Problema da Mochila Booleana: Uma Solução Usando Programação Dinâmica. Gabriel Rosa Guilherme Alves

Transcrição

1 Problema da Mochila Booleana: Uma Solução Usando Programação Dinâmica Gabriel Rosa Guilherme Alves

2 Agenda O problema, definição e exemplo Construindo uma solução... Expressão recursiva Algoritmo recursivo Subestrutura ótima Algoritmo que calcula o custo da solução Algoritmo que calcula a solução Experimentos

3 O problema, definição e exemplo

4 O problema Preencher uma mochila com o maior valor possível não ultrapassando sua capacidade. Problema do ladrão e a mochila Problema de otimização combinatória (NP-Hard)

5 Exemplo

6 Enunciado Seja I = {i 1,, i n } um conjunto de n itens e uma mochila de capacidade W. Denotamos por v k e p k o valor e o peso do k-ésimo item, respectivamente. Problema. Dado um conjunto de itens I com seus respectivos valores e pesos e uma mochila de capacidade W, encontrar um subconjunto I I que: maximize i I v i sujeito a restrição i I p i < W

7 Construindo uma solução...

8 Expressão recursiva Ideia para resolver um problema para n itens: Resolver o problema para n 1 itens. Decidir se ao tomar o n-ésimo item, deve inseri-lo, ou não, na mochila (verificando se o mesmo não viola a restrição). C i, j = 0 se i = 0 ou j = 0 max(v i + C i 1, j w i, C i 1, j ) se w i j C i 1, j se w i > j

9 Algoritmo KNAPSACK-REC(I, W, i, j) if i = 0 j = 0 then return 0 if w i j then α + v i + KNAPSACK-REC(I, W, i 1, j w i ) α KNAPSACK-REC(I, W, i 1, j) if α + > α then return α + else return α else return KNAPSACK-REC(I, W, i 1, j)

10 Subestrutura ótima Considere C(n, W) a solução ótima para até n itens com uma mochila de capacidade W. C(n, W) é composta por: v i + C(i 1, j w i ) ou C i 1, j.

11 Subestrutura ótima / Prova Suponha que v i + C(i 1, j w i ) não é máximo Então será substituído por C i 1, j. Mas se C i 1, j não é máximo Então será substituído por v i + C(i 1, j w i )

12 Subestrutura ótima / Prova Suponha que v i + C(i 1, j w i ) e C i 1, j não são máximos. Então podem ser substituídos pelo respectivo máximo. Um valor maior que o custo de v i + C(i 1, j w i ) e C(i 1, j). Então a solução ótima terá custo maior que C(n, W). Contradição, pois C(n, W) é solução ótima. Logo seu custo é máximo e C(n, W) é formada por soluções ótimas dos subproblemas.

13 Algoritmo que calcula o custo da solução

14 Algoritmo KNAPSACK (I, W) n I foreach i 0 to n do C i, 0 0 foreach j 0 to W do C 0, j 0 foreach i 1 to n do return C foreach j 1 to W do if w i j then else if v i + C i 1, j w i > C[i 1, j] then C i, j v i + C[i 1, j w i ] else C i, j C[i 1, j] C i, j C[i 1, j]

15 Exemplo Considerando a seguinte instância : Um conjunto de itens: Ι = {i 1, i 2, i 3 } Uma mochila de capacidade: W = 5 Peso dos itens: w 1 = 4, w 2 = 3 e w 3 = 2 Valor dos itens: v 1 = 9, v 2 = 7 e v 3 = 8 Temos o custo da solução ótima armazenada na célula (3,5) da matriz apresentada. C =

16 Exemplo Pesos: w 1 = 4, w 2 = 3 e w 3 = 2 Valor: v 1 = 9, v 2 = 7 e v 3 = 8 itens (i) capacidade (j) C =

17 Exemplo Pesos: w 1 = 4, w 2 = 3 e w 3 = 2 Valor: v 1 = 9, v 2 = 7 e v 3 = 8 itens (i) capacidade (j) C =

18 Exemplo Pesos: w 1 = 4, w 2 = 3 e w 3 = 2 Valor: v 1 = 9, v 2 = 7 e v 3 = 8 itens (i) capacidade (j) C =

19 Análise Tempo A complexidade o algoritmo é O(nW) pois considera-se que o objetivo dele é preencher uma matriz com dimensões n W. Espaço Esta complexidade é determinada pelas dimensões da matriz C. Portanto, o algoritmo utiliza O(nW) em espaço para seus cálculos.

20 Algoritmo que calcula a solução

21 Algoritmo SEARCH(C, n, W) i n j W while i > 0 j > 0 do if C[i, j] C[i 1, j] then X i 1 j j w i else X i 0 i i 1 return X

22 Exemplo Considerando a instância exibida anteriormente e a matriz de custo C. O resultado da execução do algoritmo é: X = 0, 1, 1 C = Portanto, os itens i 2 e i 3 devem ser tomados e colocados na mochila.

23 Análise Tempo O algoritmo basicamente percorre a matriz C preenchendo X. No pior caso o algoritmo precisará percorrer n posições na horizontal e W posições na vertical. Logo, o algoritmo tem custo O(n + W). Espaço Em termos de espaço este algoritmo gasta O(n) unidades de espaço para armazenar e retornar a resposta, isto é, o vetor X.

24 Número de subproblemas resovidos Experimentos Implementação em Python 2.7. W = 15 Explosão no número de subproblemas resolvidos na implementação recursiva. chamadas recursivas são feitas para resolver subproblemas, que já foram resolvidos Prog. Dinâmica Recursivo Número de itens

25 Referências CALDAS, Ruiter Braga. Projeto e Análise de Algoritmos. Universidade Federal de Minas Gerais, Disponível em: Acesso em: 26/06/2015. PONTI, Moacir. Projeto de Algoritmos: Paradigmas. Universidade de São Paulo, Disponível em: Algoritmos.pdf. Acesso em: 26/06/2015. ROCHA, Anderson; DORINI, Leyza Baldo. Algoritmos gulosos: definições e aplicações. Universidade Estadual de Campinas, SP. 2004