MODELAMENTO SÍSMICO: A EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA

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1 Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística, e Computação Científica RELATÓRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA MODELAMENTO SÍSMICO: A EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos Orientador Aleandre Camargo Bolsista Departamento de Matemática Aplicada Agosto,

2 Introdução Dada a análise cuidadosa da equação da onda em meio acústico (relatório anterior) iremos nos concentrar na modelagem dessa equação numericamente, isto é, utiliando o método de diferenças finitas (MDF). Com esse método poderemos obter a melhor aproimação da equação da onda e ainda permite a elaboração de fotografias ( snapshots ) do campo de ondas em qualquer instante. O MDF usa uma discretiação do meio e, conseqüentemente, discretia o campo de onda (amplitudes) que atravessa tal meio, usando uma malha de pontos. Equação da Onda em Meio Acústico De forma geral a equação da onda pode ser representada por () onde,, é o termo fonte da equação e é a função que descreve a velocidade de propagação e é o operador Laplaciano. No modelamento sísmico vamos considerar um termo fonte pontual, isto é,, onde é a função Delta de Dirac, é a posição da fonte e é uma função que descreve a atuação da fonte ao longo do tempo. As condições de fronteiras e/ou iniciais serão analisadas na implementação do método. Neste trabalho vamos aplicar o MDF para bidimensional a equação () é dada por. No caso (). / onde, com são os mesmos definidos acima. Método de Diferenças Finitas (MDF) A ideia central do método é substituir a equação diferencial por uma equação que envolva somente diferenças e quocientes finitos onde não envolva valores infinitamente grandes ou pequenos, isto é, necessitamos obter epressões que permitam calcular numericamente as derivadas. Isto pode ser feito via série de Taylor que nos permite escrever as seguintes epansões () ()

3 Rearranjando os termos das equações () e () obtemos as seguintes epansões para (5), - (), - Truncando-se as equações (5) e () a partir dos termos nos quais tem potência maior do que, obtemos as seguintes aproimações para a derivada primeira (7) ou () com,, e Podemos obter uma aproimação com menor erro de truncamento subtraindo a equação () e () e eplicitando, (9), - Truncando a epanção acima a partir do termo aproimação para temos a seguinte () Podemos obter a segunda derivada subtraindo as equações (5) e () e eplicitando. Assim, () Pelo mesmo raciocínio que o anterior e com as equações () e () conseguimos a seguinte epressão para a derivada segunda (), -

4 onde, e é a derivada parcial segunda da função com respeito a calculada no nó da malha. Vamos usar as equações () e (), pois foi mostrado em Alford et al. (97) que os esquemas centrados de segunda ordem no tempo e quarta ordem no espaço aumentam a precisão significativamente. A função nos pontos da malha sofre uma ação específica dos operadores usados em diferenças finitas. Geralmente, quanto mais precisas as aproimações para as derivadas, mais pontos viinhos são requeridos e, portanto, o calculo se torna mais dispendioso. Contudo, boa precisão não indica convergência e temos que levar em conta critérios de estabilidade, que é assegurada por determinada largura da malha espacial, assim como o intervalo de temporal da derivada segunda. A ordem da aproimação depende do número de pontos nas quais a função é amostrada. Tais pontos estão regularmente e simetricamente espaçados em relação àquele no qual se deseja conhecer a derivada segunda da função considerada. Procedimento Recursivo do MDF Dadas as aproimações para as derivada segundas representadas pelas equações () e (), obtemos a seguinte epressão recursiva necessária à implementação computacional do MDF aplicado à equação da onda bidimensional, o caso unidimensional é obtido retirando a coordenada. () *, -, -+ onde os índices e se referem, respectivamente, as variáveis e, () denota a velocidade em, (5) { Inicialiamos o processo de propagação escolhendo a posição da fonte com a condição inicial () para todo

5 As condições de fronteiras que usamos foram para todo (7) para todo. Contudo, pelo nosso esquema () vamos precisar de mais uma condição inicial, () para todo 5 Condição para Estabilidade e não Dispersão Numérica O cálculo das derivadas envolvidas nas equações diferenciais são realiadas segundo aproimações com maior ou menor precisão, o que gera erro no resultado numérico do MDF. No caso particular da equação da onda, este erro se apresenta sobre a forma de dispersão numérica. Geralmente, este problema se manifesta gerando oscilações não continuas na forma temporal do pulso sísmico. Outro problema causado é a presença de ruído em determinado ponto antes da chegada vertical do sinal. Para haver estabilidade, ou seja, para que o erro seja pequeno e não cresça com o tempo é necessário calcular o intervalo amostral máimo que seja mais conveniente. Freqüentemente a modelagem por DF utilia uma malha uniforme, que, visando evitar dispersão ou instabilidade numérica deve satisfaer às relações que seguem (veja Mufti et al., 99) (9) e () onde e são os intervalos espaciais, é o intervalo temporal utiliado,, são respectivamente, as velocidades mínimas e máimas presentes no modelo; é a freqüência máima da fonte e as constantes e são parâmetros que dependem da ordem da aproimação usada no cálculo das derivadas espaciais e temporais. A qualidade do resultado apresenta melhoras com aumento de. Função Fonte Devemos ter certo cuidado na escolha da fonte a ser usada. Para estudo de resolução é mais conveniente que seja usado um pulso de fase ero. Porém, é conveniente que seja uma função bem comportada, com espectro limitado ou que decaia rapidamente a partir de um determinado ponto, de modo

