COMO O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO TEM SIDO APRESENTADO EM LIVROS DIDÁTICOS DE ANOS INICIAIS 1

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1 COMO O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO TEM SIDO APRESENTADO EM LIVROS DIDÁTICOS DE ANOS INICIAIS 1 Fernanda Lopes Sá Barreto Universidade Federal de Pernambuco fernandasabarreto@gmail.com Rute Elizabete de Souza Rosa Borba Universidade Federal de Pernambuco rborba@ce.ufpe.br Resumo: O objetivo deste estudo foi observar como são tratados problemas de raciocínio combinatório em livros e manuais do professor de 1ª a 4ª série (atuais 2º a 5º anos de escolarização básica), analisando se há uma preocupação em abordar esse conteúdo levando em consideração variedades nas três dimensões de conceitos propostas por Vergnaud (significados, invariantes e representações simbólicas). Nas cinco coleções de livros de Matemática analisadas, os significados com maiores percentuais totais de apresentação foram a Combinação e o Produto Cartesiano. Houve uma boa variação das representações simbólicas utilizadas, mas os autores não trabalharam de alguma forma as propriedades invariantes da Combinatória, nem chamaram a atenção do o professor sobre os diferentes significados envolvidos. Para um trabalho mais efetivo em sala de aula, os livros didáticos poderiam orientar melhor os professores sobre diferentes aspectos da combinatória a serem considerados. Palavras-chave: Raciocínio combinatório; Livro didático; Anos iniciais. INTRODUÇÃO Estudos dentro da Educação Matemática, especificamente no ensino da multiplicação, tais como o de Nunes e Bryant (1997), apontam que há diferentes significados dessa operação presentes no dia-a-dia que precisam ser resgatados e desenvolvidos na escola. Dentre os possíveis significados da multiplicação, tem-se o da combinatória que envolve, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, MEC, 1997), situações que consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Schliemann (1988) chama a atenção para o fato de que a Combinatória não faz parte apenas do ensino formal, já que ela está presente em momentos do cotidiano como em alguns jogos, brincadeiras e situações de trabalho. 1 Projeto parcialmente financiado pela FACEPE (APQ /08) e CNPQ (476665/2009 4). 1

2 Pesquisas anteriores, apontadas por Pessoa e Borba (2009) e a de Schliemann (1988), mostram que alunos, tanto do Ensino Fundamental como recém aprovados no vestibular, possuem dificuldades em resolver problemas que envolvem o raciocínio combinatório. Um dos motivos que explicam essa realidade, possivelmente, está relacionado ao modo como os livros didáticos de Matemática têm abordado o raciocínio combinatório. Torna-se bastante relevante conhecer se e como é desenvolvido o trabalho com o raciocínio combinatório nos livros didáticos de Matemática das quatro séries iniciais (atuais 2º a 5º anos) do Ensino Fundamental, os quais muitas vezes são os principais, senão os únicos, instrumentos de apoio do professor. Uma forma de analisar as propostas de livros didáticos é observar o quanto os mesmos consideram uma variedade de situações para o ensino dos diversos conceitos. Dentro da Matemática, tem sido amplamente discutido, baseado na Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud, 1986), a necessidade de um trabalho que articule os conceitos, seus significados, propriedades e representações simbólicas. O presente estudo se propôs a analisar como livros didáticos de Matemática, tanto do aluno quanto o manual do professor, dos anos iniciais do Ensino Fundamental, aprovados pelo PNLD 2007 (Plano Nacional do Livro Didático), abordam o raciocínio combinatório, a partir do tripé proposto por Vergnaud (1986). A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO Vergnaud (1986) defende uma concepção interativa de formação dos conhecimentos, na qual o saber, tanto nos seus aspectos teóricos quanto nos seus aspectos práticos, é construído nos momentos em que o aluno se depara com problemas a resolver, isto é, situações que ele tem que dominar. Para compreender como alunos se apropriam de conhecimentos, é de fundamental importância entender o desenvolvimento de conceitos dentro de campos conceituais. Segundo Vergnaud (1986, p.84), um campo conceitual pode ser definido como um conjunto de situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em estreita conexão (grifos nossos). Portanto, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, o indivíduo 2

