O FENÔMENO DE CONGRUÊNCIA EM REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 na O FENÔMENO DE CONGRUÊNCIA EM REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: ANÁLISE DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA Claudia Carreira da Rosa Universidade Estadual de Londrina claudiacarreiradarosa@gmail.com Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina lourdes@uel.br Resumo Este texto descreve uma investigação que articula a Teoria dos Registros de Representação Semiótica e Modelagem Matemática. Nosso objetivo é investigar os Registros de Representação Semiótica, em particular, o fenômeno de congruência em conversões entre registros associados aos objetos matemáticos que emergem em atividades de Modelagem Matemática no Ensino Médio. Para tanto desenvolvemos uma proposta de ensino em duas fases. A primeira foi desenvolvida com uma turma de estudantes do primeiro ano do Ensino Médio durante as aulas de Matemática no segundo e terceiro bimestres letivos do ano de 2008, enquanto a segunda foi desenvolvida com o mesmo grupo de estudantes, cursando o segundo ano do Ensino Médio durante quatro horas consecutivas em maio de A análise revela em que medida as dificuldades para realização das conversões são decorrentes da congruência ou da nãocongruência das mesmas Palavras-chave: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Registros de Representação Semiótica. 1. Introdução Um aspecto importante para compreensão em Matemática é que para um estudante reconhecer um objeto matemático 1 ele precisa recorrer a uma representação desse objeto, uma vez que em Matemática, toda comunicação se estabelece com base em representações (DAMM, 1999, p.135). Além disso, é preciso também levar em conta as diferentes representações associadas ao mesmo objeto. 1 Objeto Matemático é qualquer entidade, real ou imaginária, a qual nos referimos ou da qual falamos, na atividade matemática.

2 2 Neste contexto, Lins (2004), coloca que a Matemática possui natureza simbólica, ou seja, os objetos matemáticos são conhecidos, não no que eles são, mas apenas em suas propriedades, no que deles se pode dizer (p. 96). Levando em consideração esses fatos, investigamos os Registros de Representação Semiótica, em particular, o fenômeno de congruência em conversões realizadas entre registros associados aos objetos matemáticos que emergem em atividades de Modelagem Matemática no Ensino Médio. Envolvemos os estudantes em situações ricas em registros, de forma a propiciar a eles possibilidades de realização de conversões. É com essa perspectiva que usamos a Modelagem Matemática nesta pesquisa. Usamos o entendimento de Modelagem Matemática já apresentado em Almeida e Brito (2005 a, p.487), como sendo uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático. Abordamos inicialmente a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval e a seguir tratamos da Modelagem Matemática. Descrevemos então, as fases de uma das atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas por estudantes do Ensino Médio, evidenciando as conversões realizadas por eles e analisando as mesmas em relação ao fenômeno de congruência. 2. Registros de Representação Semiótica As representações são essenciais para o estudo dos fenômenos relacionados ao conhecimento. Podemos dizer que representar é uma forma de codificar a informação. A representação exprime idéias, de modo que podemos dizer que representa-se para tornar algo presente. Para que um estudante possa perceber e reconhecer um objeto matemático, ele precisa recorrer a uma representação desse objeto. Damm (1999) coloca que [...] não existe conhecimento matemático que possa ser mobilizado por uma pessoa, sem o auxílio de uma representação (p.137). Para a autora, em Matemática, [ ]... toda a comunicação se estabelece com base em representações; os objetos a serem representados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino devemos levar em conta as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático. (DAMM, 1999, p.135).

3 3 Duval (2004) considera que existem três tipos de representações: as mentais, que são as concepções que uma pessoa pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação; as representações internas ou computacionais, caracterizadas pela execução automática de uma tarefa; as representações semióticas, que são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento. O acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas, que são externas e conscientes ao indivíduo. Exemplos de registro de representação semiótica são a escrita em língua natural, escrita algébrica, tabelas, gráficos cartesianos. Segundo Duval (2003), os registros de representação semiótica são caracterizados por três atividades cognitivas: a primeira é a formação de uma representação identificável, ou seja, quando é possível reconhecer nesta representação aquilo que ela representa, dentro de um sistema de signos estabelecido socialmente; a segunda é o tratamento, que é uma transformação que se efetua no interior de um mesmo sistema de registros 2, como por exemplo, resolver um sistema de equações; a terceira é a conversão, que é a transformação da representação de um objeto matemático em uma outra representação deste mesmo objeto. Para Duval (2004) [...] as conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma função à sua representação gráfica (p.16). Nesse sentido, Damm (1999) coloca que A conversão é um passo fundamental no trabalho com representações semióticas, pois a transformação de um registro em outro, conservando a totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado, não pode ser confundida com o tratamento. O tratamento é interno ao registro, já a conversão se dá entre os registros, ou seja, é exterior ao registro de partida. (DAMM, 1999, p.147) Segundo Duval (2004), na resolução de um problema, um registro pode aparecer mais privilegiado do que o outro, mas o importante, é existir a possibilidade de mobilizar ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou a possibilidade de trocar constantemente de registro e enxergar nos diferentes registros o mesmo objeto 2 Neste trabalho, usaremos os termos registro, registros de representação e representação com o mesmo significado de registro de representação semiótica.

4 4 matemático representado, ou seja, ter a coordenação entre os registros. Para o autor é a articulação e a coordenação de pelo menos dois registros que constitui uma condição de acesso a compreensão em matemática. Para realização de conversões é necessário fazer articulações entre as variáveis cognitivas que podem ser específicas do funcionamento de cada um dos sistemas de registros. São essas variáveis que permitem determinar quais as unidades de significado pertinentes que devem ser levadas em consideração em cada registro. Para analisar a atividade cognitiva na realização de conversões, Duval (2003) coloca também a relação entre a natureza dos diferentes registros de representação semiótica. Neste contexto, o autor classifica os registros de representação em multifuncionais e monofuncionais e suas formas em discursiva e não-discursiva. Os registros monofuncionais possuem tratamentos algoritimizáveis enquanto os multifuncionais não. Cada registro de representação favorece um tipo de tratamento. É comum, segundo Duval (2003), a conversão ser considerada como uma associação preestabelecida entre nomes e figuras, sendo considerada como uma das formas mais simples de tratamento, o que não é verdade. Para o autor geralmente existe dificuldade na realização de conversões e essas dificuldades podem influenciar diretamente na aprendizagem do objeto matemático em estudo e podem estar ligadas com o fenômeno de congruência das conversões. A realização de conversões, segundo Duval, pode ser mais complexa ou menos complexa dependendo desse fenômeno. Caracterizar conversões como congruentes ou não-congruentes constitui o que chamamos de investigar o fenômeno de congruência. Duval (2003) enuncia que para ser congruente, uma conversão deve satisfazer três condições: 1. correspondência semântica, ou correspondência uma a uma entre os elementos significantes: para cada elemento simples no registro de saída tem um elemento simples correspondente no registro de chegada. 2. unicidade semântica terminal: cada unidade significante no registro de saída tem uma única unidade significante no registro de chegada.

