SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE ENIBILIDADE DE UM MODELO NÃO LINEAR DE ELEÇÃO DE EQUIAMENTO EM AMBIENTE JUT IN TIME, CONIDERANDO-E TRÊ RELAXAÇÕE Luiz Cáudio Lopes Aves D.c. Engenharia de rodução pea COE/UFRJ Rua Caruaru, 150, apto 901 Grajaú Rio de janeiro RJ CE Caros Augusto de Acantara Gomes rofessor Adjunto IV do Departamento de Engenharia Industria da E/UFRJ Avenida Maracanã, nº 1302/4º andar Tijuca Rio de Janeiro RJ CE E-mai: acantaragomes@uo.com.br REUMO No presente trabaho, reaizamos uma anáise de sensibiidade de um modeo não inear para seeção de equipamentos ambiente Just in Time, considerando-se três reaxações, isto é: de que haveria perda de tpo devido a paradas de, geração de sucata e variabiidade da danda. rocura-se, com isto, apresentar um modeo mais representativo da reaidade atua, b como, justificar a sua adoção no panejamento de capacidade de s de um sista de manufatura série. aavras-chave: Just in Time, eeção de Equipamentos, Reaxação do Ambiente Just in Time. ABTRACT In the present work we make a sensibiity anaysis of a noninear programming mode for equipment seection in a Just in Time environment, considering three reaxations, that is: there is oss of time with machine s break, there is generation of scrap and variabiity of dand. We seek herewith, present a more representative mode of the actua reaity, and to justify its adoption in the machine capacity panning of a seria manufacturing systs. Key-words: Just in Time, Equipment eection, Reaxation of the Just in Time Environment. 1. INTRODUÇÃO GUNAEKARAN et aii (1993), propuseram um modeo matático não inear de seeção de equipamentos sistas de manufatura Just in Time. O objetivo do presente trabaho é apresentar uma anáise de sensibiidade do modeo citado acima, reformuado por ALVE(1997,2001), onde foram desenvovidas três reaxações: a primeira de que poderia ocorrer perda de tpo devido a quebra de s, a segunda de que haveria a geração de sucata e a terceira de que a danda seria variáve. Impicando esta útima, um custo de perda de venda, quando não ocorresse o atendimento à 100% da danda do púbico. A sensibiidade é reaizada no vaor da função objetivo do modeo, ou seja, no custo tota de manufatura conforme detahado nos próximos capítuos. rocura-se reforçar que estas variações são significativas, principamente quando tomadas conjunto e incuindo-se spre a de que pode haver quebra de s. E, como estas faz parte da nossa reaidade, maior ou menor grau conforme o estágio de desenvovimento das

2 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE presas existentes, justificar-se-ia a adoção do modeo aqui apresentado nos estudos e panejamentos de capacidade de s de processos fabris série. 2. O MODELO MATEMÁTICO ARA ELEÇÃO DE EQUIAMENTO O sista de produção considerado neste trabaho t mútipos estágios. A cada estágio pod existir s sehantes reaizando os mesmos tipos de operações (GUNEEKARAN, A., et aii, 1993). O modeo desenvovido busca encontrar o número de s requeridas cada estágio que minimizam o custo tota de produção associado. O custo tota do sista consiste dos seguintes custos: (i) custo processamento dos produtos (ii) custo não-baanceamento nas taxas de produção; (iii) investimento equipamentos; (iv) custo devido a quebra de s (1ª ); (v) custo devido a geração de sucata (2ª ); e (vi) custo não atendimento à danda(3ª ). NOTAÇÃO: i D i j = índice de produto (i = 1, 2,..., ); = danda do produto i por unidade de tpo ou ano; = índice de estágio (j = 1, 2,..., ). ara o estágio j: n j M j V j = número de s; = custo por ou taxa de augue; = área do espaço requerido por uma. ara o i-ésimo produto e j-ésimo estágio: = tpo médio de processamento para um ote; = tamanho do ote; = peso de prioridade dado no processamento (seqüenciamento); = custo processamento por unidade de tpo; = custo de penaidade devido a uma unidade de desbaanceamento nas taxas de produção entre os estágios j e j+1; T ij = tpo de processamento para um ote; NC ij = número de cicos de produção por unidade de tpo; = tpo de processamento de uma unidade; = taxa de diminuição no tpo de processamento face a um aumento de uma unidade no investimento de s; MM ij = tpo de processamento por unidade quando o investimento equipamento é zero; Ap ij Q ij O ij α ij β ij T ij km ij = taxa de produção = custo perda no tpo de processamento por unidade de tpo; = perda média percentua de tpo de processamento; = custo perda um ote por unidade de tpo; = perda média percentua um ote; TM = orçamento de capita máximo disponíve para investimento s; Ω = espaço máximo disponíve para s na fábrica; Mg i = marg de ucro do produto i por unidade de tpo ou ano; µ i = percentag da produção deixada de ser vendida por ote do produto i no útimo estágio; Z = custo tota do sista reacionado com a seeção de equipamentos. λ ij Cb ij δ ij Cs ij γ ij

3 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE (i) de processamento de produtos: O custo tota processamento de produto para dada danda, considerando todos os produtos i e todos os estágios j, por unidade de tpo (ano), é dado por: onde: { NC ij.aij. αij} (2.1) i = j = 1 Di NC ij = (2.2) Qij 1 λ A ij = (2.3) ij { O ij.n j} { Tij} λ ij = (2.4) T ij = Q ij. T ij (2.5) T ij = MM ij km ij M j ; M b M j M c (2.6) ΣO ij = 1 ; para j = 1, 2,...,. (2.7) (ii) não-baanceamento das taxas de produção entre dois estágios sucessivos: O custo tota não-baanceamento nas taxas de produção considerando-se todos os produtos e estágios, é dado por: - ij + β (2.8) i = j = 1 [ { λ λij 1 } ij] (iii) de investimento equipamento: O investimento tota equipamento (augue de equipamento) por ano, considerando-se todos os estágios, é dado por: n { jnj} j= M (2.9)

4 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE quebra de s (1ª ): O custo quebra de s considerando-se todos os produtos e todos os estágios é dado por: onde: { NCij x Aij x δij X Cbij} (2.10) i = j = δ ij pertence ao intervao 0 < δ ij < 1, e representa a perda média percentua do tpo de processamento para um ote do produto i, no estágio j, e Cb ij o custo desta perda por unidade de tpo (ano). (v) geração de sucata (2ª ): Considerando-se a perda de fabricação como uma percentag dos otes, o custo tota desta perda será: onde: { NCij x Aij x γij X Csij} (2.11) i = j = γ ij pertence ap intervao 0 < γ ij < 1, e representa a perda média percentua de um ote do produto i, no estágio j, e Cs ij o custo desta perda por unidade de tpo (ano). (vi) não atendimento à danda (3ª ): Considerando-se o não atendimento à danda, virtude de suas variações probabiísticas, como uma percentag dos otes dos produtos i no útimo estágio de produção, o custo tota desta perda será: onde: µ i x Mgi [ NCij x Aij x αij] (2.12) i= 1 j= 1 µ i, pertence ao intervao 0 < µ i < 1, e representa a quantidade média percentua, deixada de vender, de um ote do produto i no útimo estágio de produção e, onde Mg i é a marg de ucro do produto i por unidade de tpo ou ano.

