I Encontro do PROFMAT-UTFPR-CP

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1 I Encontro do PROFMAT-UTFPR-CP FUNÇÕES EM ECONOMIA Rodrigo Henrique de Oliveira PROFMAT-UTFPR-CP rodrigo Profa. Dra. Débora Ap.F. Albanez DAMAT-UTFPR-CP Profa. Dra. Michele Cristina Valentino DAMAT-UTFPR-CP 1 Introdução O projeto intitulado Funções em Economia surgiu através da prática docente, em vista da necessidade do professor de proporcionar um ensino aprendizagem mais significativo sobre funções, mostrando aos alunos como esse conceito pode ser aplicado em atividades do dia-a-dia. Desta maneira, este trabalho tem como objetivo apresentar um projeto de contextualização de funções afim e quadrática desenvolvido na escola estadual E.E. José Gonçalves de Mendonça, situada à rua Marechal Deodoro da Fonseca n o 670, na cidade de Maracaí-SP, com alunos do 1 o ano do ensino médio. 2 Desenvolvimento Venda do Produto No primeiro momento os alunos realizaram uma atividade prática envolvendo uma situação comercial de compra e venda, na qual eles venderam dadinhos de doce leite durante alguns dias em sua escola, na hora do intervalo. O preço pago pela unidade do produto foi de R$0,10. A partir desse valor, os alunos peceberam claramente que deveriam cobrar mais do que R$0,10 por unidade, para que pudessem ter algum lucro. Assim surgiu a dúvída: por quanto deve ser vendida a unidade? Para responder a essa pergunta, os alunos realizaram o seguinte experimento: durante 2 dias, os dadinhos foram vendidos à R$0,30 a unidade, preço considerado alto em relação ao encontrado em bares e supermercados. Após a percepção de que a venda a esse preço foi pequena, os alunos promoveram a divulgação de uma promoção, na qual os daindos estariam a metade do preço, e assimos dadinhos foram vendidos por mais dois dias pelo preço de R$0,15. 1

2 Por fim, os resultados obtidos nas vendas para os dois primeiros dias foram de 44 unidades e de 208 unidades para os outros dois dias. Atividades teóricas: Estudo das Funções em Economia Nesta seção abordamos o estudo realizado pelos alunos em relação as funções em economia dos tipos afim e quadrática, na qual eles aprenderam alguns conceitos de economia, determinaram algebricamente cada uma das funções, além de representá-las geometricamente por meio do software Geogebra, e ainda responderam algumas questões referentes as funções obtidas do software de matemática dinâmica Geogebra. Função de Demanda Em relação ao conceito econômico de demanda, os alunos puderam perceber que ela representa o comportamento do cliente diretamente com preço do produto comercializado, na qual observaram na prática que, quando o dadinho estava com um preço alto obtiveram uma venda pequena e após colocarem o dadinho na promoção, tiveram um aumento significativo nas vendas. Para encontrar a função de demanda do tipo afim os alunos resolveram em sala o seguinte sistema: { { f(30) = 44 f(15) = a + b = 44 15a + b = 208, onde a representa o coeficiente angular da reta que é o gráfico da função afim e b é o termo constante. Com o intuito de facilitar os cálculos, note que utilizamos a variável independente x na unidade centavos. Resolvendo o sistema, temos a = 10, 933 e b = 372. Assim, a função demanda é x = f(p) = 10, 933p (1) Figura 1: Gráfico da demanda em função do preço Após plotar a função 1 no geogebra e analisarem o gráfico, os alunos responderam as 2

3 questões abaixo: 1- O que acontece quando o preço do dadinho é igual a zero? Quando o preço é R$0, a demanda máxima, ou quando o produto é de graça a demanda é de 372 unidades, pois f(0) = 10, = Qual é o preço máximo a ser cobrado pelo dadinho? O preço máximo a ser cobrado é de 34 centavos, ou o preço máximo deve ser abaixo de 34 centavos, para que consigamos vender pelo menos uma unidade do nosso dadinho, pois o preço máximo é calculado baseado numa demanda igual a zero isto é, 0 = f(p) = 10, 933p = p = 34 Como a função afim da demanda x = f(x) tem coeficiente angular negativo a = 10, 933, os alunos confirmaram matematicamente o que já esperavam pela prática do mercado de vendas de qualquer produto: quanto maior o preço do produto, menor a procura(demanda) pelo mesmo. Função Preço Após uma discussão sobre o quanto a demanda de um certo produto pode influenciar no seu preço, a atividade foi encontrar a função preço p = f(x) em função da variável independente demanda. Assim, foi apresentado o conceito de função inversa e os alunos foram instruídos a trocar a variável p, na função x = f(p) que seria o preço unitário do produto por f(x) e depois teriam que usar as operações inversas para isolá-lo. Desta forma, os alunos fizeram o seguinte cálculo: x = f(p) = 10, 933p = x = 10, 933f(x) = f(x) = 0, 09x + 34, 02, E concluíram que a função preço é dada por: p = f(x) = 0, 09x + 34, 02, (2) Após esse cálculo, os alunos representaram a função p = f(x) no geogebra e obtiveram: Função Receita Na definição de receita, os alunos compreenderam que se tratava de todo o dinheiro que entrava no caixa da empresa com relação a comercialização de seu bem e/ou serviço. Entenderam ainda que a função receita relacionava de forma direta o preço e a quantidade demandada dos dadinhos, ou seja que a receita era igual o resultado da multiplicação do preço dos dadinhos por sua quantidade x demandada. Dessa maneira, foi apresentado aos alunos a função receita modelo afim: R(x) = p x 3

4 Figura 2: Gráfico da função preço em função da demanda Logo em seguida, os alunos foram conduzidos a construir a função receita onde substituiriam, no lugar do preço fixo p, a função preço encontrada em (2), o que resultou: R(x) = ( 0, 09x + 34, 02)x = R(x) = 0, 09x , 02x E assim os alunos notaram que função receita é uma função quadrática, a qual aprenderam no 9 o ano.foi verificado que os alunos não se lembravam de nenhuma aplicação prática de funções quadráticas, sendo assim, foi apresentado-lhes a função receita total, em função da demanda. O próximo passo foi plotar no geogebra a função receita R(x): Figura 3: Gráfico da função receita em função da demanda Em seguida, foram propostas as questões abaixo para que os alunos resolvessem com a mediação do professor, analisando a função receita e o seu gráfico, e também utilizando os conceitos de raízes de uma equação quadrática, bem como máximo e mínimo de funções quadráticas e coordenadas do vértice da parábola. 1- Quais são as raízes da função receita R(x) e o que elas representam na prática? Vamos encontrar as raízes da função receita utilizando a fórmula de Bháskara. Para 4

5 R(x) = 0, 09x , 02x, temos que a = 0, 09, b = 34, 02 e c = 0. Calculando o discriminante, Portanto = b 2 4ac = (34, 02) 2 4 0, 09 0 = 1157, 36. x = b ± 2a = 34, 02 ± 1157, 36 2( 0, 09) = 34, 02 ± 34, 02 0, 18 Portanto as raízes são x = 0 e x = 378. Elas representam para qual demanda não temos nenhum dinheiro em caixa, isto é, quando x = 0 não há demanda, portanto não há receita em caixa. E ainda, para uma demanda x = 378 unidades, a receita também é nula, pois o preçop = f(x) é zero para x = 378l logo R(x) = p x = f(x) x = Qual é a maior receita obtida na venda dos dadinhos? Percebemos que a maior receita é igual ao maior valor que a função atinge, ou seja, é o ponto mais alto do gráfico. Vamos calcular a coordenada Y v desse ponto: Y v = 4a = 1157, 36 4( 0, 009) = 3214, 9 Lembrando que estamos usando a unidade de medida em centavos temos que a receita máxima é de R$32, Para qual quantidade de dadinhos vendidos obtemos a maior receita? Sabendo que a quantidade de dadinhos vendidas que nos dá a maior receita é o ponto médio entre as raízes e também é igual a coordenada X v, encontramo-lá por: Função Custo X v = b 2a = 34, 02 2( 0, 09) = 189 O que significa que para termos a receita máxima precisamos vender 189 dadinhos. Na atividade sobre custo os alunos aprenderam que custo pode ser visto como todos os gastos para se produzir um produto e/ou prestar um serviço, aprenderam sobre custo fixo, como sendo um valor que todo o mês está presente no orçamento da empresa, e também sobre custo variável, sendo que este está ligado diretamente com a quantidade de produto produzida. Em relação a função custo eles compreenderam que é resultado da soma dos custos fixos com os custos variáveis. No projeto, o preço unitário de compra do dadinho foi de 10 centavos e foi constatado que o custo foi de apenas R$ 1,00, em relação ao combustível gasto para ir de moto até o local da compra dod dadinhos. Assim, os alunos construíram a função: C(x) = 10x + 100, 5

