ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA: DIFERENTES ABORDAGENS PARA DIFERENTES NÍVEIS DE ESCOLARIDADE

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1 ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA: DIFERENTES ABORDAGENS PARA DIFERENTES NÍVEIS DE ESCOLARIDADE Karina Alessandra Pessôa da Silva UEL, Michele Regiane Dias Veronez FAFIUV, Resumo: Buscamos com esse mini-curso discutir as diferentes abordagens que podem ser dadas às atividades de modelagem, dependendo do nível de escolaridade. Nesse sentido, abordamos a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino e procuramos perceber as representações que podem ser utilizadas para representar um mesmo objeto matemático. Pretende-se a partir do desenvolvimento de algumas atividades de modelagem proporcionar uma discussão em torno dos conceitos matemáticos abordados, bem como as possíveis representações para os objetos matemáticos em estudo. Um olhar sobre as possibilidades de trabalhar uma mesma atividade de modelagem em diversos contextos escolares (Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior) também será foco deste mini-curso. Palavras-chave: Modelagem Matemática, atividade de modelagem, registro de representação semiótica. Sobre Modelagem Matemática De modo geral, uma atividade de Modelagem Matemática compreende a busca de uma representação matemática para um fenômeno em estudo, que pode ser matemático ou não. Considerando que a construção desta representação pode ser realizada em aulas de matemática, assumimos que a Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação-problema não essencialmente matemática (ALMEIDA e FERRUZZI, 2009). Almeida e Ferruzzi (2009) defendem que uma atividade de Modelagem Matemática requer do aluno a formulação de um problema e a definição de metas para sua resolução, a definição de hipóteses, a formulação de previsões e a apresentação de explicações e

2 respostas para o fenômeno que observam bem como a comunicação destas respostas e/ou explicações para outros. Neste sentido, o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática requer uma transição do problema original para uma representação matemática formal, o modelo matemático. Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de Modelagem Matemática, não a consideramos como o fim deste tipo de atividade, mas como uma alternativa que pode permitir uma compreensão mais global sobre a situação investigada e a Matemática utilizada. É importante termos em mente que ao trabalharmos com a obtenção de modelos matemáticos, estamos interessados também na compreensão da Matemática envolvida na obtenção de tal modelo. Dependendo da abordagem dada ao desenvolvimento do modelo, diferentes objetos matemáticos podem ser estudados de acordo com o nível de escolaridade na qual se encontra o estudante. Dessa forma, não consideramos que o modelo obtido corresponde à realidade que estamos estudando, mas uma representação dessa realidade obtida por meio de ferramentas matemáticas das quais nós utilizamos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática apontam aspectos da investigação e compreensão em Matemática que devem ser contempladas no ensino: [...] identificar o problema; procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas; fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades (BRASIL, 1999, p. 259). Tais aspectos, de modo geral podem ser observados durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática, a qual, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, leva o aluno a mobilizar uma variedade de procedimentos, tais como: [...] selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o

3 que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente pensado e matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor corresponda a situação real (BRASIL, 2006, p. 85). A literatura em geral que trata da utilização da Modelagem Matemática na sala de aula aponta a necessidade de adequação da atividade ao contexto escolar. Ao investigar uma situação-problema em uma atividade de Modelagem Matemática, professor e alunos não sabem de antemão os conteúdos matemáticos de que farão uso. No entanto, como são os alunos que conduzem a investigação e utilizam, geralmente, os conhecimentos que têm de Matemática, é possível obtermos diferentes abordagens para um mesmo problema e um mesmo conjunto de informações. Isso vem ao encontro da ideia de que o modelo matemático construído é, na verdade, uma representação da realidade sob a ótica daqueles que investigam a situação. Logo, se abordada em diferentes níveis de escolaridade, uma mesma situação pode tomar encaminhamentos distintos. Discutir alguns destes encaminhamentos em uma atividade de Modelagem é objetivo deste trabalho. Modelo matemático: representação da realidade Representar surge da necessidade de tornar algo presente; algo que existe e que necessite da representação para ser acessado. Para Peirce (2005), representar é estar em lugar de, isto é, estar numa relação com um outro que, para certos propósitos, é considerado por alguma mente como se fosse esse outro (p. 61). Peirce (2005) considera que a representação é uma função do signo. Entendemos que um objeto é inacessível à percepção humana, necessitando de um signo para torná-lo presente. Dessa forma, como salienta Vertuan (2007), Uma representação é de fato uma representação se exprimir idéias e se provocar na mente daqueles que a percebem uma atitude interpretativa (p. 19). Godino (2003) considera que uma representação é um signo que se pode colocar no lugar de algo distinto dele mesmo. Dessa forma, a representação pode ser considerada como uma ação de simbolizar, codificar, dar uma imagem ou representar algo.