5 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE 3. FORMULAÇÃO DO MODELO A formuação matática do modeo seria então: Min Z = [ NCij x Aij x αij ] + i = 1 j = 1 + ( [ λ ij λij + 1] ) βij + 1 i = + j = j= [ M jnj] + ij (3.1) + [ NC x Aij x δij X Cbij] + i = j = + [ NC ij x Aij x γij X Csij] + i = j = + µ ixmgi i= 1 j= 1 [NC xa xα ij ij ij ] ujeito às seguintes restrições: j= { Mjnj} TM (3.2) s j= { n V j} Ω j (3.3) 0 < δ ij < 1 (3.4) 0 < γ ij < 1 (3.5) 0 < µ i < 1 (3.6)

6 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE 4. EXEMLO eja um sista de produção série de quatro estágios que fabrica três produtos ao qua apicaros o modeo estudo. Os dados de entrada do expo estão apresentados na tabea 5.1 TABELA 4.1. DADO DE ENTRADA DO MODELO MATEMÁTICO =3 =4 arâmetros roduto 1 roduto 2 roduto 3 Variáveis Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 D M (x 10 2 ) 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 V 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 Q km (x 10-3 ) 0,20 0,30 0,40 0,30 0,10 0,40 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,20 O 0,20 0,40 0,50 0,50 0,60 0,30 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,30 α=cb=cs 2,00 1,50 3,00 2,00 3,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 δ 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 γ 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 µ 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Mg 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 Ω (x 10 5 ) 60,00 90,00 60,00 80,00 90,00 80,00 80,00 70,00 80,00 100,00 80,00 90,00 MM 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 M b = 1,0 x 10 3 M c = 2,0 x 10 3 Ω = 3,0 x 10 3 TM = 6,0 x 10 6 O propósito do panejamento de capacidade é obter um fuxo de materiais com investimento ótimo de equipamentos. Utiizando-se o método de Hooke & Jeeves (Busca Direta), (BAZARAA, M..,et aii, 1979), para resoução do proba matático, que é de natureza não-inear, apresenta-se os resutados das otimizações dos modeos, até a 42ª iteração. Tais resutados estão organizados nas tabeas 4.3 a 4.8 conforme apresentadas a seguir, permitindo visuaizar-se as recuperações de custo nas otimizações tanto do modeo origina como nos modeos que incu as reaxações, consideradas individuamente e conjunto. TABELA DADO INICIAI ARA O MÉTODO DE BUCA DIRETA arâmetros Vaor Notação Descrição M j Número inicia de s E Vaores iniciais do tamanho do passo NTAGE Número tota de estágios () 4 ITMAX Número máximo de iterações permitido 500 NKAT Número máximo de vezes que o passo inicia será reduzido 20 EY Erro da função objetivo para convergência 0,0001 ALA Fator para estender tamanhos de passos iniciais 4.0 BTA Fator para reduzir os tamanhos dos passos iniciais 0,50

7 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE TABELA REULTADO EM A RELAXAÇÕE (GUNAEKARAN et a., 1993) Número de s devido ao processamento devido ao nãobaanceamento tota (Z) Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 42, , , ,300 27, ,2100 2, , ,3908 8, ,650 23, ,0960 5, ,100 21,1883 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade : (redução do custo tota da 1 a iteração após 42 iterações). (21,1883/42,4175)x100 = 50,05% TABELA REULTADO COM A 1 a RELAXAÇÃO Número de s processamento nãobaanceamento de quebra de 1 a Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 0, , , , ,300 1, , ,2100 2, ,550 3, , ,3908 8, ,650 1, , ,0960 5, ,100 2, ,2075 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (23,2075/43,2418)x100 = 53,67% TABELA REULTADO COM A 2 a RELAXAÇÃO Número de s devido ao processamento nãobaanceamento de sucata 2 a Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 0, , , , ,300 0, , ,2100 2, ,550 0, , ,3908 8, ,650 0, , ,0960 5, ,100 0, ,5921 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (21,5921/42,5824)x100 = 50,71%

