UM OLHAR PARA A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM UMA ATIVIDADE DE ÁLGEBRA O PROBLEMA DOS ARMÁRIOS

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1 UM OLHAR PARA A CONSTRUÇÃO O CONHECIMENTO EM UMA ATIVIAE E ÁLGEBRA O PROBLEMA OS ARMÁRIOS Karina Alessandra Pessôa da Silva Universidade Estadual de Londrina Rodolfo Eduardo Vertuan 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Toledo Marcele Tavares Mendes 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina Magna Natália Marin Pires 4 Universidade Estadual de Londrina Pamela Emanueli Alves Ferreira 5 Universidade Estadual de Londrina Lourdes Maria Werle de Almeida 6 Universidade Estadual de Londrina RESUMO O presente trabalho é resultado de discussões realizadas na disciplina Tópicos especiais em Educação Matemática: Educação Matemática e Construção do Conhecimento, ministrada por um dos autores deste trabalho no programa de pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática de uma universidade paranaense. Buscamos analisar uma atividade de Matemática dos Ensinos Médio e Superior de Álgebra, refletindo sobre possibilidades de aprendizagem dos conceitos matemáticos ali presentes, por meio de diferentes teorias do conhecimento, dentre elas a Semiótica na perspectiva de Peirce. No que tange tal perspectiva, estabelecemos relações entre as resoluções e as categorias fenomenológicas (Primeiridade, Secundidade e Terceiridade) abordadas por esse autor. A atividade karinapessoa@gmail.com 2 rodolfovertuan@yahoo.com.br 3 marceletavares@yahoo.com.br 4 magnapires@yahoo.com.br 5 pawe7a@gmail.com 6 lourdes@uel.br 20. In: Campos, T. M. M. Ambrosio, U., Kataoka, V. Y., Karrer, M., Lima, R. N. de & Fernandes, S. H. A. A. (Eds.). Anais do III Seminário Internacional de Educação Matemática. pp São Paulo, Brasil. SIEMAT.

2 Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema matemática analisada contempla conceitos de números inteiros positivos, de divisores de um número, de números primos e de números pares e ímpares é o caso do problema dos armários. Palavras chave: Construção de Conhecimento, Álgebra, Semiótica Peirceana. INTROUÇÃO Este artigo apresenta um dos conceitos estudados na disciplina Tópicos especiais em Educação Matemática: Educação Matemática e Construção do Conhecimento 7 : a Semiótica na perspectiva de Peirce. Para tal, optamos por abordar conceitos pertinentes à teoria Semiótica a partir da análise de possíveis respostas para um problema o problema dos armários apresentado em três versões: I. Imagine n armários, todos fechados, e n homens. Suponha que o primeiro homem passe e abra todos os armários. epois, que o segundo homem passe e feche um sim outro não, começando pelo número dois. O terceiro homem, então passa e altera o estado dos armários, de três em três, começando pelo número 3 (isto é, se este está aberto, ele fecha, e viceversa). Se este procedimento tiver continuidade até que todos os n homens tenham passado por todos os armários, quais então ficam abertos? II. Quais são os inteiros positivos que têm um número ímpar de fatores 8? (Justifique sua resposta.) III. Seja d(n) o número de divisores positivos do inteiro n. Prove que d(n) é ímpar se e somente se n é um quadrado. Escolhemos esse problema porque ele contempla tanto a Matemática formal escolar quanto fatores que podem ser associados ao cotidiano. O problema foi proposto aos participantes da disciplina e as discussões dos conteúdos foram embasadas nas ideias de soluções apresentadas por eles. Em seguida, os participantes do grupo que propôs essa atividade 9, apresentaram os conceitos estudados na disciplina à luz dos enunciados e 7 Ministrada pela professora ra. Lourdes Maria Werle de Almeida, no primeiro semestre do ano de Estamos tomando fatores como divisores. 9 Estamos considerando a atividade como a tarefa de investigação e resolução dos três problemas apresentados. 328