4 Toda comunicação em Matemática é feita basicamente por meio de representações. Para ensinar conceitos, propriedades, estruturas e relações advindas dos objetos matemáticos, é preciso levar em consideração as diferentes formas de representação desses objetos. O que se estuda e se ensina são as representações dos objetos matemáticos e não os próprios objetos matemáticos. Sendo assim, podemos considerar o modelo matemático como uma ação de simbolizar, dar imagem a uma situação-problema que tem origem na realidade. Dependendo de quem trabalha e estuda tal situação, diferentes abordagens podem ser evidenciadas. No âmbito da sala de aula, isto significa que uma situação pode exprimir diferentes modelos matemáticos, dependendo do nível de escolaridade no qual os alunos se encontram. A complexidade dos fatores relacionados às formas de representação no processo de ensino e aprendizagem tem sido o foco de diversas pesquisas em Educação Matemática. Font, Godino & D Amore (2005), afirmam que a principal razão seria o fato de que falar de representação equivale a falar de conhecimento, significado, compreensão etc. No entanto, como afirma Otte (2001), apesar de um objeto matemático não existir independentemente da totalidade de suas possíveis representações, esse objeto não deve ser confundido com nenhuma representação particular. Duval (2004) também trabalha com essa consideração, afirmando que [...] não há compreensão em Matemática se não se distingue um objeto de sua representação (p. 14 [tradução livre]). Uma característica que se destaca em atividades matemáticas é o uso de diversos sistemas de representação além da língua natural. Na Matemática existem variados sistemas de escrita para os números, escritas algébricas para representar operações e relações, figuras geométricas, gráficos cartesianos, diagramas, esquemas etc. Duval é um autor que tem se interessado pelo uso variado de sistemas de representação semiótica. Esse autor afirma que não há um conhecimento que uma pessoa possa mobilizar sem uma atividade de representação. Modelo matemático: registro de representação semiótica

5 Segundo Duval (2004), as representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento. A escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos são exemplos de representação semiótica. Essas representações podem ser convertidas em representações equivalentes em outro sistema semiótico, mas podem tomar significações diferentes para a pessoa que as utiliza. Para Duval (2003), um sistema de representação semiótico é considerado um registro de representação quando ele permite três atividades cognitivas: a formação de uma representação identificável; o tratamento de um registro de representação; a conversão de um registro de representação. Para que uma representação seja identificável é necessário, a partir de um registro de representação, saber qual é o objeto matemático que está sendo representado. O tratamento ocorre quando há transformações de representações dentro de um mesmo sistema de registros. A conversão é a transformação da representação de um objeto dada em um sistema de registros em uma outra representação deste mesmo objeto em outro sistema de registros. Na conversão conserva-se a totalidade ou parte do objeto em questão 1. Segundo Almouloud (2007), para compreender em que consiste uma conversão, dois aspectos devem ser observados: 1. Toda conversão tem um sentido a ser considerado. Efetuar a conversão em um sentido não significa que seja possível efetuá-la no sentido inverso. Por essa razão, é necessário sempre indicar qual o registro de partida e o de chegada; caso contrário, haverá risco de abuso de linguagem ou desvio conceitual. 2. Não se deve confundir o conteúdo da representação com o objeto representado, embora o registro permita explicitar ou revelar propriedades do objeto. Converter uma representação é, então, mudar o conteúdo e não somente a forma. Conforme mencionado no aspecto 2 destacado por Almouloud (2007), ao realizar a atividade de conversão é preciso que se perceba a diferença entre o conteúdo da representação e o que esta representa, ou seja, o representante e o representado. Dessa 1 Neste trabalho, adotamos a conversão como uma atividade cognitiva que envolve mudança de sistemas de registros. Embora consideremos que a atividade de conversão pode ser considerada mais complexa ou menos complexa de acordo com o fenômeno de congruência e não-congruência, não faremos essa análise neste trabalho.