5 5 3. ordem que compõe cada uma das representações: diz respeito à forma de apresentação de cada uma das representações. Para o autor, quando uma destas três condições descritas acima não está satisfeita a conversão é não-congruente. Neste contexto, baseados em Duval, Flores e Moretti (2008), afirmam que a congruência nas conversões conduz a passagem de uma à outra de forma mais evidente. Se for o contrário, o processo será extremamente difícil e delicado (p.27). Duval (2004) estabelece uma relação entre o fenômeno de congruência nas conversões e o sucesso dos estudantes na realização de uma atividade matemática. Nessa relação, o autor evidencia a dificuldade da conversão de um registro de representação para outro quando a conversão é não-congruente. Para o autor, quando a conversão é congruente, os problemas são rapidamente resolvidos pelos alunos enquanto que quando a conversão é não-congruente, a taxa de êxito dos alunos é baixa. Além disso, segundo Duval (2004) as dificuldades que se tem pela nãocongruência da conversão podem se agravar com o desconhecimento dos registros de representação. Se o objeto matemático em estudo não corresponde ao nível de escolaridade que o estudante possui, executar tarefas que envolvem conversões pode ser muito complexo e até impossível de se realizar. Com base nos fatores colocados por Duval (condições de congruência, natureza dos registros e conhecimento das características do objeto matemático) estabelecemos níveis de congruência para uma conversão. São eles: 1. Nível de congruência alto: Uma conversão é deste nível se: As três condições de congruência de Duval estão satisfeitas; Os registros de representação de saída e de chegada possuem a mesma natureza (ambos monofuncionais ou ambos multifuncionais) e possuem a mesma forma, (ambos discursivos ou ambos não-discursivos). (Exemplo: conversão de um registro tabular para um registro algébrico, ambos são monofuncionais e de forma discursiva); Os estudantes que realizam a conversão de algum modo compreendem o objeto matemático em estudo (não é viável usar um objeto matemático quando os estudantes nunca tiveram a oportunidade de ter

6 6 contato com algumas características do mesmo). Consideramos que o estudante possui um conhecimento básico para o nível cognitivo em que está. De forma geral, consideramos que uma conversão é congruente com nível de congruência alto quando a mesma corresponde a uma atividade de codificação. 2. Nível de congruência médio alto: uma conversão deste nível se As três condições de congruência de Duval estão satisfeitas; Os registros de representação de saída e de chegada possuem a mesma natureza (ambos monofuncionais ou ambos multifuncionais) mas não possuem a mesma forma, (um discursivo e o outro não discursivo); Os estudantes para realizar a conversão precisam usar conhecimentos básicos como para realizar uma atividade de codificação. Não é necessário grandes conhecimentos matemáticos por parte dos estudantes. 3. Nível de congruência médio baixo: uma conversão é deste nível se As três condições de congruência de Duval estão satisfeitas; Os registros de representação de saída e de chegada possuem a mesma natureza (ambos monofuncionais ou ambos multifuncionais) e possuem a mesma forma, (ambos discursivos ou ambos não-discursivos); Os estudantes para realizar a conversão precisam usar conhecimentos mais avançados e em maior variedade. Não é somente realizar uma atividade de codificação. 4. Nível de congruência baixo: uma conversão é deste nível se: As três condições de congruência de Duval estão satisfeitas; Os registros de representação de saída e de chegada não possuem a mesma natureza (ambos monofuncionais ou ambos multifuncionais) ou/e não possuem a mesma forma, (ambos discursivos ou ambos nãodiscursivos); Os estudantes para realizar a conversão precisam usar conhecimentos mais avançados e não somente realizar uma atividade de codificação.

7 7 Consideramos que a conversão é não-congruente quando não satisfaz a pelo menos uma das condições colocadas por Duval. Com base nessas condições, definimos os níveis de não-congruência. 1. Nível de não-congruência baixo: não satisfaz a apenas uma das três condições de Duval. Duval. 2. Nível de não-congruência médio: não satisfaz a duas das três condições de 3. Nível de não-congruência alto: não satisfaz às três condições de Duval. Para Duval (2003) a realização de conversões congruentes e não-congruentes pode sinalizar para o fato da apreensão do objeto matemático em estudo, pois, para o autor, a compreensão do objeto matemático está relacionada com a mobilização de ao menos dois registros de representação simultaneamente, ou com a possibilidade de trocar de registro de representação a todo o momento. 3. Modelagem matemática e o contexto dos Registros de Representação Semiótica Para Skovsmose (2001), em um processo de Modelagem Matemática, ocorre uma transição entre linguagens diferentes. A primeira transição é a da linguagem natural para uma linguagem sistemática, que ocorre quando uma situação da realidade é transformada em informações. A segunda é a transição da linguagem sistemática para linguagem matemática, que ocorre quando as informações são transformadas, por meio de hipóteses simplificadas em um modelo matemático. Nesse sentido, a transição de uma linguagem a outra é o que na teoria de Duval se constitui uma conversão. Essa transição entre a linguagem natural e a linguagem matemática torna presente o problema matemático a ser resolvido e pode ser associado com as representações semióticas, que segundo Duval (2004), são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais tem suas dificuldades próprias de significado e funcionamento. Neste trabalho, assumimos o entendimento de modelagem já apresentado em Almeida e Brito (2005 a), como sendo uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático.

