A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO MEIO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

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1 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como (ISBN N ) Eixo Temático: (Formação de Professores - E4) A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO MEIO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO Franciéli P. FERNANDES - UNESP (fran_pefer_@hotmail.com) Ana Paula dos S. MALHEIROS UNESP (paulam@ibilce.unesp.br) Resumo: O presente trabalho é parte da monografia intitulada O erro dos alunos como instrumento didático no processo de ensino-aprendizagem da Matemática por meio da Resolução de Problemas, desenvolvida e produzida como trabalho de conclusão do Estágio Supervisionado II, disciplina do curso de Licenciatura em Matemática da UNESP, campus de São José do Rio Preto. Nesse trabalho de comunicação cientifica, apresentamos a parte teórica que fundamenta a Resolução de Problemas, os caminhos pelos quais esta metodologia pode ser utilizada, tornando-se não somente uma forma para a aprendizagem Matemática, mas também um meio importante para se fazer Matemática. Sob esta visão, e diante das evoluções sofridas pelas diversas maneiras de ensinar Matemática no decorrer do tempo, afirmamos que hoje, que o ensino desta ciência pode e deve ocorrer de forma delineada, de acordo com as necessidades de cada turma e professor. Apresentamos, ainda, neste trabalho, uma visão do ensino da Matemática por meio da Resolução de Problemas, no qual as habilidades e conceitos devem ser aprendidos através de experiências em resoluções de problemas, num ambiente motivador onde o professor é o mediador dos processos de ensino e de aprendizagem e responsável por estimular a participação dos alunos na construção do conhecimento. Por fim, ao descrevermos uma experiência com esta metodologia de ensino e pesquisa, discorremos sobre as vantagens de ensinar Matemática através da Resolução de Problemas, e concluímos que esta metodologia pode contribuir para o ensino de Matemática e, hoje, fornece resultados muito satisfatórios, tornando-se uma excelente maneira de desenvolver as aulas. Palavras-chave: Resolução de Problemas, Matemática, Construção do conhecimento. Introdução Não há só um caminho a ser seguido quando se deseja ensinar Matemática e diversos são os estudos sobre como os professores devem realizar o planejamento de suas aulas, quais metodologias de ensino devem seguir, quais livros didáticos devem adotar, enfim, de quais maneiras devem proceder para que as aulas tornem-se mais produtivas e surtam os efeitos esperados no que diz respeito ao processo de construção do saber de cada aluno. Preocupados em melhorar a realidade do ensino da Matemática nas escolas, os professores são orientados a procurar formas e metodologias de ensino diferenciadas.

2 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 2 No curso de Licenciatura em Matemática da UNESP, campus de São José do Rio Preto, a primeira autora desse trabalho teve a oportunidade de conhecer e estudar sobre a Metodologia da Resolução de Problemas, seus caminhos e conceitos, e, na disciplina de Estágio Supervisionado II, ao trabalhar com a Regência de aulas em uma Escola Estadual situada na cidade de Tabapuã-SP, pode aplicá-la em suas aulas, aumentando consideravelmente seu conhecimento sobre tal metodologia, e aperfeiçoando sua forma de ensinar. Sendo assim, neste trabalho de cunho cientifico, apresentamos as características desta metodologia de pesquisa e ensino, o embasamento teórico de alguns autores da área, e por fim, descrevemos e analisamos uma das experiências vivenciadas em sala de aula, no contexto mencionado anteriormente, bem como os resultados obtidos, ao ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas. Resolução de Problemas Os estudos sobre a aplicação da Metodologia da Resolução de Problemas tiveram início no século XX, diante da necessidade de mudança nos processos de ensino e de aprendizagem da época. Nessa época, os educadores matemáticos passaram a aceitar a ideia de que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas merecia mais atenção (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). Durante a década de 1980 surgiram muitos recursos visando o trabalho em sala de aula, sugestões de atividades e orientações para avaliar o desempenho em Resolução de Problemas, ajudando os professores a torná-la o ponto central de seu trabalho. Mesmo assim, ainda muitos não conseguiam chegar a uma concordância com relação a utilização dessa metodologia em sala de aula (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). Considerando as pesquisas em Resolução de problemas, Allevato (2005) destaca que existem três caminhos possíveis para abordá-la em sala de aula: ensinar sobre a Resolução de Problemas, ensinar para a Resolução de Problemas e ensinar Matemática através da Resolução de Problemas. De acordo com a autora, as três possibilidades se sobrepõem e podem acontecer com várias combinações. Porém, neste trabalho vamos nos ater ao estudo do ensino da Matemática através da Resolução de Problemas. De acordo com Allevato (2005), mesmo com todas as mudanças e evoluções, as primeiras concepções da Metodologia de Resolução de Problemas foram se tornando insuficientes à medida que novas necessidades foram surgindo nos processos de