3 Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida resoluções do problema dos armários. Neste trabalho apresentamos apenas um olhar sob a Semiótica na perspectiva de Peirce. A SEMIÓTICA E PEIRCE Os objetos matemáticos são inacessíveis à percepção humana necessitando dos signos para que possam ser estudados. Para Otte (200), qualquer coisa concreta, marca ou sinal pode ser um signo. E não existe, de fato, nenhum signo sem uma marca concreta ou evento. Mas um signo tem um significado, que uma coisa não tem. Signo e seu significado não são identificados. No entanto, o significado de um signo não pode ser confundido nem com a compreensão de um determinado intérprete nem com um uso específico do signo. Isso é contrário ao nominalismo, que diz que a diferença entre signo e coisa depende exclusivamente do intérprete, na visão de Peirce, algo pode ser intrinsecamente um signo ou ao menos funcionar objetivamente como tal. Peirce (2005) definiu o signo como algo que, para uma pessoa, toma lugar de outra coisa (objeto), não em todos os aspectos desta coisa, mas somente de acordo com certa forma ou capacidade. Para esse autor, um signo [...] ou representámen, é aquilo que, sob certo aspecto ou modo, representa algo para alguém. irige-se a alguém, isto é, cria, na mente dessa pessoa, um signo equivalente, ou talvez um signo mais desenvolvido. Ao signo assim criado denomino interpretante do primeiro signo. O signo representa alguma coisa, seu objeto. Representa esse objeto não em todos os seus aspectos, mas com referência a um tipo de idéia que eu, por vezes, denominei fundamento do representámen (Peirce, 2005, p. 46). Assim, signo é uma coisa que representa outra coisa seu objeto. Ele existe somente se puder representar, substituir algo diferente dele, pois o signo não é o objeto. Ele está apenas no lugar do objeto. Nos estudos que realizou ao longo dos anos, Peirce tomou como ponto de partida a experiência que temos do mundo, partindo da observação detalhada dos próprios fenômenos. Com isso, considerou a análise e o exame do modo como as coisas aparecem à mente para determinar suas categorias fenomenológicas. Peirce chegou à conclusão de que há três elementos formais e universais em todos os fenômenos que se apresentam à percepção e à mente, e dividiu os 329

4 Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema fenômenos cognitivos em três categorias fenomenológicas: Primeiridade, Secundidade e Terceiridade. A primeiridade refere-se ao que está relacionado ao acaso, ao que não é analisado, não visto como um fato concreto, mas como uma qualidade, um sentimento. O sentimento da primeiridade é um sentimento imediato, imperceptível e original; é algo que ocorre primeiro, de modo a não ser segundo para uma representação. Neste contexto, Santaella (2008b, p. 45) afirma que o sentimento da primeiridade é algo [...] fresco e novo, porque, se velho, já é um segundo em relação ao estado anterior. Um exemplo clássico referente à primeiridade é o mundo para uma criança em seus primeiros anos de vida, pois ela não estabelece relações entre as coisas. Esse mundo implica, para a criança, algo que é o primeiro, o novo, o presente, o livre de relações. A secundidade refere-se à experiência, às ideias de dependência, determinação, dualidade, ação e reação, aqui e agora, conflito, surpresa, dúvida. Quando há um fenômeno, existe uma qualidade, ou seja, uma primeiridade. No entanto, a qualidade refere-se a uma parte do fenômeno, pois, para existir, a qualidade precisa estar presente em matéria. Qualquer sensação já é secundidade, pois corresponde à ação de um sentimento sobre nós e nossa reação específica. Qualquer relação de dependência entre dois termos (qualidade e existência) é uma relação diádica, ou seja, uma secundidade. A terceiridade refere-se à generalidade, continuidade, crescimento, inteligência. Segundo Santaella (2007, p. 7), o signo é um primeiro (algo que se apresenta à mente), ligando um segundo (aquilo que o signo indica, se refere ou representa) a um terceiro (o efeito que o signo irá provocar em um possível intérprete). Sobre a terceiridade, Santaella (2008a, p. 8) afirma que é justamente a terceira categoria fenomenológica (terceiridade) que irá corresponder à definição de signo genuíno como processo relacional a três termos ou mediação, o que conduz à noção de semiose infinita ou ação dialética do signo. Em outras palavras: considerando a relação triádica do signo com a forma básica ou princípio lógico-estrutural dos processos dialéticos de continuidade e crescimento, Peirce definiu essa relação como sendo aquela própria da ação do signo ou semiose, ou seja, a de gerar ou produzir e se desenvolver num outro signo, este chamado de interpretante do primeiro, e assim ad infinitum [...]. 330

5 Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida Portanto, a terceiridade estabelece uma relação triádica existente entre o signo, o objeto e o interpretante. Como abordado por Santaella (2008b), é a terceiridade que aproxima um primeiro (qualidade ou primeiridade) e um segundo (reação ou secundidade) numa síntese intelectual e corresponde à camada de pensamento em signos, por meio da qual representamos e interpretamos o mundo. a relação entre signo e objeto resulta o interpretante, o qual corresponde a um processo racional que se cria na mente do intérprete. O signo desempenha um papel de mediação entre o objeto e o interpretante. Essa relação triádica entre signo, objeto e interpretante pode ser representada por uma figura, como proposta em Otte (200). Figura : Relação triádica proposta por Otte (200) O interpretante substitui o objeto real na mente do intérprete (ser humano), considerando que o objeto real é inatingível pela percepção. A interpretação de um signo é um processo dinâmico na mente do receptor (o intérprete). Os signos influenciam ativamente ou determinam seus interpretantes, enquanto objetos não possuem nada qualitativo por si mesmo ou intrinsecamente. Apenas representam existência real isolada como tal. Na relação triádica, os signos podem estabelecer relações com os objetos que representam. Peirce (2005) estabeleceu a existência de três signos principais:. ícones: participam das características, dos tipos de objeto, sugerem ou evocam seu objeto, a qualidade que eles exibes se assemelham a uma outra qualidade; 2. índices: estão realmente e na sua existência individual conectados ao objeto individual, indicam seu objeto pela existência concreta; 33

6 Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema 3. símbolos: interpretados como denotando o objeto, por causa de um hábito, representam seu objeto, representam aquilo que a lei determina para que eles representem. Otte (200) exemplifica a relação do signo com seu objeto (ícone, índice e símbolo), por meio dos termos palavra, proposição e argumento: se considerarmos os serviços que os diferentes elementos da argumentação nos apresentam, nós poderíamos dizer que um termo ou uma palavra geralmente serve para evocar uma idéia, e, assim, está sendo considerado um Ícone, enquanto proposições são usadas para declarar fatos e, assim, são Índices. Agora, um argumento funcionalmente considerado serve para estabelecer uma certa linha de pensamento ou um hábito de lidar intelectualmente com certos assuntos e, assim, deve ser chamado Símbolo (Otte, 200, p. 2, tradução nossa). ABORAGENS PARA A ATIVIAE MATEMÁTICA Para o desenvolvimento de uma atividade via diferentes teorias do conhecimento estudadas na disciplina Tópicos Especiais em Educação Matemática: Educação Matemática e construção do conhecimento, propomos três problemas, por ora identificados de Problema I, Problema II e Problema III, aos demais participantes da disciplina que, reunidos em grupos de 2 e 3 membros trabalharam em conjunto na resolução dos problemas. Para iniciar o desenvolvimento da atividade, apresentamos aos grupos de participantes o Problema I. Os grupos, por meio de tentativas, iniciaram o desenvolvimento da atividade construindo representações dos armários e montando quadros, como o apresentado na Figura 2. Essas representações foram utilizadas com o objetivo de encontrar padrões e regularidades. 332