8 8 De modo geral, as atividades de Modelagem Matemática envolvem várias etapas. A primeira começa quando o indivíduo se depara com uma situação-problema que deseja investigar. Depois, segue a identificação das características e variáveis que influenciam diretamente no problema, é a segunda etapa, a de simplificação de variáveis. Após, vem a etapa onde são introduzidos os conceitos matemáticos formais e as notações, esta etapa é a etapa de abstração, que envolve a seleção dos objetos matemáticos necessários para representar a situação em estudo. A próxima etapa envolve a manipulação com as representações dos objetos matemáticos a fim de se obter um modelo. Finalmente, a última etapa é a validação do modelo e interpretação da resposta encontrada, levando em consideração a situação-problema inicial. As atividades de Modelagem Matemática podem ser introduzidas às aulas de matemática usando os três momentos propostos por Almeida & Dias (2004): Em um primeiro momento o professor desenvolve com os estudantes um trabalho de Modelagem Matemática já estruturado, cabe aos estudantes a resolução do problema e o professor orientar o trabalho de resolução. No segundo momento o professor traz para sala de aula uma situação-problema já estruturada no contexto não matemático e informações sobre a mesma. Neste caso cabe aos estudantes, em grupo, a seleção das variáveis, a formulação das hipóteses, a dedução do modelo, a validação e a interpretação das respostas encontradas diante da situação real e ao professor colaborar com trabalho. No terceiro momento, também em grupos, os estudantes desenvolvem uma atividade de Modelagem Matemática desde a escolha do problema até a obtenção de uma resposta para o mesmo. O professor atua como colaborador do trabalho. Assim, segundo Almeida e Dias (2004), [...] na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos diferentes momentos [...] a sua compreensão acerca do processo de Modelagem, da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando. (ALMEIDA E DIAS 2004, p.26) Ao trabalhar com atividades de Modelagem Matemática em sala de aula, o professor proporciona ao estudante a oportunidade de ele próprio decidir o caminho a percorrer, tornando assim o problema a ser resolvido algo particular. Isso, por sua vez,

9 9 implica em resultados diferenciados variando de estudante para estudante. Esse fato significa que o estudante tem certa liberdade para interpretar o problema e encontrar uma Matemática adequada para resolver o seu problema. Logo, para o mesmo problema pode-se usar de conteúdos matemáticos diferenciados. De modo geral, atividades de Modelagem de envolvem diferentes representações de um objeto matemático. Gráficos, relações funcionais, tabelas, figuras geométricas são exemplos dessas representações. O conjunto de ações realizadas pelo estudante desde a definição da situação-problema até a interpretação dos resultados obtidos gera a necessidade do uso os conteúdos curriculares, possibilitando a introdução de conteúdos novos 3 e revisão de conteúdos velhos Uma atividade de Modelagem Matemática no Ensino Médio Planejamos e desenvolvemos uma proposta de ensino fazendo uso da Modelagem Matemática, em duas fases, sendo a primeira fase desenvolvida de maio a setembro de 2008 e a segunda fase desenvolvida em maio de A proposta foi desenvolvida com estudantes de um colégio público em uma cidade no interior do Paraná. Na primeira fase os alunos cursavam o primeiro ano do Ensino Médio e na segunda fase cursavam o segundo ano do Ensino Médio. Para o envolvimento dos estudantes desta turma com atividades de Modelagem Matemática, nos fundamentamos nas etapas da Modelagem Matemática e usamos os três momentos propostos por Almeida & Dias (2004) descritos no item três deste texto. Descrevemos aqui uma das dez atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas pelos estudantes. Essa atividade foi desenvolvida na primeira fase de acordo com o terceiro momento da Modelagem Matemática e na segunda fase foi desenvolvida de acordo com o segundo momento da Modelagem Matemática, conforme definimos na seção anterior. 3 Usamos o termo novos para nos referir a conceitos matemáticos ainda não estudados. 4 Usamos o termo velho para nos referir a conceitos matemáticos já estudados.

