INTRODUÇÃO DO CONTEÚDO DERIVADAS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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1 ISBN INTRODUÇÃO DO CONTEÚDO DERIVADAS ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Gabriel Vasques Bonato UEL Bruno Rodrigo Teixeira UEL Eixo : Didática e Práticas de Ensino na Educação Superior Resumo Nesse artigo temos por objetivo apresentar o relato de uma experiência desenvolvida na disciplina de Cálculo I do curso de Matemática habilitação licenciatura da Universidade Estadual de Londrina, em que o conteúdo matemático Derivadas foi introduzido através da Resolução de Problemas, com a participação de estudantes do primeiro ano do curso. O trabalho realizado possibilitou que a introdução do conteúdo fosse realizada de modo a privilegiar não apenas a definição formal, mas uma de suas interpretações, na busca de auxiliar os estudantes em sua compreensão. Palavras-chave: Educação Matemática, Resolução de Problemas, Derivadas. Introdução O ensino de Matemática através da Resolução de Problemas, concepção de Resolução de Problemas em que um problema é ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua resolução (ALLEVATO; ONUCHIC, 009, p.7) tem sido destacada (LESTER, 013; ALLEVATO; ONUCHIC, 014) como uma possibilidade para o trabalho docente. Segundo Allevato e Onuchic (009, p. 17), [...] experiências, em pesquisas com alunos e atividades de formação de professores em que esta forma de trabalho tem sido utilizada, têm favorecido significativos avanços na compreensão de conceitos e conteúdos matemáticos e no aprimoramento da prática docente pelo professor. Tendo isso em vista e levando em consideração que, assim como destacado por Abdelmalack (011, p. 13), os alunos, tendo ou não uma boa formação, com frequência não conseguem compreender o conceito de derivada e suas aplicações; embora dominem o processo mecânico, decidimos realizar um 516

2 trabalho na disciplina 1 de Cálculo I do primeiro ano curso de Matemática da Universidade Estadual de Londrina, habilitação licenciatura, em que é abordado o conceito de derivada, de modo que pudesse ser introduzido utilizando a Resolução de Problemas. Assim, nesse artigo, temos por objetivo apresentar o relato dessa experiência de introdução do conteúdo Derivadas através da Resolução de Problemas, desenvolvida pelos autores do artigo, no dia de agosto de 018, no período de duas aulas, com a participação de 46 estudantes. Desenvolvimento As aulas tiveram início com uma explicação sobre a dinâmica que seria adotada na aula: seria entregue o enunciado de um problema; os alunos resolveriam individualmente (levando em consideração a quantidade de estudantes presentes em sala, decidimos que o trabalho fluiria melhor, pois facilitaria a locomoção no momento de observá-los resolvendo o problema proposto), mas poderiam trocar ideias com os colegas que se sentavam próximos a eles durante a resolução; os professores percorreriam a sala com o intuito de auxiliá-los no que fosse necessário; alguns alunos seriam escolhidos para apresentar para a turma sua resolução; e, posteriormente, a partir de alguma resolução seria introduzido um novo conteúdo para eles. O enunciado entregue foi o seguinte: Um objeto esférico é solto e desce em um plano inclinado. A distância f, em metros, percorrida pelo objeto x segundos após ter sido largado, é dada por: f(x) x 6x I. Determine a velocidade média do objeto, considerando os seguintes intervalos de tempo (para efetuar os cálculos, utilize todas as casas decimais possíveis): a) a 3 segundos. b) a,1 segundos. c) a,01 segundos. d) a,001 segundos. e) a,0001 segundos. II. A partir dos cálculos realizados para as velocidades médias obtidas, é possível fazer uma aproximação para a velocidade do objeto no instante segundos? Justifique. Ao percorrer a sala e observar o trabalho dos estudantes foi possível perceber que, em sua maioria, apresentavam dificuldades em encontrar a 1 Disciplina ministrada pelo segundo autor do artigo, que convidou o primeiro autor, estudante de mestrado na área de Educação Matemática, para auxiliar no desenvolvimento desse trabalho com os estudantes tendo em vista o seu interesse pela temática. Adaptado de Pinto et. al (014). 517

3 velocidade média. Alguns não se lembravam da forma como deveria ser calculada e, com isso, os professores precisaram relembrá-los de como os cálculos poderiam ser realizados. Por outro lado, outros que demonstraram conhecimento sobre a fórmula da velocidade média, estavam com dificuldade em escrever a expressão a partir da lei de formação da função apresentada no enunciado. Sendo assim, após alguns questionamentos referentes à fórmula da velocidade média e sobre a lei de formação da função, a maioria logo percebeu o que deveria ser feito. Ainda nessa etapa de resolução do problema, alguns alunos também apresentaram dificuldades em entender o que era para ser feito no item II. Nesse sentido, foram propostas algumas reflexões, por exemplo, se eles conseguiam relacionar com conceitos já estudados, e, rapidamente, alguns estudantes apontaram um possível caminho. Com isso, foi solicitado que escrevessem no papel o que haviam entendido. Após as dúvidas sanadas e o término da resolução pela maioria dos alunos, foram escolhidas duas resoluções para o item I para serem apresentadas para a turma e discutidas. Resolução 1 I.a) Temos que f() f(3) Assim, a velocidade média, V m, no intervalo de a 3 segundos é dada por: V m f(3) f() Portanto no intervalo de a 3 segundos, tem-se a velocidade média de 16 m/s. Utilizando esse mesmo procedimento foram obtidas as seguintes respostas para os demais itens: I.b)14, m/s I.c) 14,0 m/s I.d) 14,00 m/s I.e) 14,000 m/s Resolução I.a) 3 = 1 f(1) V m f(3 ) f(1) E o mesmo procedimento foi utilizado para a obtenção das respostas para os demais itens. 518

