Conjuntos e números. professor. 1 Noções de conjuntos 2 Operações com conjuntos 3 Conjuntos numéricos 4 Intervalos e produto cartesiano.

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1 matemática professor módulo Conjuntos e números CPÍTULOs Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. The ridgeman / keystone reunião de elementos vistos como um todo caracteriza a noção de conjunto. Toda a matemática pode ser construída sobre essa simples ideia. oções de conjuntos Operações com conjuntos Conjuntos numéricos 4 Intervalos e produto cartesiano

2 Conjuntos: Uma noção que organiza conceitos matemáticos este módulo, vamos estudar a teoria dos conjuntos e os conjuntos numéricos. Você vai precisar de ideias criativas e pensamento original, porque pretendemos encaminhar esse assunto por rumos ainda não estabelecidos. você vai caber incentivar e desenvolver seu raciocínio, a fim de incorporar as regras, a linguagem e a estrutura própria desse tema fundamental para seu aprendizado da Matemática. título de revisão das operações com números em suas mais variadas características, os conjuntos numéricos serão apresentados em situações e exercícios de muita utilidade. lguns o farão recordar o que foi aprendido no Ensino Fundamental. Com isso, você terá oportunidade de exercitar habilidades necessárias ao seu desenvolvimento no Ensino Médio. Já que o assunto é números, leia com atenção e procure resolver este problema do professor Júlio César de Mello e Souza, o famoso Malba Tahan: Um problema da antologia grega apresentado sob a forma curiosa de epitáfio: Eis o túmulo que encerra Diofanto maravilha de contemplar! Com um artifício aritmético a pedra ensina a sua idade: Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho.

3 Professor: Consulte o Plano de ulas. s orientações pedagógicas e sugestões didáticas facilitarão seu trabalho com os alunos. Objetivos um sétimo, em seguida, foi passado num casamento estéril. o final deste módulo, você deverá ser capaz de: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. um duodécimo na adolescência; Mas esse filho desgraçado e, no entanto, bem-amado! apenas tinha atingido a metade da idade de seu pai e morreu. perceber a participação da noção de conjuntos em diversas situações; identificar e descrever os diversos tipos de conjuntos; construir relações entre conjuntos por meio de seus elementos; realizar operações entre conjuntos; identificar conjuntos numéricos; explicitar intervalos numéricos; conceituar produto cartesiano entre conjuntos; desenvolver a linguagem formal inerente à teoria dos conjuntos. 6 Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofanto antes de chegar ao termo de sua existência. Souza, Júlio César de Mello e. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, 000. p. 4. Professor: Por meio da equação x 6 x x 7 x 4 x obtém-se a idade de Diofanto, ou seja, 84 anos.

4 CPÍTULO oções de conjuntos oções básicas RR P Observe as dicas de um jogo de adivinhação: Pense no nome dos estados brasileiros. Separe aqueles que começam com a letra M. Dos nomes que separou, diga qual está na região Sudeste. C M RO Fonte: IGE (Instituto rasileiro de Geografia e Estatística). MT MS P RS PR TO DF GO SC SP M MG PI CE ES RJ R P PE L SE Você encontrou o único estado da região Sudeste que não tem praia? Em muitas situações, como a que foi proposta acima, recorremos à noção de conjunto. noção de conjunto na matemática tem o mesmo significado da usada no dia-a-dia (agrupamento, coleção etc.). Para analisar um conjunto, podemos iniciar o estudo pela listagem de seus elementos. Exemplos: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: rasiliense, Gama, Ceilândia. Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira. Conjunto dos números pares: 0,, 4, 6, 8... lgumas vezes, você pode escrever a lista completa dos elementos que formam o conjunto. Temos, então, um conjunto finito. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação. Outras vezes, não é possível fazer a lista de todos os elementos, pois os elementos não terminam. Trata-se, nestas condições, de um conjunto infinito. Por exemplo, o conjunto dos números pares. 4

5 Reflita ideia de infinito está presente em diversos contextos matemáticos e na natureza. O conjunto dos números primos é um conjunto infinito. Deve-se a Euclides matemático do século III a.c. o registro da primeira demonstração desse fato. Os grãos de areia de uma praia e as estrelas no céu nos remetem a quantidades infinitas. Crie um conjunto que seja infinito e procure justificar esse fato. Resposta pessoal. Professor: Outro exemplo de conjunto infinito é o conjunto dos números naturais ímpares. Sempre é possível somar a um número ímpar, obtendo-se, dessa forma, outro número ímpar. Vejamos, a seguir, algumas formas de representar um conjunto.. Explicitando os elementos de um conjunto por meio de uma lista Escrevemos, entre chaves, os elementos de um conjunto separados por vírgulas. Usualmente, nomeamos os conjuntos com as letras maiúsculas do alfabeto latino (,, C,..., Z). Exemplos: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. {,,, 7, 9} Esse conjunto pode ser representado com seus elementos escritos em outra ordem. {,,, 9, 7} Se um conjunto infinito for representado por meio de uma lista, usamos as reticências para indicar os elementos infinitos. Observe: {0,, 4, 6, 8,...}. Considerando uma propriedade dos elementos Um conjunto pode ser enunciado por uma propriedade ou condição relacionada aos seus elementos. Exemplo: O conjunto do exemplo anterior pode ser assim enunciado: {xox é um número ímpar positivo menor que 0} Como se lê Conjunto dos elementos x, tal que x é um número ímpar positivo menor que dez. Desenhando uma figura (diagrama de Venn) Podemos representar um conjunto por meio de pontos no interior de uma linha fechada, não entrelaçada. 7 9 Independentemente da representação, o conjunto, já citado, é formado pelos elementos,,, 7 e 9. Daí, podemos dizer: pertence a e indicamos por: 9 não pertence a e indicamos por: (

6 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos, e, são iguais ( ) se tem os mesmos elementos de. Como os conjuntos podem ser representados por uma propriedade ou pela descrição de seus elementos, a verificação de que eles têm os mesmos elementos pode não ser tão evidente. Por exemplo, o conjunto dos números naturais menores que e o conjunto {0,,,, 4} são iguais, pois têm os mesmos elementos. OSERVçÃO Professor: Devem ser retirados sete elementos: b, c, d, f, g, h, j; e devem ser acrescentados dois ele mentos: o, u. Conjunto vazio Conjunto unitário Conjunto universo Se dois conjuntos diferem em, pelo menos, um elemento, então eles são diferentes. Observe: X {0,,,, 4,...} e Y {,,, 4,...} 0 ( Y X % Y (X é diferente de Y) Com base nisso, responda: Sendo o conjunto das dez primeiras letras do alfabeto e o conjunto das vogais, quantos elementos devem ser retirados e quantos devem ser acrescentados ao conjunto para que os dois conjuntos fiquem iguais? Definição Exemplo otação É um conjunto que não tem elementos. É um conjunto que tem apenas um elemento. É um conjunto considerado para estudar determinada situação. Conjuntos vazio, unitário e universo lguns conjuntos são definidos apenas com propósitos matemáticos. É o caso do conjunto vazio e do conjunto unitário. mbos não apresentam significado de agrupamento ou de coleção. seguir veremos suas características. {xox seja um número primo par maior que } ~ ou { } C {xox seja um número primo par positivo} C {} Para estudar a faixa salarial dos empregados, precisamos conhecer o universo que estamos pesquisando, ou seja, o conjunto ao qual os empregados pertencem. esse caso, o conjunto universo pode ser, por exemplo, o dos funcionários da empresa. U {funcionários da empresa } Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. EXERCíCIOs resolvidos R Escreva uma propriedade que define cada conjunto a seguir. a) K {, R} b) M {0, 0, 0, 0, 40,...} 6 Resolução possível a) K: s letras da palavra RR. b) M: x tal que x é um número natural múltiplo de 0.