6 AMPLITUDE que uma freqüência dominante, assim como a de corte, fiquem bem caracteriadas. Contudo, devemos lembrar que é necessário um estrito controle sobre o conteúdo de freqüência da fonte quando se trabalha com DF. Neste trabalho foram utiliados como funções fonte os pulsos que possui a forma da segunda derivada da função Gaussiana. Denominada pulso de Ricker dada por () (. / ). / onde é a duração do pulso (veja Figura abaio) TEMPO Figura : Pulso Ricker usado como fonte no caso. 7 Refleão nas Bordas Qualquer método de solução numérica da equação da onda enfrenta problemas com as bordas do modelo. Uma solução, no caso de fonte pontual e aproimação eplícita, seria estender os limites do modelo, de modo que estas refleões indesejadas não tenham tempo de estar presente no sismograma. Porém, este método é muito caro computacionalmente. Podemos também anular as refleões impondo-se condições de contornos apropriadas nas referidas bordas. Em nosso caso estamos assegurando que as refleões não tenham tempo de acontecer. 5

7 u u Resultados Utiliamos o software MATLAB 7. para a implementação do MDF numa máquina Intel Core i5m, GB RAM, 5GB HDD. Os eperimentos numéricos foram realiados com a fonte colocada na origem e se quisermos mudá-la de posição indicaremos onde foi posicionada e com cuidados necessários evitando dispersões numéricas pelas condições já citadas acima. - Caso unidimensional com,,.. Snapshot (t =. s) Snapshot (t =. s)

8 u u. Snapshot (t =. s) Snapshot (t =. s) Figura : Solução. 7

9 u Vamos mostrar o resultado para o mesmo modelo, mas aumentando o tempo de propagação. Assim, veremos que a onda reflete na fronteira e ocorre dispersão.. Snapshot (t = s) Figura : Solução.

10 Caso bidimensional com ( ), e. t =. s t =. s t =. s t =. s t=s t=s

11 t =. s t =. s Figura : Snapshots observado de duas maneiras diferentes. Caso bidimensional com ( ) e t =. s t =. s t =. s - t =. s

12 t =. s t =. s t =. s t =. s Figura 5: Snapshots de duas maneiras diferentes para a visualiação. O resultado com refleão e dispersão para o mesmo modelo acima seria t=s t=s Figura : Snapshot com refleão. -

13 Caso bidimensional com ( ), e. t =. s t =. s t =. s 5 t =. s t=s t=s

14 t =. s t =. s Figura 7: Snapshots. Novamente vamos mostrar a refleão para as mesmas variáveis do caso acima t =.75 s t =.75 s Figura : Snapshot com refleão. Perceba que o segundo modo de visualiar ficou muito prejudicada por haver refleão. 9 Conclusão Os resultados se mostram com boas aproimações para a resolução da equação da onda unidimensional e bidimensional. Tivemos sucesso em realiar a propagação numérica da frente de onda onde para se evitar dispersão pegamos um intervalo de tempo que não desse tempo de bater na fronteira, mas apenas para visualiação fiemos casos onde a dispersão ocorria. O método de diferenças finitas requer um grande esforço computacional, porém gera uma boa aproimação das derivadas.

15 Agradecimentos Ao meu orientador Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos, pelo acompanhamento e discussões na pesquisa. Ao PIBIC, pelo fomento. Bibliografia ALFORD, R. M., KELLY, K. R., BOORE, D. M., Acuracy of Finite-Difference Modeling of the Acoustic wave equation, Geophysics, 9, -, 97. FARLOW, S.J. (9), Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. John Wiley & Sons. MUFTI, I. R., PITA, J. A., HUNTLEY, R. W., Finite-Difference Depth Migration of Eploration-Scale D Seismic Data, Geophysics,, 77-79, 99. Novais, M. A., Modelamento de Kirchhoff/Born para propagação de ondas. Tese de Doutorado. (IMECC-UNICAMP),99. p.. SANTOS, R. H. M., FIGUEIRÓ, W. M., Modelagem Acústica Bidimensional Usando Diferentes Parametriações de Campos de Velocidades.In: XLI Congresso Brasileiro de Geologia,, João Pessoa, PB, Anais do XLI Congresso Brasileiro de Geologia,. v.. p SILVA, M. S., BOTELHO, M. A. B., OLIVEIRA, S. P., Modelagem Numérica de Dados Sísmicos Marinhos Simulando Arranjo de Fonte do Tipo Canhões de Ar (Airguns). In: III Congresso Brasileiro de P&D em Petróleo e Gás, 5, Salvador, BA.