10 Desenvolvimento da atividade na primeira fase O interesse pelo tema surgiu a partir de uma reportagem assistida pelos estudantes na televisão sobre a reciclagem de lixo orgânico, que era a idéia inicial para o trabalho. À procura de dados na internet, encontraram a reportagem Reciclagem, um bem não muito praticado que faz um paralelo entre a reciclagem de garrafas pet em outros paises e no Brasil. O senso da reciclagem de PET no Brasil (2006/2007) disponibilizado pela ABIPET- Associação Brasileira de Embalagens PET- apresenta dados atualizados da evolução da reciclagem de garrafas PET no Brasil nos últimos anos conforme mostra a tabela 1. Segundo o jornal Express, em 1994 oitenta mil toneladas de garrafas pet foram produzidas no Brasil e para 2008 a previsão seria que seriam 700 mil toneladas produzidas. ANO Tabela 1: Dados usados pelo grupo RECICLAGEM PET (unidades) , , , , , , ,30 Fonte: ABIPET ÍNDICE (%) A partir dos dados mostrados na tabela 1, os estudantes calcularam o número de garrafas pet fabricadas no Brasil neste período e definiram as questões do problema a investigar; Quantas garrafas pet forma recicladas no Brasil durante o ano de 2008? Considerando o número de garrafas recicladas em 2008, qual percentual do número de garrafas pet produzidas em 2008 ele representa? Começaram então a definição das variáveis: número de garrafas pet recicladas (R) (variável dependente); (t) tempo (variável independente). Esta foi a primeira conversão realizada, que denominaremos conversão 1. Ocorreu da linguagem natural para a linguagem matemática. A conversão 1 não satisfaz as condições (2) e (3) de Duval. Não possui unicidade terminal, uma vez que podemos encontrar outra forma de representar as variáveis em relação a variável dependente e a variável independente e não possui a ordem que compõe as representações, pois ao mudarmos as variáveis, a

11 11 ordem também mudaria. Portanto a conversão 1 é não-congruente com nível de nãocongruência médio. Para formulação das hipóteses, os alunos estudaram o comportamento dos dados com o passar dos anos e fizeram o registro gráfico, conforme mostra a figura 1 e a figura 2 respectivamente. garrafas garrafas Figura 1: Análise dos dados da tabela 1 Figura 2: Registro gráfico realizado pelo grupo- 1ª fase Consideramos como conversão 2 a passagem do registro tabular (tabela 1) para o registro gráfico (figura 2). A partir da visualização gráfica dos dados e das relações encontradas o grupo definiu suas hipóteses:

12 =tempo1, 1996=tempo =tempo 6 2. R R n é praticamente constante 3. A curva lembra uma função exponencial Com essas hipóteses começaram a dedução do modelo. Os registros dos estudantes estão na figura 3. Figura 3: Registro algébrico realizado pelo grupo- 1ª fase Ao encontrar a representação algébrica para o modelo, os estudantes realizaram a conversão 3, sendo esta do registro gráfico para o registro tabular. As conversões 2 e 3 são congruentes, pois satisfazem às três condições de Duval, ambas são entre registros de mesma natureza (monofuncionais), mas com formas diferentes, uma vez que o registro gráfico possui forma não-discursiva enquanto o registro tabular e o registro algébrico possuem forma discursiva. Para realização da conversão 2 os estudantes somente precisavam marcar os pontos da tabela no sistema cartesiano, ou seja, a atividade estava muito próxima de uma codificação. A conversão 3 exigiu mais matemática os estudantes usaram índices, variações, potenciação, interpretaram a curva mostrada no gráfico, usaram substituição numérica, trabalharam com o erro. Portanto a conversão 2 possui nível de congruência médio alto e a conversão 3 nível de congruência baixo. Após substituírem valores para R 0 e K no modelo genérico encontrado (figura 3) chegaram ao modelo que representava a situação inicial, R t ) t ( ) = 7,84(1,6745 e então

