planilhas-excel, como forma de reduzir o tempo gasto na realização das atividades apresentadas

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1 Apêndice A Instruções para a construção das planilhas Esse documento foi elaborado para ajudar o professor e o aluno na montagem de planilhas-excel, como forma de reduzir o tempo gasto na realização das atividades apresentadas na seção 3. No que segue ilustramos o passo a passo para construção do modelo de planilha para análise dos diferentes tipos de órbitas e os comandos necessários para os cálculos das grandezas. Este material pretende ser suficientemente explicativo para que os alunos possam antecipar-se (por atividades individuais) as atividades de salas computacionais com seus professores. Começaremos montando uma planilha para órbitas circulares (situação de solução analítica que os professores e alunos podem usar como validação dos cálculos numéricos realizados). Com o Excel aberto, usaremos a primeira linha para nomear as colunas com as grandezas físicas pertinentes (usaremos o planeta Terra como exemplo). A figura A1 é um recorte da tela do computador, ilustrando como devemos começar o preenchimento da planilha, com as grandezas fisicas a serem caluladas em cada coluna. Este cálculo será repetido para cada linha da planilha, como veremos mais adiante, sendo cada linha correspondente aos valores das grandezas nos instante de tempo da coluna-n. Figura A1 Recorte da tela de um computador com a planilha aberta, mostrando como inserir os nomes das grandezas fisicas a serem calculadas em cada coluna. O realce em amarelo especifica a coluna da razão entre os valores da energia cinética e gravitacional em cada instante de tempo, importantes para a verificação do teorema virial gravitacional. No caso de órbita esférica este resultado será constante e igual a unidade, servindo apenas para verificação.

2 Na tabela A1, especificamos o significado da nomeclatura e das grandezas que se apresentam na planilha da figura A1. Coluna A posição no eixo cartesiano X em metros Coluna B posição no eixo cartesiano Y em metros Coluna C aceleração sofrida pelo planeta no eixo X Coluna D aceleração sofrida pelo planeta no eixo Y Coluna E velocidade instantânea do planeta no eixo X Coluna F velocidade instantânea do planeta no eixo Y Coluna G velocidade resultante Coluna H valor da energia potencial do planeta Coluna I valor da energia cinética do planeta Coluna J intervalo de tempo entre uma marcação e outra (passo ou salto) Coluna K constante gravitacional Coluna L massa do Sol Coluna M massa da Terra Coluna N Tempo decorrido Coluna O relação virial Coluna P velocidade inicial Tabela A1 Nomenclatura utilizada para especificação das grandezas das colunas na primeira linha da planilha na figura A1. O próximo passo no preenchimento da planilha consiste em indicar os comandos na linha 2 para cada coluna. Esses comandos serão inseridos na barra de fórmulas, localizado acima das células. É importante mencionar a necessidade de selecionar, primeiramente a célula para depois fazer a inserção do comando. Na verdade, o exemplo ilustrado da tabela A2, abaixo, serve para ilustrar a introdução dos valores dos dados iniciais conhecidos das grandezas que estão sendo utilizadas. Estes valores são introduzidos nas células da linha-2 da planilha, que corresponde ao instante de tempo zero da orbita a ser calculada.