8 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE TABELA REULTADO COM A 3 a RELAXAÇÃO Número de s devido ao processamento nãobaanceamento perda de venda 3 a Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 0, , , , ,300 0, , ,2100 2, ,550 0, , ,3908 8, ,650 0, , ,0960 5, ,100 0, ,5921 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade =(21,5921/42,5824)x100 = 50,71% TABELA REULTADO COM A 1 a + 2 a RELAXAÇÕE Número de s devido ao processamento nãobaanceamento de quebra de 1 a de sucata 2 a Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 0,8243 0, , , , ,300 1,4011 0, , ,2100 2, ,550 3,6420 0, , ,3908 8, ,650 1,4782 0, , ,0960 5, ,100 2,0192 0, ,6113 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (23,6113/43,4067)x100 = 54,40% TABELA REULTADO COM A 1 a + 2 a + 3ª RELAXAÇÕE Número de s devido ao processamento devido ao nãobaanceamento de quebra de 1 a de sucata 2 a perda de venda 3 a Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) , , ,500 0,8243 0,1649 0, , , ,8106 8,300 1,4011 0,2802 0, , ,2100 2, ,550 3,6420 0,7284 0, , ,3908 8, ,650 1,4782 0,2956 0, , ,0960 5, ,100 2,0192 0,4038 0, ,0151 Recuperação de custo devido a otimização da capacidade = (24,0151/43,5716)x100 = 55,12 %

9 BO IMÓIO BRAILEIRO DE EQUIA OERACIONAL 8 a 11 de novbro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A EQUIA OERACIONAL E A CIDADE 5. CONCLUÕE Verifica-se que, com a reformuação do modeo origina, incuindo-se as três reaxações citadas acima, se obtém uma ferramenta de panejamento e controe de capacidade de produção, b mais robusta, para se avaiar probas nesta área de trabaho. Não só por compentar um modeo que já era expar sua forma matática origina, mas como também, por permitir, com as reaxações introduzidas, que se retrate mais precisamente a reaidade atua de nossas presas. Com o expo prático descrito anteriormente, reaizamos sensibiidades do modeo de GUNAEKARAN et aii (1993), face as três reaxações mencionadas, consideradas individuamente e conjunto. Isto evando-se consideração vaores médios mais encontrados nosso meio industria para percentuais de perda de tpo, perda de matéria prima e produtos intermediários, e de perda de venda por não atendimento a 100% da danda do púbico, assumidos, respectivamente, iguais a 4%, 20% e 4%(neste caso considerando-se 40% de marg de ucro e 10% de cientes não atendidos). Êste trabaho nos permitiu concuir, que as variações são significativas principamente quando tomadas conjunto, e que o modeo é mais sensíve spre que se incui a de que pode haver perda de tpo devido a quebra de s, tanto individuamente como conjunto, e que esta variáve impica numa redução da recuperação do custo tota de manufatura, após a otimização, de 3,62 %(53,67-50,05), quando considerada individuamente, de 3,90%(54,40-50,05) quando conjunto com geração de sucata, e de 4,62%(55,12-50,05) no caso de se tomar as três reaxações ao mesmo tpo. ortanto, apresentamos um modeo que, dentro da reaidade atua de nossas presas e conforme o níve de desenvovimento destas, pode ser substanciamente úti suas atividades de panejamento e controe da produção. BIBLIOGRAFIA ALVE, L.C.L., Um modeo para seeção de equipamentos sistas de produção Justin-Case: O caso da do ambiente Just-in-Time. Tese D.c., COE, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasi, 142p. ALVE, L.C.L., ALCANTARA GOME, C.A., FUK,., Avaiação da erda de Efetividade um ista de Manufatura com Danda Variáve, através de um Modeo Não Linear de eeção de Equipamentos, XXXIII BO, impósio Brasieiro de esquisa Operaciona, Campos de Jordão,.., Brasi. BAZARAA, M.., HERALI, H. D., HETTY, C. M., Noninear programming. 2ª edição, 1993, John Wiey & ons, inc., 638p. GUNAEKARAN, A., GOYAL,.K., MARTIKAINEM, T., YLI-0LLI,., Equipment seection prob in Just-in-Time manufacturing systs. Journa of the Operationa Research, v.44, n.4, p ETERON, R., ILVER, E.A., Decision ysts for Inventory Managent and roduction anning, John Wiey & ons, 799p.