13 13 encontraram que o número estimado de garrafas pet para o ano de 2008 seria de aproximadamente garrafas. Para responder a segunda questão do problema inicial, os estudantes utilizaram de regra de três, como mostra a figura 4. Figura 4: Tratamento usado para responder a segunda questão 1ª fase Ao responder as questões com base no problema inicial, os estudantes realizaram conversão, no caso, do registro algébrico para o registro em língua natural (conversão 4). A conversão 4 não satisfaz as três condições de Duval. Não possui a correspondência semântica entre as unidades significativas, pois em nenhum lugar no registro algébrico é possível reconhecer a representação em língua natural usada. Não existe a unicidade terminal entre os registros de saída e de chegada, uma vez que os estudantes poderiam ter escrito suas conclusões de outra forma usando outras palavras, e devido a esse fato não podemos garantir que prevalecerá a ordem. Há necessidade de interpretar o registro de saída que está numa linguagem matemática para chegar ao registro de chegada que está em língua natural. Assim a conversão 4 é uma conversão não-congruente com nível de não-congruência alto.

14 Desenvolvimento da atividade na segunda fase Não houve variações nas conversões realizadas no desenvolvimento da atividade na segunda fase. Os estudantes definiram as variáveis da mesma forma que o grupo da primeira fase (variável dependente a reciclagem e variável independente o tempo). Na formulação das hipóteses usaram também o registro gráfico como ponto de partida. Para deduzir o modelo (registro algébrico) é que houve diferença no desenvolvimento da atividade do grupo da primeira fase. Os estudantes consideraram como registro algébrico genérico da função exponencial o registro R. t = B A. Substituíram pontos da tabela inicial (tabela 1) para encontrar os valores de A e B. Na primeira tentativa usaram o quinto e o sétimo ponto (tabela 1) e encontraram o registro algébrico R ) t = (1,121, que segundo a validação que fizeram não representava bem a situação inicial. Para segunda tentativa de encontrar o modelo algébrico para função exponencial partiram do mesmo registro genérico da função exponencial usada anteriormente, mudando os pontos substituídos. Usaram o segundo e sexto ponto da tabela (tabela 1) e encontraram a representação algébrica mostrada na figura 5. Validaram e concluíram que o registro algébrico da função representava bem a situação inicial. Figura 5: 2º modelo encontrado pelo grupo 2ª fase O grupo na segunda fase não respondeu a segunda questão do problema inicial, pois segundo eles houve falta de tempo, embora a resposta dada para primeira questão não condiz com o que a mesma perguntava.

15 15 Figura 6: Validação e resposta dada pelo grupo para questão do problema inicial fase 2 Como as conversões realizadas nessa fase para esta atividade não se alterou em relação a primeira fase com exceção do tratamento usado para obter o registro algébrico do modelo procurado, a análise do fenômeno de congruência é equivalente a análise feita para o desenvolvimento da atividade na primeira fase. Em relação ao conteúdo matemático, verificamos que o grupo sabia as características principais do objeto matemático em estudo (função exponencial), uma vez que as conversões foram realizadas sem a necessidade de nossa interferência, embora os tratamentos usados na segunda fase, principalmente no registro algébrico, foram mais econômicos do que os usados pelos estudantes na primeira fase. 5. Considerações finais Para Duval (2003) atividades de conversão põem em evidência o fenômeno de congruência e não-congruência. Segundo o autor uma conversão pode ser mais complexa ou menos complexa de acordo com esse fenômeno. Em nossa pesquisa, estabelecemos níveis de congruência e níveis de não-congruência para análise das conversões apresentadas nas atividades realizadas por estudantes do Ensino Médio e concluímos que o fenômeno de congruência, de fato, influenciou a realização das conversões pelos estudantes, sendo as conversões congruentes realizadas com maior êxito.