4 Em discussão, os alunos chegaram a um consenso que a resolução correta seria a Resolução 1 e que a Resolução seria oriunda de uma interpretação equivocada das informações, ocasionando um uso equivocado da fórmula para o cálculo da velocidade média. De posse das informações obtidas na Resolução 1, e com a intenção de formalizar o novo conteúdo, foi organizado o seguinte quadro de valores preenchido com o auxílio dos alunos: Intervalos de Variação da distância Variação do Velocidade tempo tempo média [,3] [;,1] 1,4 0,1 14, [;,01] 0,140 0,01 14,0 [;,001] 0, ,001 14,00 [;,0001] 0, , , O preenchimento foi realizado por colunas, e, no preenchimento de cada uma delas foram feitos questionamentos referentes a uma forma genérica de representar os valores, tais como o que acontecia na primeira coluna com os extremos dos intervalos de tempo, quais as semelhanças e diferenças entre eles, e se seria possível expressar os intervalos de forma genérica. Nesse caso, foi obtido o intervalo [,+h]. Na segunda coluna, após detalhar a forma que construíram os valores da variação da distância, os alunos não apresentaram dificuldades em afirmar como ela seria para um intervalo de tempo genérico: f(+h)-f(). Na terceira coluna Variação do tempo, questionados sobre a forma de obtê-los os estudantes rapidamente informaram a variação do tempo e construímos a variação do tempo, (+h) = h, para o intervalo de tempo genérico anterior obtido ao final da primeira coluna. Por fim, para o preenchimento da quarta coluna os estudantes afirmaram que a velocidade média é obtida a partir da razão entre a variação da distância e a variação do tempo. Com isso, foram questionados a respeito de como seria a forma genérica da velocidade média utilizando as formas genéricas de variação construídas anteriormente. Então, os estudantes concluíram que a forma 519

5 geral para a velocidade média seria concluído. f( h) f() h e o quadro de valores foi Intervalos Variação da distância Variação do tempo Velocidade de tempo média [,3] 16 = f(3) f() 1 = 3 16 [;,1] 1,4 = f(,1) f() 0,1 =,1 14, [;,01] 0,140 = f(,01) f() 0,01=,01 14,0 [;,001] 0,01400 = f(,001) f() 0,001=,001 14,00 [;,0001] 0, = f(,0001) f() 0,0001=, , [, +h] f(+h)-f() (+h)-=h f( h) f() h Após isso foi realizada a discussão do item II do enunciado do problema. A maioria dos estudantes havia concluído que quando menor o intervalo de tempo, mais próximo o valor da velocidade média estaria de 14 m/s e, com isso, afirmaram que esse valor poderia ser considerado uma aproximação para a velocidade do objeto no instante segundos. Posteriormente, os estudantes foram questionados sobre a relação dessa resposta com algum conteúdo que já haviam estudado e grande parte relacionou com a noção intuitiva de limite. Aproveitando essa ideia, foram questionados sobre o que acontece com o h quando a extremidade direita dos intervalos de tempo se aproxima de dois segundos, ou seja, o que acontece com o h quando diminuímos o intervalo de tempo cada vez mais. Eles responderam que o h está indo para zero e, sendo assim, daria para expressar a velocidade instantânea quando fazemos h tender a zero. Após alguns debates, chegaram à conclusão de que o limite que representa a velocidade em questão seria da forma f( h) f() lim. h 0 h Em seguida, os estudantes foram questionados como seria o cálculo para a velocidade do objeto no instante 3 segundos e responderam que seria da forma: f(3 h) f(3) lim. Por fim, como seria para qualquer instante, por exemplo, p, em que h 0 h p representa a constante de tempo desejada. Eles responderam que seria da forma: f(p h) f(p) lim h 0 h. 50

6 A partir disso foi mencionado que uma maneira de encontrar a velocidade ( V ), em um instante p qualquer seria V f(p h) f(p) lim. Além disso, h 0 h que esse limite obtido, denotado por f (p) (leia-se f linha de p), é denominado derivada de uma função f em um dado valor p, e pode ser utilizado para obter taxas de variação nesse valor específico, assim como foi feito com a velocidade instantânea, que também consiste em uma taxa de variação desse tipo, por isso a escolha de utilizá-la como contexto para a introdução desse conteúdo. Conclusão O trabalho realizado possibilitou que a introdução do conteúdo fosse realizada de modo a privilegiar não apenas a definição formal, mas uma de suas interpretações (taxa de variação em um dado valor), na busca de auxiliar os estudantes em sua compreensão. Cabe destacar que, com o decorrer da aula, foi possível notar a familiaridade dos estudantes com dinâmica de aula proposta, o que favoreceu sua participação, tendo em vista o trabalho já realizado por professores do curso que utilizam abordagens de ensino diferentes de apenas de aulas expositivas, com a intenção de que os futuros professores possam se familiarizar com as mesmas e serem incentivados a utilizarem em suas futuras aulas. Referências Bibliográficas ABDELMALACK, A. O Ensino-Aprendizagem-Avaliação da Derivada para o Curso de Engenharia Através da Resolução de Problemas p. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática), Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 011. ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, p. 1-19, 009. ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática: por que Através da Resolução de Problemas? In: ONUCHIC, L. R. et al. (Orgs.). Resolução de Problemas: Teoria e Prática. Jundiaí: Paco Editorial, 014, p LESTER, F. K. Jr. Thoughts about Research on Mathematical Problem - Solving Instruction. The Mathematics Enthusiast, v. 10, n. 1, p , 013. PINTO, M. M., et al. A resolução de problemas na aprendizagem de derivada de uma função de alunos de 11.º ano de escolaridade. In: Actas do XXX ProfMat, Braga: APM,