7 R Considere o conjunto universo (U) de cada item e resolva a equação: x 0 a) U é o conjunto dos números naturais. b) U é o conjunto dos números inteiros. Resolução a) Considerando o conjunto dos números naturais como o conjunto universo, a equação não tem solução, ou seja, S ~. b) Considerando o conjunto dos números inteiros como o conjunto universo, a equação tem solução, ou seja, S {}. R Em uma escola, o sistema de notas é de 0 a 0 pontos, com variação de 0, em 0,. Para programar o boletim, um técnico em computação precisava saber o conjunto universo de notas possíveis. Quais e quantas são as notas possíveis nessa escola? Resolução Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. s notas possíveis são: 0; 0,;,0;,;,0;,;,0;,; 4,0; 4,;,0;,; 6,0; 6,; 7,0; 7,; 8,0; 8,; 9,0; 9,; 0,0. O conjunto universo de notas consiste em elementos. R4 Crie um procedimento de cálculo que determine o número de elementos de um conjunto universo de notas como o descrito no exercício anterior. Resolução Como o intervalo de notas consiste em 0 unidades variando de 0, em 0,, divide- -se as 0 unidades por 0,, obtendo-se 0. esse cálculo, não foi considerada a nota 0. Portanto, são as possibilidades de notas. 4 Subconjuntos de um conjunto Sejam e dois conjuntos quaisquer. Dizemos que é subconjunto de se, e somente se, todos os elementos de pertencerem a. Exemplo: P Vamos considerar os conjuntos: D C {xox é um número primo par} C D {xox é um número primo menor que 0} P {xox é um número primo} 7 P: Conjunto dos números primos. 7

8 Todos os elementos do conjunto C são elementos do conjunto P; então, dizemos que C é um subconjunto de P. Todos os elementos de D também são elementos de P; então, podemos dizer que D é um subconjunto de P. Para indicar a relação entre os conjuntos C e P, usamos a notação: C - P Se o conjunto está contido em, também podemos dizer que contém, cuja notação é: = Como se lê C - P C está contido em P = contém OSERVçõES Sejam e conjuntos quaisquer. Se não é subconjunto de, dizemos que não está contido em. Indicamos por _. o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos, ou seja, ~ - X, para qualquer conjunto X. Todo conjunto está contido nele mesmo ( - ). Se - e -, então, o conjunto é igual a ( ). EXERCíCIOs resolvidos R Dados os conjuntos {a, b, c}, {c, d} e C {b, c}, classifique as sentenças em verdadeira ou falsa e justifique. a) = C b) _ c) C - Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Resolução a) sentença é verdadeira, pois todos os elementos de C pertencem a. b) sentença é verdadeira, pois existe o elemento d em que não pertence a. c) sentença é verdadeira, pois é equivalente ao item a. R6 Quantos e quais são todos os subconjuntos de X {p, a, r}? 8 Resolução Para não esquecer algum subconjunto, podemos organizar a lista dos subconjuntos dos que têm menos elementos para os que têm mais elementos: ~, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; {p}, {a}, {r}, subconjuntos unitários; {p, a}, {p, r}, {a, r}, subconjuntos com dois elementos; X, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo. o total, são 8 os subconjuntos do conjunto X.

9 OSERVçõES o conjunto que agrupa todos os subconjuntos distintos de X é chamado de conjunto das partes de X. Será representado por: P(X) o exercício R6 pedia o conjunto das partes de X e o número de elementos desse conjunto. Então, esse conjunto possui 8 subconjuntos, pois: P(X) {~, {p}, {a}, {r}, {p, a}, {p, r}, {a, r}, {p, a, r}} Por existirem o conjunto vazio e os conjuntos unitários, pode-se provar que o número de elementos do conjunto das partes de um conjunto é dado pela expressão n, sendo n o número de elementos de. Em R6, n e, assim, n 8 como se esperava. C R7 Considerando o conjunto {,, }, descobrir um conjunto Y em cada caso: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. a) Y - b) - Y c) Y - e - Y Reflita Resolução Se Y -, significa que Y é um subconjunto de. Então, o conjunto Y pode ser {, }. Se - Y, significa que é um subconjunto de Y. Então, nesse caso, o conjunto Y pode ser {0,,, }. Se Y - e - Y, só existe uma possibilidade: Y {,, } R8 Observe o diagrama e classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas. Caso as sentenças sejam falsas, encontre um exemplo que justifique sua classificação. P: Conjunto dos paralelogramos. R: Conjunto dos retângulos. Q: Conjunto dos quadrados. a) P - R b) R _ Q c) R = Q Resolução a) Falsa. Se P estivesse contido em R, todos os elementos de P também seriam elementos de R. Justificativa: CD é um elemento de P, mas não é elemento de R, pois não tem os ângulos retos. α β β C α Q α = ângulo agudo β = ângulo obtuso R P Se - e - C, qual é a relação entre os conjuntos e C? - C Recorde Paralelogramo é um quadrilátero convexo cujos lados opostos são paralelos. Retângulo é um quadrilátero convexo que tem os 4 ângulos retos. Quadrado é um quadrilátero convexo que tem todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida. D b) Verdadeira. Há retângulos que não pertencem ao conjunto dos quadrados. c) Verdadeira. Todo quadrado tem seus ângulos internos com a mesma medida e, portanto, está contido no conjunto dos retângulos. Logo, o conjunto dos retângulos contém o conjunto dos quadrados. 9

10 Complementar de um conjunto Considere os conjuntos {0,,,, 4,,...} e P {0,, 4, 6, 8, 0,...}. Chamamos de complementar do conjunto P em relação a o conjunto {,,, 7, 9,,...}, formado pelos elementos que pertencem a e não pertencem a P. Indicamos esse conjunto pelo símbolo: Definimos: i P Como se lê Complementar de P em relação a i {xox 9 e x ( } OSERVçõES o complementar de um conjunto em relação a um conjunto só está definido se -. o complementar de um conjunto em relação ao conjunto universo U também pode ser escrito com a notação U ou. R9 este diagrama temos a representação de -. EXERCíCIOs resolvidos Considere os conjuntos: {0,, 0, }, {0, 0} e U {xox é um número natural menor ou igual a }. Determine: a) U b) i E neste, o complementar de em relação a. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Resolução a) Excluímos os números naturais menores ou iguais a que pertencem a. Então: U {,,, 4, 6, 7, 8, 9,,,, 4} b) Os elementos 0 e 0 pertencem a e a. Então: i {, } R0 Dados os conjuntos U {v, i, a, g, e, m}, U {v, i, a} e U {e, m}, determinar: a) b) 0 Resolução a) Como U {v, i, a}, os elementos de U que não pertencem a U pertencem ao conjunto. Portanto, {g, e, m} b) Como U {e, m}, os elementos de U que não pertencem a U pertencem ao conjunto. Portanto, {v, i, a, g}

11 Exercícios dos conceitos Liste os elementos do conjunto expresso, em cada item, por suas respectivas propriedades. a) : conjunto dos divisores inteiros de 8. b) : conjunto dos números naturais múltiplos de. c) : conjunto das vogais da palavra paralelepípedo. d) : conjunto das diagonais do triângulo C. {8, 4,,,,, 4, 8} { } {0,, 6, 9,...} {a, e, i, o} Escreva uma propriedade que defina cada conjunto. a) E {0,, 4, 6} E: Os quatro primeiros múltiplos de. Professor: Respostas possíveis. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. b) F {nova, crescente, cheia, minguante} F: Fases da Lua. c) G {, 7, 9,,,, 7, 9} G: Conjuntos dos números ímpares maiores que e menores que 0. d) H {p, a, i} H: Letras da palavra papai. Dados os conjuntos {a, b, c} e {b}, determine todas as possibilidades de um conjunto M sabendo que M - e M =. M {b} ou M {a, b} ou M {b, c} ou M {a, b, c}