6 e a representaram geometricamente no Geogebra: Figura 4: Gráfico da função custo em função da demanda Analisando os dados os alunos foram questionados pela seguinte pergunta: 1-Qual é o custo total para a quantidade de dadinhos que nos fornece a receita máxima? Basta calcularmos o custo para o valor x = 189, sendo assim: C(189) = = = 1990, isto é, o custo em relação a receita máxima é de R$19,90. Função Lucro Em relação ao conceito de lucro, os alunos confirmaram suas ideias de que lucro representa todo o dinheiro livre ganho em relação a venda de um bem e/ou serviço. Compreenderam ainda que para encontrar a função lucro precisamos subtrair da receita todos os gastos obtidos desde a confecção do produto até a sua venda, ou seja os custos fixos junto dos custos variáveis. Assim usando as funções receita e custo encontradas anteriormente, os alunos encontraram a função lucro representada abaixo: L(x) = R(x) C(x) = L(x) = 0, 09x , 02x (10x + 100) L(x) = 0, 09x , 02x 100, E constataram, conforme indicou a função calculada em 2, que tratava-se de uma parábola com concavidade negativa(a = 0, 09 < 0). Ainda os alunos plotaram as duas funções (lucro e custo) na mesma tela do geogebra, para que pudessem tirar conclusões sobre qual é o preço ideal a ser cobrado por unidade de dadinho para obtermos o lucro máximo. Para isso responderam as seguintes perguntas 6

7 (a) (b) Figura 5: (a) Gráfico da função lucro (b) Gráfico das funções lucro e custo Por fim com relação a função lucro e os gráfico que a relacionam os alunos resonderam os seguintes questionamentos: 1-Qual é o valor do lucro máximo? O lucro máximo é o ponto mais alto da parábola e seu valor corresponde ao ponto y v. Assim vamos calculá-lo: y v = 4a = (24, , 09 ( 100)) = 4 ( 0, 09) 612, 96 0, 36 = 1702, 7 Logo o lucro máximo em relação a venda dos dadinhos é de aproximadamente R$17, Qual é a quantidade vendida para obtermos o maior lucro? Temos que a quantidade demandada que nos dá o lucro máximo é o valor de x para o qual L(x) = 17, 03, isto é, a coordenada x do vértice da parábola. Temos X v = b 2a = 24, 02 = 133, 4. 2( 0, 09) Portanto a quantidade que precisamos vender para obter o lucro máximo é de aproximadamente 133 dadinhos. 3-Analisando o gráfico que relaciona a função lucro e a função custo, para qual intervalo de venda obtemos lucro? Podemos dizer que o lucro ocorre na parte do gráfico em que a função lucro é maior que o gráfico da função custo. Assim analisando os pontos que determinam o intervalo em que isso acontece precisamos verificar em quais pontos a função lucro é igual a função custo,ou seja os pontos de intersecção entre as funções. Assim temos: L(x) = C(x) 0, 09x , 02x 100 = 10x = 0, 09x , 02x 200 Logo os pontos de intersecção são as raízes da equação 0, 09x , 02x 200, a qual resolvendo pela fórmula de Bháskara temos: 7

8 = 14, , = = 124, Por fim encontrando as raízes: x = 14, 02 ± 124, ( 0, 09) = 14, 02 ± 11, , 18 Logo as raízes são x = 140 e x = 16. Portanto o intervalo que representa a quantidade de produtos vendidos na qual obtemos lucro é 16 < x < Qual é o melhor preço para vender os dadinhos? Sabendo que o objetivo de um empresário é obter o maior lucro possível, temos que o melhor preço a ser cobrado é aquele que remete a esse lucro máximo, assim, analisando os resultados anteriores temos que o lucro máximo se deu para a venda de aproximadamente 133 dadinhos, assim, vamos utilizar a função preço para essa quantidade afim de encontrar-mos o preço ideal para os dadinhos. Assim, calculando P(133), temos P (133) 22. Portanto o melhor preço a ser cobrado nos dadinhos para obter o lucro máximo é de aproximadamente 22 centavos. 3 Conclusão Com o auxílio da teoria básica de funções e com o conhecimento das funções da economia, os alunos puderam responder a várias perguntas relacionadas as funções em economia e descobriram o preço unitário da venda do produto a fim de obter o lucro máximo. 4 Agradecimentos Agradecemos à CAPES pelo financiamento. Referências [1] Jean E. Weber, Matemática para economia e administração, Harbra, [2] Louis Leithold, Matemática Aplicada à economia e administração, Harbra, [3] Carl P. Simon e Lawrence Blume, Mathematics for economists, W.W Norton & Company Inc, [4] Mike Russer, Basic Mathematics for economists, Routledge,