Notas. Notas. encontrem a solução ótima em tempo polinomial para qualquer instância do problema que estamos trabalhando 2 / 19.

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1 Projeto e Análise de Algoritmos Algoritmos Aproximados Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 2 de maio de / 19 Situação Ideal Desejamos algoritmos que: encontrem a solução ótima em tempo polinomial para qualquer instância do problema que estamos trabalhando Enquanto P NP : para problemas NP-completos temos que nos contentar com 2 desses 3 2 / 19 Algoritmos Aproximados Algoritmo com garantia de produzir soluções sempre em um fator da solução ótima. Uma heurística pode ser um algoritmo aproximado caso exista tenha sido provado que para qualquer caso possível um padrão de qualidade se mantém. Heurísticas sem essa prova não são denominadas algoritmos aproximados. 3 / 19

2 Alg. Aproximados - Def. Um algoritmo é dito α aproximado se: 1 o mesmo roda em tempo polinomial; 2 o mesmo sempre produz uma solução dentro de um fator α da solução ótima. Convenções minimização α > 1 maximização α < 1 4 / 19 Algoritmos Aproximados - Motivação 1 problemas NP-Difíceis precisam de soluções; 2 forma matematicamente rigorosa de se estudar heurísticas; 3 enter o quão difíceis são os problemas. 5 / 19 Analisando a qualidade Questão Como avaliar a distância da solução ótima se calcular a solução ótima já é altamente custoso? Limites Para um problema de minimização(/maximização) difícil, calcular um Limite Inferior (/Superior ) pode ser fácil. Uma vez mostrado que nosso algoritmo sempre produz uma solução no máximo α vezes o custo da do limite em questão já ca provado que isso vale para a solução ótima. Ponto fundamental: qualidade do limite. 6 / 19

3 Exemplo: Balanceamento de carga 5 tarefas (n = 5), com tempos de processamento t j : t 1 = 3 t 2 = 7 t 3 = 5 t 4 = 1 t 5 = 4 3 máquinas (m = 3) 7 / 19 Objetivo: Diminuir o makespan Uma solução com makespan 8: M 1 M 2 M 3 t 1 = 3 t 4 =1 t 5 = 4 t 2 = 7 t 3 = 5 makespan=8 tempo Uma solução com makespan 7: M 1 t 1 = 3 t 5 = 4 M 2 t 2 = 7 t 3 = 5 t 4 =1 M 3 makespan=7 tempo 8 / 19 Um algoritmo guloso Idéia Alocar as tarefas, uma-a-uma, colocando a nova tarefa sempre na máquina com menor carga. procedure GreedyScheduling (t 1,..., t n, m ) T i 0, A(i) i 1..., m ; for j 1 to n do Encontre k : T k = min {1,...,m} T i ; A(k) A(k) {j} ; T k T k + t j ; 9 / 19

4 Limites Inferiores para o Makespan ótimo OPT Relaxação OPT n j=1 t j m Tarefa grande OPT n max j=1 t j Limite Inferior n LB = max{ max n t j=1 j, t j j=1 m } 10 / 19 Teorema: GreedyScheduling é 2-Aproximado. Prova: Seja M i a máquina determinante do makespan. Seja j a última tarefa alocada nessa máquina. A carga T i que a máquina M i apresenta antes de j ser das máquinas. inserida é a menor entre as cargas T i m m T i T i = i=1 j j=1 t j n t j m LB j=1 T i = t j + T i t j + LB n max j + LB j=1 2 LB 2 OPT 11 / 19 Resultados ruins entre OPT e 2 OPT quatro tarefas (n = 3) t 1 = 2, t 2 = 1, t 3 = 15, t 4 = 2 duas máquinas (m = 2) Para quais ordens GreedyScheduling oferece soluções melhores? 12 / 19

5 GreedyScheduling Melhorado: GreedySchedulingI Idéia Alocar as tarefas em ordem decrescente de tamanho, uma-a-uma, colocando a nova tarefa sempre na máquina com menor carga. procedure G r e e d y S c h e d u l i n g I (t 1,..., t n, m ) T i 0, A(i) i 1..., m ; for j 1 to n do t a j-ésima maior tarefa ; Encontre k : T k = min {1,...,m} T i ; A(k) A(k) {t } ; T k T k + t t ; 13 / 19 Provando a superioridade de GreedySchedulingI se n m: resultado ótimo; para n > m, novo limite: OPT t m + t m+1 ; Partindo dos resultados anteriores: E considerando que: T i t j + LB 2 LB t j t m + t m OPT OPT 2 GreedySchedulingI é 3 2 aproximado. 14 / 19 O Problema da Mochila 0/1 Entrada Capacidade S n itens com lucros e pesos (l 1, p 1 ),..., (l n, p n ) 15 / 19

6 Problema da Mochila 0/1 - Algoritmo Guloso procedure GreedyKnapsack1 (S, n, (l 1, p 1 ),..., (l n, p n ) ) Ordene os itens em ordem decrescente de li p ; i i f n i=1 p i S then return sol g = n else Encontre o maior k {1,..., n} k tal que i=1 S ; return sol g = k 16 / 19 Falhando miseravelmente Considere uma mochila com grande capacidade, digamos B. Considere a existência de um item i com lucro l i = 2 e peso p i = 1, juntamente com um item de lucro B e peso B. 17 / 19 Problema da Mochila 0/1 - Algoritmo Guloso Corrigido procedure GreedyKnapsack2 (S, n, (l 1, p 1 ),..., (l n, p n ) ) Ordene os itens em ordem decrescente de li p ; i i f n i=1 p i S then return sol g = n else Encontre o maior k {1,..., n} k tal que i=1 S ; sol 1 = k sol 2 = l k+1 ; return sol g = max {sol 1, sol 2 } 18 / 19

7 Teorema: GreedyKnapsack2 é 2-Aproximado. Prova: Considere novamente k {1,..., n} so o maior valor tal que k i=1 S. Os seguintes limites para a solução ótima sol são válidos: k i=1 k+1 l i sol i=1 l i 19 / 19