12 4 Dado o conjunto Y {xox é um número natural maior que 7 e menor que 6}, determine em forma de diagrama: a) os subconjuntos de Y, com dois elementos que sejam números ímpares. Y {8, 9, 0,,,, 4, } b) os subconjuntos de Y, com quatro elementos que sejam: três elementos pares e o número Dados os conjuntos U {0,, 4, 6, 8, 0}; {0,, 4}; {4, 6, 8} e C {4}, liste os elementos dos conjuntos: a) U b) U c) C U d) i C a) U {6, 8, 0} b) U {0,, 0} Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. c) C U {0,, 6, 8, 0} d) i C {6, 8} 6 Construa um diagrama para representar cada item do exercício. a) U c) C U b) U d) C

13 Professor: s resoluções destes exercícios estão disponíveis no Plano de ulas deste módulo. Consulte também o anco de Questões e incentive os alunos a usar o Simulador de Testes. Retomada dos conceitos Quantos e quais são os subconjuntos de: a) {0}? b) {0, 0}? c) C {0, 0, 0}? d) D {0, 0, 0, 40}? 8 Dados os conjuntos {,,, 7} e {,,, 4,, 6}, determine: a) os subconjuntos de que sejam diferentes de qualquer subconjunto de. b) quantos subconjuntos de são iguais a algum subconjunto de? Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Dados os conjuntos {,, 9}, {,, 8, 4} e C {,,, 7, 9}, determine os conjuntos que satisfaçam as condições: a) J: Conjunto formado pelos elementos que pertencem a e não pertencem a. b) K: Conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a C. Em um escritório, trabalham pessoas: Jonas, Carlos, João, Rui e na. Entre essas pessoas, admita os conjuntos: O das que usam óculos. das que usam aparelho nos dentes. H das pessoas do sexo masculino. Sabendo que - O, O - H e que João e Rui usam aparelho nos dentes, descubra quem usa óculos. (Dica: há mais de uma resposta possível.) 4 Determine os conjuntos X e Y sabendo que Z {t}, i Y X {c}, i Z X {c, a} e i Z Y {a}. Pode um conjunto qualquer ter exatamente 0 subconjuntos? Justifique sua resposta. 9 Sabendo que trapézio é um quadrilátero convexo que possui um par de lados paralelos e que losango é um quadrilátero convexo com quatro lados congruentes, reformule o diagrama do exercício R8, incluindo esses dois quadriláteros. 0 (Fuvest) Sendo {,,, 6, 9, } e {a b oa 9, b 9 e a % b}, o número de elementos de que são números pares é: ( ) a). ( ) d). ( ) b) 8. ( ) e). ( ) c) 0. Desafio (UEL) Uma universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles: Curso : atação. Curso : longamento. Curso C: Voleibol. s inscrições para os cursos se deram de acordo com a tabela seguinte: 6 Observe o diagrama e escreva as relações entre os conjuntos, e C utilizando os símbolos =, - e _. Cursos penas penas penas C e e C e C, e C lunos Considere os conjuntos C {}, D {,, }, E {,,, 7, 9,...} e F {xox é número primo}. Classifique como verdadeiro ou falso: ( ) a) C = D ( ) f) ~ - C ( ) b) C - E ( ) g) E F ( ) c) D - F ( ) h) C _ F ( ) d) D _ E ( ) i) E = C ( ) e) F = E C nalise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela. I. pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos. II. pessoas não se inscreveram no curso. III. 48 pessoas se inscreveram no curso. IV. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas. alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: ( ) a) I e II. ( ) d) I, II e III. ( ) b) I e III. ( ) e) II, III e IV. ( ) c) III e IV.

14 CPÍTULO Operações com conjuntos União de conjuntos Considere os conjuntos = {,,, 7} e = {0,, 4, 6}. Reunindo em um conjunto C os elementos que pertencem ao conjunto ou ao, temos: C {0,,, 4,, 6, 7} Dizemos que C é o conjunto resultante da união de e, e indicamos por: C Como se lê união é igual a C Dados os conjuntos e, a união de e é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ou a. 0 {xox 9 ou x 9 } Exemplos: Dados os conjuntos M e, vamos hachurar, em cada caso, o conjunto união. a) M b) M c) M Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Para isso, vamos considerar o interior das regiões que satisfazem a condição x 9 M ou x 9. a) M b) M c) M uma classe, alunos usam óculos e não usam. Quantos alunos há na classe? Usando um diagrama para representar os dois conjuntos: Q alunos usam óculos S alunos não usam óculos Classe 8 a classe, há 8 alunos. 4

15 Intersecção de conjuntos Considere o conjunto dos números naturais menores que 8 e o conjunto dos números naturais pares menores que 0. Podemos formar um conjunto com os elementos comuns a eles, ou seja, com elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a e a. Esse conjunto é formado pela intersecção de e. Usamos o símbolo ) (intersecção) para representar essa operação. esse caso, ) {0,, 4, 6}. Como se lê intersecção ou inter Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Dados os conjuntos e, a intersecção de e é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a. ) {xox 9 e x 9 } Exemplos: Dados os conjuntos M e, vamos hachurar, em cada caso, o conjunto intersecção. a) Para isso, vamos considerar o interior das regiões que satisfazem a condição x 9 M e x 9. a) M M b) b) M M c) c) M M OSERVçÃO Se ) ~, dizemos que e são disjuntos. Em uma pesquisa sobre o ritmo musical preferido pelos alunos de uma sala de aula, todos tiveram de optar entre rock, samba ou por ambos. Resultado: alunos gostavam somente de rock, gostavam de rock e de samba e 8 gostavam somente de samba. Quantos alunos há nessa sala de aula? 8 Rock Rock e samba Samba 8 Há alunos na sala.

16 Diferença de conjuntos Considere o conjunto dos números naturais entre 0 e 0 e o conjunto dos números primos menores que 0. Podemos formar um conjunto D com os elementos que pertencem ao conjunto, mas não pertencem a. Dizemos que o conjunto D é a diferença entre e. Listando os elementos do conjunto D, temos: D {,, 4,, 6, 7, 8} Usando simbologias, escrevemos D Como se lê menos é igual a D Dados os conjuntos e, a diferença de e é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a, mas não pertencem a. {xox 9 e x ( } Exemplos: Dados os conjuntos M e, vamos hachurar, em cada caso, o conjunto M. a) b) c) a) M M b) M Para isso, vamos considerar o interior das regiões que satisfazem a condição x 9 M e x (. M c) M M Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Reflita Se o conjunto for subconjunto de, qual é a solução de? O conjunto vazio. OSERVçÃO ote que i, ou seja, é o complementar de em relação a. Exemplos: uma festa, meninas são loiras e 8 meninas têm olhos azuis. Sabendo que há 4 loiras de olhos azuis na festa, quantas meninas de olhos azuis não são loiras? Loiras Olhos azuis Quatro meninas de olhos azuis não são loiras. 6

17 4 Problemas com aplicação das operações de conjuntos Em alguns problemas que envolvem conjuntos, principalmente aqueles que se referem a pesquisas, o interesse não está em saber que elementos pertencem a qual conjunto, mas sim em saber o número de elementos de cada conjunto. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos aplicando-se as operações com conjuntos. Vamos analisar o que ocorre com o número de elementos de um conjunto resultante de algumas operações. o quadro a seguir, consideremos as seguintes representações: e são dois conjuntos quaisquer. n() é o número de elementos do conjunto. n() é o número de elementos do conjunto. 0 ) Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. O número de elementos de união é: n( 0 ) n() n() n( ) ) O número de elementos de inter é: n( ) ) n() n() n( 0 ) O número de elementos de menos é: Exemplos: Uma pesquisa feita em uma sala de aula revelou que alunos praticavam basquete como única atividade esportiva, alunos praticavam futebol, também como única atividade esportiva, e 7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol. Quantos alunos foram pesquisados, sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois esportes? n( ) n() n( ) ) asquete () Futebol (F) 7 O número de alunos pesquisados é o número de elementos do conjunto 0 F. Exemplos: n( 0 F) n() n(f) n( ) F) n( 0 F) 7 47 Em uma pesquisa num supermercado, verificou-se que 0 pessoas compraram o refrigerante C e 7 compraram o refrigerante P. Sabendo que foram pesquisadas 00 pessoas, quantas compraram os dois refrigerantes? Reflita Como calcular o número de elementos de 0 0 C? n( 0 0 C) n() n() n(c) [n( ) ) n( ) C) n( ) C)] n( ) ) C) C P 0? 7 7

