Planejamento da produção em sistemas flexíveis do tipo job shop usando redes de petri

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1 Planejamento da produção em sistemas flexíveis do tipo job shop usando redes de petri Reynaldo Chile Palomino (UCS) Resumo Devido à introdução de novas tecnologias produtivas nas indústrias modernas, duas das funções primordiais do gerenciamento da produção, o planejamento e a programação da produção, estão se tornando cada vez mais difíceis de serem gerenciadas, sobretudo em ambientes flexíveis onde um conjunto de máquinas é utilizado para produzir diversos tipos de produtos, além de propiciar uma diversidade de roteiros para a fabricação de cada produto. Nesse sentido, o presente trabalho apresenta uma abordagem baseada em Redes de Petri para o planejamento da produção em ambientes flexíveis de produção do tipo job shop. Palavras chave: Planejamento da produção, Redes de petri, Job shop. 1.-Introdução O planejamento e a programação da produção são funções-chave nas modernas indústrias manufatureiras e podem ser reunidas em um só conceito, definido como o conjunto de atividades necessárias para gerenciar o processo de manufatura de produtos, iniciando no momento em que a demanda é conhecida e se desenvolvendo até que o produto esteja pronto para a venda. A demanda é dada geralmente pelos requerimentos dos clientes ou por uma previsão, ou em alguns casos por ambos. Em qualquer situação, os produtos sempre têm um prazo final para sua entrega. Quando a demanda é constante, o processo de planejamento é relativamente simples, porém, o mesmo não acontece quando a demanda é variável (CRANDALL, 1998). Por outro lado, devido à limitação e à escassez dos recursos produtivos de qualquer indústria, um dos maiores desafios do gerenciamento da produção é a determinação das quantidades a serem produzidas para cada tipo de produto, em cada período de planejamento e ao menor custo possível. Para se alcançar esse macro-objetivo, requer-se que se faça um melhor uso da capacidade produtiva disponível através de um bom planejamento e programação da produção. O planejamento da produção, usando a informação da demanda (conhecida ou prevista), a estrutura do produto e o plano de processo do produto, objetiva a geração de um plano de produção para diversos períodos sobre um horizonte de planejamento. Esse plano de produção, é o resultado de um balanceamento da carga-trabalho sobre um horizonte de tempo, o qual busca encontrar um equilíbrio entre a demanda e a capacidade de produção disponível a um custo mínimo. Dentre os diversos custos levados em consideração nesta fase, destacamse os relacionados com a estocagem de produtos, os custos por falta de estoque ou atrasos nas entregas e os custos relacionados com a produção de um item seguindo um determinado roteiro de produção. ENEGEP 2004 ABEPRO 157

2 Neste sentido, a responsabilidade do planejamento da produção é buscar um equilíbrio entre estes tipos de custos, de modo a diminuir o custo total de produção para cada período de trabalho dentro do horizonte de planejamento, motivo do presente trabalho. 2.- Sistemas de produção por encomenda (Jobbing Shop) Uma das principais características deste tipo de sistemas é o baixo volume de produção, isto é, os tamanhos dos lotes de manufatura são pequenos e determinados conforme os pedidos dos clientes (GAITHER e FRAZIER, 2001; DAUZÈRE and LASSERRE, 1994). Devido a seus diferentes projetos, eles requerem diferentes operações de produção e devem ser encaminhados através de departamentos de produção diversos e em diferentes seqüências. Devido ao grande número de tarefas realizados nestes tipos de sistemas, os equipamentos utilizados na produção, precisam ser flexíveis e de propósito geral para poder