3 desenvolve a compreensão de conceitos dentro de um amplo contexto de problemas. Dessa forma, pode-se entender que um conceito não está ligado apenas a um tipo de situação, assim como uma determinada situação, geralmente, não apresenta um único conceito, nem esgota as propriedades do mesmo. Vergnaud (1986) defende que todo conceito é constituído por um tripé de três conjuntos interdependentes: a) o conjunto de situações que atribui significados ao conceito; b) o conjunto de propriedades invariantes do conceito e c) o conjunto das representações simbólicas que podem ser utilizadas para representar e operar com os conceitos. Nesta perspectiva de conceitos inter-relacionados, Pessoa e Borba (2009) classificam os significados dos problemas de raciocínio combinatório em: Produto Cartesiano, Arranjo, Permutação e Combinação, numa classificação que inclui problemas trabalhados explicitamente desde os anos iniciais de escolarização (os produtos cartesianos) e situações combinatórias abordadas formalmente no Ensino Médio (os arranjos, as permutações e as combinações). Segundo Nunes e Bryant, 1997, os problemas de produto cartesiano apresentam maior complexidade, dentre as situações multiplicativas. Tal autora explica que a dificuldade sentida pelas crianças ao resolverem esse tipo de problema está ligada, minimamente, ao fato de que a criança precisa perceber que para chegar ao resultado é preciso combinar cada elemento de um conjunto básico com cada elemento do outro conjunto básico, para que o conjunto solução seja formado corretamente. Além disso, a correspondência um-para-muitos não possui uma indicação explícita na formulação verbal. Pessoa e Borba (2009) apontam que, dentre as situações combinatórias, o produto cartesiano passa a ser a situação na qual os alunos apresentam melhores desempenhos, seguido dos problemas de arranjo, permutação e combinação. É importante ressaltar que nas Permutações todos os elementos são utilizados em todas as possibilidades. Nos Arranjos e Combinações cada uma das possibilidades utiliza apenas alguns dos elementos de um determinado conjunto, sendo que no Arranjo a ordem na organização dos elementos influencia no resultado. Por exemplo, no Arranjo a 3

4 possibilidade (a,b) é diferente da (b,a). Na Combinação a ordem não importa, ou seja, a possibilidade (c,d) é igual a (d,c), por exemplo. A INFLUÊNCIA DO LIVRO DIDÁTICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA Belfort (2002) afirma que o uso do livro didático é um tema mundialmente polêmico, já que o livro-texto é, muitas vezes, uma fonte de estudo para o professor de Matemática, podendo ser o único, senão o principal material de apoio que o educador possui. Belfort (2002) chama a atenção para o fato de que a maioria dos professores de Matemática usa livro-texto e que nenhum argumento os fazem desistir do uso desse material. Carvalho e Lima (2002) explicam que desde que os critérios de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático assumiram um caráter pedagógico, as coleções apresentaram-se melhor elaboradas. Segundo tais autores, nas duas primeiras avaliações pedagógicas de coleções de livros didáticos da área de Matemática (1997 e 1998) foi observada, de modo geral, a inadequação dos manuais do professor, uma vez que a maioria deles era apenas livro do aluno acrescido de respostas dos exercícios. E mesmo os que traziam propostas para o ensino da Matemática apresentavam contradições em relação à metodologia apresentada no livro do aluno. Após várias avaliações não ocorrem mais falhas sérias nos conteúdos matemáticos, entretanto, ainda há deficiências, especialmente na proposta de procedimentos que avaliam a aprendizagem. MÉTODO Para o desenvolvimento do estudo inicialmente foram selecionadas de forma aleatória, cinco coleções dentre as aprovadas pelo PNLD Em seguida, foi realizada a verificação, tanto no livro do aluno quanto no manual do professor, dos tipos de problemas que envolvem o raciocínio combinatório e o tratamento dado a esses quanto a significados, propriedades e representações simbólicas trabalhados. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS Tipos de problemas apresentados 4