18 O número de pessoas que compraram os refrigerantes C e P é o número de elementos do conjunto C ) P. n(c ) P) n(c) n(p) n(c 0 P) n(c ) P) Uma lanchonete vendeu em um fim de semana.00 hambúrgueres. Sabendo que 7 deles foram pedidos com queijo, quantos hambúrgueres sem queijo foram vendidos? 7.00 Hambúrguer (H) Queijo (Q)? Reflita Como calcular o número de elementos de ) ) C? O número de hambúrgueres vendidos sem queijo é o número de elementos do conjunto H Q. n ( ) ) C) n( 0 0 C) n() n() n(c) n( ) ) n( ) C) n( ) C) EXERCíCIOs resolvidos n(h Q) n(h) n(h ) Q) n(h Q) R uma faculdade de agronomia, os estudantes pesquisavam como alguns fatores de um ambiente interno influenciavam as plantas. Eles submeteram algumas plantas aos seguintes fatores: cor da sala, altura em que a planta fica do solo e ventilação do ambiente. Depois do experimento, eles fizeram a tabulação do número de plantas que apresentou alteração em relação à planta-controle. Observe os resultados na tabela: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Fatores úmero de plantas C (cor) (altura) 8 V (ventilação) C e e V V e C 4 C, e V Planta-controle é a planta que ficou exposta a uma condição controlada para ser parâmetro de crescimento, cor etc. para as outras plantas do experimento. holt studios international/ alamy-other images 8 a) Qual é o número de plantas do experimento? b) Quantas plantas não apresentaram alterações quando expostas ao fator cor da sala?

19 Resolução a) Uma das formas práticas de resolver problemas como esse é a representação dos conjuntos por meio de diagrama. C V Para calcular a quantidade de elementos de cada conjunto, podemos seguir os passos:. Indicar o número de plantas afetadas pela cor, pela altura e pela ventilação na região do diagrama que representa a intersecção dos três conjuntos: C Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Completar as regiões que representam a intersecção de dois conjuntos: V C 4 V. Completar as regiões que representam apenas um dos conjuntos: C 6 8 V Com base nesses dados, o número de plantas do experimento é: 6 0 O experimento foi realizado com 0 plantas. b) Observando o diagrama completo, estamos interessados no conjunto ( 0 V) C, cujo total de elementos é 6 9. Portanto, 9 plantas não se alteraram sob o fator cor da sala. 9

20 Exercícios dos conceitos Observe os conjuntos X, Y e Z. Z X Y 4 Determine: a) X 0 Y {,,, 4} c) Z 0 X {,,, 4, } b) Y 0 Z {,, } d) X 0 Y 0 Z {,,, 4, } Considere os conjuntos P = {xox é par}, I = {xox é ímpar} e M {xox é um número natural múltiplo de 0}. Determine: a) P ) M M c) I ) M b) P ) I ~ d) P 0 I ) M M Considere os conjuntos X {,,, 4}, Y {xox é um primo menor que 6} e Z {,,, 4,, 6, 7, 8, 9}. Determine: a) X Z b) Y X c) Z X ~ {} {, 6, 7, 8, 9} ~ Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Dados os conjuntos {a, b, c, d, e} e {a, e}, determine o número de elementos dos conjuntos 0, ) e. 0 {a, b, c, d, e}; ) {a, e}; {b, c, d } n( 0 ) ; n( ) ) ; n( ) 0 dmita os conjuntos: P: números primos menores que 0; M: números naturais múltiplos de e menores que 0; e Q: números naturais múltiplos de 4 e menores que 0. Classifique cada frase a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F). ( V ) a) n(p) 4 ( F ) d) n(q M) ( F ) b) n(p 0 M) 8 ( V ) e) n(p 0 Q) 7 ( V ) c) n(p ) M) ( V ) f) n(m P) 4

21 Professor: s resoluções destes exercícios estão disponíveis no Plano de ulas deste módulo. Consulte também o anco de Questões e incentive os alunos a usar o Simulador de Testes. Retomada dos conceitos Descreva os conjuntos,, C e D segundo propriedades, de forma que esses conjuntos obedeçam ao diagrama: 6 Se - e {a, m, o, r}, podemos afirmar que: ( ) a) a 9 ( ) c) = ( ) b) ( ) d) Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. gora, determine: a) D b) C c) ( ) D) ( ) C) C 6 4 D C 0 Descreva a parte colorida de cada diagrama por meio de operações de conjuntos. a) b) Dados {xox é um número natural} e {xox é um número ímpar}, i é: ( ) a) {xox é um número natural} ( ) b) {xox é um número ímpar} ( ) c) {xox é um número par} 4 Considere o número de elementos dos conjuntos: Conjunto O conjunto que representa a região hachurada no diagrama é: C úmero de elementos C ) C ) C ) ) ) C O número de elementos de 0 0 C é : ( ) a) 7 ( ) c) 9 ( ) b) 4 ( ) d) 0 ( ) a) 0 ( ) b) ) ( ) c) 7 Um hospital está pesquisando um tratamento com 0 voluntários. Dessas pessoas, algumas tiveram reações: sentiram dor de cabeça, 8 sentiram náusea e 4 sentiram dor de cabeça e náusea. a) Quantos voluntários sentiram dor de cabeça e não sentiram náusea? b) Quantos voluntários não sentiram náusea e dor de cabeça simultaneamente? 8 Um professor aplicou, em uma classe, uma prova em que havia itens:, e C. Sabe-se que: nenhum aluno errou os itens; apenas alunos acertaram os itens; 8 alunos acertaram os itens e ; alunos acertaram os itens e C; alunos acertaram os itens e C; o total de alunos que acertou o item é 0; o total de alunos que acertou o item é ; o total de alunos que acertou o item C é 8. Qual foi o item que a maioria errou? 9 Uma distribuidora de filmes pesquisou, de três filmes lançados, quais estavam agradando mais ao público. Sabe-se que: % do público gostou do filme X; 9% gostou do filme Y; 0% gostou do filme Z; 7% gostou dos filmes X e Y; % gostou dos filmes Y e Z; % gostou dos filmes X e Z; e % gostou dos três filmes. a) Qual é o percentual do público que não gostou de nenhum dos três filmes? b) De acordo com a pesquisa realizada, escolha dois filmes para manter em cartaz por mais tempo e justifique. 0 Uma pesquisa feita entre os 8.00 doadores de sangue de certo hospital mostrou que.7 deles possuem o antígeno,.87 o antígeno e. não têm nenhum antígeno. Qual é o número de pessoas que possuem os dois antígenos? Uma indústria lançou, no ano passado, um novo modelo de carro que não teve a repercussão esperada. Os técnicos identificaram três possíveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso () e preço mais elevado em relação aos modelos similares do mercado (P). Uma pesquisa revelou os resultados representados na tabela a seguir.

22 Problemas úmeros de votos D 4 66 P 6 D e 7 D e P e P 0 D, e P 0 ão encontraram problemas 6 Então, concluíram: I. Mais da metade dos pesquisados achou o preço elevado. II. Como a quantidade de pessoas que não encontrou problemas é maior do que a daquelas que apontou os três problemas, a maioria das pessoas entrevistadas gostou do modelo. III. Para aumentar as vendas desse modelo é necessário criar vantagens na forma de pagamento. nalise as conclusões e verifique quais estão de acordo com os dados apresentados. os diagramas a seguir, cada região é representada por um número. Para cada caso, qual é a região que representa a operação indicada? a) ( ) ) C c) ( ) ) C C b) ( ) ) C 4 C 4 7 C uma sala de aula com 0 alunos, sabe-se que falam inglês e 7 falam espanhol. Responda quantos alunos falam: a) inglês e espanhol? b) somente inglês? c) somente espanhol? 4 uma pesquisa feita sobre os produtos e com 600 consumidores, obteve-se o seguinte resultado: 0 pessoas consomem ambos os produtos. 0 pessoas consomem o produto. pessoas consomem o produto. Quantas pessoas: a) consomem somente o produto? b) consomem ou o produto ou o? c) não consomem nem nem? 6 uma pesquisa sobre uma margarina, 0 entrevistados acharam que a margarina não era cremosa e 6 acharam que a margarina era muito salgada. Sabendo que foram entrevistadas 0 pessoas e que nenhuma pessoa achou simultaneamente a margarina cremosa e pouco salgada, calcule o número de pessoas que achou que a margarina não é cremosa e é muito salgada. 6 Uma emissora de televisão fez uma pesquisa para saber que formato de telejornal os telespectadores preferiam. Observe o resultado: penas entrevistados preferem o telejornal somente no formato (as notícias com fotos do local e uma breve descrição do fato ocorrido). penas entrevistado prefere o telejornal somente no formato (uma seleção das principais notícias, com cenas do local, com entrevistas com pessoas envolvidas e uma abordagem mais aprofundada do fato). penas entrevistado prefere o telejornal somente no formato C (a principal notícia do dia, com entrevistas de pessoas envolvidas e um debate com pessoas experientes no assunto). 70 entrevistados preferem uma parte do telejornal no formato e outra, no formato. 7 entrevistados preferem uma parte do telejornal no formato e outra, no formato C. 80 entrevistados preferem uma parte do telejornal no formato C e outra, no formato. 6 entrevistados preferem um telejornal com trechos no formato, outros trechos no e uma parte no C. Se você pudesse decidir por dois formatos que agradam a maioria de telespectadores, quais deles escolheria? Por quê? Desafio 7 Os diagramas são úteis para a visualização de intersecções entre conjuntos. Entre três conjuntos, um esquema dos diagramas é o seguinte: esta região, são lançados os elementos de ) C. C esta região, são lançados os elementos de ). qui, na região central, são lançados os elementos de ) ) C. esta região, são lançados os elementos de ) C. Desenhe diagramas que representem todas as possibilidades de intersecções entre quatro conjuntos. Identifique cada setor das intersecções do mesmo modo que foi mostrado acima. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998.

23 CPÍTULO Conjuntos numéricos Conjunto dos números naturais e dos números inteiros Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Os números naturais surgiram, originalmente, para contagem. Hoje, além da contagem, utilizamos os números naturais para compor códigos (como números de telefone e CEP), para indicar ordem ( o, o, o,...) etc. O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos e é indicado por: observação v {0,,,,...} Para representar o subconjunto dos números naturais sem o zero, utilizamos a notação: vr {,,,...} Em geral, o asterisco junto ao símbolo de um conjunto de números significa que o elemento zero foi retirado desse conjunto. Para representar os números naturais em uma reta orientada, primeiro, marcamos um ponto e associamos a ele o número zero. partir desse ponto, escolhemos uma medida unitária e marcamos, à sua direita, pontos equidistantes, conforme a figura: 0 medida unitária Todo número natural pode ser associado a um ponto da reta. o conjunto dos números naturais são definidas duas operações (a adição e a multiplicação) nas quais verificamos que quaisquer dois números naturais somados ou multiplicados resultam em um número natural. Mas, ao efetuarmos a subtração de dois números naturais, nem sempre o resultado será um número natural. Se considerarmos, por exemplo, 7 e 78, sua diferença será ( ( v). crescentando os números negativos aos naturais, formamos o conjunto dos números inteiros, que é representado por: b {...,,, 0,,,...} Em b, além da adição e da multiplicação, também podemos operar livremente com a subtração. Os números inteiros também podem ser representados em uma reta ordenada: 0 números opostos Reflita Dê um exemplo de divisão entre dois n ú m e r o s n a t u - rais que não resulte em um número natural. divisão de por, que são números naturais, não resulta em um número natural.

24 O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos inteiros, ou seja, v - b. observação lgumas notações especiais: Conjunto dos inteiros não-nulos: br {...,,,,,...} Conjunto dos inteiros não-negativos: b {0,,,,...} Conjunto dos inteiros não-positivos: b {...,,,, 0} Conjunto dos números racionais Reflita Por que, na razão a b, com a 9 b e b 9 b, o valor de b não pode ser zero? ão é possível dividir por zero. O conjunto dos números racionais, representado por, é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de uma razão a, sendo a um número b inteiro e b um número inteiro diferente de zero, ou seja: Exemplos: 8 0, observação { xox a b, a 9 b e b 9 b } razão a representa a divisão de a por b. Com o cuidado de b ser sempre diferente de b zero, temos: a b a b a b e a b a b. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. O número racional a, se representado na forma decimal, pode ser: b Decimal exato: decimal com uma quantidade finita de algarismos que não são todos iguais a zero. 0, 80 0,0 Dízima periódica: decimal com uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente. 4, , O número racional, na forma fracionária, pode ser transformado na forma decimal por meio da divisão do numerador pelo denominador. Mas como devemos proceder para encontrar a fração irredutível que representa um decimal exato? Podemos proceder de acordo com os exemplos e a seguir.

25 Exemplo : Seja x 0, 0 x 0 0, ] 0x ] x 0 ] x Portanto, é a fração irredutível que representa 0,. Exemplo : Seja x 0, 00 x 00 0, ] 00x ] x 00 ] x Portanto, é a fração irredutível que representa 0,. Para encontrarmos a fração irredutível que representa uma dízima periódica, podemos proceder de acordo com os exemplos e 4 a seguir. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Exemplo : Seja x 0,... 0 x 0 0,... ] 0x,... ] 0x 0,... ] ] 0x x ] 9x ] x 9 ] x Portanto, é a fração irredutível que representa 0,... Exemplo 4: Seja x 0, x 0 0,4... ] 0x 4,... ] 0x 4 0,... ] ] 0x 4 ] 0x ] x 0 Portanto, é a fração irredutível que representa 0, Reflita com george cantor Se lhe fosse perguntado quais os tamanhos dos conjuntos dos números naturais e dos números inteiros, você possivelmente, diria que ambos são conjuntos infinitos, certo? mas, e se lhe fosse perguntado qual desses conjuntos numéricos você acha que é maior, o que você responderia? Os números racionais também podem ser representados na reta ordenada: 0,, números opostos O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos racionais, ou seja, b -. Como o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros, então v também é subconjunto de, ou seja, v -. Outros subconjuntos de que têm notação especial são: o conjunto dos números racionais não-nulos: R o conjunto dos números racionais não-negativos: o conjunto dos números racionais não-positivos:

