ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO PROPOSTOS EM UM LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA

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1 Anais da Semana de Pedagogia da UEM ISSN Online: XX Semana de Pedagogia da UEM VIII Encontro de Pesquisa em Educação / I Jornada Parfor ANÁLISE DOS PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO PROPOSTOS EM UM LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA MACHADO, Heloíse Martins heloise_09@hotmail.com KAJIHARA, Olinda Teruko (orientadora) olindakajihara@hotmail.com Universidade Estadual de Maringá (UEM) Formação de professores e intervenção pedagógica INTRODUÇÃO Até a década de 1990, a abordagem de ensino da Matemática a partir da resolução de problemas era desconhecida por muitos professores brasileiros. As recomendações de que os conteúdos deveriam ser um meio para o desenvolvimento de ideias matemáticas fundamentais e do raciocínio e para a instrumentação para a vida, não eram seguidas por muitos docentes (BRASIL, 1997b). Naquela época, o Ministério da Educação e do Desporto elaborou os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), com o objetivo de estabelecer um referencial comum para a formação escolar de crianças, jovens e adultos do país, de forma a assegurar a todos o acesso aos conhecimentos necessários para o exercício da cidadania e, ainda, para fortalecer a unidade nacional e assegurar o respeito à diversidade sociocultural (BRASIL, 1997a). Os Parâmetros Curriculares Nacionais propõem a organização da escolaridade do Ensino Fundamental em quatro ciclos de dois anos. Por exemplo, a primeira e segunda séries (atual segundo e terceiro anos) formam o primeiro ciclo, e a terceira e a quarta séries (atual quarto e quinto anos) formam o segundo ciclo (BRASIL, 1997a). Nos PCN, o conhecimento escolar é organizado por áreas de conhecimento e temas transversais. As áreas a serem trabalhadas são: língua portuguesa, matemática, ciências naturais, história, geografia, arte e educação física. Os temas transversais propostos são: ética, saúde, meio ambiente, orientação sexual e pluralidade cultural (BRASIL, 1997a). Os PCN para a área da Matemática orientam que os conceitos, as ideias e os métodos matemáticos sejam ensinados a partir da resolução de problemas; para ser considerado um problema, uma situação deve levar o aluno a interpretar o enunciado e a desenvolver estratégias de resolução. Um conceito matemático deve ser construído concomitantemente com outros conceitos, que adquirem sentido quando o aluno experiencia uma série de

2 problemas. Portanto, a atividade de resolução de problemas deve ser o contexto para a aprendizagem de conceitos, de procedimentos e de atitudes matemáticas (BRASIL, 1997b). As orientações dos PCN, para o ensino de problemas, são fundamentadas na Teoria dos Campos Conceituais, elaborada por Gérard Vergnaud. Essa teoria visa explicar o processo de construção do conhecimento e analisar o processo de aprendizagem dos alunos, ou seja, a forma como eles apreendem conceitos matemáticos, como, por exemplo, de subtração e de adição (MAGINA, 2001, p. 3). Um campo conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição (VERGNAUD, 1982 apud MOREIRA, 2002, p. 8). O campo conceitual aditivo, por exemplo, é, ao mesmo tempo, um conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas (VERGNAUD, 2000, p. 168). Outro conceito importante da Teoria dos Campos Conceituais é o de esquema, que consiste na organização invariante da conduta para uma dada classe de situações (VERGNAUD, 2000, p. 157). Um conceito, por sua vez, é formado por três conjuntos (S, I e R): das situações que lhe dão sentido (S); dos invariantes (I), ou seja, dos objetos, propriedades e relações reconhecidos e utilizados pela pessoa para analisar as situações; e das representações simbólicas (R) usadas para representar os invariantes (VERGNAUD, 1988). Magina (2001) explica que é possível observar a formação de um conceito por meio dos invariantes (estratégias de ação) e das representações simbólicas (verbal, escrita, desenhos e diagramas) utilizadas pela criança para resolver problemas. O campo conceitual aditivo é formado por seis categorias de relações (VERGNAUD, 2009): 1) Composição de duas medidas que forma uma terceira medida. Por exemplo: Fabiana possui 3 bonecas de porcelana e 4 bonecas de pano. Quantas bonecas ela tem no total? O cálculo numérico correspondente a esse problema é 3+ 4 = 7, e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir.

3 2) Transformação de uma medida inicial que resulta em uma medida final (uso de números relativos). Por exemplo: Marcos comprou 5 balas de morango e seu avô lhe deu mais 7 balas. Quantas balas Marcos tem agora? O cálculo numérico correspondente a esse problema é 5+ (+7) = 12, e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir. 3) Relação entre duas medidas. Por exemplo: Joaquim tem 8 carrinhos. Pedro tem 2 carrinhos a menos que Joaquim. Quantos carrinhos Pedro tem? O cálculo numérico correspondente a esse problema é 8 + (-2) = 6, e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir.