realizar as diversas operações necessárias e, assim atender os requerimentos dos clientes. Sistemas do tipo job shop são geralmente classificados em dois tipos (SULE 1997): a) o sistema onde em cada estágio de processamento existe apenas uma única máquina capaz de realizar uma determinada operação conhece-se, simplesmente, por job shop e b) o sistema onde existe mais de uma máquina capaz de realizar a mesma operação conhece-se por job shop flexível. Groover (1987) e Ghosh (1987 pp. 17) apontam que mais de 75% de todas as partes manufaturadas na indústria são produzidas em lotes de 50 peças ou menos. Isto faz com que a produção em lotes (batch) e por encomenda (jobbing shop) constituam uma considerável parcela de toda a atividade de manufatura. 3.- Proposta de um modelo baseado em Redes de Petri para o planejamento e programação da produção A Rede de Petri para o planejamento e a programação da produção, ou simplesmente RPGP, é uma Rede de Petri ordinária acíclica que permite a modelagem de sistemas não-cíclicos e sem recirculação de partes (isto é, as máquinas são utilizadas para realizar apenas uma única operação do processo de manufatura). Neste modelo, a cada transição é associado um tempo de disparo para representar o tempo que dura uma operação (tempo de processamento). RPGP é uma adaptação da rede CO encontrada em Proth et al. (1996.b). Esta adaptação incorpora lugares de controle de demanda (D), que permitem controlar o número de unidades a serem produzidas de cada produto num determinado período de tempo, lugares de controle do fluxo de produção (F), que controlam a quantidade de matéria-prima dentro do sistema e lugares de controle de produção (Q), que permitem controlar o número de vezes que um determinado tipo de produto será produzido seguindo determinado roteiro de produção. A Rede de Petri aqui apresentada (RPGP) é uma rede que permite a modelagem e análise de sistemas intermitentes de produção (produção por lotes e por encomenda) do ponto de vista do planejamento e da programação da produção, os quais são acíclicos por natureza. Uma RPGP, por outro lado, também possui através de sua estrutura e marcação, todas as restrições e dependências seqüenciais e paralelas necessárias para resolver problemas relacionados com a programação da produção. ENEGEP 2004 ABEPRO 158

3 Definição: Uma Rede de Petri RPGP é uma 14 upla, RPGP = (F D e D s Q R P, T, I, O, Z, M f M D M Q M R ) Onde: 1.- F = (f 1, f 2,..., f m ) é um conjunto finito de lugares de controle do fluxo de produção, que determinam a quantidade de unidades de matéria-prima liberadas para dentro do sistema produtivo; 2.- De = (de 1, de 2,..., de m ) é um conjunto finito de lugares de controle da demanda, que determinam a quantidade a ser produzida de cada tipo de produto, de i > 0; 3.- Ds = (ds 1, ds 2,..., ds m ) é um conjunto finito de lugares de controle das unidades produzidas, que determinam a quantidade de itens produzidos de cada tipo de produto, m>0; 4.- Q = (q 1, q 2,..., q n ) é um conjunto finito de lugares de controle de produção, que controlam o número de produtos a serem processados, seguindo determinado roteiro de produção. q Q, m 0 (q) > 0 para qualquer marcação m de q, n>0; 5.- R = (r 1, r 2,..., r s ) é um conjunto finito de lugares-recurso (máquinas em geral, podendo ser outro tipo de recursos tais como robôs, etc). r R, m 0 (r) = 1, s>0; 6.- P = (p 1, p 2,..., p v ) é um conjunto de lugares de processo (que representam buffers de entrada e saída de uma máquina), v>0; 7.- T = (t 1, t 2,..., t w ) é um conjunto de transições temporizadas que representam atividades (operações) de produção, w>0; 8.- I : D Q R P x T {0, 1} é um conjunto finito de arcos que ligam lugares a transições; 9.