6 forma, na conversão, é preciso que o sujeito diferencie a representação do conteúdo matemático que está sendo representado. Duval (2004) afirma que Sem a percepção desta diferença, a atividade de conversão resulta impossível ou incompreensível (p. 46). Ao desenvolver atividades de Matemática em sala de aula, muitas vezes, somente um sentido da conversão é privilegiado, por se acreditar que ao trabalhar apenas um sentido, automaticamente estaria trabalhando a conversão no outro sentido. Em muitos casos, é impossível, dependendo dos conhecimentos matemáticos que se tem, realizar a conversão no sentido inverso. Para Duval (2003), [...] do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão (p. 16). Segundo Duval (2003), para que ocorra a conceitualização do objeto matemático em estudo, além de se realizar conversões de um registro para outro, é necessário que exista uma coordenação entre os registros, ou seja, é preciso compreender que os diferentes registros referem-se ao mesmo objeto matemático e podem se complementar no sentido de que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto matemático que não são expressas com clareza em outro registro. Como salienta Dominoni (2005), sendo parcial, um registro pode complementar o outro. No entanto, é preciso relacionar os diferentes registros de representação, com suas próprias especificidades para que se possa conceitualizar o objeto matemático. Nas atividades matemáticas destaca-se o uso de diversos sistemas de representação. Esse fato também é evidenciado em atividades de Modelagem Matemática, que possibilita a obtenção de um modelo matemático. Na obtenção de um modelo matemático, atividades de tratamento e conversão são realizadas afim de se obter uma representação matemática formal para a atividade em desenvolvimento. Atividades de Modelagem Matemática: possibilidade da ocorrência da coordenação entre registros de representação semiótica No decorrer do processo de Modelagem Matemática são vários os registros utilizados pelos alunos (textos, tabelas, gráficos e etc). Segundo Duval (2003), [...] é a

7 articulação dos registros que constitui uma condição de acesso à compreensão em matemática, e não o inverso (p.22). Neste sentido, parece importante relacionar constantemente os diferentes registros de representação que se fazem presentes em atividades de Modelagem Matemática. Para exemplificar, apresentamos, a seguir, uma atividade de Modelagem Matemática abordada de diferentes maneiras, dependendo do nível de escolaridade no qual os alunos se encontram. A atividade descrita a seguir é parte de um conjunto de atividades que serão abordadas e discutidas nesse mini-curso. Nessa atividade, partindo de um conjunto de informações (Tabela 1) buscava-se determinar a rotação (rpm) ideal para melhor média de consumo de combustível. Tal interesse surgiu de algumas conversas sobre o consumo de combustível, na cidade, depender do momento que se realiza a troca de marcha. As informações contidas na Tabela 1 foram coletadas empiricamente 2. Tabela 1- Relação entre o momento da troca de marcha e a quilometragem rodada rpm Quilômetros rodados 1 7, ,4 4 9,1 5 7,8 Tomando essas informações foi possível encontrar uma representação algébrica para essa situação. Para tanto, os alunos, primeiramente, perceberam que os pontos poderiam se ajustar a uma função quadrática (Figura 1). Os caminhos que os alunos trilharam para encontrar uma representação algébrica que descreve tal comportamento foram diferenciados, o que vem ao encontro dos aspectos abordados pelos autores anteriormente mencionados. 2 Os alunos adaptaram uma garrafa de 2 litros para medir o consumo de combustível e realizaram as trocas de marcha a cada rpm apresentada na tabela. Com as trocas acontecendo a mil giros, foi possível percorrer 7,5Km com dois litros de combustível e assim por diante.