16 16 Verificamos que o registro gráfico somente era utilizado quando não tinham mais recursos e sempre que necessário usavam o registro tabular para intermediar essa conversão. Também percebemos na atividade descrita neste texto o uso privilegiado da linguagem algébrica e do registro tabular o que converge para o argumento já apresentado por Duval (2003) de que [...] em uma resolução de problema um registro pode aparecer explicitamente privilegiado, mas deve existir sempre a possibilidade de passar de um registro ao outro. Constatamos que na realização de conversões congruentes com nível de congruência alto e médio alto os estudantes não apresentaram dificuldades enquanto que nas conversões não-congruentes ou congruentes com nível de congruência baixo os estudantes demonstraram dificuldades na realização das mesmas, além de ter sido nessas o número maior de erros cometidos, e que sem nossa interferência provavelmente teria causado o insucesso das conversões. Segundo Duval (2004) o tempo de resposta ao realizar uma conversão congruente é muito menor do que ao realizar uma não-congruente, além de aumentar consideravelmente o tratamento realizado. Na nossa pesquisa confirmamos também esta observação do autor e concluímos que a dificuldade na realização de conversões depende do nível de congruência da mesma. Outro fator que está diretamente ligado ao fenômeno de congruência numa conversão é o conhecimento dos registros por parte de quem realiza a conversão. Para Duval (2004) as dificuldades que se tem pela não-congruência de uma conversão, podem se agravar pelo desconhecimento de um dos registros de representação (p. 60). Neste sentido, na nossa pesquisa, o sucesso de algumas conversões realizadas na segunda fase pode ser associado a esse aspecto uma vez que os estudantes já estavam familiarizados com a realização de conversões, bem como os objetos matemáticos desenvolvidos. Nesse contexto, consideramos importante a realização de conversões e a coordenação entre os registros para a aprendizagem em Matemática. Sabemos que essas atividades cognitivas, em geral não são espontâneas. Com isso, este trabalho apresenta a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica que possibilita a realização dessas atividades.

17 17 As atividades de Modelagem Matemática imprimem, aos poucos, uma nova postura nos estudantes diante de situações propostas, uma postura mais reflexiva em relação ao objeto matemático e em relação à situação problema. Verificamos essa mudança de postura nos estudantes no decorrer da pesquisa, principalmente na segunda fase em relação à primeira fase. Isso ficou evidenciado na posição que eles tomaram frente a atividade de Modelagem Matemática sugerida na segunda fase. Durante toda aula, questionaram uns aos outros, propuseram caminhos diferentes e mostraram uma postura muito independente. 6. Referências Bibliográficas ALMEIDA, L. M. W. Pesquisa sobre Modelagem Matemática: algumas considerações. Texto base de participação no Debate Temático sobre A Pesquisa em Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CNMEM, 5, Universidade Federal de Ouro Preto/Universidade Federal de Minas Gerais, Ouro Preto. Ouro Preto, ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação, v.11, n. 3, p , 2005a. ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. S. O conceito de função em situações de Modelagem Matemática. Zetetikê, v.13, n. 23, p , jan/jun, 2005b. ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p.19-35, BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, Caxambu. Anais eletrônicos do ANPED. Caxambu, 2001, 1 CD. D AMBROSIO, U. Da Realidade à Ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. Campinas: Ed. da Universidade Estadual de Campinas, D AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. 2.ed. Campinas: Papirus, 1997 DAMM, R. F. Registros de Representação. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara. et al. Educação Matemática: uma introdução. São Paulo: Educ, p , DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. Aprendizagem em

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