3 COLUNAS COMANDOS Coluna A posição inicial no eixo X em metros = Coluna B posição inicial no eixo Y em metros = 0,00 Coluna C aceleração no eixo X em m/s² =((K2*L2*A2)/(((A2*A2)+(B2*B2))^(3/2))) Coluna D aceleração no eixo Y em m/s² =((K2*L2*B2)/(((A2*A2)+(B2*B2))^(3/2))) Coluna E velocidade instantânea no eixo X em m/s = 0,00 Coluna F velocidade instantânea no eixo Y em m/s =P2 Coluna G módulo da velocidade resultante em m/s =RAIZ((E2*E2)+(F2*F2)) Coluna H valor da energia potencial do planeta em Joule =((K2*L2*M2)/(RAIZ((A2*A2)+(B2*B2)))) Coluna I valor da energia cinética do planeta em Joule =(M2*G2*G2)/2 Coluna J intervalo de tempo (passo ou salto temporal) em segundos =3150 Coluna K constante gravitacional em N.m²/kg² =0, Coluna L massa do Sol em Kg =1,98E+30 Coluna M massa da Terra em Kg =5,972E+24 Coluna N tempo inicial em segundos = 0,00 Coluna O relação virial =H2/I2 Coluna P velocidade inicial em m/s =RAIZ(K2*L2/A2) Tabela A2 Especificação das condições iniciais do movimento planetário e cálculo de algumas grandezas do movimento, através do conteúdo de algumas células da segunda linha. Outras células são preenchidas por comandos com operações matemáticas envolvendo o conteúdo de outras células, onde é utilizada a linguagem própria da Planilha- Excel para estas operações. Na terceira linha da planilha devem ser inseridos os comandos que serão repetidos em todas as demais linhas, correspondentes aos novos passos sucessivos de avanço temporal da trajetória. Cada linha corresponde aos valores das grandezas após um pequeníssimo salto de tempo em relação à linha anterior. Podemos pensar em dividir a orbita em algo como passos. A escolha do tamanho do passo é crucial para a validade da aproximação feita. A tomada do MUV do planeta durante este pequeno intervalo de tempo, como discutido na seção 3 do texto. Na tabela A3 (abaixo) estão os comandos codificados correspondentes ao cálculo das grandezas especificadas, utilizando a sintaxe de comandos de operações matemáticas próprias da planilha- Excel. As correspondentes expressões codificadas do MUV estão na tabela A3 do texto.

4 COLUNAS COMANDOS Coluna A posição no eixo X em metros =A2+(E2*J3)+(C2*J3*J3/2) Coluna B posição no eixo Y em metros =B2+(F2*J3)+(D2*J3*J3/2) Coluna C aceleração no eixo X em m/s² =-((K3*L3*A3)/(((A3*A3)+(B3*B3))^(3/2))) Coluna D aceleração no eixo Y em m/s² =-((K3*L3*B3)/(((A3*A3)+(B3*B3))^(3/2))) Coluna E velocidade instantânea no eixo X em m/s =E2+(C3*J3) Coluna F velocidade instantânea no eixo Y em m/s =F2+(D3*J3) Coluna G velocidade resultante em m/s =RAIZ((E3*E3)+(F3*F3)) Coluna H valor da energia potencial do planeta em Joule =-((K3*L3*M3)/(RAIZ((A3*A3)+(B3*B3)))) Coluna I valor da energia cinética do planeta em Joule =(M3*G3*G3)/2 Coluna J intervalo de tempo (passo ou salto), em segundo =3150 Coluna K constante gravitacional em N.m²/kg² =0, Coluna L massa do Sol em Kg =1,98E+30 Coluna M massa da Terra em Kg =5,972E+24 Coluna N tempo decorrido em segundo =N Coluna O relação virial =H3/I3 Tabela A3 Especificação dos comandos em linguagem utilizada pela planilha-excel para as operações matemáticas que estabelecem a evolução no tempo das grandezas explicitadas na planilha. As expressões a aproximação de MUV utilizada para o movimento do planeta dentro do intervalo de tempo considerado. A figura A2 mostra um recorte da planilha, com a terceira linha preenchida. Figura A2 Recorte da planilha com a terceira linha preenchida e pronta para realização automática dos cálculos para as linhas subsequentes. A planilha para analisar a órbita circular do planeta está quase pronta. O leitor deve agora selecionar a linha-3 inteira e arrastar até que se cumpram as linhas seguintes para ter todos os cálculos de todos os passos temporais da orbita circular como mostrado na figura A3 do texto. A confecção dos gráficos será realizada em sala de aula com a ajuda do professor. Em uma órbita elíptica a construção é idêntica, porém, acrescida de mais algumas colunas que auxiliam na verificação numérica do teorema virial. Na figura A3 mostramos um recorte da planilha, agora estendida com mais colunas. Na coluna-r preparamos a realização da média dos valores da energia cinética ao longo de um período do planeta na órbita. Na coluna-s preparamos