- O : T x D Q R P {0, 1} é um conjunto finito de arcos que ligam transições a lugares; 10.- Z : T R +, é uma função que designa um número real não negativo z i a cada transição da rede. z i = Z(t) representa o tempo de disparo da transição t i ou o tempo que dura uma determinada operação; 11.- M 0 := { M f M De M Q M R } {0, 1, 2,...} é a marcação inicial da rede; 12.- (F D Q R P) T = 0 e (F D Q R P) T 0, isto é, lugares e transições são conjuntos disjuntos; 13.- D representa o conjunto dos nós extremos da RPGP; 14.- A sub-rede RPGP = (P, T, I, O ) onde I: PxT e O: TxP, é um grafo acíclico sem nós isolados. Esta sub-rede é a base para resolver os problemas relacionados com o planejamento da produção; 15.- A sub rede RPGP está coberta por um conjunto de t-invariantes mínimos positivos, onde cada um desses t-invariantes possui apenas uma transição de entrada e outra de saída. Cada um desses t-invariantes mínimos definirá um determinado roteiro de produção. 4.- Aplicação Consideremos um sistema Job Shop formado por 5 máquinas representadas por M 1, M 2, M 3, M 4 e M 5 que processam três tipos de produtos P 1, P 2 e P 3. O processo de manufatura para cada um dos produtos é dado na tabela 1 e sua representação usando RPGP é mostrada figura 1. ENEGEP 2004 ABEPRO 159

4 Produto 1 ra operação 2 da operação 3 ra operação P1 M1 (7) M2(9)/M3(5) M5(11) P2 M2 (7)/M3 (9) M4(5) P3 M1(11)/M2(13) M3(7) M4(9)/M5(5) Tabela 1.- Processo de manufatura para três produtos Com base na informação obtida no Plano Mestre de Produção (ver tabela 2), o objetivo do planejamento da produção no curto prazo é, decidir a quantidade a ser produzida de cada tipo de produto em cada período de trabalho; levando em consideração, a capacidade de produção do sistema (tempo disponível dos recursos). Este planejamento é feito geralmente tendo como objetivo otimizar um determinado índice de performance do sistema, como por exemplo: minimizar o inventário de trabalho-em-processo, minimizar a soma dos custos de fabricação, minimizar os custos de estocagem e atrasos nas entregas, etc. O presente trabalho tem como objetivo, através de um modelo baseado em programação linear, minimizar a soma dos custos + de estocagem ( c ), atrasos nas entregas ( c ) e os custos de operação, mostrados nas tabelas 3 e 4. Se observamos o modelo baseado em Redes de Petri da figura 1, veremos que as operações O, O e O, cujos inícios de operação, são representadas pelas transições t 4, t 13 e t 20, 1,2 2,1 3,1 todas utilizam o mesmo recurso (máquina 2), as quais podem ser realizadas (disparadas) simultaneamente. Este fato, obviamente nunca será possível num sistema real, devido ao fato que todo recurso (máquina) só pode realizar apenas uma operação de vez. Nesta etapa do planejamento, contudo, a solução deste problema não será levada em consideração, pois o mesmo corresponde ao processo de programação da produção. Sendo assim, o principal propósito na etapa do planejamento da produção no curto prazo consiste em determinar o número de unidades de cada produto que serão fabricados seguindo determinado roteiro de produção. Para o caso do produto P 1 por exemplo, o mesmo pode ser fabricado seguindo dois roteiros diferentes de produção que são: M1-M2-M5 ou M1-M3-M5, que em termos de redes de petri significa disparar as transições t1-t2-t3-t4-t6-t8-t9 ou t1-t2-t3- t5-t7-t8-t9 (ver figura 2). Para achar os diversos roteiros de produção, é utilizada a sub-rede RPGP =Z a qual está coberta por um conjunto de t-invariantes mínimos positivos, onde cada um deles representa um roteiro alternativo de produção. O resultado do processo de planejamento indicará o número de vezes q ijk = π (0 π De i ) que cada roteiro de produção Z i,j será executado em cada período k de trabalho tendo como objetivo satisfazer a demanda