ADOÇÃO DE SOLUÇÕES SUB-ÓTIMAS DA FUNÇÂO OBJETIVO ORIGINAL DE UM MODELO NÃO-LINEAR DE SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS EM AMBIENTE JUST IN TIME E COM RELAXAÇÔES

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1 ADOÇÃO DE OLUÇÕE UB-ÓTIMA DA FUNÇÂO OBJETIVO ORIGINAL DE UM MODELO NÃO-LINEAR DE ELEÇÃO DE EQUIAMENTO EM AMBIENTE JUT IN TIME E COM RELAXAÇÔE Luiz Cláudio Lopes Alves D.c. em Engenharia de rodução pela COE/UFRJ Rua Caruaru, 150, apto 901 Grajaú Rio de janeiro RJ CE lcalves@ibge.gov.br Carlos Augusto de Alcantara Gomes rofessor Adjunto IV do IEG/UNIFEI R. rof. Henrique Marques, 168 inheirinho Itajubá MG alcantaragomes@unifei.edu.br REUMO O presente trabalho, procura analisar a adoçâo de soluções sub-ótimas da função objetivo original (custo total de produção mínimo), de um modelo não-linear de seleção de equipamentos em ambiente Just in Time e com relaxações, ao se otimizá-lo considerando-se mais um critério em conjunto (tempo total de produção mínimo). alavras-chave: Just in Time, Just in Case, Otimização conjunta de dois critérios. ABTRACT The present work make a analysis about the adoptions of sub-optimum solutions of the original objective function (minimum total cost of production), of a nonlinear programming model for equipment selection in a Just in Time environment and with relaxations, when we make its optimization considering more one criteria jointly (minimum total time of prduction). Key-words: Just in Time, Equipment election, Jointly optimization of two criteria. 1. INTRODUÇÃO GUNAEKARAN et alii (1993), propuseram um modelo matemático não-linear de seleção de equipamentos em sistemas de manufatura Just in Time. Este modelo fora reformulado por ALVE(1997) e ALVE et alii (2001), onde foram desenvolvidas três relaxações: a primeira de que poderia ocorrer perda de tempo devido a quebra de máquinas, a segunda de que haveria a geração de sucata e a terceira de que a demanda seria variável. Implicando esta última, em um custo de perda de venda, quando não ocorresse o atendimento à 100% da demanda do público. O objetivo do presente trabalho é apresentar uma análise de se adotar soluções sub-ótimas da função objetivo original (custo total de produção mínimo), do modelo não-linear de seleção de equipamentos em ambiente Just in Time e com relaxações mencionado acima, ao se otimizá-lo considerando-se mais um critério em conjunto (tempo total de produção mínimo). Isto pode ocorrer, por exemplo, na área de manufatura, quando rapidez de produção das encomendas, seja também, além de custo, um critério estratégico exigido pelos clientes (LATT/GREGORY). rocura-se, com isto, verificar de quanto e como se reduz o tempo total de manufatura de um sistema de produção em série, com a decisão de se assumir custos maiores de investimento e/ou aluguel em equipamentos, considerando-se o modelo tanto na sua forma ideal Just in Time

2 (GUNAEKARAN et alii 1993), como incluindo as relaxações mencionadas acima (ALVE, 1997; ALVE et alii 2001). 2. O MODELO MATEMÁTICO ARA ELEÇÃO DE EQUIAMENTO O sistema de produção considerado neste trabalho tem múltiplos estágios. A cada estágio podem existir máquinas semelhantes realizando os mesmos tipos de operações. O modelo desenvolvido busca encontrar o número de máquinas requeridas em cada estágio que minimizam o custo total de produção associado. em relaxações, isto é, em ambiente Just in Time segundo GUNEEKARAN et alii (1993). E com relaxações, isto é, em ambiente Just in Case, conforme ALVE (1997) e ALVE et alii (2001). O custo total do sistema consiste dos seguintes custos: (i) custo devido ao processamento dos produtos (ii) custo devido ao não-balanceamento nas taxas de produção; (iii) investimento em equipamentos; (iv) custo devido a quebra de máquinas (1ª relaxação); (v) custo devido a geração de sucata (2ª relaxação); e (vi) custo devido ao não atendimento à demanda(3ª relaxação). NOTAÇÃO: i D i j = índice de produto (i = 1, 2,..., ); = demanda do produto i por unidade de tempo ou ano; = índice de estágio (j = 1, 2,..., ). ara o estágio j: n j M j V j = número de máquinas; = custo por máquina ou taxa de aluguel; = área do espaço requerido por uma máquina. ara o i-ésimo produto e j-ésimo estágio: = tempo médio de processamento para um lote; = tamanho do lote; = peso de prioridade dado no processamento (seqüenciamento); = custo devido ao processamento por unidade de tempo; = custo de penalidade devido a uma unidade de desbalanceamento nas taxas de produção entre os estágios j e j+1; T ij = tempo de processamento para um lote; NC ij = número de ciclos de produção por unidade de tempo; = tempo de processamento de uma unidade; = taxa de diminuição no tempo de processamento face a um aumento de uma unidade no investimento de máquinas; MM ij = tempo de processamento por unidade quando o investimento em equipamento é zero; Ap ij Q ij O ij α ij β ij T ij km ij λ ij Cb ij δ ij Cs ij γ ij = taxa de produção = custo devido à perda no tempo de processamento por unidade de tempo; = perda média percentual de tempo de processamento; = custo devido à perda em um lote por unidade de tempo; = perda média percentual em um lote; TM = orçamento de capital máximo disponível para investimento em máquinas; Ω = espaço máximo disponível para máquinas na fábrica; Mg i = margem de lucro do produto i por unidade de tempo ou ano; µ i = percentagem da produção deixada de ser vendida por lote do produto i no último estágio; Z = custo total do sistema relacionado com a seleção de equipamentos. 1046

3 (i) de processamento de produtos: O custo total devido ao processamento de produto para dada demanda, considerando todos os produtos i e todos os estágios j, por unidade de tempo (ano), é dado por: onde: { NC ij.aij. αij} (2.1) i = l j = 1 Di NC ij = (2.2) Qij 1 λ A ij = (2.3) ij { O ij.n j} { Tij} λ ij = (2.4) T ij = Q ij. T ij (2.5) T ij = MM ij km ij M j ; M b M j M c (2.6) ΣO ij = 1 ; para j = 1, 2,...,. (2.7) (ii) devido ao não-balanceamento das taxas de produção entre dois estágios sucessivos: O custo total devido ao não-balanceamento nas taxas de produção considerando-se todos os produtos e estágios, é dado por: -l ij + β (2.8) i = l j = 1 [ { λ λij 1 } ij] (iii) de investimento em equipamento: O investimento total em equipamento (aluguel de equipamento) por ano, considerando-se todos os estágios, é dado por: n { jnj} j= l M (2.9) 1047

4 (iv) devido à quebra de máquinas (1ª relaxação): O custo devido à quebra de máquinas considerando-se todos os produtos e todos os estágios é dado por: onde: { NCij x Aij x δij X Cbij} (2.10) i = l j = l δ ij pertence ao intervalo 0 < δ ij < 1, e representa a perda média percentual do tempo de processamento para um lote do produto i, no estágio j, e Cb ij o custo desta perda por unidade de tempo (ano). (v) devido à geração de sucata (2ª relaxação): Considerando-se a perda de fabricação como uma percentagem dos lotes, o custo total desta perda será: onde: { NCij x Aij x γij X Csij} (2.11) i = l j = l γ ij pertence ap intervalo 0 < γ ij < 1, e representa a perda média percentual de um lote do produto i, no estágio j, e Cs ij o custo desta perda por unidade de tempo (ano). (vi) devido ao não atendimento à demanda (3ª relaxação): Considerando-se o não atendimento à demanda, em virtude de suas variações probabilísticas, como uma percentagem dos lotes dos produtos i no último estágio de produção, o custo total desta perda será: onde: µ i x Mgi [ NCij x Aij x αij] (2.12) i= 1 j= 1 µ i, pertence ao intervalo 0 < µ i < 1, e representa a quantidade média percentual, deixada de vender, de um lote do produto i no último estágio de produção e, onde Mg i é a margem de lucro do produto i por unidade de tempo ou ano. 3. FORMULAÇÃO DO MODELO A formulação matemática do modelo seria então: 1048

5 Min Z = [ NCij x Aij x αij ] + i = 1 j = 1 + ( [ λ ij λij + 1] ) βij + i = l + j = l 1 j= l [ M jnj] + ij (3.1) + [ NC x Aij x δij X Cbij] + i = l j = l + [ NC ij x Aij x γij X Csij] + i = l j = l µ ixmgi [NC i= 1 j= 1 + ij xaijxαij] ujeito às seguintes restrições: j= l { Mjnj} TM (3.2) s j= l { n V j} Ω j (3.3) 0 < δ ij < 1 (3.4) 0 < γ ij < 1 (3.5) 0 < µ i < 1 (3.6) 4. EXEMLO eja um sistema de produção em série de quatro estágios que fabrica três produtos ao qual aplicaremos o modelo em estudo. Os dados de entrada do exemplo estão apresentados na tabela

