UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA DESENVOLVIDA: RITALINA, USOS E ABUSOS

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1 UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA DESENVOLVIDA: RITALINA, USOS E ABUSOS Kelly Cristina Correia Pfahl UTFPR Câmpus Cornélio Procópio kelly_correia_pfahl@hotmail.com Karina Alessandra Pessôa da Silva UTFPR Câmpus Londrina karinasilva@utfpr.edu.br Sérgio Matsue Filho UTFPR Câmpus Cornélio Procópio serginho_matsue@hotmail.com Leandro Seiji H. Hatta UTFPR Câmpus Cornélio Procópio seij_i@hotmail.com Resumo: Neste trabalho relatamos uma experiência com o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática caracterizada como de 3º momento em que os dados, o modelo matemático e a interpretação foram de responsabilidade dos modeladores orientados pela professora. Tal experiência ocorreu em uma disciplina de Modelagem Matemática no curso de Licenciatura em Matemática ministrada por um dos autores deste texto em uma universidade federal do Paraná. Para o desenvolvimento da atividade a problemática refere-se à análise da concentração e da saturação do medicamento metilfenidato (Ritalina) no organismo do ser humano. Com o desenvolvimento da atividade, entendemos e vivenciamos os procedimentos que se fazem necessários em uma atividade de modelagem matemática. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Ritalina no organismo. Introdução A Matemática é uma das diferentes linguagens da qual o aluno deve utilizar para expressar e comunicar suas ideias. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), o aluno precisa saber servir-se das mais variadas fontes de informação e de recursos tecnológicos para obter e construir conhecimento.

2 O questionamento da realidade, a formulação de problemas e suas possíveis resoluções fazem uso do raciocínio lógico, da criatividade e do pensamento intuitivo. Além disso, desenvolve a capacidade de analisar criticamente uma situação, na ação de selecionar procedimentos e verificar o resultado que melhor se ajuste à solução da situação. Neste sentido, a Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica para que, professores levem o aluno a capacitar-se a fazer modelagem, pois ele mesmo irá relacionar a linguagem matemática com a realidade, como está indicado nos PCN. Considerando a necessidade de relacionar linguagem matemática com situações baseadas na realidade é que desenvolvemos em uma disciplina de um curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade federal do Paraná uma atividade de modelagem que relatamos neste trabalho. Tal atividade tem como tema Ritalina, usos e abusos. Este relato de experiência está dividido em três seções, além desta introdução. Na primeira apresentamos nosso entendimento sobre modelagem na perspectiva da Educação Matemática. Em seguida, relatamos a atividade desenvolvida e, por fim, apresentamos as considerações finais. Modelagem Matemática: nossa perspectiva de encaminhamento Ubiratan D Ambrósio em prefácio no livro Ensino-aprendizagem com modelagem matemática (BASSANEZI,, p. 11), afirma que a modelagem matemática é a matemática por excelência. Modelagem Matemática é uma arte peculiar. Envolvendose com ela, o aluno passa da condição de expectador passivo para artesão ativo enquanto aprende fazer modelagem. Para Bassanezi (), a Modelagem Matemática se fundamenta na arte de transformar problemas reais em problemas matemáticos, em que a resolução e a interpretação de suas possíveis soluções devem se dar por meio da linguagem habitual. Levando em consideração as caracterizações anteriormente mencionadas, nos apoiamos no fato de que a modelagem matemática consiste em uma alternativa pedagógica na qual a partir de uma situação inicial (problemática) são utilizados procedimentos que definem estratégias de ação do sujeito envolvido com a atividade em relação à situação problemática, obtendo uma situação final (solução para a situação

3 inicial). Almeida, Silva e Vertuan (1) identificam elementos que, de modo geral, se fazem presentes em atividades de modelagem [...] o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 1, p. 17). Para tanto, o desenvolvimento de uma atividade de modelagem, comumente é realizada segundo sequência de fases, conforme caracterizado por Almeida, Silva e Vertuan (1): inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e validação. A inteiração corresponde ao primeiro contato com a situação-problema que se pretende estudar. É a busca por informações que possibilitarão vislumbrar o problema a ser estudado bem como as metas que orientam a sua resolução. Com a situaçãoproblema identificada e estruturada, busca-se a elaboração de uma representação matemática, ocorrendo uma transição de linguagens; daí que a segunda fase da Modelagem Matemática é caracterizada por matematização. A resolução compreende a construção de um modelo matemático que consiste em um "conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto matemático" (BASSANEZI,, p. ). Tal modelo matemático tem a finalidade de descrever a situação, permitir a análise dos aspectos relevantes desta situação, responder às perguntas formuladas sobre o problema a ser investigado na situação e, mesmo, em alguns casos, viabilizar a realização de previsões para o problema em estudo. A interpretação dos resultados indicados pelo modelo implica na análise de uma resposta para o problema. A análise da resposta constitui um processo avaliativo realizado pelos envolvidos na atividade e implica em uma validação da representação matemática associada ao problema. As fases da Modelagem Matemática caracterizadas por Almeida, Silva e Vertuan (1) constituem procedimentos necessários para a realização de uma atividade de modelagem. Elas podem não ocorrer de forma linear, pois a dinamicidade deste tipo de atividade possibilita movimentos de ida e volta. A participação do aluno em relação ao desenvolvimento das diferentes fases da atividade de modelagem matemática intensifica-se e solidifica-se com a familiaridade

4 com atividades desta natureza. A familiarização do aluno com atividades de modelagem deve ocorrer de forma gradativa, conforme apontam pesquisadores como Almeida e Dias (4), Almeida e Vertuan (11) e Silva, Almeida e Gerôlomo (11). Tais autores caracterizam três momentos de familiarização. O 1º momento é o primeiro contato do aluno com a modelagem, no qual recebe todas as informações das quais precisa para desenvolver uma atividade. O professor é bem mais ativo que o aluno. No º momento o aluno tem uma participação maior do que no primeiro. Nesse momento, o professor apresenta um fato, sugere uma situação-problema aos alunos que começam a desenvolver a atividade e tentam solucionar o problema com mais independência. Porém, a intervenção do professor ainda é muito relevante. No 3º momento o aluno é o artesão. Com autonomia realiza a escolha do tema, a identificação da situação-problema, a coleta e a análise dos dados obtidos. Nesse ponto se dá a tradução da linguagem e a identificação de objetos matemáticos que serão usados para obter e validar o modelo. Isso pronto, a obra de arte, ou seja, o modelo matemático encontrado é usado para responder a situação inicial do problema. Essa é a hora de comunicar e compartilhar os resultados. É no 3º momento que está situada a atividade de modelagem relatada neste trabalho. Na próxima seção, descrevemos a experiência realizada, bem como situamos nossas ações segundo as fases da modelagem matemática apresentada. A atividade desenvolvida: uma experiência no 3º momento segundo as fases da modelagem matemática O trabalho com as atividades de modelagem no decorrer da disciplina ocorreu de maneira como caracterizado nos momentos de familiarização. Durante esses momentos, abordamos atividades com os seguintes temas: cerca elétrica; césio-137; pipoca de microondas (1º momento); motorização do Paraná; desvalorização de um carro; taxa de fecundidade (º momento). O 3º momento foi destinado a nossa vez, a vez do aluno como proposto por Silva, Almeida e Gerôlomo (11). Em grupo, composto por três membros, vários temas foram elucidados para poderem ser abordados. No entanto, como um dos integrantes apresentava mais

5 informações sobre o tema referente ao medicamento Ritalina, nos debruçamos para o estudo e o desenvolvimento de uma atividade focada nesse tema. Ao definirmos o tema, precisamos buscar informações específicas, ou seja, nos inteirar da situação para desenvolvermos a atividade de modelagem. Para tanto, buscamos informações em fontes variadas: bula do medicamento, entrevista com profissional da área (médico neurologista) e pesquisas bibliográficas. A inteiração nos possibilitou identificar algumas caracterizações para a ingestão do medicamento: cada dosagem é de um comprimido de 1mg; ingere-se um comprimido a cada doze horas, ou seja, duas vezes ao dia; a meia-vida do medicamento é de duas horas, ou seja, a cada duas horas o efeito químico do medicamento reduz-se pela metade. Essas informações nos auxiliaram na definição de três problemas a ser investigados, que caracterizamos como Problema 1, Problema e Problema 3, conforme consta no Quadro 1. Quadro 1 Problemas a serem investigados sob o tema Ritalina Problema 1: Qual a concentração do medicamento tomando 1 comprimido de 1mg? Quando ele praticamente vai sumir do organismo? Problema : Qual a concentração do medicamento no organismo em determinado tempo, tomando 1 comprimido de 1mg a cada 1 horas? Problema 3: Qual a concentração do medicamento no organismo com a saturação? Fonte: construído pelos autores. Levando em consideração as informações que nos serviram de hipóteses, passamos para as fases de matematização e resolução. Nas quais modelos matemáticos foram deduzidos para resolver cada um dos problemas que propomos. Para tanto, utilizamos como variável independente o tempo (, em horas, como variável dependente a concentração, em miligramas, do medicamento no organismo no decorrer do tempo (C() e uma variável discreta n (n= t / ) que consistiu em uma variável auxiliar. Problema 1 Para a dedução do modelo matemático que nos possibilitou dar uma resposta ao problema 1 no qual investigamos quando a dosagem de um comprimido vai praticamente sumir do organismo, consideramos que o paciente iria ingerir apenas um comprimido de 1mg de metilfenidato (Ritalina) e que a meia-vida é de duas horas. Inicialmente construímos uma tabela (Tabela 1) que representa a concentração do medicamento de duas em duas horas.

6 t (tempo) Tabela 1 - Concentração do medicamento no organismo no Problema 1 Dose - 1 comprimido de 1 mg. de metilfenidato (Ritalina ) n (variável t C( auxiliar) (tempo) C( n (variável auxiliar) 1, 34, , 1 3, ,5 38, ,5 3 4,953 8,5 4 4, , ,384 1,155 4, , ,59 4 1, , , ,149, ,74 7, ,37 8 4, ,18 9,173 13,9 3 8, ,4 31 3, , 3 3, ,1 33 Fonte: construída pelos autores. Observando o comportamento dos dados, por recorrência e utilizando o Princípio da Indução Finita, obtivemos o modelo matemático C( 1. t. Realizando mudança de base na função do tipo exponencial, ficamos com C(, t. 1. e Para uma visualização do comportamento do modelo matemático que obtivemos para o problema 1, construímos com o auxílio de um programa computacional uma representação gráfica, conforme Figura 1. Figura 1 Representação gráfica do modelo matemático do Problema 1 Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.

7 Uma análise da imagem nos possibilitou inferir que o medicamento praticamente some do organismo, mas não totalmente. Nesse sentido, uma abordagem de limite de uma função quando o tempo tende ao infinito se fez presente lim C ( lim1. e t t, t. Uma interpretação dos resultados nos possibilitou inferir que embora o medicamento tenha um decaimento, dependendo do comportamento esse não chega a ser nulo. Sabemos que no ambiente um elemento não se perde e sim se transforma em outro elemento com outras propriedades. Esse fato também foi considerado na interpretação da nossa situação. No entanto, ao fazer uma nova inteiração, não encontramos informações referentes ao elemento no qual se transforma, com o tempo, o metilfenidato. Problema Quanto ao problema, no qual nos propusemos a investigar a concentração de metilfenidato (Ritalina) no organismo em certo tempo quando o paciente ingere um comprimido de 1mg a cada 1 horas, ou seja, quando ingere o medicamento duas vezes ao dia, uma representação gráfica (Figura ) se fez necessária. Essa representação gráfica nos auxiliou a compreender o comportamento da situação. Figura Representação gráfica para a situação do Problema Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional. Ao analisarmos a representação gráfica (Figura ), percebemos que o medicamento apresentava certa concentração no organismo quando um novo era ingerido. Desta forma, considerando o decaimento do medicamento nos intervalos e a concentração no momento em que é ingerido um novo medicamento, construímos a Tabela.

8 Tabela - Concentração do medicamento no organismo no Problema Dose - 1 comprimido de 1 mg. de metilfenidato (Ritalina ) de 1/1h n t de 1 e 1 horas C 1, 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Fonte: construída pelos autores. cálculos: Para a dedução do modelo matemático para essa situação, realizamos os seguintes C 1 ; 1 C ; C C logo para um n qualquer: ,

9 n ( n 1) ( n ).1. 1 C n...., ou seja, C n. Sn em que S n corresponde à soma finita de uma progressão geométrica. Portanto, para a situação do Problema, o modelo matemático na escrita algébrica é representado por t 1 1 C ( , realizando mudança de base, ficamos com 1, t, t C(. e 1 ( 1, e. 1 1 A representação gráfica nos possibilitou visualizar o comportamento do modelo matemático (Figura 3). Figura 3 Representação gráfica do modelo matemático do Problema Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional. Com a representação gráfica (Figura 3) e os dados da Tabela inferimos que a concentração de medicamento permanece praticamente constante no organismo. Neste caso propomos o problema 3. Problema 3 Utilizamos os resultados obtidos no Problema para estudarmos a concentração do medicamento no organismo com a saturação. Para tanto, fizemos uma abordagem do, limite da função C( 1, e t, t ou seja, lim C( 1, e t, quando o tempo tende ao infinito,. Com essa abordagem, consideramos que tomando regularmente o medicamento duas vezes ao dia (de doze em doze horas) a

10 concentração se mantém em 1, gramas e que essa concentração será atingida após a ingestão do quinto comprimido, como dados presentes na Tabela 3. Tabela 3- Concentração do medicamento no organismo no Problema 3 Saturação do medicamento no organismo ocorre após a ingestão do 5º comprimido n t C 1, 1 1 1, , , , , , , , , , Fonte: construída pelos autores. Supondo que haja uma interrupção no tratamento, ocorre novamente o decaimento do medicamento no organismo considerando sua meia-vida que é de duas horas. O modelo matemático que descreve essa situação é C(, t 1, e. Porém, certificamo-nos de que, mesmo em quantidade mínima, tão mínima quanto pareça, o medicamento vai permanecer no organismo (Figura 4). Figura 3 Representação gráfica do modelo matemático do decaimento da saturação Fonte: construída pelos autores com auxílio de programa computacional.

11 De posse do desenvolvimento dos modelos matemáticos para os problemas que nos propusemos a estudar, finalizamos com a comunicação dos resultados para os colegas de sala de aula. Além disso, conhecemos os trabalhos desenvolvidos por outros grupos. Considerações finais O objetivo deste artigo foi o de relatar uma experiência com o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática, caracterizada no 3º momento de familiarização. Nesta atividade, trabalhamos em grupo e compartilhamos diferentes processos, como troca de ideias, busca de informação em várias fontes, uso de tecnologias, como softwares e calculadora científica, questionamento da realidade. Com isso, problemas foram formulados e analisados criticamente, ocorrendo uma seleção de procedimentos e verificação de resultados. Tais habilidades estão em comum acordo, tanto com as fases do desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, quanto com os objetivos propostos pelos PCN para serem desenvolvidos no aluno. Dessa forma, visto que é possível o aluno desempenhar o papel ativo de artesão ao experimentar desenvolver uma atividade de modelagem matemática e obter um modelo que represente a situação inicial a ser estudada, propõe-se a aplicação da atividade relatada neste artigo ao trabalhar com função exponencial no 1º ano do Ensino Médio, realizando as adequações que se fizerem necessárias. Referências ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n., p , 4. ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 1. ALMEIDA, L. M. W.; VERTUAN, R. E. Discussões sobre como fazer Modelagem Matemática na sala de aula. In: ALMEIDA, L. M. W.; ARAÚJO, J. L; BISOGNIN, E. Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática: relatos de experiências e propostas pedagógicas. Londrina, PR: Eduel, p , 11. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto,.

12 BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, SILVA, K. A. P.; ALMEIDA, L. M. W.; GERÔLOMO, A. M. L. Aprendendo a fazer modelagem matemática: a vez do aluno. Educação Matemática em Revista. São Paulo, v. 1, p. 8-3, 11.