7 Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida Figura 2: Representação utilizada pelos participantes para o Problema I A partir dessa representação, os dois grupos concluíram, sem maiores dificuldades, que somente os armários que correspondem à posição de um quadrado perfeito ficarão abertos. O Problema II foi proposto aos participantes utilizando-se a mesma estratégia adotada no Problema I, ou seja, não foram feitos comentários a respeito de como iniciar e conduzir o desenvolvimento da resolução. e imediato, os grupos não estabeleceram relações entre o Problema I e o Problema II e, novamente, partiram do caso particular à procura de padrões, como apresentado na Figura 3. ( ) = { } ímpar () = {, } (2) = {,2} (2) = {,2,3,4,6,2 } (3) = {,3} (3) = {,3 } (4) = {,2,4} ímpar (4) = {,2,7,4 } (5) = {,5} (5) = {,3,5,5 } (6) = {,2,3,6 } (6) = {,2,4,8,6 } (7) = {,7} (7) = {,7 } (8) = {,2,4,8 }.. (9) = {,3,9 } ímpar (24) = (0) = {,2,5,0 } {,2,3,4,6,8,2,24 } (25) = {,5,25 } ímpar par ímpar Figura 3: Representação utilizada pelos participantes para o Problema II 333

8 Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema 334 A partir da representação (Figura 3), os participantes concluíram que os inteiros positivos que têm um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos (, 4, 9, 6, 25, 36, 49...). A partir da solução do Problema II, os participantes estabeleceram relações com o Problema I. Finalmente, frente ao Problema III, os grupos inferiram que os problemas correspondiam aos mesmos objetos matemáticos, mas estavam representados de formas distintas. Com isso, inferiram que, no Problema II, deveriam generalizar o que haviam desenvolvido nos dois primeiros problemas. No entanto, os grupos não representaram de forma genérica a resolução do Problema III, cabendo ao grupo responsável pela proposta da atividade fazer as representações correspondentes. A resolução segue na Figura 4. Tomando n inteiro positivo, para demonstrar tal resultado é preciso primeiro considerar a decomposição de n por fatores primos, que iremos mostrar que existe e é única, e em seguida utilizar esta decomposição para determinar o número de divisores de um número n. Por fim, retornamos ao resultado pedido. º resultado: Seja n > inteiro. Então, existem primos positivos p p 2... p t tais que a = p. p2... p n, e essa decomposição é única. Usando o princípio da indução finita para mostrar a existência da fatoração. Para a = 2, o enunciado é verdadeiro, já que 2 é, ele próprio primo. Suponhamos agora que o resultado seja verdadeiro para todo inteiro b. Se a é primo, então o resultado está demonstrado. Caso contrário, a admite um divisor b tal que < b < a. Isto é, a = b. c, e temos também que < c < a. Pelo princípio da indução, b e c podem ser escritos como produtos de primos, na forma b = p... ps c = q... q k Substituindo, temos a = p... ps. q... qk e o resultado vale para a. Resta mostrar a unicidade. Suponhamos que a admita uma decomposição do tipo a = p, em que p vale a = p q q... = em que q q2... qs são primos positivos. Como q divide q. q 2... qs, q deve dividir p, que é primo. Então, devemos ter p = q, cancelando, temos = q 2...q s. Se s >, temos o produto de fatores primos, o que é um absurdo. Assim, s = e, como já provamos que p = q, o primeiro passo de indução está verificado. Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento k >, e seja a um inteiro com uma decomposição de comprimento k +. Se a admite outra decomposição, temos a = p... pk+ = q... q s, em que q q2... qs são primos positivos. Como na primeira parte, q / p... p k + ( q divide p... p k + ) em particular, q / pi para algum i. Como p i é primo, devemos ter q = p i. e forma análoga, p 2... p = q q s k + q s,

9 Silva, Vertuan, Mendes, Pires, Ferreira & Almeida Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento k, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Por fim, se agruparmos os primos repetidos na decomposição de a temos:. 2º resultado: Sendo a = (decomposição em fatores primos). Então o número de divisores positivos de a e a soma de a é (n +)...(n t +). Note que, conforme esse critério, os divisores positivos de a são todos os termos do desenvolvimento do produto: S = ( ( )...( ). Como cada parêntese contém n + parcelas, temos que o número total dos termos no desenvolvimento é n) ( n + ).( n + )...( n ). ( = 2 t + e volta ao resultado: ( Vamos considerar (n) o número de divisores de n um número ímpar. Por absurdo, suponha que n não é um quadrado. Então, n = onde pelo menos um dos coeficientes é um número ímpar, sem perda de generalidade, considere n = 2. r +. Logo, ( n) = (2r + + ).( n + )...( n + ) ( n) = (2r + 2).( n + )...( n + ) ( n) = 2.( r + ).( n2 + )...( nt + ) O que contradiz a hipótese de (n) ser ímpar, logo n tem que ser um quadrado. ( ) Vamos considerar n um quadrado. Se n é um quadrado então n =, ou seja, todos os fatores de base prima da decomposição é uma potência de expoente par, logo: n) (2n + ).(2n + )...(2n ), ( = 2 t + que é o produto de números ímpares, logo ímpar. Figura 4: Representação para o desenvolvimento do Problema III UMA POSSÍVEL ANÁLISE A ATIVIAE À LUZ A FUNAMENTAÇÃO TEÓRICA 2 Para o desenvolvimento da atividade, os participantes lançaram mão de representações. Isso evidencia, como destaca Otte (200), que todo o nosso acesso cognitivo à realidade é relativo e mediado por signos ao invés de ser direto e absoluto. Além disso, os signos têm significados e se referem a objetos. No que diz respeito à atividade em estudo, os três problemas apresentam signos distintos, mas que correspondem aos mesmos objetos matemáticos. Nos três problemas apresentados aos participantes, a categoria fenomenológica Primeiridade ocorre quando entram em contato com cada um dos problemas propostos. Como salienta Santaella (2008b, p. 45), o primeiro (primeiridade) é presente e imediato, de modo a não ser segundo para uma representação, ou seja, quando os participantes entraram em contato com o 2 t t 335

10 Um olhar para a construção do conhecimento em uma atividade de álgebra: o problema problema proposto não fizeram representação imediata referente a tal problema, pelo menos quando entraram em contato com o primeiro problema. A Secundidade é evidenciada quando os participantes estabelecem a existência de algo para resolver. Nesse caso, utilizam uma representação que informa a existência do problema que deve ser estudado, na relação do signo em si mesmo (significação), temos um sin-signo e na relação do signo com o objeto (objetivação), temos um índice, a representação de algo que pode ser estudado. A partir de estabelecida a existência de algo para ser estudado, foi feito um estudo matemático para responder aos problemas em questão. Nesse caso, os participantes trabalharam matematicamente a situação, estabelecendo uma relação com a categoria fenomenológica Terceiridade. Como existe uma lei que estabelece a resolução dos problemas, na relação do signo em si mesmo (significação), temos um legi-signo e na relação do signo com o objeto (objetivação), temos um símbolo. Na Terceiridade, os estudantes passaram a trabalhar com legi-signos, pois, em geral, trabalham com regularidades, seguindo leis matemáticas. Os três tipos fundamentais de signos ícone, índices e símbolos podem ser evidenciados nos enunciados dos problemas (ícones), a tabela utilizada para indicar o objeto pela existência concreta (índice) e a demonstração realizada (símbolo) que representa o objeto em estudo nos três problemas. REFERÊNCIAS Otte, M. (200). Mathematical epistemology from a semiotic point of view. Proceedings of the Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 25(), -32. Recuperado em 24 maio, 20, de PME25.pdf Peirce, C. S. (2005). Semiótica (Vol. 46, 2a reimpr. 3a ed.). (J. T. Coelho Neto, Trad.). (Coleção Estudos). São Paulo: Perspectiva. (Obra original publicada em 2000). Santaella, L. (2008a). A teoria geral dos signos: como as linguagens significam as coisas. (2a reimpr. a ed.). São Paulo: Cengage Learning. Santaella, L. (2008b). O que é semiótica. (Vol. 03, 27a reimpr. a ed.). (Coleção Primeiros Passos). São Paulo: Brasiliense. Santaella, L.(2007). Semiótica aplicada. São Paulo: Thomson Learning. 336