6 TABELA 4.1. DADO DE ENTRADA DO MODELO MATEMÁTICO =3 =4 arâmetros roduto 1 roduto 2 roduto 3 Variáveis Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 Estág. 1 Estág. 2 Estág. 3 Estág. 4 D M (x 10 2 ) 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 50,00 55,00 40,00 60,00 V 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 60,00 50,00 80,00 40,00 Q km (x 10-3 ) 0,20 0,30 0,40 0,30 0,10 0,40 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,20 O 0,20 0,40 0,50 0,50 0,60 0,30 0,30 0,20 0,20 0,30 0,20 0,30 α=cb=cs 2,00 1,50 3,00 2,00 3,00 2,50 1,00 2,00 2,00 2,00 2,00 1,00 δ 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 γ 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 µ 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 Mg 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 Ω (x 10 5 ) 60,00 90,00 60,00 80,00 90,00 80,00 80,00 70,00 80,00 100,00 80,00 90,00 MM 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 M b = 1,0 x 10 3 M c = 2,0 x 10 3 Ω = 3,0 x 10 3 TM = 6,0 x 10 6 O propósito do planejamento de capacidade é obter um fluxo de materiais com investimento ótimo de equipamentos. Utilizando-se o método de Hooke & Jeeves (Busca Direta), (BAZARAA, M..,et alii, 1979), para resolução do problema matemático, que é de natureza não-linear, apresenta-se os resultados das otimizações dos modelos, até a 42ª iteração. Os dados iniciais utilizados neste método estão apresentados na tabela 4.2. Os resultados das otimizações estão organizados nas tabelas 4.3 e 4.4 conforme apresentadas a seguir, permitindo visualizar-se as recuperações de custo nas otimizações tanto do modelo original como no modelo que inclue as relaxações, respectivamente. ermitem observar-se também, objetivo do presente trabalho, as reduções do tempo total de produção conforme se considere soluções subótimas em termos de custos, uma vez que suas variáveis de decisão, número de máquinas dimensionadas para cada estágio, assumem valores maiores. TABELA DADO INICIAI ARA O MÉTODO DE BUCA DIRETA arâmetros Valor Notação Descrição M j Número inicial de máquinas E Valores iniciais do tamanho do passo NTAGE Número total de estágios () 4 ITMAX Número máximo de iterações permitido 500 NKAT Número máximo de vezes que o passo inicial será reduzido 20 EY Erro da função objetivo para convergência 0,0001 ALA Fator para estender tamanhos de passos iniciais 4.0 BTA Fator para reduzir os tamanhos dos passos iniciais 0,

7 TABELA REULTADO EM A RELAXAÇÕE (GUNAEKARAN et al., 1993) Iteração Número de máquinas devido ao processamento devido ao nãobalanceamento Investimento em máquina total (Z) Tempo total de produção (unidade de tempo) Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 3 ) , , ,500 42, , , , ,300 27, , ,2100 2, ,550 24, , ,3908 8, ,650 23, , ,0960 5, ,100 21, ,332 Redução do tempo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.3, (modelo Just in Time): ( ,555/28301,332)x100 = 27,45 % Aumento do custo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.3, (modelo Just in Time): (23,0299/21,1883-1)x100 = 8,69 % TABELA REULTADO COM A 1 a + 2 a + 3ª RELAXAÇÕE (ALVE, 1997; ALVE et alii 2001). Iteração Número de máquinas devido ao processamento devido ao nãobalancea-mento Investimento em máquina de devido à quebra de máquina 1 a relaxação de devido à sucata 2 a relaxação devido à perda de venda 3 a relaxação total (Z) Tempo total de produção (unidade de tempo) Est 1 Est 2 Est 3 Est 4 (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 4 ) (x10 3 ) , , ,500 0,8243 0,1649 0, , , , , ,300 1,4011 0,2802 0, , , ,2100 2, ,550 3,6420 0,7284 0, , , ,3908 8, ,650 1,4782 0,2956 0, , , ,0960 5, ,100 2,0192 0,4038 0, , ,600 Redução do tempo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.4, (modelo Just in Case): ( ,300/35093,600)x100 = 27,45 % Aumento do custo total de produção se adotarmos a solução sub-ótima da iteração 24 na tabela 4.4, (modelo Just in Case): (25,0993/24,0151-1)x100 = 4,51 % 1051

