Var como uma medida de risco para modelos de estoque

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Vinícius Cesário Carvalhal
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1 Var como uma medida de risco para modelos de estoque José Roberto Securato Departamento de Administração da FEA-US atrícia rado Belfiore Escola olitécnica da US alavras-chave: Valor em Risco; Controle de Estoques; Otimização Tema do Trabalho: Custos e Tomada de Decisões Recursos audiovisuais: owerpoint

2 Var como uma medida de risco para modelos de estoque alavras-chave: Valor em Risco; Controle de Estoques; Otimização Tema do Trabalho: Custos e Tomada de Decisões Resumo Este trabalho mostra a aplicação do conceito valor em risco () no controle de estoques. é uma medida de risco bastante utilizada em finanças e também pode ser aplicada para modelos de estoque. A estimativa do pode ser feita através de modelos de probabilidade ou simulação. O modelo determina a quantidade ótima solicitada com base em uma demanda aleatória, com o objetivo de minimizar o custo esperado ou de maximizar o lucro esperado. O modelo será aplicado para um único período.

3 1. Introdução Os modelos de estoques tradicionais têm como objetivo minimizar o custo esperado. (Valor em Risco) é uma medida de risco utilizada em finanças, que significa a maior perda esperada, num determinado nível de confiança, dentro de um horizonte de planejamento. O intervalo de confiança utilizado geralmente varia entre 95% a 99%. Em relação ao horizonte de planejamento, pode-se adotar períodos curtos (de apenas um dia) ou períodos mais longos (de até um ano). Em finanças geralmente aplica-se para pequenos períodos. O Valor em Risco é medido em unidades monetárias, totalizando a perda máxima. Em função disto, a comunicação entre as pessoas foi facilitada. A facilidade de comunicação é uma das razões que contribuiu para a adoção do também nas indústrias. Cash Flow at Risk (CFaR) é o conceito de nas indústrias, que mede a máxima perda esperada em uma atividade industrial. O objetivo deste trabalho é estudar o conceito de aplicado aos modelos de estoques. A sequência do trabalho está organizada da seguinte forma: a seção mostra a aplicação de no controle de estoques, na seção 3 é feito um estudo de caso e na seção 4 estão as considerações finais.. aplicado a modelos de estoque Em finanças, é definido como a perda máxima dos ativos financeiros de uma carteira. Considerando R o retorno aleatório (em termos absolutos) de uma carteira em um horizonte k, com uma distribuição de probabilidade F, com um nível de confiança 1 d, o valor em risco da carteira ( v ) pode ser definido como: F ( v) r( R v) d (1) Em outras palavras, v é o percentil da distribuição dos retornos. Na política de estoques, ao invés dos retornos são utilizados ganhos ou custos. Neste caso é o percentil da distribuição de ganhos ou custos. F ( v) r( L v) d O objetivo na gestão de estoques é atender a demanda dos clientes de modo que não haja excesso e nem falta de estoques. Consideremos o problema abaixo:

4 ara um horizonte de planejamento T e um intervalo de confiança, podemos definir como a perda máxima esperada no horizonte T. também pode ser definido como a probabilidade da perda ( ) ser maior que v no horizonte de planejamento T : v ( v) T ( ) d () onde: T (.) - probabilidade definida ao longo do tempo T A probabilidade de perda pode ser definida como: v ( ) d (3) T No caso de distribuição normal a probabilidade de perda representa a volatilidade. freqüentemente é usado como ferramenta de risco contra a volatilidade. odemos estimar a medida de risco através de modelos de probabilidade ou simulação. Neste trabalho, o horizonte de planejamento estudado será de um único período. Consideremos uma empresa no qual o lucro originário da administração de estoques ( ) é uma variável aleatória denominada π ( ). Consideremos Q um lucro definido, que varia linearmente proporcional a um fator alfa (acima do lucro) e a outro fator beta (abaixo do lucro), temos que: [ π ( Q π ( Q] + βe[ Q π ( π ( Q ]; β α v αe (4) Acima de um período, o problema de otimização consiste em selecionar este valor, dado por: Max v Q α ( π ( Q) df + β ( Q π ( df (5) Q π Q π A solução é: α F π (Q) (6) α + β com: α (7) α + β e: 1 Q( F π ( ; ) (8)