26 úmeros irracionais George Cantor (84-98) asceu em São Petersburgo. Estudou em Zurique e doutorou-se em erlim. Estudou conjuntos por muitos anos. Suas descobertas mais notáveis estavam relacionadas a conjuntos infinitos. Professor: uma circunferência, o comprimento e o diâmetro nunca são simultaneamente números inteiros; ao menos um deles sempre será um número irracional. Vamos construir um procedimento para caracterizar um número irracional. dotamos uma unidade de medida conveniente. Verificamos quantas vezes a medida em teste pode ser subdividida tomando essa unidade-padrão como base. Se a unidade de medida for um número racional, então, ela caberá na medida em teste um número inteiro de vezes. Exemplos: Um pedaço de madeira de 7 cm, adotado como unidade de medida, cabe exatamente 0 vezes sobre o comprimento de uma ripa de 70 cm. Conclui-se que 70 expressa um número natural. Um pedaço de madeira de, cm cabe exatamente vezes sobre o comprimento de uma ripa de 4, cm. Conclui-se que 4, expressa um número racional. Mas, se a medida em teste for um número irracional, não será possível encontrar tal valor inteiro, ainda que a unidade de medida seja pequena. os dois exemplos, foi possível medir o comprimento. o entanto, existem casos em que, ao medir o comprimento, não é possível determinar quantas medidas unitárias cabem nesse comprimento, por menor que seja a partição adotada. Exemplos: medida da diagonal (d) de um quadrado de lado. plicando o teorema de Pitágoras, temos: d d d dll Observe as tentativas para medir a diagonal desse quadrado: Se fosse escolhida uma unidade igual a 0, cm, ela caberia 7 vezes na diagonal perfazendo,4 cm e ainda faltaria uma parte. Se fosse escolhida uma unidade menor, 0, cm, ela caberia 4 vezes na diagonal perfazendo,4 cm e ainda assim não cobriria toda a diagonal. Se fosse feita uma escolha ainda menor, 0,0 cm, por exemplo, ela caberia 4 vezes na diagonal perfazendo,4 cm e ainda faltaria parte dessa diagonal para ser medida. Dessa forma, não importa quão pequena seja a unidade de medida (racional), jamais encontraremos um número inteiro que represente quantas vezes a unidade de medida cabe em dll. O número s (lê-se: pi) expressa a razão constante entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. d dll, é um número cuja representação decimal tem infinitas casas não-periódicas depois da vírgula. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Reflita Se s é uma razão entre dois números, por que não é considerado um número racional? r comprimento da circunferência diâmetro s, é um número que tem infinitas casas decimais não-periódicas. πr = = π r

27 Os números dll e s são exemplos de números irracionais, ou seja, números que não podem ser escritos com uma razão de inteiros. Observe como é possível representar alguns números irracionais na reta ordenada com o uso do compasso. 0 Pela medida da diagonal do quadrado de lado, encontramos dll. Construindo o triângulo retângulo de catetos e dll, obtemos dll como a medida da hipotenusa. Como todo número irracional tem um oposto, também podemos representar dll e dll na reta ordenada. 4 Conjunto dos números reais Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por V. Essa relação pode ser representada por meio do diagrama ao lado: Se marcarmos na reta ordenada os números racionais e os números irracionais, preencheremos totalmente a reta, que passará a se chamar reta real ou reta nu mérica. 0 π O conjunto dos números racionais é um subconjunto de V, ou seja, - V. Como o conjunto dos números naturais é um subconjunto de b, e b é subconjunto de, então: v - b - - V Q Z R Q (conjunto dos números irracionais) R Outros subconjuntos de V, que têm notação especial, são: o conjunto dos números racionais não-nulos: VR o conjunto dos números racionais não-negativos: V o conjunto dos números racionais não-positivos: V Reflita com george cantor: conclusão esse esquema temos a representação de uma maneira de relacionar os b + * + conjuntos dos inteiros e dos naturais e que revela... algo bastante curioso. v Observe-o atentamente reta dos inteiros foi... quebrada apenas para b * facilitar a leitura, pois se não o fizéssemos as ligações ficariam cruzadas. Uma vez que há uma correspondência um a um entre os elementos desses conjuntos, conclui-se que são de mesmo tamanho, ou seja, possuem o mesmo número de elementos! Faça uma avaliação análoga comparando o conjunto dos naturais e o conjunto IK = {,,, 4,,...} O que você conclui? Você esperava por isso? Justifique sua resposta. nalogamente, esses conjuntos têm correspondência um a um entre seus elementos e, como vimos, são de mesmo tamanho. Isso não era esperado, uma vez que há elementos em I que não pertencem a IK

28 Exercícios dos conceitos Considere o quadrado CD: 0 cm D C Em relação a esse quadrado, identifique quais das medidas a seguir podem ser representadas por números naturais. Justifique sucintamente. a) medida do perímetro, dada em centímetros. Sim, pois 40 9 v. b) medida do perímetro, dada em metros. ão, pois 0,4 ( v. c) medida da área, dada em centímetros quadrados. Sim, pois 00 9 v. d) medida da diagonal D. Utilize o teorema de Pitágoras a² b² c². ão, pois 0 dll ( v. Identifique o conjunto numérico em que há um elemento para representar cada situação a seguir. Utilize os símbolos adequados para o conjunto escolhido. a) O número de uma casa. v c) O grau de uma lente de óculos. b) O andar de um prédio. b d) massa de um ovo. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Represente, na reta ordenada, os números racionais: 7 8 ; 9 4 ; ; 4,;, 4,, x 8 4 Obtenha a forma decimal dos números racionais: a) 0,6 c) 8 b) 7 4,7 d) 7,6 0,

29 Obtenha a fração irredutível que representa os números racionais: 9 a) 0,4 0 c) 0,... 9 b), 4 4 d), Escreva dois números irracionais na forma de representação decimal. Resposta pessoal. Professor: O aluno deve escrever números com representação decimal infinita e não-periódica como, ou, Professor: s resoluções destes exercícios estão disponíveis no Plano de ulas deste módulo. Consulte também o anco de Questões e incentive os alunos a usar o Simulador de Testes. Retomada dos conceitos Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Responda: a) Se a e b 9 vr, e a. b, então a. b? b) Se a e b 9 br, e a. b, então a. b? Responda: a) soma de dois números racionais é um número racional? b) O produto de dois números racionais é um número racional? c) raiz quadrada de um número racional é um número racional? Represente, na reta ordenada, os números: dll, dll, dll 4, dll, dll 6, dll 7, dll 8 e dll 9. Reveja o exemplo do texto e use régua e compasso. 4 Obtenha um quadrado cuja área seja o dobro da área do quadrado colorido. 6 Determine dois números racionais entre cada par de números: a) e c) e 4 e) 0 e 0,0 b) e 6 d) 0,99 e f),... e, 7 Obtenha a forma decimal periódica dos números racionais (anote apenas o primeiro período da dízima periódica): a) 7 b) 7 c) Some os números racionais do exercício anterior na forma fracionária e também na forma decimal com as dízimas periódicas obtidas. Compare o resultado e argumente justificando a diferença obtida. 9 Dado o número irracional, , determine outro número irracional de modo que a soma entre os dois seja um número racional. 0 Dado o número irracional dll, determine outro número irracional de forma que o produto dos dois números seja um número racional. Coloque os números a seguir em ordem crescente. dll 9, dll 4, dlll 6, dlll 0,,,..., 7 e 6 Um chacareiro resolveu doar ovos para qualquer pessoa que se aventurasse a cumprir um desafio de frações. O candidato entraria no galinheiro e poderia pegar quantos ovos quisesse desde que não ultrapassassem a vinte ovos. o sair, deveria passar por três portões, sendo que em cada um dos portões haveria um fiscal do desafio. Em cada portão, o candidato deveria entregar ao fiscal metade dos ovos que trazia mais meio ovo. Havia uma exigência: os ovos não poderiam ser quebrados. penas um candidato conseguiu cumprir exatamente o que o desafio propunha. Quantos ovos esse candidato pegou e quantos ovos ele levou para casa? Chame de x a quantidade de ovos que um candidato pudesse pegar na questão anterior, monte uma equação igualando-a a, resolva e encontre o número de ovos que o candidato pegou. 9

30 CPÍTULO4 Intervalos e produto cartesiano Representação dos intervalos Podemos representar subconjuntos de um conjunto numérico por meio da notação de intervalos. Exemplos: O intervalo {x 9 Vo4, x, 0} representado na reta real: 4 0 O intervalo { y 9 Vo < y, } representado na reta real: O intervalo {z 9 Voz > } representado na reta real: Vejamos algumas representações possíveis de intervalos numéricos envolvendo os números reais a e b, tais que a, b: Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Intervalo aberto Representação geométrica Representações algébricas a b {x 9 Voa, x, b} ou ]a, b[ Intervalo fechado Representação geométrica Representações algébricas a b {x 9 Voa < x < b} ou [a, b] a representação geométrica: s bolinhas vazias ( ) indicam que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. s bolinhas cheias ( ) indicam que os extremos a e b pertencem ao intervalo. 0