5 De um modo geral, como se pode observar na Tabela 1, ao longo das cinco coleções, foram encontrados problemas que abordam os quatro significados de Combinatória: Produto Cartesiano, Permutação, Arranjo e Combinação. O significado que apresentou o maior percentual total de problemas foi o da Combinação seguido do Produto Cartesiano. Tabela 1: Percentual (número) de tipos de problemas por séries e no manual do professor PRODUTO CARTESIANO PERMUTAÇÃO ARRANJO COMBINAÇÃO 1ª série 5,96 (14) 2,13 (5) 0,43 10,64 (25) 2ª série 10,64 (25) 3,4(8) 8,94 (21) 3ª série 10,21 (24) 5,11 (12) 1,7(4) 11,06 (26) 4ª série 6,38 (15) 7,66 (18) 0,85 9,36 (22) Manual do professor 2,13 (5) 1,3(3) 2,13 (5) Total 35,32 (83) 19,57 (46) 2,98 (7) 42,13 (99) Total de problemas: 235 Uma provável explicação para essa frequência dos problemas de Combinação é que, diferentemente dos demais significados que são encontrados, de maneira geral, nos capítulos que estudam as estruturas multiplicativas e/ou nos que abordam exclusivamente o raciocínio combinatório, a Combinação além de estar presente nesses capítulos, também está inserida nos que tratam das estruturas aditivas, como, por exemplo, quando solicitamse listagens de números com certo número de algarismos. O significado da Combinação também é relacionado, em diversas vezes, ao estudo do sistema monetário, quando os autores propõem que o aluno reflita e descubra diferentes possibilidades de se formar determinado valor usando cédulas e/ou moedas, ou ainda quais os valores que podem ser formados a partir da combinação dessas. Esta inclusão de problemas multiplicativos em outras seções dos livros evidencia a inter-relação dos conhecimentos matemáticos. E embora a Combinatória tenha como base o raciocínio multiplicativo, as situações que envolvem as estruturas multiplicativas não têm, necessariamente, que serem trabalhadas posteriormente à adição e à subtração (MATOS FILHO E PESSOA, 2006, p.4). 5

6 Ainda na Tabela 1, é possível identificar que o Arranjo possui o menor percentual total de problemas. O fato dos problemas de Arranjo serem pouco abordados pelos autores, pode ocorrer por esse significado apresentar uma maior complexidade, uma vez que o aluno, além de escolher elementos de um dado conjunto para formar os possíveis subconjuntos, deverá, também, ordenar esses elementos. Com exceção do Arranjo que não foi encontrado em duas das cinco coleções, os demais significados que envolvem o raciocínio combinatório produto cartesiano, permutação e combinação aparecem em todas as coleções. O Manual do Professor apresenta os menores percentuais dos quatro significados, ou seja, poucas propostas novas são efetuadas. Vale ressaltar que em todas as coleções os autores não fazem nenhuma orientação explícita para o professor sobre os diferentes significados da Combinatória. Os maiores percentuais de todos os significados ocorrem nos livros da terceira série. É nesta série que, geralmente é ampliado o estudo de significados da multiplicação, havendo a introdução formal da multiplicação enquanto combinatória. Representações simbólicas utilizadas e propostas Ao observar a Tabela 2 e a Tabela 3 que mostram, respectivamente, os percentuais de tipos de representações presentes na apresentação dos problemas e os percentuais de tipos de representações que os autores propõem que sejam utilizados pelos alunos na resolução dos problemas, pode-se perceber que há uma diversificação dos tipos de representações simbólicas que foram utilizadas ao longo das cinco coleções. Tabela 2: Percentual (número) de tipos de representações apresentadas pelos problemas por séries e no manual do professor Desenho Apenas enunciado (sem sugestão) Algoritmo C. oral e mental Manip u- lativos Mais de uma Outros (fotografia, jogos) Tabela Árvore de possibilidades 1ª séri 9,36 3,4 1,28 1,7 2,98 0,43 6

7 e (22) (8) (3) (4) (7) 2ª séri e 9,36 (22) 4,68 (11) 0,43 1,70 (4) 2,98 (7) 3,83 (9) 3ª séri e 10,64 (25) 10,21 (24) 2,13 (5) 3,4 (8) 1,28 (3) 0,43 4ª séri e 7,66 (18) 10,64 (25) 0 1,70 (4) 0,85 2,98 (7) 0,43 M.P. 5,53 (13) Total 37,02 (87) 34,47 (81) 0,43 6,81 (16) 8,94 (21) 11,06 (26) 1,28 (3) Total de representações apresentadas: 235 Desenho (sem sugestão) Apenas enunciado Algoritmo C. oral e mental Manipulativos Mais de uma Outros (fotografia, jogos) Tabela Árvore de possibilidades 1ª série 7,23 (17) 5,96 (14) 1,7 (4) 0,85 3,40 (8) 2ª série 3,4 (8) 13,62 (32) 1,28 (3) 0,43 1,28 (3) 2,98 7