5 O risco é determinado através da probabilidade, onde a preferência é não ganhar abaixo do nível Q. Uma política ótima de estoques pode ser obtida minimizando o. Em outras palavras o problema é: 1 minq( F π ( ; ) (9) 0 Assumindo que a função lucro tem uma distribuição de probabilidade normal com média Eπ ( ) e variância ( π ( )), o valor Q pode ser interpretado como o valor em risco. Desta forma temos que: E( π ( + Z ( π ( (10) com: 1 α α + β A quantidade ótima de estoque inicial é definida maximizando o : Max E( π ( + Z1 var( π ( (11) 0 onde: α α + β O valor máximo de é a maior tolerância possível dentro do risco especificado. 3. Computando e estimando o Consideremos um problema de estoque que tem como função custo a equação abaixo: [ ( Q Q] + αe[ Q Q] v β E C ) (1) onde Q é o custo de estoque pré-definido. Minimizando v Q temos: ( C Q) FC ( Q) λ, λ β /( α + β ), λ (13)

6 e 1 Q ( F ; (14) ( ) C Da equação (14) temos: Min 1 Q( FC ; 0 ( ) (15) O custo de estoque pode ser definido como: C ( c + h max(,0) + vmax(,0) (16) onde: estoque inicial demanda aleatória com distribuição de probabilidade conhecida c custo de pedido h custo de estocagem v custo de falta de produto Se fôssemos considerar a função lucro na equação (16) teríamos: π ( ) p min(, c h max(,0) vmax(,0) (17) onde: p - preço de venda O custo esperado para um único período pode ser definido como: E ( c + h ( ) df + v ( df (18) 0 ou: ˆ (19) E( c + (h + v)f + v( (h + v)f 1, Da equação (19) temos: E( c + ( h + v) F v (0) O custo mínimo pode ser obtido abaixo:

7 E( v c 0 F ( (1) ( v + h) que resulta em um problema de estoque de único período. A variância do custo é: Var [ + h max(,0) + vmax(,0) ] [ E( C ( ))] () ( E c Da equação () obtém-se: var( ( v h)( h + v + c) F (h + v) Derivando temos: ( v h ) F [ F ( F1 )] ( h v) ( v c) vˆ )[ F F1 ] v [ E( ) ˆ, + + +, + ] var( E( E(, [ c + v ] v( v + c) ˆ ( v h) ( h + v + c) + ( v h)( h + v + c) F 1, [ F + ( h + v + c) F ] 1, (3) (4) A equação (4) combinada com as equações (15) e (19) determinam a política ótima de estoques. Embora a solução analítica não seja possível, a mesma pode ser calculada numericamente. Uma empresa possui os seguintes parâmetros de custo: c1, h, v6 e demanda uniforme (0,M) com M60, então: [ E( ) ˆ ] var( 40 F 0F + 7F [ F ( F )] + 16( 5 + 6ˆ )[ F F ] 1,, 1, 1, (5) F ( M ; 3 F ( ;F ( 1, M, 3M odemos assim calcular a política ótima de estoques numericamente. ara os valores de (0;0.05;0.1;0.15;0.) a quantidade ótima de estoques é: (37.5; 39; 40.5; 4; 44) respectivamente.

8 4. Conclusões O objetivo deste trabalho foi aplicar a medida de risco no controle de estoques. O modelo é difícil de ser resolvido analiticamente mas pode ser facilmente resolvido numericamente ou através de simulação. Este trabalho mostra o elo entre as áreas de finanças e operações. Da mesma forma que o conceito de foi aplicado em estoques, pode ser estendido para outras áreas como qualidade, etc, no qual o conceito de risco é importante. Este modelo pode ser estendido para modelos multi-períodos.

9 Referências Bibliográficas Bell D.E., 198, Regret in decision making under uncertaint, Operations Research, 30, Bell D.E., 1983, Risk premiums for decision regrets, Management Science, 9, Bell D.E., 1985, Disappointment in decision making under uncertaint, Operation Research, 33, 1-7 Gul, Faruk A Theor of Disappointment Aversion, Econometrica 59, Jia J. and J.S. Der, 1995, Risk-Value Theor, Department of Management Science and Information Sstems, The Graduate School of Business, Universit of Texas, Austin, Working aper, 94/ Jorion., 1996, Risk^: Measuring the Risk in Value at Risk, Financial Analst Journal, November/December Jorion., 1997, Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, Irwin, Chicago Kreps D., 1979, A representation theorem for preference for flexibilit, Econometrica, 47, Loomes G. and R. Sugden, 198, Regret Theor: An alternative to rational choice under uncertaint, Economic Journal, 9, Loomes G. and R. Sugden, 1987, Some implications of a more general form of regret theor, Journal of Economic Theor, 41, Luciano E., eccati L. and Cifarelli D. M., 003, as a risk measure for multiperiod static inventor models, International Journal of roduction Economics, 81-8, Ritchken. and C.S. Tapiero, 1986, Contingent claim contracts and inventor control, Operation Research, 34, Savage L.J., The Foundations of Statistics, Wile, 1954 Tapiero C.S., 000, Ex-ost Inventor Control, International Journal of roduction Research, April Tapiero C.S., Value at Risk and Inventor Control, B.. 105, 9501 Cerg ontoise, France

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