prevista a um custo mínimo. A figura 2 mostra os dois roteiros de produção para o produto 1 modelados por Redes de Petri. Em termos de Redes de Petri, cada invariante mínimo positivo obtido a partir da equação invariante C.W T = 0 (onde C, é a matriz de incidência da Rede de Petri que modela o processo de manufatura do produto P i e, W é um t-invariante), representa um roteiro alternativo de produção j para a fabricação do produto i. Cada t-invariantes mínimo positivo, representa um conjunto de disparo de transições que se disparados uma vez levam a rede, do estado inicial ao estado final (isto para redes acíclicas) (PROHT et al.1996.a). ENEGEP 2004 ABEPRO 160

5 Demanda Produto Período P 1 P 2 P 3 K = K = K = K = K = Total Tabela 2 Demanda para P1, P2 e P3 Produto Custo Inventário Inventário P 1 P 2 P 3 + c c Tabela 3 Custos de estoque Máquina m 1 M 2 m 3 m 4 m 5 Custo por unidade de tempo $ 3 $ 4 $ 2 $ 5 $ 3 Tabela 4 Custos operacionais por unidade de tempo Produto 1 Produto 2 Produto 3 RPGP 1 = Z 1 RPGP 2 = Z 2 RPGP 3 = Z 3 t 1 t 11 t 19 (0) p 1 p 9 p 15 t 2 (0) t 12 (0) t 13 (0) t 20 (0) t 21 (0) p 2 t 3 (7) pm 1 t 14 (9) p 11 p 10 t 15 (7) t 22 (13) p 17 p 16 pm 1 t 23 (11) p 3 p 12 p 18 t 4 (0) t 5 (0) t 16 (0) t 24 (0) t 6 (9) p 5 p 4 t 7 (5) p 13 t 17 (5) pm 4 p 19 t 25 (7) p 6 p 14 p 20 t 8 (0) p 7 pm 5 t 9 (11) p 8 t 26 (0) pm p 22 5 p 21 t 28 (5) p 23 t 27 (0) pm 4 t 29 (9) t 10 (0) t 18 (0) t 30 (0) Figura 1 Rede de Petri para os processos de manufatura da tabela 1 ENEGEP 2004 ABEPRO 161

6 Produto 1 Produto 2 Roteiro 1 Roteiro 2 Roteiro 1 Z 1,1 Z 1,2 t 1 (0) t 1 (0) t 11 (0) Z 2,1 t 11 (0) Roteiro 2 Z 2,2 p 1 p 1 p 9 p 9 t 2 (0) t 2 (0) t 12 (0) t 13 (0) p 2 pm 1 p 2 pm 1 p 10 p 11 t 3 (7) t 3 (7) t 14(9) t 15(7) p 3 p 3 p 12 p 12 t 4 (0) t 5 (0) t 16 (0) t 16 (0) p 4 p 5 p 13 pm 4 p 13 pm 4 t 6 (9) t 7 (5) t 17 (5) t 17 (5) p 6 p 6 p 14 p 14 t 8 (0) t 8 (0) t 18 (0) t 18 (0) p 7 pm 5 p 7 pm 5 t 9 (11) t 9 (11) p 8 p 8 t 10 (0) t 10 (0) Figura 2 - Invariantes mínimos positivos das redes Z 1 e Z 2. Uma vez selecionados os roteiros de produção mais econômicos, e conhecido o número de vezes (q ijk ) que cada roteiro de produção será ativado em cada período de trabalho k, deverá se achar o número de vezes que cada transição da rede deverá disparar em cada período de trabalho. Esse dado é representado pelo vetor G, de acordo com a equação a seguir: G Ji = ( g1, g 2,... gw ) = q i j= 1 ijk. Y ij para i = 1... N; onde J i representa o número de invariantes mínimos positivos da rede Z i (que modela o produto i) e w i representa o número de transições da rede Z i. Conseqüentemente, cada elemento do vetor G será um número inteiro positivo 0 g v pe i, para v = 1...w i. Modelo de programação linear: k Minimizar T N r [ r= 1 i= 1 k = 1 ( c T N Ji + pr i, k + 1. IF + c. DI )] + cij. qijk k = 1 i= 1 j= 1 ENEGEP 2004 ABEPRO 162

7 Sujeito a: r Ji IFir II i + ( qijk d ) para i = 1... N e r 1... T 0 = k = 1 j= 1 r Ji DI ir II i + ( d qijk ) para i = 1... N e r 1... T 0 = k = 1 j= 1 N Ji qijk. yijs. λ sj µ sk para : i = 1... N; k = 1... T e R s Ω( R) i= 1 j= 1 IF ir, DI ir, qijk 0 para : i = 1... N; r = k = 1... T; j = 1... J i onde, c : é o custo de manter uma unidade do produto i em estoque durante o período k + c : é o custo incorrido por uma unidade de demanda insatisfeita do produto i no período k pr c : é o custo de produção de uma unidade do produto i que segue o roteiro de produção j IF : é o nível de inventário do produto i no final do período k DI : é o número de unidades de demanda insatisfeita do produto i no período k ijk q : é o número de unidades do produto i produzidas no período k, e que seguem o roteiro j Ω(R): representa o conjunto de transições que correspondem ao recurso R λ sj : representa o tempo de disparo da transição que modela o recurso s em Y ij µ sk : representa o tempo total disponível da máquina s no período k. Usando o software de programação linear LINDO, foram obtidos os seguintes resultados para um período de 8 horas por turno de trabalho em cada período. Período Produto: Roteiro Total P1: q 11k P1: q 12k P2: q 21k P2: q 22k P3: q 31k P3: q 32k P3: q 33k P3: q 34k Tabela 5 Número de vezes que cada roteiro Zij será ativado no período k Na tabela 5 mostra-se, por exemplo, que na semana 1 deverão ser produzidas 30 unidades do produto 1 seguindo o roteiro Z 12 que eqüivale a usar as máquinas m1, m2 e m5. Por outro lado, na mesma semana deverão ser produzidas 17 unidades do produto 2, seguindo o roteiro Z 21 (máquinas m3 e m4) e 23 unidades seguindo o roteiro Z 22 (máquinas m2 e m4). Já no caso do produto 3; dos 4 roteiros alternativos, apenas um deles será ativado que é o roteiro Z 32, o que eqüivale a usar as máquinas m1, m3 e m5 respectivamente. Finalizando o processo de planejamento, é necessário determinar número de vezes que cada transição da rede da figura 1 irá disparar em cada período do horizonte de planejamento. Estes dados são mostrados na tabela 6, onde G é um vetor que representa o número de vezes que cada transição que corresponde ao modelo de rede de petri que modela o produto i será ENEGEP 2004 ABEPRO 163

8 disparada durante o período k e, Y ij representa um invariante de transição (ou roteiro de produção j do produto i). Transição t 1 t 2 t 3 t 4 T 5 t 6 T 7 t 8 t 9 t 10 G 11 = 0.Y Y 12 ( ) Transição t 11 t 12 t 13 t 14 t 15 t 16 t 17 t 18 G 21 = 17.Y Y 22 ( ) Transição t 19 t 20 t 21 t 22 t 23 t 24 t 25 t 26 T 27 t 28 t 29 t 30 G 31 = 0.Y Y Y 33 + ( ) 0.Y 34 Tabela 6 Número de vezes que cada transição dispara no primeiro período de planejamento 5.- Considerações finais Este estudo procura destacar a importância da utilização das Redes de Petri no planejamento da produção em sistemas de produção por encomenda. Além das redes de petri se mostrarem uma ferramenta de fácil representação de situações complexas como conflito, paralelismo e concorrência, fatos comuns em sistemas de manufatura, permitem facilmente determinar o número de vezes que cada máquina deverá realizar uma certa operação para completar a manufatura de um lote de produção, em ambientes com roteiros de produção alternativos, a um custo mínimo. Referências CRANDAL, RICHARD E... Production planning in a variable demand environment. Production and inventory management journal fourth quarter, DAUZÈRE-PERES, STEPHANE and LASSERRE, JEAN BERNARD. An Integrated approach in Production Planning and Scheduling. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems.Springer-Verlag Berlin Heidelberg GHOSH, SOUMEN. Production Planning and Scheduling in Flexible Manufacturing system Environment. Dissertation presented in partial fulfillment of the requeriment for the degree Doctor of Philosaphy in the graduate school of the Ohio State University. The Ohio Sate University GROOVER, MIKELL P. Automation Production Systems and Computer Integrated Manufacturing. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 07632, GAITHER, NORMAM E FRAZIER, GREG. Administração da produção e operações. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, PROTH JEAN-MARIE; SAUER NATHALIE and XIE, XAOLAN. Optimization of tha number of transportation devices in a flexible manufacturing system using event graphs. IEEE transaction on Industrial Electronics 44(3), pp , 1996 (b). PROTH, JEAN-MARIE and XIE, XIAOLAN. PETRI NETS: A tool for Design and Management of Manufacturing Systems. John Wiley & Sons, 1996 (a). SULE, D. R.. Industrial Scheduling. PWS Publishing Company, 20 Park Plaza-Boston, MA 02116, 1996 ENEGEP 2004 ABEPRO 164