8 5. ANÁLIE GRÁFICA DO REULTADO Colocando-se nos gráficos 5.1 e 5.2 abaixo, os resultados de tempo total de produção (eixo das ordenadas), e do custo total de produção (eixo das abcissas), das iterações 1, 9, 24 e 42 apresentados nas tabelas 4.3 e 4.4 acima, podemos ilustrar como se comportam os valores destas duas variáveis, no processo de otimização do exemplo considerado, considerando-se o modelo sem e com relaxações respectivamente. Cabe ressaltar que estas duas variáveis podem, eventualmente, retratar duas necessidades essenciais dos clientes, e portanto, certamente, seriam dois critérios estratégicos a serem considerados pelas empresas (LATT/GREGORY) em suas atividades de planejamento. Como observação informamos que a iteração 18 foi descartada por apresentar valores de tempo total de produção em ambas tabelas 4.3 e 4.4 muito superiores aos das demais iterações no processo de otimização de busca direta apresentado. Tempo total de rodução Gráfico Tempo Total de rodução x Total de rodução - em Relaxação a. iter. 24a. Iter. 9a. Iter. 1a. Iter Total de rodução Tempo total de rodução Gráfico Tempo Total de rodução x Total de rodução - Com Relaxação 0 42a. iter. 24a. Iter. 9a. Iter. 1a. Iter Total de rodução 1052

9 Analisando-se os dois gráficos acima percebe-se que tempo e custo são inversamente proporcionais, e que, também, não variam linearmente. Isto é, para decréscimos iguais (ou acréscimos iguais) dos valores de custo total, a partir de determinados pontos das curvas (próximos aos valores da 24 ª iteração), os acréscimos (decréscimos) correspondentes dos valores de tempo total de produção, variam mais que proporcionalmente. As soluções sub-ótimas, no caso para a 24 ª iteração, em ambos os processos de otimização, sem e com relaxações, no exemplo considerado neste trabalho, situam-se na região de valores de tempo e custo para onde o trade-off entre ambas variáveis nos leva simultaneamente a valores marginais ótimos tanto para custo total de produção como para tempo total de produção (veja gráficos 5.1 e 5.2). 6. CONCLUÕE Verifica-se que, com a adoção de soluções sub-ótimas em termos do objetivo inicial do modelo, minimização do custo total de produção, em ambas situações consideradas, sem e com relaxações, outra variável que também pode ser tão ou mais importante no estabelecimento de estratégias empresariais, ou seja, o tempo total de produção, tem acréscimos marginais crescentes para valores de custo total de produção decrescentes abaixo de certos valores (próximos aos valores da 24 ª iteração, veja gráficos 5.1 e 5.2). Isto sugere que se realize um trade-off entre estas duas variáveis, de modo a se decidir por uma política de investimentos em máquinas que seja ótima segundo estes dois critérios, ou seja de menor custo total de produção e menor tempo total de produção, simultaneamente. No exemplo visto, verifica-se que a penúltima iteração do processo de otimização considerado já nos leva a decréscimos substanciais no tempo (27,5%, sem e com relaxação), com acréscimos não significativos no custo total (8,69% e 4,51%, sem e com relaxação, respectivamente). oder-se-ia, portanto, ao invés de decidir-se pela quantidade de equipamentos determinada na 42 ª iteração, decidir-se por acrescentar mais uma máquina nos 2 º, 3 º e 4 º estágios, diminuindo-se sensivelmente o tempo total de produção sem acréscimos expressivos de custo total de produção, principalmente no caso de se estar trabalhando em ambiente just in case (4,51% de acréscimo do custo). BIBLIOGRAFIA ALVE, L.C.L., Um modelo para seleção de equipamentos em sistemas de produção Justin-Case: O caso da relaxação do ambiente Just-in-Time. Tese D.c., COE, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil, 142p. ALVE, L.C.L., ALCANTARA GOME, C.A., FUK,., Avaliação da erda de Efetividade em um istema de Manufatura com Demanda Variável, através de um Modelo Não Linear de eleção de Equipamentos, XXXIII BO, impósio Brasileiro de esquisa Operacional, Campos de Jordão,.., Brasil. BAZARAA, M.., HERALI, H. D., HETTY, C. M., Nonlinear programming. 2ª edição, 1993, John Wiley & ons, inc., 638p. GUNAEKARAN, A., GOYAL,.K., MARTIKAINEM, T., YLI-0LLI,., Equipment selection problem in Just-in-Time manufacturing systems. Journal of the Operational Research, v.44, n.4, p ETERON, R., ILVER, E.A., Decision ystems for Inventory Management and roduction lanning, John Wiley & ons, 799p. LATT, K., GREGORY, M.- Competitive Manufacturing. A practical approach to the development of a manufacturing strategy. Department of Trade and Industry. London. 1053