8 (7) 3ª série 1,28 (3) 18,72 (44) 0,85 2,98 (7) 0,85 0,43 2,13 (5) 0,85 4ª série 3,4 14,04 0,85 0,85 4,26 0,85 (8) (33) (10) M.P. 0,43 0,85 0,85 2,98 0,43 (7) Total 15,74 (37) 53,19 (125) 3,83 (9) 8,94 (21) 1,7 (4) 2,13 (5) 12,77 (30) 1,7 (4) Total de representações propostas: 235 Tabela 3: Percentual (número) de tipos de representações propostas pelos autores por séries e no manual do professor Nas duas tabelas (Tabelas 2 e 3) as representações que obtiveram as maiores freqüências foram: desenho, apenas enunciado e tabela. Na maioria dos problemas, como pode ser visto na Tabela 3, os autores não propõem a utilização de alguma representação específica para a resolução dos problemas, deixando dessa forma, que o aluno decida que representação ele prefere utilizar. Entretanto, em grande parte desses problemas, apesar de não serem propostas representações para a resolução, algum tipo de representação é utilizada na apresentação. Vale ressaltar que a coleção C não propõe o uso de nenhuma representação simbólica para a resolução dos problemas. Os manuais do professor apresentam baixos percentuais tanto nas representações simbólicas apresentadas pelos problemas quanto nas representações que são propostas pelos autores para serem usadas pelos alunos. Orientações do Manual do Professor 8

9 No que diz respeito à abordagem dos quatro significados que envolvem raciocínio combinatório (Produto cartesiano, Permutação, Arranjo e Combinação) nenhuma das coleções apresentou orientações para o professor sobre tais significados, e conseqüentemente, não foi abordada nenhuma das propriedades invariantes do conceito. Já se esperava que as propriedades invariantes não fossem explicitadas no livro do aluno, uma vez que não seria condizente com os objetivos das séries iniciais. Entretanto, é importante que o professor possa receber orientações sobre os significados e propriedades invariantes dos conceitos. Tanto na Tabela 1 que trata dos significados, quanto nas tabelas das representações simbólicas (Tabelas 2 e 3), o Manual do Professor apresentou baixos índices percentuais, indicando que pouco acréscimos forma feitos para orientação do professor quanto à natureza e às atividades com problemas combinatórios. CONSIDERAÇÕES FINAIS Propostas de trabalho que busquem trabalhar variados significados, propriedades e representações simbólicas dos conceitos, como sugerido por Vergnaud (1986), em particular dos envolvidos no raciocínio combinatório, possibilitará um mais amplo desenvolvimento dos alunos. Mesmo que não seja diretamente sugerido pelo livro didático ou manual do professor, deve-se buscar desenvolver em sala de aula um trabalho articulando diferentes dimensões dos conceitos para promover aprendizados mais significativos. REFERÊNCIAS BELFORT, E. Reflexões sobre o Papel do Livro Texto em Matemática: Um Carcereiro ou um Bom Companheiro? BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEC, BRASIL. Plano Nacional do Livro Didático. Matemática. Secretaria de Educação Básica, CARVALHO, J. & LIMA, P. O PNLD e sua influência sobre os Livros Didáticos de Matemática Texto não publicado. 9

10 MATOS FILHO, M. & PESSOA, C. Como os problemas de raciocínio combinatório estão sendo abordados nos livros de matemática das séries iniciais do ensino fundamental? Anais do III SIPEM Simpósio Internacional de Pesquisas em Educação Matemática. Águas de Lindóia, SP, NUNES, T e BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Editora Artes Médicas, PESSOA, Cristiane & BORBA, Rute. Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série. ZETETIKÉ Cempem FE Unicamp, v. 17, jan-jun, PESSOA, C. A. S.; SILVA, C. A. da. & MATOS FILHO, M. A. S. Uma análise sobre a resolução de problemas multiplicativos por alunos de 3ª e 5ª série. Anais do XVII Encontro de Pesquisa Educacional do Norte Nordeste. Belém: UFPA- EPENN,2005. SCHLIEMANN, A. A compreensão da análise combinatória: desenvolvimento, aprendizagem escolar e experiência diária. In: Carraher, T.N; Carraher, D. W. & Schliemann, A. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, VERGNAUD, G. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das matemáticas. Um exemplo: as estruturas multiplicativas. Análise Psicológica, 1, 1986, p