3 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 3 ensino e de aprendizagem da Matemática. Sendo assim, Ensinar Matemática através da Resolução de Problemas tornou-se tema fundamental nos estudos e pesquisas realizadas no século XXI, já que engloba de certa forma, as duas outras concepções, isto é, ensinar para e o ensinar sobre, complementando-as. Já sob o foco da Resolução de Problemas, os objetivos do uso desta metodologia foram sendo delineados, e diferentes ideais surgiram visando a compreensão de suas finalidades e implicações. Dessa forma, apresentamos alguns dos objetivos da resolução de problemas: levar o aluno a pensar produtivamente e desenvolver o raciocínio, munilo de estratégias para resolver problemas e, dar-lhe oportunidade de se envolver com aplicações da Matemática, enfrentando novas situações que levem ao desenvolvimento da ideia Matemática. Nos documentos elaborados pelo Ministério da Educação, como os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), a Resolução de Problemas é vista como o eixo organizador dos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática e, com isso, a situação problema é considerada como ponto de partida da atividade matemática, ou seja, é a partir dos problemas que os conceitos matemáticos serão construídos ao longo de toda a Educação Básica. Assim, a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p. 40). Considerando, agora, a formação das ideias por parte dos alunos, especificamente, Onuchic e Allevato (2004) defendem que Os conceitos matemáticos que os alunos criam, num processo de construção, não são as ideias bem formadas concebidas pelos adultos. Novas ideias são formadas pouco a pouco, ao longo do tempo, quando os alunos refletem ativamente sobre elas e as testam através dos muitos diferentes caminhos que o professor pode lhes oferecer. (p.220) Tais percepções de Onuchic e Allevato (2004) vão ao encontro daquilo que está presente nos documentos oficiais, ao defenderem que, o que se espera é que o aluno seja competente em resolução de problemas e permitam que ele desenvolva formas de pensar a Matemática, visto que o pensar e o fazer Matemática acontecem quando o sujeito está envolvido ativamente no enfrentamento de desafios. De acordo com as Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), essas

4 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 4 competências não se desenvolvem quando são propostos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos e a Resolução de Problemas é um dos caminhos para isso. Ensinar Matemática Através da Resolução de Problemas Conforme apresentado anteriormente, todo o trabalho desenvolvido com Resolução de Problemas na década de 1980, não alcançou a melhora esperada e apresentou incoerências. É possível, que isso tenha ocorrido devido a uma falta de concordância entre as diferentes concepções que pessoas e grupos tinham sobre o significado de Resolução de Problemas ser o foco da Matemática escolar (ONUCHIC, ALLEVATO; 2004, p. 216). Surgiram então, ideias sobre as possibilidades de utilizar a Resolução de Problemas como um meio de ensinar Matemática. Segundo essas ideias, relacionadas ao construtivismo, [...] os estudantes não mais são considerados como recipientes vazios a serem preenchidos, através da aprendizagem, com informações fragmentadas e desconexas. Antes, são seres pensantes aos quais deve-se proporcionar, através do ensino, oportunidades de interpretar situações ou problemas e de relembrar conhecimentos anteriores a fim de construir novos conhecimentos. (ALLEVATO, 2005, p.55) Isto significa que, através dos conhecimentos já existentes, são formados novos conceitos, construídos passo a passo. Dessa forma, os alunos passam por ricas experiências de aprendizagem da Matemática, pois ela é autogerada em vez de ser imposta pelo professor ou pelo livro texto. (ALLEVATO, 2005, p.59). Nesses moldes, pode-se afirmar que a Resolução de Problemas funciona como modelo de construção do conhecimento, ao colocar o aluno na situação de alguém que precisa resolver certo problema, mas que não possui a ferramenta necessária para fazêlo. Diante desse fato, sente-se obrigado a construir essa ferramenta a fim de permitir a resolução de seu problema, formando o próprio conceito, assim como ocorre na construção dos conceitos científicos no construtivismo. No ensino de Matemática através da Resolução de Problemas, as habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos neste próprio contexto, o desenvolvimento de processos de pensamento de ordem superior deve ser estimulado através de

5 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 5 experiências em resolução de problemas e, consequentemente, o ensino deve ocorrer via investigação orientada, num ambiente que favoreça a resolução de problemas. Dessa forma, o ensino da matemática deve ocorrer em um ambiente caracterizado pela investigação orientada pela resolução de problemas, fazendo com que essa metodologia não seja apenas uma atividade a ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas sim, como orientação para a aprendizagem. Nesse enfoque Allevatto (2005, p.60) afirma que o ponto de partida das atividades matemáticas deixa de ser a definição e passa a ser o problema. Com isso, percebemos que a investigação é papel fundamental nesta metodologia, visto que a curiosidade, a necessidade de se obter novos conceitos, formas e maneiras de chegar ao esperado, faz com que o raciocínio seja constante, tornando-se quase automático. Infelizmente, algumas dificuldades surgem quando há a implementação do ensino através da Resolução de Problemas. Elas podem ser causadas por diversos fatos, entre eles podemos citar as restrições de tempo, a mudança de rotina e metodologia, a diversidade dos alunos, com diferentes tipos de habilidades, além da pouca experiência matemática de professores (ALLEVATO, 2005). Sabemos que não é fácil ensinar através da Resolução de Problemas. Porém, há razões para utilizar este método de ensino, tais como: a resolução de problemas coloca o foco da atenção dos estudantes sobre o dar sentido, envolvendo os alunos nos processos de resolução, raciocínio e prova, comunicação, conexões, e representação do problema; a resolução de problemas torna os estudantes capazes de fazer Matemática, e eles percebem que ela faz sentido, aumentando sua confiança e autoestima, ao poderem utilizar seu próprio raciocínio. Além disso, a resolução de problemas nesta concepção do ensinar através, fornece ao professor, dados da avaliação, que o permitem tomar decisões sobre o ensino e ajudar os estudantes no processo de aprendizagem. Uma experiência com o ensino de Matemática através da Resolução de Problemas No estágio supervisionado no qual aconteceram as atividades de regência da primeira autora desse texto, realizado com alunos da 1ª série do Ensino Médio em uma Escola Estadual situada em Tabapuã SP, foi possível aplicar a Resolução de Problemas como metodologia em várias das aulas ministradas. Nesse texto, uma dessas aulas foi eleita para ilustrar como é possível, com a participação dos alunos, desenvolver novos conceitos tendo como ponto de partida um problema.

6 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 6 Dando continuidade ao ensino das Progressões, após já ter sido estudado Sequências e Progressão Aritmética (P.A.), foi introduzido o estudo da Progressão Geométrica (P.G.). Sendo assim, já admitimos que os alunos conheciam e sabiam lidar com sequências numéricas, razões, termos, número de termos e cálculo do termo geral, tanto por meio da fórmula enunciada em aulas anteriores, quanto sem aplicá-la. Após o problema, que possuía duas sequências, ser enunciado e escrito na lousa para que os estudantes o copiassem e, depois, fosse resolvido, a lousa foi dividida em duas partes, para que cada um dos itens do enunciado ficasse de um dos lados. O problema exigia que os alunos dominassem o cálculo de termos específicos e, em um primeiro momento, que soubessem como deduzir a fórmula do termo geral, como é possível observar na Figura 1. Figura 1: Enunciado do Problema Por meio de diálogo estabelecido com a turma, foi pedido que eles dissessem, passo a passo, como deveria ser realizada a resolução da primeira parte do problema. Como já dominavam o conceito de P.A., a resposta foi automática, e a escrita parte por parte também foi construída com certa rapidez. Seguindo o mesmo raciocínio, foi feita a dedução da fórmula para o cálculo do n-ésimo termo, como era pedido (Figura 2).

7 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 7 Figura 2: Desenvolvimento das ideias de resolução alternativa a. Em um segundo momento, olhando para a sequência apresentada na segunda alternativa do problema (que tinha como finalidade de introduzir um novo conceito para eles, Progressão Geométrica), foi questionado a eles a resolução de tal questão. Novamente, o diálogo foi fundamental ao longo de todo o processo. De início, alguns alunos disseram que a razão daquela sequência era 8; ao mesmo tempo, outros alunos, um pouco mais atentos, responderam que não, pois a próxima razão (diferença entre o terceiro e segundo termos) seria 40. Disseram, então, que não era P.A., pois as razões não eram as mesmas quando os termos eram subtraídos; por exemplo, ao realizarem a subtração de a 2 por a 1, obtiveram o valor 8; ao subtraírem a 3 por a 2, obtiveram 40, e de acordo com alguns exercícios resolvidos quando estudavam progressão aritmética, quando não encontravam as mesmas razões realizando as subtrações entre termos de uma sequência, concluíam que aquela então, não era P.A.. Eles estavam corretos, aquela sequência não era uma Progressão Aritmética. A partir da duvida dos estudantes diante da situação, a professora perguntou qual seria outra característica que podiam encontrar observando os termos.

8 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 8 Alguns alunos responderam que a cada termo estava sendo multiplicado por 5, e, durante um diálogo muito rico, foram, aos poucos relacionando cada termo com o anterior, e concluíram que neste caso, a razão sempre era multiplicada. Os estudantes tiveram um pouco de dificuldade quando lhes foi pedido que fizessem como tinham realizado com os termos da primeira sequência, quando indicavam quantas vezes estavam somando cada razão em cada termo. Questionaram mas nessa sequência não estamos somando, como vamos fazer?. Foi solicitado que dissessem como poderiam escrever cada termo, em função do anterior e também do a 1, agrupando as razões que multiplicavam. Nesse momento, os alunos começaram a pensar em voz alta e a professora foi fazendo conforme a orientação dos estudantes. Ela escreveu, então, o a 1, que já era conhecido, e o a 2 como a 1.5, isto é, a 2 = a 1.5; depois, ainda sob o comando deles, foi escrito o a 3 como a 3 = a 1.5.5, e assim sucessivamente, até o termo a 6. No meio do processo de construção dos termos, um dos alunos respondeu que a razão deveria ser elevada ao número de vezes que ela aparecia no termo. O desenvolvimento dos termos ficou da seguinte forma: Figura 3: Desenvolvimento das ideias de resolução alternativa b.

9 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 9 Partindo dos raciocínios descritos e ilustrados acima, a turma encontrou o 6º termo pedido, e inclusive, pôde construir a ideia do cálculo do n-ésimo termo da sequência que, já sabiam não ser progressão aritmética, mas que ainda não sabiam o que era. A parte de dedução da fórmula do termo geral para esta sequência despertou dúvidas em alguns alunos; eles sabiam que a fórmula deveria ficar da forma a n = a duas vezes alguma coisa, mas quem seria essa coisa?, questionaram. Foi perguntado a eles o que acontecia com as razões, e eles responderam que multiplicavam; A professora então, perguntou o que eles observavam ao agruparem-nas? Responderam que estavam sempre elevadas a um número, que era crescente se os termos fossem comparados. Na sequência, foi indagado como poderiam relacionar cada número do expoente com a posição do termo; logo visualizaram que o expoente era o antecessor do número que indicava a posição do termo. Por exemplo, no termo a 4, tinham o 5 (razão), elevado a 3. Nesse processo, os estudantes conseguiram deduzir a fórmula para esta sequência, que ficou da seguinte forma: Figura 4: Fórmula do termo geral deduzida na alternativa b. Após o término dos raciocínios já descritos, e a montagem da resolução do problema na lousa conforme mostrado anteriormente, foi retomado o que havia sido feito desde a primeira sequência e, através das palavras ditas pelos próprios alunos, foi possível concluir o que era cada uma das sequências, quem eram as razões e os termos pedidos. No final, ao perceber que a maioria da turma havia acompanhado com clareza o desenvolvimento da resolução do problema inicial e melhor ainda, compreendido as diferenças entre as sequências, e suas características principais, a professora escreveu o que poderia ser concluído sobre cada progressão, e enunciou a definição conceitual de Progressão Geométrica. Desta forma, foi possível utilizar o Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas, tendo como ponto de partida um problema trabalhado com a turma, que

10 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 10 foi instigada a resolvê-lo diante da curiosidade, do fato de não saber como fazer, tornando suas investigações e raciocínios, fatos importantíssimos no processo de construção do conhecimento. Resultados obtidos com a utilização da Metodologia da Resolução de Problemas No desenvolvimento de uma aula de Matemática, o que se espera é que os alunos construam o conhecimento que está sendo trabalhado, participando ativamente das atividades propostas em resposta aos apelos do professor quando da inserção de um problema que exija raciocínio. De acordo com a experiência descrita nas linhas acima, observamos ser possível que os processos de ensino e de aprendizagem ocorram de forma construtiva, por meio do ensino da Matemática através da Resolução de Problemas. Neste contexto, o professor deve deixar para trás as antigas concepções sobre o ensino de Matemática, e encarar cada novo pensamento do aluno, sobre a questão proposta, como meio de desenvolver o novo conceito, afinal, se o problema introduzido parte de certo conhecimento já existente no saber dos alunos, eles serão induzidos a utilizá-lo, e ao mesmo tempo, modificá-lo de acordo com as novas necessidades surgidas. Na aula descrita, a resolução do problema inicialmente apresentado partia do conhecimento de Progressão Aritmética, que os alunos já possuíam, e através da investigação orientada pela professora, levava os alunos a perceber a necessidade da introdução e construção de um novo conhecimento, que levou ao aprendizado e entendimento das Progressões Geométricas. Portanto, o ensino de Matemática ocorrido através da Resolução de Problemas foi realizado, e os alunos participaram da construção de seu próprio conhecimento. Considerações Finais A Resolução de Problemas como metodologia veio contribuir com as ideias de como ensinar matemática. Atualmente, ela é apontada como o ponto de partida para o ensino da Matemática e estudos, como o descrito nesse texto, que evidenciam que ela apresenta resultados satisfatórios. Mais ainda, o ensino da Matemática através da Resolução de Problemas, trouxe mudanças no que diz respeito a não mais ensinar Matemática considerando que os alunos não possuem conhecimento algum, mas sim,

11 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 11 levando em conta o que eles já sabem, desenvolvendo estes conceitos, evoluindo suas ideias, seu raciocínio e pensamento. Ensinar matemática, sob esta visão tornou-se um meio de construir novos conhecimentos. Desta forma, a metodologia da Resolução de Problemas, e o ensinar através dela, tornou-se por si só, uma possibilidade de desenvolver as aulas, tornando-as mais ricas e participativas no que diz respeito ao fato de o próprio aluno estar envolvido na resolução do problema apresentado pelo professor. Assim como pôde ser observado nesse texto, uma aula que antes ocorria apenas de maneira expositiva, na qual o conteúdo era simplesmente apresentado por meio de uma definição e exemplo, e deveria ser entendido, pode não ser mais desenvolvida dessa maneira. Na concepção de ensinar através da resolução de problemas, o professor funciona como mediador do saber, já que instiga a curiosidade do aluno ao introduzir um problema não tão simples, que requer raciocínio e dedução, ao mesmo tempo, que trabalha as informações recebidas dos alunos, ajudando-os a organizá-las e a desenvolvê-las. No fim, o conhecimento é construído a partir dos pensamentos que são apresentados por eles, e delineados com a ajuda do professor. A opção de ensinar Matemática através da Resolução de Problemas fica a cargo de cada professor, que de acordo com o contexto e realidade, pode ou não utilizá-la enquanto metodologia de ensino. Não necessariamente, aquele que optar por utilizá-la em certa aula, deverá sempre continuar ensinando por meio dela, mas, geralmente quem faz a opção por esta metodologia, diante dos resultados obtidos, muito dificilmente voltará a ensinar de forma tradicional. Referências BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio, v. 2. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, ALLEVATO, N. S. G., Associando o Computador à Resolução de Problemas Fechados: Análise de uma experiência Tese (Programa de Pós Graduação em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas (IGCE), Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro - SP, 2005.

12 FERNANDES, F. P. e MALHEIROS, A. P. S. A Resolução de Problemas como 12 ONUCHIC, L. R., ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o Ensino da Matemática através da Resolução de Problemas. In Educação Matemática: Pesquisa em Movimento. / Maria Aparecida Viggiane Bicudo, Marcelo de Carvalho Borba (orgs.). São Paulo: Cortez, p