectivos [Pereira (1)], aplicado a uma malha staggered, enquanto que a equação de conservação de massa é integrada em um volume de controle e discretizada através de um esquema semi-implícito. SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

8 3.1 Um esquema de diferenças semi-implícito com malhas não estruturadas As equações de conservação de momentum e de massa (1) são aproimadas em uma malha não estruturada ortogonal obtida por uma triangulação de Delauna, composta de N p triângulos, todos acutângulos. Seja N s o número total de lados dessa malha, e seja λ j, j = 1,..., N s, o comprimento de cada lado. Os lados do i-ésimo triângulo serão identificados pelos índices j(i, l), i = 1,,..., N p, l = 1,, 3, tal que 1 j(i, l) N s, i = 1,,..., N p. Os triângulos que compartilham o j- ésimo lado da malha serão identificados pelos índices i(j, 1) e i(j, ) tal que 1 i(j, 1) N p e 1 i(j, ) N p, j = 1,,..., N s. A distância entre os circuncentros de dois triângulos adjacentes que compartilham o j-ésimo lado da malha será denotada por δ j. Na Figura(4)(a) destacamos alguns desses índices. (a) (b) Figura 4: Malha não estruturada ortogonal staggered Na discretização espacial descrita acima o campo de velocidades e a elevação da superfície livre são calculados em pontos alternados da malha, de acordo com o conceito de malha staggered. A elevação da superfície livre, η i, suposta constante em cada triângulo, é calculada no circuncentro de cada triângulo, enquanto que a componente da velocidade normal a cada lado de cada triângulo, u j, suposta constante em cada um desses lados, é calculada no ponto de interseção entre o lado e o segmento que une os circuncentros dos triângulos que compartilham esse lado, [Casulli and Walters ()], de acordo com a Figura(4)(b). O esquema que se segue é uma etensão da formulação em diferenças finitas para as equações de águas rasas descrita na seção anterior. É um esquema semi-implícito cuja estabilidade é independente da celeridade, da tensão do vento e da fricção com o fundo. A elevação da superfície livre nas equações de conservação de momentum e a velocidade na equação da continuidade são discretizados pelo método θ, [Casulli and Cattani (1994)], sendo θ um parâmetro que pode variar entre e 1. Além disso o termo de fricção causada pelo vento, o termo de viscosidade e o termo de fricção causada pelo atrito do fluido com o fundo do escoamento são tratados de forma implícita. As equações de conservação de momentum em (1) são invariantes sob uma rotação no plano do sistema de eios, e o esquema de diferenças aplicado a malhas retangulares pode ser SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

9 implementado neste novo sistema de coordenadas orientado de acordo com as direções normal e tangencial a cada um dos lados dessa malha triangular. Com isso as equações de diferenças finitas para a componente do campo de velocidades normal ao j-ésimo lado da malha, u k j, no passo de tempo k, são dadas por: u k+1 j = F u k j g t δ j [θ(η k+1 i,(j,) ηk+1 i(j,1) ) + (1 θ)(ηk i,(j,) η k i(j,1))]. (1) Nestas equações F é um operador eplícito em diferenças finitas, composto pelas contribuições provenientes da força de Coriolis, dos termos de viscosidade e dos termos convectivos. O sentido positivo da componente u k j é definido como o que vai de i(j, 1) para i(j, ). Empregando uma descrição lagrangeana dos termos convectivos o operador F u pode ser dado por, [Casulli and Walters ()], F u k j = [1 θ(1 θ)f t ]u j + f tv j 1 + θ f t + ν t d u j, (11) onde u j denota a componente do vetor velocidade normal ao j-ésimo lado da malha e v j a componente tangencial ao j-ésimo lado da malha, que tem sentido positivo dado pela regra da mão direita. O termo d é o operador Laplaciano discretizado. Ambas as componentes da velocidade, u j e v j, são interpoladas no tempo t k no ponto correspondente ao fim da trajetória lagrangeana em função de seus valores em pontos da malha adjacentes a esse ponto no fim dessa trajetória. A trajetória lagrangeana é determinada através de uma integração backward no tempo, da posição do nó j no tempo t k+1 até a sua posição no tempo t k. 3. O tratamento da equação de conservação de massa A discretização da terceira equação em (1), desta vez escrita usando a notação do divergente η t + [(Hu, Hv)] =, (1) é realizada por um esquema semi-implícito de volumes finitos, de acordo com o método θ. Como no caso das equações de conservação de momentum a equação de conservação de massa também é invariante a uma rotação e, no que segue, u e v denotam as componentes do vetor velocidade normal e tangencial a cada um dos lados da malha, [Martino (13)]. Se A i é a área do triângulo da malha τ i, A i η t + σ j(i,l) ε τi [ ] Hud( τ i ) =. (13) σ j(i,l) SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

10 Adotando um esquema forward para a discretização da derivada temporal e o método θ para a discretização semi-implícita da segunda parcela da equação anterior, supondo u constante em cada lado da malha, temos A i η k+1 i = A i η k i θ tσ 3 l=1[s i,l λ j(i,l) H k+1 j(i,l) uk+1 j(i,l) ] (1 θ) tσ3 l=1[s i,l λ j(i,l) H k j(i,l)u k j(i,l)] (14) sendo t k = k t, com k = 1,,..., θ um fator no intervalo 1 θ 1 e s i,l uma função sinal associada com a orientação da velocidade normal definida no l-ésimo lado do i-ésimo triângulo. Especificamente s i,l = 1 indica uma velocidade normal ao l-ésimo lado positiva, que aponta para fora do i-ésimo triângulo, e s i,l = 1 indica uma velocidade normal ao l-ésimo lado negativa, que aponta para dentro do i-ésimo triângulo. A equação (14) é aplicada a cada triângulo da malha e a função s i,l é calculada para cada um dos lados de cada um dos triângulos. 3.3 O método da profundidade integrada No esquema anteriormente descrito aproimamos o escoamento em águas rasas apenas em função da elevação da superfície livre e da componente da velocidade normal a cada um dos lados de uma malha não estruturada ortogonal staggered, não havendo informações a respeito da componente da velocidade tangencial a cada um dos lados da malha, e portanto não sendo possível determinar as componentes da velocidade nas direções e, necessárias para a representação desse escoamento. Algumas possibilidades para a reconstrução dessa componente tangencial do campo de velocidades são encontradas na literatura, entre elas uma que apresenta bom desempenho no caso de escoamentos que se desenvolvem em regiões com topografia variável. No presente trabalho esta reconstrução, proposta por [Kleptsova et al. (9)], chamada de método da profundidade integrada, é aplicada junto com o esquema semi-implícito proposto por [Casulli and Walters ()] ao conjunto completo de equações de águas rasas. Nesse método o vetor velocidade u c a ser reconstruído, é calculado no centro de cada triângulo da malha, dado pela soma dos valores das componentes do vetor velocidade normais a cada um dos lados do triângulo, e projetado nas direções tangenciais aos lados de cada triângulo da malha. Figura 5: Reconstrução do vetor velocidade e determinação de sua componente tangencial SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

11 Este método resulta em dois valores para a componente tangencial da velocidade em cada ponto médio em cada lado da malha, sendo um valor para cada um dos triângulos que compartilham cada lado da malha. A componente tangencial final é determinada a partir de uma interpolação desses dois valores. Mais especificamente temos o seguinte procedimento de reconstrução da componente tangencial da velocidade que constitui o método da profundidade integrada, [Kleptsova et al. (9)] A i u ci = l=1,3 δ j(i,l) d c H i j(i,l) j(i,l) λ j(i,l) u j( i,l)n j(i,l) (15) H ci d j(i,l) v j(i,l) = δ i(j,1) d c i j(i,l) (u c i(j,1) t j(i,l) ) + δ i(j,) d c i j(i,l) (u c i(j,) t j(i,l) ). (16) Como na seção anterior os termos convectivos nas equações de conservação de quantidade de movimento são epressos como uma derivada material, calculada ao longo das linhas de corrente determinadas pelas curvas características, sendo o termo F u k j dado por F u k j = u k j, com u k j o valor da componente normal da velocidade u no final da trajetória lagrangeana, [Martino (13)]. Quanto á equação para a superfície livre, substituindo o valor de u k+1 j dado em (1) na equação da continuidade (14), obtemos onde, A i η k+1 i g t θ Σ 3 s i,l λ j(i,l) l=1 H δ j(i,l)(η k k+1 i[j(i,l),] ηk+1 i[j(i,l),1] ) = j(i,l) A i η k i (1 θ) tσ 3 l=1s i,l λ j(i,l) H k j(i,l)u k j(i,l) θ tσ 3 l=1s i,l λ j(i,l) H k j,(i,l)g k j(i,l), (17) G k j(i,l) = F u k j g t δ j (1 θ)(η k i(j,) η k i(j,1)). (18) As equações dadas em (17) constituem um sistema linear esparso de N p equações para η k+1 i. Esse sistema é diagonal dominante, simétrico e positivo definido. Logo tem solução única que pode ser eficientemente determinada pelo método do gradiente conjugado pré condicionado, [Atkinson (1988)]. E, uma vez que η k+1 i tridiagonal para u k+1 j um método direto para determinar u k+1 j for determinado, a equações (1) constituem um sistema linear. Esse sistema é simétrico e positivo definido. Logo, pode ser resolvido por ao longo de todo o domínio computacional. 3.4 Um problema do tipo dam break O esquema semi-implícito de diferenças-volumes finitos (17) foi aplicado a um problema do tipo dam break bidimensional, com o escoamento ocorrendo em uma bacia retangular com 3m SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

12 de comprimento na direção, m de comprimento na direção. Os valores da elevação da superfície livre e das componentes do campo de velocidades nas direções e são calculados em uma malha não estruturada ortogonal staggered, representada na Figura(6), gerada a partir de uma triangulação de Delauna contendo apenas triângulos acutângulos, que tem como padrão a triangulação já eibida anteriormente na Figura(4)(a). Figura 6: Malha triangular não estruturada ortogonal staggered para um problema do tipo dam break A estrutura de dados dessa triangulação, com 64 triângulos e 343 nós, que inclui por eemplo dados sobre os nós que formam os triângulos e vizinhança de cada um desses triângulos, foi gerada pelo gerador de malha Triangle, [Schewchuk (1996)]. Inicialmente o fluido está em repouso sendo a elevação da superfície livre igual a 1m para 1m e igual a m para > 1m, com condição de contorno nula para o campo de velocidades. A aceleração da gravidade é 9.81m/s e o parâmetro de Coriolis estabelecido para 4 de latitude norte. São desprezados os efeitos da viscosidade. Este esquema foi implementado com t = 1s, adotando-se a descrição lagrangeana dos termos convectivos, com 4 subintervalos de tempo. O fator de implicidade é tal que θ =.5. Os resultados seguintes representam a elevação da superfície livre para um escoamento do tipo dam break que ocorre em um canal com variação abrupta de velocidade ao longo da direção, sendo essa profundidade igual a 4.5m para 1m e igual a 1.m para > 1m. Os resultados obtidos para a elevação da superfície livre com 8 e 16 passos de tempo são apresentados na Figura(7)(a) e com 4 e 3 passos de tempo são apresentados na Figura(7)(b). SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

13 t = 8s t = 16s eta eta (a) t = 4s t = 3s eta eta (b) Figura 7: Elevação da superfície livre para um problema do tipo dam break com variação abrupta de profundidades após (a) 8 e 16 passos de tempo, e (b) 4 e 3 passos de tempo 4 CONCLUSÕES Um esquema de diferenças semi-implícito, com malha staggered foi utilizado na aproimação do modelo bidimensional do sistema de equações de águas rasas. Esse esquema de diferenças foi aplicado a um escoamento geofísico de um trecho do rio Amazonas, onde temos resultados para 1h após o início do escoamento, sendo esses resultados significativamente melhores que os apresentados em [da Silva ()], quando o passo de tempo era 1 vezes menor que o utilizado neste trabalho. Entretanto efeitos de turbulência, geralmente relevantes neste tipo de escoamento, não foram considerados, assim como dados sobre vazão, e não sobre maré, como os que foram aplicados, talvez nos rendessem observações mais realistas a respeito desse escoamento já que estamos nesta aplicação em uma região do rio Amazonas razoavelmente longe da foz. Além disso, foram desconsiderados neste caso problemas do tipo wet and dring que caracterizam escoamentos que ocorrem em domínios variáveis, apresentando regiões de seca e alagamento, como é o caso desse trecho do rio Amazonas que apresenta substancial variação de cota. Neste trabalho o método da profundidade integrada foi aplicado na reconstrução do campo de velocidades de um escoamento rotacional em águas rasas, considerando-se todos os seus termos, de advecção, difusão e fricção, epandindo os resultados apresentados em [Kleptsova et al. (9)], que trata de um escoamento rotacional que sofre influência apenas da parcela referente a Coriolis, SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14

14 regido pelas equações de ondas de gravidade inerciais. Esse sistema de equações é aproimado por um esquema semi-implícito baseado no método de volumes finitos, com uma discretização semi lagrangeana dos termos convectivos da equação de conservação de momentum. A validação do método da profundidade integrada aplicado ao conjunto completo de equações de águas rasas se deu através de um problema do tipo dam break, por significar parte do sucesso desse método a sua capacidade de representar de maneira satisfatória escoamentos de caráter hiperbólico com condição inicial descontínua. REFERÊNCIAS Atkinson, K. E., An Introduction to Numerical Analsis. John Wile Sons Inc, Iowa Cit. Casulli, V., 199. Semi-implicit finite difference methods for the two-dimensional shallow water equations. Journal of Computational Phsics, vol. 86, pp Casulli, V., Computational methods for oceanic and atmospherica flows. Technical report, Laboratório Nacional de Computação Científica. Casulli, V. & Cattani, E., Stabilit, accurac and efficient of a semi-implicit method for threedimensional shallow water flow. Computational Mathematic Applied, vol. 7 (4), pp Casulli, V. & Cheng, R. T., 199. Semi-implicit finite difference methods for three-dimensional shallow water flow. International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 15, pp Casulli, V. & Walters, R. A.,. An unstructured grid, three dimensional model based on the shallow-water equations. International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 3, pp da Silva, L. S.,. Solução numérica para um escoamento geofísico aplicado ao rio amazonas. Master s thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro. Harlow, F. H. & Welch, J. E., Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. The Phsics of Fluids, vol. 8 (1), pp Kleptsova, O., Pietrzak, J. D., & Stelling, G. S., 9. On the accurate and stable reconstruction of tangential velocities in c-grid ocean models. Ocean Modelling, vol. 8, pp Martino, L. S. d. S., 13. Simulação Numérica de Escoamentos em Águas Rasas pelo Método de Diferenças Finitas. PhD thesis, Laboratório Nacional de Computação Científica. Pereira, F. F., 1. Modelo hidrodinâmico e de transporte bidimensional de grade não estruturada para lagos rasos. Master s thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Schewchuk, J. R., Triangle: Engineering a d qualit mesh generator and delauna trinagulator. In Applied Computational Geometr, Towards Geometric Engineering, pp. 3, London. Springer Verlag. SIMMEC/EMMCOMP 14 Juiz de Fora, MG, 8-3 de maio de 14