5 valores para o cálculo da média da energia potencial gravitacional. Lembramos que diferentemente do caso da órbita circular, as energias cinética e potencial mudam ponto a ponto na orbita elíptica. Veja na figura A3 o recorte da tela do computador com a exibição da planilha com as duas primeiras linhas destas colunas inseridas. Figura A3 Recorte da tela do computador exibindo a planilha com as colunas adicionais: a terceira linha e as células reservadas para o cálculo da média da energia cinética e potencial para verificação do teorema virial. Nas colunas R e S estão os valores de energia multiplicada pelo intervalo de tempo utilizado para o passo ao longo da orbita. A linha 1 continua sendo usada para nomear as grandezas de cada coluna. Na tabela A4 há a especificação as grandezas e na tabela A5 os comandos utilizados para estabelecer o conteúdo das células. Coluna R energia cinética multiplicada pelo intervalo de tempo relacionado Coluna S energia potencial multiplicada pelo intervalo de tempo relacionado Coluna U Somatório das energias cinéticas e potenciais Tabela A4 descrição das grandezas calculadas nas colunas R, S e U com nomes especificados na linha 1. Estas grandezas foram introduzidas para estabelecer o valor médio das energias cinéticas e potencial gravitacional no caso das orbitas elípticas. Na coluna 2 da tabela A5, estão os comandos da barra de fórmulas. Para introduzir estes comandos não se esqueça de selecionar a célula onde ele deve ser inserido o comando: Coluna R Coluna S =I2*J2 =H2*J2 Tabela A5 Os comandos simples que devem ser inseridos nas colunas R e S.

6 Na coluna U estão as células de somatório (veja figuras A3 e A4). A célula da linha-2 representa o somatório dos valores contidos na coluna-r (a partir da linha-2 até o final desta coluna). Na célula da linha-3 da coluna-u está o somatório da coluna-s (a partir da linha-2 até o seu final). Veja os comandos para realização do somatório na tabela A6. Linha 2 Linha 3 =SOMA(R2:R14000) =SOMA(S2:S14000) Tabela A6 Os comandos simples que devem ser inseridos na linha-2/coluna-u e na célula da linha-3/coluna-u. Para calcular a média das energias, vamos inserir mais dois comandos na sequência da coluna U para a média da energia cinética e potencial, que serão usadas para calcular a relação virial. Figura A4 Recorte da tela do computador exibindo a planilha com as colunas adicionais, a terceira linha e as células reservadas para o cálculo da média da energia cinética e potencial para verificação do teorema virial, que está destacado na coluna - O. Na linha-5/coluna-u com a especificação de média, em seguida na linha 6, após selecionar a célula, inserir na barra de fórmula o seguinte comando =U2/N14000 e na linha 7 o comando =U3/N Para finalizar a planilha, podemos selecionar qualquer célula vazia para inserir a relação entre a média temporal das energias com o comando =U7/U6. Precisamos ainda fazer uma alteração na velocidade inicial, coluna P/ linha 2, para que o planeta possa descrever uma órbita elíptica. Devemos tomar um valor por exemplo, de 1,5 vezes

7 maior que o valor da órbita circular anteriormente desenvolvida. Veja a indicação na figura A5, onde devemos aumentar sua velocidade inicial para o caso de uma órbita elíptica. Figura A5 Recorte da tela do computador mostrando na planilha a indicação onde deve ser alterada a velocidade inicial na direção-y para transformar a orbita circular em elíptica. A planilha está pronta para analisar órbitas elípticas. Devemos agora selecionar a linha-3, até a coluna O, e arrastar até a linha que a órbita venha a se fechar pela análise da sua exibição gráfica. Esta etapa, assim como a elaboração dos gráficos, serão tarefas a serem realizadas em sala de aula com a ajuda do professor. Já a planilha para análise de órbitas parabólicas é idêntica à planilha de órbitas elípticas, no que diz respeito a sua construção, com a diferença da velocidade inicial (coluna P). Neste caso pode-se utilizar um valor duas vezes maior que aquele utilizado para o caso de órbitas circulares. Dessa maneira, produzimos uma órbita aberta, onde o teorema virial não é satisfeito. Além desse material, existe um tutorial em vídeo nos links abaixo, onde o leitor pode encontrar explicações adicionais sobre a construção da planilha. (parte 1) (parte 2) (parte 3) (parte 4)