31 a representação algébrica de um intervalo: [a, b] indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. ]a, b[ indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Outras possibilidades são: Intervalo fechado à esquerda Representação geométrica Representações algébricas observação s representaç õ e s d a r e t a completa dos números reais são: ]`, `[ a b {x 9 V o a < x, b} ou [a, b[ Intervalo fechado à direita Representação geométrica Representações algébricas a b {x 9 V o a, x < b} ou ]a, b] Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Temos ainda as seguintes possibilidades: Representação geométrica Representações algébricas a {x 9 V o x. a} ou ]a, `[ a {x 9 V o x > a} ou [a, `[ a {x 9 V o x, a} ou ]`, a[ a {x 9 V o x < a} ou ]`, a] Observe que a leitura da representação algébrica mais compacta é caracterizada pela posição dos colchetes. Operações com intervalos Veremos, a seguir, como proceder nas operações união, intersecção e diferença com intervalos numéricos, utilizando a representação geométrica como recurso. Dados os conjuntos {x 9 Vo < x, } e {x 9 Vo0, x < 8}, para efetuar as operações, representamos cada conjunto em retas reais paralelas. 0 ) {x 9 V o < x, 8} ou [, 8] ) {x 9 V o 0, x, } ou ]0, [

32 {x 9 V o < x < 0} ou [, 0] {x 9 V o < x < 8} ou [, 8] EXERCíCIO resolvido R Dados os conjuntos M {x 9 V o, x, 4}, {x 9 V o x, ou x. 6} e O {x 9 V o x, }, determinar (M 0 ) O. Resolução Então: Depois, excluímos o trecho que representa o conjunto O. M 4 Primeiro, determinamos a representação geométrica 6 de M 0. M (M 0 ) O ], 4[ 0 ]6, `[ 6 M O (M ) O Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Produto cartesiano Uma sorveteria oferece três sabores de sorvete: chocolate, morango e creme. Oferece também, gratuitamente, uma cobertura para cada cliente, que é colocada sobre o sorvete. s coberturas são: granulado de chocolate e farofa de amendoim. Quantos tipos de sobremesa podem ser criados com esses elementos? s possibilidades são: sorvete de chocolate com granulado; sorvete de morango com granulado; sorvete de creme com granulado; sorvete de chocolate com farofa; sorvete de morango com farofa; e sorvete de creme com farofa.

33 O resultado da combinação entre sorvetes e coberturas resulta em seis tipos de sobremesa. Cada sobremesa é formada por dois elementos: sorvete e cobertura. Matematicamente, a operação realizada entre o conjunto de sorvetes e o conjunto de coberturas é denominada de produto cartesiano. Como resultado dessa operação, temos seis pares de elementos. De forma simbólica, podemos definir e escrever os conjuntos S e C, em que: S {Cho, Mo, Cre} é o conjunto dos sorvetes. C {Gra, m} é o conjunto das coberturas. O produto cartesiano S # C é formado pelos pares: Como se lê S cartesiano C S # C {(Cho, Gra), (Cho, m), (Mo, Gra), (Mo, m), (Cre, Gra), (Cre, m)} Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. O produto cartesiano C # S é diferente de S # C do ponto de vista matemático. o entanto, poderíamos dizer que, se a cobertura fosse colocada antes do sorvete, também configuraria uma sobremesa diferente. O produto cartesiano pode ser representado graficamente. Observe, a seguir, os elementos do conjunto S # C. Coberturas Gra m (Cho, Gra) (Mo, Gra) (Cre, Gra) (Cho, m) (Mo, m) (Cre, m) Cho Mo Cre Sorvetes Veja no exemplo o produto cartesiano entre conjuntos numéricos. Exemplo : Sendo {,, } e {4, }, o produto cartesiano # é o conjunto dos seguintes pares de números: # {(, 4), (, ), (, 4), (, ), (, 4), (, )} Os pares formados em um produto cartesiano são chamados de pares ordenados. ordem a que o nome par ordenado se refere é a ordem dos elementos no par, isto é, o primeiro elemento pertence ao conjunto e o segundo elemento pertence ao conjunto. representação gráfica de um produto cartesiano desse tipo pode ser feita em um espaço formado por dois eixos numéricos perpendiculares. Esse espaço é chamado de plano cartesiano, e cada eixo pode representar os conjuntos numéricos existentes e, na maior parte das vezes, representa a reta real.

34 o eixo horizontal, são relacionados os elementos do primeiro fator do produto cartesiano (neste exemplo, o conjunto ). o eixo vertical, são posicionados os elementos do segundo fator do produto cartesiano (neste exemplo, o conjunto ). representação, no plano cartesiano, do produto cartesiano # é: 4 Cada par do produto cartesiano é representado por um ponto no plano cartesiano. 0 4 Observe os elementos do produto cartesiano # : # {(4, ), (4, ), (4, ), (, ), (, ), (, )} representação gráfica dos pares ordenados de # mostra que os pares, com a ordem dos números invertida, ocupam outras posições no plano cartesiano. 4 Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de Professor: Chame a atenção dos alunos para o fato de que há infinitos números reais (ou mesmo racionais) no intervalo considerado. Reflita Por que não é possível escrever a lista de todos os pares ordenados deste produto cartesiano? Observe no exemplo o produto cartesiano em que um dos conjuntos é composto por infinitos elementos. Exemplo : Sejam: {x 9 V o < x < } e {} este caso, não é possível escrever a lista de todos os pares ordenados do produto cartesiano #. Uma tentativa de representação em forma de lista poderia ser esta: # {(; ),..., (,; ),..., (; ),..., (4,7; ),..., (; )}

35 Percebe-se que, nessa tentativa de construção de uma lista, os pares ordenados (; ) e (; ) seriam o primeiro e o último, uma vez que o conjunto é composto por um intervalo fechado com o primeiro e o último termos definidos. melhor representação de #, nesse caso, é a representação gráfica dos infinitos pares ordenados. 4 O segmento de reta com extremidades fechadas representa os infinitos pares ordenados do produto cartesiano x. 0 4 Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. o produto cartesiano do exemplo, os dois conjuntos são compostos por infinitos elementos. Exemplo : Sejam: {x 9 V o < x < 4} e {y 9 V o < y < } 4 região retangular cujos vértices são os pontos: (, ), (, ), (4, ) e (4, ) é a representação do produto cartesiano x. ote-se que os pontos que formam os segmentos de reta entre os vértices também fazem parte de x. 0 4 o exemplo 4, utilizamos os conjuntos ( e ) do exemplo, excluindo os extremos dos intervalos, o que provoca uma alteração na representação gráfica. Exemplo 4: Sejam: {x 9 V o, x, 4} e {y 9 V o, y, } 4 região retangular cujos vértices são os pontos: (, ), (, ), (4, ) e (4, ) é a representação do produto cartesiano, porém os segmentos de reta que unem os vértices são grafados de forma tracejada, que indica não fazerem parte de x, inclusive os vértices, cujos elementos não fazem parte dos conjuntos em questão. 0 4

36 Exercícios dos conceitos Leia e classifique as sentenças em verdadeiro (V) ou falso (F). ( V ) a) 9 [, 9[ ( F ) c) ( [, 6] ( V ) b) ( ] 4, [ ( V ) d) 9 ]`, 0] Use a notação simbólica de conjuntos para escrever os intervalos representados geometricamente a seguir: a) b) {x 9 V o, x, } {x 9 V o x, 0} 7 c) d) 0 0,... {x 9 V o dll < x, 7} {x 9 V o x > 0,...} Represente, na reta real, os conjuntos dados: a) {x 9 V o, x, 7} e {x 9 V o < x, } 7 Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. b) [, 6[ e ], `[ 6 c) {x 9 Vo < x < } e [, [ 6