8 Figura 1: Representação dos pontos da Tabela 1. Alguns alunos tomaram três desses pontos arbitrariamente e descreveram um sistema de equações lineares que lhes possibilitou encontrar os parâmetros a, b e c na função y = ax² + bx + c. No entanto, perceberam que de acordo com a escolha dos pontos pode-se obter um modelo matemático que não traduz a situação, sendo assim, discutiu-se sobre qual escolha era a mais adequada. Diversos foram os encaminhamentos que os alunos utilizaram na resolução do sistema linear. Outros alunos utilizaram-se do recurso computador para encontrar a função quadrática apresentada na Figura 2. Também teve alunos que tentaram partir da b expressão x v = e 2a b 2 4ac y v =, mas estes tiveram que conjectuar, inicialmente, o 4a valor de c, além de terem que assumir os valores de xv e y v. Figura 2: Modelo Matemático obtido por meio de um ajuste de curvas Encontrado o modelo, buscava-se resolver o problema inicialmente levantado: determinar a rotação (rpm) ideal para melhor média de consumo de combustível. Sendo assim, as opções para resolvê-lo podiam variar de acordo com o nível de escolaridade. b Nessa turma, os alunos utilizaram tanto a expressão x v = quanto o conceito de 2a

9 derivada, encontrando então o ponto de máximo da função. O processo de validação dos modelos obtidos, uma das etapas do processo de modelagem, também foi realizado e pode ser observado na Tabela 2. Tabela 2 Validação de um dos modelos obtidos pelos alunos rpm Quilômetros - observados - Quilômetros - calculados - 1 7,5 7, , ,4 9, ,1 9, ,8 7,713 No decorrer dessa atividade os alunos utilizaram diferentes representações e puderam realizar conversões e tratamentos. Considerações finais Frente ao entendimento de que uma atividade de Modelagem Matemática compreende a busca de uma representação matemática para um fenômeno e frente a ideia de que a atividade de Modelagem é realizada, essencialmente, pelos alunos com orientação dos professores, é que consideramos que tal atividade adquire o que por ora designamos de um sentido muito seu, muito próprio daquele contexto em que se dá sua realização. Neste sentido, a investigação da situação-problema toma um encaminhamento que depende das experiências e dos conhecimentos dos envolvidos com a situação. Além disso, nem professor nem alunos sabem, de antemão, os conteúdos matemáticos de que farão uso. Isso contribui para que diferentes formas de resolução sejam apresentadas, mesmo quando o problema e o conjunto de informações forem os mesmos. Assim, entendemos que o modelo matemático construído é, na verdade, uma representação construída sob a ótica daqueles que investigam a situação. Em termos gerais, verificamos, por meio da atividade descrita neste trabalho e por meio de outras atividades de Modelagem, que, de fato, as atividades de Modelagem Matemática viabilizam a utilização e exploração de diferentes registros de representação semiótica bem como os processos de tratamento, de conversão e de coordenação entre registros. Neste sentido, entendemos que a interação Modelagem Matemática e Registros

10 de Representação Semiótica contribui para a aprendizagem de conceitos matemáticos e, consequentemente, para a discussão de situações da realidade. Com a análise da atividade podemos inferir, que uma mesma situação pode ser abordada em diferentes níveis de ensino, desde que sejam feitas as adequações ao contexto escolar e considerados os conhecimentos matemáticos e extramatemáticos dos alunos envolvidos. Referências ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria, v. 2, p , ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da Matemática. Curitiba: UFPR, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Basica. Orientações Curriculares para o ensino médio Volume 2: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília, DOMINONI, N. R. F. Utilização de diferentes registros de representação: um estudo envolvendo Funções Exponenciais Dissertação (Mestrado) Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina, DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, p , DUVAL, R. Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Tradução de Myriam Vega Restrepo. Colômbia: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática, FONT, V.; GODINO, J. D.; D AMORE, B. Enfoque ontosemiótico de las representaciones em educación matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidade de Granada Disponível em capturado em 5/6/2006. GODINO, J. D. Teoría de las Funciones Semioticas: un enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción matemática. Trabajo de investigación presentado para optar a la

11 Cátedra de Universidad de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, OTTE, M. Mathematical epistemology from a semiotic point of view. In: PME International Conference, 25, University of Utrecht, The Netherlands, PEIRCE, C. S. Semiótica. Tradução de José Teixeira Coelho Neto. 2. reimpr. da 3. ed. de v. 46. São Paulo: Perspectiva, (Estudos). VERTUAN, R. E. Um olhar sobre a Modelagem Matemática à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina.