MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA ABORDAGEM POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA ABORDAGEM POR Resumo: MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA Thiago Fernando Mendes Universidade Estadual do Norte do Paraná Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Universidade Estadual do Norte do Paraná Esse artigo descreve uma pesquisa que buscou apontar a contribuição da modelagem matemática no processo de aprendizagem do conteúdo de funções e geometria analítica, no âmbito do Ensino Médio, mais especificamente, do 3 ano deste ciclo; para isso foram delineados os objetivos específicos: desenvolver uma atividade para o ensino de matemática no Ensino Médio; fazer a aplicação da mesma em sala de aula; e analisar como a atividade de modelagem matemática é desenvolvida pelos alunos, bem como as relações estabelecidas por eles no desenvolvimento da mesma. O estudo está fundamentado na modelagem matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino de matemática, bem como nas etapas propostas por Almeida, Silva e Vertuan (2012): inteiração, matematização, resolução, interpretação e validação. O estudo usa uma abordagem qualitativa e uma análise interpretativa à luz da análise de conteúdo. Os dados utilizados na análise foram coletados com estudantes por meio de anotações em diário de campo, registros escritos e registros de áudio. A análise possibilitou concluir que a atividade de modelagem matemática contribuiu para que os alunos fizessem relações entre os conceitos matemáticos vistos durante o Ensino Médio, bem como relacionassem os conceitos matemáticos com situações-problemas do cotidiano. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Ensino Médio. Introdução Ensinar matemática de forma que os alunos consigam aprender, construir conhecimentos e atribuir significados aos conteúdos é, atualmente, foco de pesquisas no âmbito da Educação Matemática e um assunto abordado em conferências, congressos e artigos científicos (D AMBRÓSIO, 1996; PONTE, 2003; BURAK, 2004; LINS, 2004; SKOVSMOSE, 2008, BORSSOI E ALMEIDA, 2011). De acordo com as Diretrizes Curriculares orientadoras da Educação Básica (DCE), para que ocorra a aprendizagem da matemática, por parte dos alunos, é preciso

2 que professores criem estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e construir significados, no que tange às ideias matemáticas, tornando-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar (PARANÁ, 2008). Além disso, a capacidade de aplicar propriedades matemáticas para solucionar problemas cotidianos é algo que, como evidencia Brasil (2003, p. 29), potencializa a aprendizagem da matemática: As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado. Nesse contexto, abordagens de ensino que contextualizam os assuntos abordados em sala de aula e/ou permitam processos interdisciplinares dos mesmos são alternativas para desenvolver uma aula que remeta a uma aprendizagem como a proposta pelas DCE. Dentre tais abordagens se destaca a modelagem matemática que se apresenta como uma alternativa para o ensino e a aprendizagem da matemática. Desse modo, buscar-se-á, neste artigo, analisar se a modelagem matemática pode contribuir com o processo de aprendizagem do conteúdo de funções e geometria analítica, no âmbito do Ensino Médio, mais especificamente, do 3 ano deste ciclo. Portanto, a questão que move essa investigação é: Quais as contribuições da modelagem matemática para alunos do Ensino Médio? Com base nesse questionamento, os objetivos da pesquisa são: desenvolver uma atividade para o ensino de matemática no Ensino Médio; fazer a aplicação da mesma em sala de aula; e analisar como a atividade de modelagem matemática é desenvolvida pelos alunos, bem como as relações estabelecidas por eles no desenvolvimento da atividade. Assim, inicialmente, tratamos da modelagem matemática na Educação Matemática; a seguir apresentamos os aspectos metodológicos que guiam a coleta de dados e, por fim, fazemos uma análise do conteúdo dos dados coletados com vistas ao desenvolvimento da atividade de modelagem pelos alunos. A análise contempla reflexões dos pesquisadores, com base no conteúdo dos dados, de acordo com os objetivos da pesquisa.

3 Modelagem Matemática A modelagem matemática é uma das tendências metodológicas propostas pelas Diretrizes Curriculares orientadoras da Educação Básica do Paraná que visa auxiliar o processo de ensino e de aprendizagem da matemática (PARANÁ, 2008). São inúmeros os estudiosos que trabalham em torno da modelagem matemática e, por isso, na literatura brasileira, são encontradas diversas definições e perspectivas para a modelagem, por exemplo, como: metodologia (BURAK, 2004); alternativa pedagógica (ALMEIDA E BRITO, 2005); concepção de educação matemática (CALDEIRA, 2009); ambiente de ensino e de aprendizagem (BARBOSA, 2001), dentre outras. Nessa pesquisa, assumiremos a concepção proposta por Almeida e Brito (2005) entendendo-a como uma alternativa pedagógica em que fazemos uma abordagem, por meio da matemática, de um problema não essencialmente matemático. Uma atividade de modelagem matemática envolve fases relacionadas ao conjunto de procedimentos necessários para analisar, estruturar e solucionar uma situação-problema, as quais Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 15), caracterizam como: inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e validação. Para os autores, a inteiração consiste, como o próprio nome diz, em inteirar-se a respeito do que está sendo desenvolvido, ou seja, é o primeiro contato com a situaçãoproblema a fim de conhecer as características e especificidades da mesma. Por sua vez, a matematização está associada ao ato de escrever a situação-problema que, inicialmente se encontra em uma linguagem natural, em uma linguagem matemática, o que se faz por meio de formulação de hipóteses, seleção de variáveis dependentes e independentes e simplificações. Ainda para Almeida, Silva e Vertuan (2012), no processo de modelagem, faz-se necessário construir um modelo matemático que, por si mesmo, descreva a situaçãoproblema, solucionando os questionamentos inicialmente formulados e permitindo inferências e conclusões a respeito de uma situação inicial, a este processo dá-se o nome de resolução. Modelo será assumido aqui como algo capaz de representar um fenômeno estudado. Neste sentido, modelo matemático pode ser definido como um conjunto de

4 símbolos e relações matemáticas que representam situações, fenômenos ou objetos reais a serem estudados (FERRUZZI et al., 2004). A interpretação dos resultados e a validação dos mesmos é outra etapa colocada por Almeida, Silva e Vertuan (2012) no que diz respeito a atividades com modelagem matemática. Essa etapa permite que os alunos apliquem os modelos encontrados, avaliem todo seu processo de construção e tenham ciência das diversas aplicações de tais modelos, com vistas à situação-problema inicial. Vale destacar que essas etapas podem não acontecer de forma linear e os movimentos de ida e vinda entre essas fases caracterizam a dinamicidade da atividade (ALMEIDA; SILVA E VERTUAN, 2012 p. 17). A partir das orientações sobre modelagem matemática obtidas na literatura uma atividade de modelagem matemática foi desenvolvida e aplicada com alunos do Ensino Médio, no âmbito da aula de Matemática. Aspectos Metodológicos Essa pesquisa consistiu, inicialmente, de uma pesquisa bibliográfica, sendo que, a elaboração do material empírico foi feita por meio da aplicação de uma atividade de modelagem matemática em uma turma do terceiro ano do ensino médio, no âmbito da disciplina de matemática. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo, uma vez que, como coloca Godoy (1995), na pesquisa qualitativa o pesquisador vai a campo buscando captar o fenômeno estudado a partir da perspectiva das pessoas nele envolvidas, considerando todos os pontos de vistas relevantes. A pesquisa qualitativa considera, ainda, o ambiente como principal fonte de dados, tem caráter descritivo, e o foco principal não são os resultados nem o produto, mas sim a análise dos dados (GODOY, 1995). Para análise dos resultados, optou-se utilizar a análise de conteúdo que, segundo Bardin (1977), é mais que uma simples técnica de análise de dados, representando uma abordagem metodológica com características e possibilidades próprias. Além disso, é um conjunto de técnicas de análise das comunicações que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição dos conteúdos das mensagens.

5 Ainda para a autora supracitada, as fases da análise de conteúdo organizam-se em torno de três polos cronológicos: o primeiro é definido como pré-análise, em que é feita toda a organização do material e tem por objetivo tornar operacional e sistematizar as ideias iniciais; o segundo chamado de exploração do material que consiste essencialmente em operações de codificação ou enumeração em função de regras formuladas previamente e o terceiro polo inclui o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação, fazendo com que os resultados se tornem significativos e válidos. Assim, o desenvolvimento dessa pesquisa seguiu as seguintes etapas: Levantamento bibliográfico referente à modelagem matemática na educação matemática; Desenvolvimento e aplicação de uma atividade de modelagem matemática em uma turma da terceira série do Ensino Médio para coleta de dados; Análise dos resultados, por meio da Análise de Conteúdo. Com esse caminhar metodológico buscou-se analisar quais as contribuições da modelagem matemática para alunos do Ensino Médio desenvolvendo e aplicando em sala de aula uma atividade para o ensino de matemática e analisando como a atividade de modelagem matemática é desenvolvida pelos alunos, bem como as relações estabelecidas por eles no desenvolvimento da mesma. Aplicação da Atividade Inicialmente, foi apresentada aos alunos uma situação-problema envolvendo o plantio de árvores para compensar a quantidade de CO 2 emitida no meio-ambiente diariamente. Basicamente, esta situação aborda assuntos relacionados à química e à biologia e, nesse sentido, podemos observar o que afirma Barbosa (2003, p. 65) que a Modelagem é entendida [...] como a aplicação de matemática em outras áreas do conhecimento. Antes de ser aplicada aos alunos, esta atividade foi submetida a uma análise intersubjetiva feita por três profissionais voluntários que trabalham no nível superior de ensino. Com relação à formação acadêmica dos voluntários, um deles possui doutorado em ensino de ciências e educação matemática, outro possui mestrado em ensino de ciências e tecnologia, cuja dissertação teve ênfase em modelagem matemática, e o

6 terceiro possui especialização em Educação Matemática e, atualmente, cursa mestrado na mesma área. A análise intersubjetiva objetivou investigar se a definição do problema que seria aplicado aos alunos havia sido elaborada de forma clara ou não, se a linguagem empregada estava adequada para uma turma do Ensino Médio e se o tempo estimado para a aplicação da mesma estava adequado. Após a análise feita pelos professores voluntários e as alterações propostas pelos mesmos, conclui-se que a atividade estava adequada para ser aplicada conforme planejado e proceder com a análise. Análise dos resultados A atividade foi aplicada com 7 alunos do Ensino Médio que cursam a disciplina de Matemática 3. Assim, o corpus empírico da análise é composto por 7 resoluções. Durante o desenvolvimento da atividade, objetivando estimular e explorar a interatividade entre alunos, os mesmos foram divididos em três grupos para desenvolver a atividade. É importante destacar que, enquanto os alunos resolviam as atividades, aparelhos de áudio-gravação foram deixados na mesa de cada grupo com o intuito de registrar a conversa entre eles uma vez que, as diferentes etapas da modelagem, por exemplo, a inteiração, podem ser captadas por meio das falas de quem está fazendo modelagem. Inicialmente, foi feita a organização, operacionalização e sistematização das ideias, como definido por Bardin (1977). Com o intuito de agilizar o processo de análise foram adotados os seguintes códigos: G1, G2 e G3 para identificar os grupos que participaram da pesquisa. Para distinguir os alunos participantes da pesquisa os códigos adotados foram: A1, A2, A3, A4, A5, A6 e A7. Além de tornar a análise mais prática, o uso de códigos mantém as identidades dos alunos preservadas. A estrutura da análise de conteúdo, realizada na produção escrita e áudiogravada dos alunos, é composta pela categoria aspectos da modelagem matemática na resolução e a mesma foi subdividida em 5 unidades de registro. Tais unidades de registro foram definidas baseando-se no quadro teórico da modelagem como

7 apresentado na fundamentação teórica desta pesquisa. Assim, as unidades de registro foram inteiração, matematização, resolução, interpretação dos resultados e validação dos resultados, de acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2012). Buscando analisar a presença da modelagem matemática na resolução dos alunos, foi pré-estabelecida, no início da análise, uma categoria prévia que nos permitiu, por meio da análise de conteúdo, analisar o que a pesquisa propunha. Para isso, a análise concentrou-se em aspectos da modelagem matemática contemplados nas resoluções. No quadro 1 apresentamos de forma sintética a estrutura da análise realizada. Categoria Aspectos da Modelagem Matemática na Resolução Unidade de Registro Inteiração Matematização Resolução Interpretação dos Resultados Validação dos Resultados Síntese Alunos procuraram se informar em relação às características e especificidades da situação apresentada. Alunos buscaram representar a situação-problema, inicialmente apresentada em linguagem natural, por meio de uma linguagem matemática. Alunos apresentaram um modelo matemático que representasse a situação-problema proposta. Alunos avaliam se o resultado encontrado relaciona-se corretamente com a situação inicialmente proposta. Alunos fazem a validação do resultado encontrado de forma a averiguar se o mesmo faz sentido e responde a situação-problema. Código G1, G2, G3 A4, A5, A6 A1, A4, A5, A6 G1, G2, G3 A6 Quadro 1: Análise dos dados Fonte: Os Autores (2013) No quadro 2 apresentamos, ainda de forma sintética, alguns registros dos alunos que nos evidenciam a efetivação das unidades de registros da análise. Unidade de Registro Inteiração Registro do Aluno [...] Vamos ler... Transformar emissões de gás carbônico [...] [...] Tem uma tabela... podemos fazer um gráfico [...] [...]Hum... deu uma reta...quase...vamos encontrar a Código G1

8 função [...] Matematização A4 Resolução Interpretação dos Resultados [...] Mas assim fica negativo, não pode[...] [...] A quantidade de carbono negativa não faz sentido [...] A1 G1 Validação dos Resultados A6 Quadro 2: Registros dos Alunos Aspectos da Modelagem Matemática na Resolução Fonte: Os Autores (2013) Com a categoria de análise definida, foi possível observar que todas as etapas da modelagem matemática foram contempladas na resolução da atividade, mesmo que em momentos e em grupos diferentes. Vale destacar, ainda, que se trata de uma turma do ensino médio e que os alunos não possuem contato constante com a modelagem matemática. Desse modo, em nenhum momento, foi exigido que os alunos apresentassem explicitamente o registro do modelo obtido, a validação e aplicação dos resultados. Mesmo assim, devido à estrutura da atividade de modelagem, todas as unidades de registros definidas se efetivaram. Além disso, observa-se, com os registros do aluno A1, por exemplo, que tais etapas não ocorreram, especificamente, de maneira linear. Com o quadro de análise é possível concluir que este aluno não passou, necessariamente, por todas as etapas da modelagem, e mesmo assim, não deixou de fazê-la, contemplando a dinamicidade da

9 atividade de modelagem matemática como proposto por Almeida; Silva e Vertuan (2012). Em relação aos procedimentos matemáticos algébricos adotados pelos alunos para a resolução das atividades, três procedimentos se destacaram: resolução de sistemas lineares, razão e proporção e definição da equação da reta. Tais procedimentos foram adotados, possivelmente, por serem estes familiares a alunos do Ensino Médio, uma vez que já foram estudados conforme determinação das Diretrizes Curriculares orientadoras da Educação Básica (PARANÁ, 2008). O quadro 3 mostra os registros de alguns alunos em relação aos procedimentos matemáticos adotados para a resolução da atividade: Procedimento Matemático Registro do Aluno Código Resolução de Sistemas Lineares A2 Razão e Proporção A7 Definição da Equação da Reta A1 Quadro 3: Registros dos Alunos Procedimentos matemáticos adotados Fonte: Os Autores (2013) Além disso, a utilização de representação gráfica da situação, de forma adequada ou não, foi muito evidente nas resoluções, podendo esta ser considerada como uma representação complementar à algébrica (LUCCAS, 2011), conforme mostra o quadro 4.

10 Neste caso, serão consideradas adequadas aquelas representações que fizerem uso correto dos eixos (abscissa e ordenada) com relação às variáveis dependentes e independentes, o uso correto das escalas em cada eixo e a construção correta do gráfico. Utilização da Representação Gráfica Registro do Aluno Código Utilização adequada da representação gráfica A1 Utilização inadequada da representação gráfica A3 Quadro 4: Registros dos Alunos Utilização da representação gráfica na resolução da atividade Fonte: Os Autores (2013) Considerações Finais Esse artigo nasceu do interesse em investigar a aplicação da modelagem no âmbito do Ensino Médio. Para isso, buscou-se desenvolver uma atividade matemática para o Ensino Médio, aplicá-la em sala de aula e, por meio da análise dos dados coletados, investigar se a modelagem matemática pode contribuir com o processo de aprendizagem do conteúdo de funções e geometria analítica, no âmbito do Ensino

11 Médio bem como as relações estabelecidas por eles no desenvolvimento da atividade de modelagem. Tal análise nos permitiu perceber que, de fato, a modelagem matemática, de alguma forma, auxilia os alunos do Ensino Médio, uma vez que na resolução da atividade, mesmo inconscientemente, todas as etapas inteiração, matematização, resolução, interpretação e validação defendidas por Almeida, Silva e Vertuan (2012), estiveram presentes, mesmo que em momentos distintos e de maneiras diferentes para cada aluno. É importante ressaltar que este artigo é parte de uma pesquisa maior que visa investigar as contribuições da modelagem matemática no desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos do Ensino Médio. Na continuação desta pesquisa buscamos abordar a modelagem matemática de um ponto de vista cognitivo, analisando a maneira como os alunos desenvolvem seu pensamento durante a modelagem, como já feito por autores nacionais e internacionais (BEAN, 2003; BORROMEO FERRI, 2006, 2007; KAISER E SRIRAMAN, 2006; PALHARINI, 2010, VERTUAN, 2007, entre outros). Referências ALMEIDA, L. M. W. ; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação (UNESP), v. 11, p. 1-16, ; SILVA, K. P. ; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: 24ª RA da ANPED, Anais. Caxambu, Modelagem Matemática na sala de aula. Revista Perspectiva, p , BARDIN, L. Análise de Conteúdo. Tradução Luis Antero Reto e Augusto Pinheiro. Lisboa - Edições 70, BEAN, D. Modelagem na perspectiva do pensamento. In: III Conferência Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática, 2003, Piracicaba SP. Anais da III Conferência Nacional sobre Modelagem e Educação Matemática, 2003.

12 BORSSOI, A. H.; ALMEIDA, L. M. W. Modelagem matemática e aprendizagem significativa: uma proposta para o estudo de equações diferencias ordinárias. Educação Matemática Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. ISSN , v. 6, n. 2, BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais, Secretaria de Educação Básica, Brasília, BURAK, D. Modelagem Matemática ea sala de aula. Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, v. 1, p. 1-10, CALDEIRA, A. D. Modelagem Matemática: um outro olhar. Alexandria Revista de Educação em Ciências e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p , D'AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Papirus Editora, FERRI, R. B. Theoretical and empirical differentiations of phases in the modeling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik ZDM The International Journal on Mathematics Education, v. 38, n. 2, p , Cognitive Modelling: Individual modelling routes of pupils. In Haines et al. (Eds) Mathematical Modelling (ICTMA 12): Education, Engineering and Economics Chichester: Horwood Publishing. (pp ), FERRUZZI, E. C. et al. Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem nos cursos superiores de tecnologia. In: World Congress on Engineering and Technology Education, São Paulo GODOY, Arilda S. Pesquisa Qualitativa: tipos fundamentais. In: Revista e Administração e Empresas. São Paulo, v. 35, n. 3, p , KAISER, Gabriele; SRIRAMAN, Bharath. A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. ZDM, v. 38, n. 3, p , LINS, R. C. Matemática, monstros, significados e educação matemática. Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, p , LUCCAS, S. O ensino introdutório de matemática em cursos de administração: construção de uma proposta pedagógica. 2011, 366 fls. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina; Londrina, PALHARINI, B. N. Modelagem Matemática e Pensamento Matemático: um estudo à luz dos Três Mundos da matemática. Londrina, p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2010.

13 PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná. Secretaria de Estado da Educação, Paraná, PONTE, J. P. O ensino da matemática em Portugal: Uma prioridade educativa?, SKOVSMOSE, O. Desafios da reflexão em educação matemática crítica. Papirus Editora, VERTUAN, R. E. Um olhar sobre a Modelagem Matemática à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica Tese de Doutorado. Dissertação Programa Ensino de Ciências e Educação Matemática. Universidade Estadual de Londrina, Londrina.