37 4 Determine 0, ), e para cada um dos itens do exercício anterior. a) 0 ) {x 9 V o, x, e < x, 7} ~ c) 0 [, ] e [, [ ) ~ b) 0 [, `[ ) ], 6[ [, ] [6, `[ Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. medida do comprimento de uma circunferência de raio r é dada pela expressão sr e a da área do círculo de raio r é dada pela expressão sr². s medidas do comprimento da circunferência e da área do círculo de raio 0, são números que pertencem ao intervalo: ( ) a) ]0, [. ( ) b) E, 0 R. ( ) c) R 99 00, R. ( X ) d) ], 4]. 6 Determine o produto cartesiano dados {x 9 b o < x <} e {y 9 b o 4 < y < 0}. Escreva a solução em forma de lista e também graficamente. {(, 4), (, ), (, ), (, ), (, 0), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 0), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 0), (0, 4), (0, ), (0, ), (0, ), (0, 0), (, 4), (, ), (, ), (, ), (, 0)} Solução gráfica:

38 Retomada dos conceitos Professor: s resoluções destes exercícios estão disponíveis no Plano de ulas deste módulo. Consulte também o anco de Questões e incentive os alunos a usar o Simulador de Testes. Escreva algebricamente, por meio da união entre conjuntos, os intervalos representados em cada reta real: a) b) Dados os conjuntos: M {x 9 V o x. e x, 4}, {x 9 V o x, ou x. } e O {x 9 V o x,,}, determine: a) (M ) ) O b) ( ) O) M 6 Represente graficamente a diferença entre # e C # D e, ao final, calcule a área da figura resultante, sendo {x 9 V o < x < 4}, {y 9 V o < y < 4}, C {x 9 V o < x <}, D {y 9 V o, < y <,}. 7 Observe a figura a seguir. Então, identifique os conjuntos envolvidos e as operações que deram origem à figura. y 0 x Represente, na reta real, a solução das inequações: a) x 4. 7 c) 4, x, b) x 9 < x 7 d) 4x > 6 4 Determine graficamente os produtos cartesianos #, sendo: a) {x 9 b o < x < 4} e {y 9 b o < y < }. b) {x 9 V o, < x, } e { y 9 V o, y < }. c) {x 9 b o < x < } e {y 9 V o < y < }. d) {x 9 V o < x, 0} e {y 9 b o < y < }. Observe a representação gráfica dos produtos cartesianos e identifique os conjuntos: a) 8 Para competições internacionais, as dimensões de um campo de futebol devem obedecer a determinados padrões. O comprimento deve ser de 00 m até 0 m e a largura de 64 m a 7 m. Sendo C o conjunto de medidas possíveis para o comprimento do campo e L o conjunto de medidas possíveis para a largura, determine graficamente o produto cartesiano C # L e calcule a área do campo representado pelo par ordenado central do retângulo que representa o produto cartesiano. 9 (Fuvest-SP) a figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e. 0 x y Qual a posição do número xy? ( ) a) À esquerda de 0. ( ) b) Entre 0 e x. ( ) c) Entre x e y. ( ) d) Entre y e. ( ) e) À direita de. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. b) π π 0 (Fuvest-SP) Se 4, x, e, y,, então xy e x estão no intervalo: ( ) a) ]8, [ ( ) b) R, E ( ) c) ], [ ( ) d) R 8, E ( ) e) R, E 8

39 Professor: s resoluções destes exercícios estão disponíveis no Plano de ulas deste módulo. Consulte também o anco de Questões e incentive os alunos a usar o Simulador de Testes. Exercícios de integração Uma representação do conjunto dos números primos é: ( ) a),,,, 7, etc. ( ) b) {xox é um número natural cujo algarismo da unidade é,,, 7 ou 9} ( ) c) {,,, 7,,,...} ( ) d) {xox é um número natural que é divisível somente por e por ele mesmo} Tendo isso em vista, a afirmação conjunto formado por todos os elementos comuns ao conjunto e ao conjunto está abaixo representada por: ( ) a) ) {xox 9 e x 9 }. ( ) b) 0 {xox 9 ou x 9 }. ( ) c) = {xox 9 e x ( }. ( ) d) - ] C. ( ) e) ) {xox - e x - }. Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Dados {x 9 VO, x, } e {x 9 Vox > 0}, os intervalos que representam 0 e ) são: ( ) a) 0 [, ` [ e ) ]0, `[ ( ) b) 0 [, ` [ e ) [0, [ ( ) c) 0 [, ` [ e ) ], 0[ ( ) d) 0 [, ] e ) ~ (UF-R) O valor de 0, é: ( ) a) 0,... ( ) d) ( ) b),... ( ) e) ( ) c),... 4 (Unifor-CE) Qual dentre os números seguintes é racional? ( ) a) dll s 4 ( ) d) dlll 0, ( ) b) dllll 0,7 ( ) e) dlllll 0,064 ( ) c) 4 dlllll 0,06 (UF-MG) Todas as alternativas sobre números inteiros estão corretas, exceto: ( ) a) em todo primo é ímpar. ( ) b) Todo inteiro par pode ser escrito na forma n², n 9 b. ( ) c) soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par. ( ) d) Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma n 9, n 9 b. ( ) e) Se n é um número ímpar, então n² também é ímpar. 7 (UEMS) Sejam os conjuntos: D {x tal que x é divisor comum de 6 e 4} e M {y tal que y é múltiplo comum positivo de 6 e 4}. Se d é o maior elemento de D, e m é o menor elemento de M, então pode-se afirmar que: ( ) a) d 6 e m 4. ( ) d) d e m 48. ( ) b) d e m. ( ) e) d 8 e m 4. ( ) c) d 4 e m 6. 8 Quatro amigos entraram em uma pizzaria e cada um deles comeu uma determinada quantidade de pizza. Sabendo que o primeiro deles comeu 4 de uma pizza, o segundo comeu de uma pizza, o terceiro comeu metade do que comeu o primeiro e o quarto comeu de uma pizza, calcule: 6 a) a menor quantidade inteira de pizzas que eles precisaram comprar. b) a fração de uma pizza que sobrou (caso tenha sobrado). 9 Qual é o valor da soma das diagonais dos quatro quadrados a seguir? E se fossem montados n quadrados dessa forma, qual seria o valor da soma de suas diagonais? 6 (UFRR) linguagem corrente não atende às exigências do rigor lógico do pensamento matemático. lgo tinha de ser feito para evitar paradoxos. Isso aconteceu em 9, quando dois matemáticos, Fraenkel e Skolem, propuseram que a linguagem corrente fosse completamente banida da Matemática e substituída por uma linguagem formal, construída com poucos símbolos e as regras de sintaxe necessárias para se conduzir o raciocínio dedutivo. Os símbolos incluem os conhecidos símbolos matemáticos, como os sinais de adição, subtração, igualdade etc., além de outros, como y (significando existe ), ] (significando implica ), u (significando para todo ), 9 (significando pertence ), os sinais de parênteses, símbolos para as variáveis etc. 8a 4a 0 Encontre os divisores dos números 4, 6 e 4 e monte o diagrama de Venn para esses conjuntos de divisores. Depois, responda: a) Qual é o maior divisor comum entre 4 e 6? b) Qual é o maior divisor comum entre 4 e 4? c) Qual é o maior divisor comum entre 6 e 4? d) Qual é o maior divisor comum entre 4, 6 e 4? a a 9

40 avegando no módulo conjuntos subconjuntos operações com conjuntos produto cartesiano Z complementar conjuntos numéricos Q R Q (conjunto dos números irracionais) R v - b - - V - v naturais b inteiros racionais união diferença intersecção V REIS intervalos; representações geométricas e algébricas 0 ) União {x 9 V o < x, 8} ou [, 8] Diferença ) ) {x 9 V o 0, x, } ou ]0, [ Intersecção {x 9 V o < x < 0} ou [, 0] matemática Reprodução proibida. rt.84 do Código Penal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de