4 4) Composição de duas transformações. Por exemplo: Paola ganhou de sua mãe 7 vidros de esmalte para começar uma coleção, mas deu 3 para a sua prima. Quantos vidros tem agora a coleção de Paola? O cálculo numérico correspondente a esse problema é (+7) + (-3) = 4, e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir. 5) Transformação de uma relação. Por exemplo: Beatriz devia R$ 20,00 para Luiz. Hoje, ela devolveu R$ 6,00 para o amigo. Quantos reais Beatriz ainda deve para Luiz? O cálculo numérico correspondente a esse problema é (-20) + (+6) = -14, e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir.

5 6) Composição de duas relações. Por exemplo: Débora deve R$ 9,00 para Lia, mas Lia também deve R$ 3,00 para a amiga. Quantos reais Débora deverá pagar para Lia? O cálculo numérico correspondente a esse problema é (-9) + (+3) = (-6), e o diagrama utilizado para representar a composição é apresentado a seguir. Os PCN da área de Matemática propõem que os professores trabalhem quatro tipos de ideias ou significados da adição e da subtração. Nos PCN, os problemas de composição são denominados de combinação. Esse tipo de situação envolve a ação de juntar, para combinar dois estados para formar um terceiro (BRASIL, 1979b). Por exemplo: Os alunos de um colégio fizeram uma pesquisa com os professores sobre suas preferências por sabores de sorvete. Os resultados mostraram que 7 professores preferem o sorvete de chocolate, 15 o de creme e 10 o de morango. Com quantos professores os alunos realizaram a entrevista? A segunda ideia a ser trabalhada pelos professores é a de transformação, ou seja, de acréscimo ou diminuição de um estado inicial (BRASIL, 1979b). Há um mês João comprou uma planta de 6 cm de altura. Hoje a planta possui 11 cm. Quantos centímetros a planta cresceu? A terceira ideia é a de comparação (BRASIL, 1979b). Por exemplo: Jaqueline comprou uma galinha que pesa 2,5 kg e Érica comprou uma com 1,7 kg a mais. Quantos quilos pesa a galinha de Érica? A quarta categoria de problemas aditivos proposta nos PCN (1979b) envolve duas ou mais transformações (BRASIL, 1979b). Por exemplo: Na primeira partida, o time de Bianca fez 17 pontos. Na segunda partida, o time fez 9 pontos. Quantos pontos o time fez no total? Nos PCN, os problemas de transformação de uma relação e os de composição de duas relações não são abordados. Além disso, a teoria de Vergnaud é reduzida ao ensino de

6 situações-problema, não sendo feitas observações sobre a importância dos invariantes e das representações simbólicas na formação dos conceitos matemáticos. Apesar disso, a visão dos PCN constitui um avanço no ensino da Matemática. Este trabalho teve como objetivo analisar os diferentes significados da adição/subtração trabalhados no livro didático de matemática Marcha Criança (MARSICO et al., 2011), do 2º ano do Ensino Fundamental, adotado por uma escola particular de uma cidade do noroeste do Paraná. MÉTODO Foi selecionada, aleatoriamente, uma escola particular de uma cidade do noroeste do Paraná. O livro didático de Matemática, do 2º ano do Ensino Fundamental, adotado por essa escola, no ano letivo de 2013, foi analisado, em relação ao critério tipos de problemas do campo aditivo. RESULTADOS E DISCUSSÕES No livro didático do 2º ano do Ensino Fundamental são propostos 36 problemas de adição e de subtração: 14 (38,9%) de combinação, 8 (22,2%) de transformação negativa, 6 (16,7%) de comparação e 8 (22,2%) mistos. Predominam, portanto, os problemas de combinação em relação aos outros tipos de problemas aditivos. Combinação Tipos de problemas aditivos propostos no livro didático Transformação Transformação Comparação positiva negativa Misto Busca do terceiro estado Busca de um dos estados Busca do estado final Busca do valor da transformação Busca do estado inicial Busca do estado final Busca do valor da transformação Busca do estado inicial Busca do referente Busca do valor da relação Busca do referido Três combinações Uma combinação e uma transformação Duas transformações Três transformações Em relação aos problemas de combinação, 11 são de busca do terceiro estado (do todo) e 3 de busca de um dos estados (de uma das partes). Entre os problemas de transformação negativa, há sete de busca do estado inicial, um de busca do valor da transformação e nenhum de busca do estado inicial. Na categoria problemas de comparação,

7 há seis situações de busca do valor da relação e nenhuma de busca do referente e de busca do referido. Em cada categoria, portanto, há uma discrepância entre os subtipos de problemas propostos. Os problemas mistos são cognitivamente mais complexos que os problemas que envolvem apenas uma transformação e, por isso, a situação observada no livro é incoerente: não há nenhum exercício de transformação positiva, mas há oito problemas mistos, sendo que três requerem a realização de uma combinação e de uma transformação; dois problemas, duas transformações; e dois, três transformações. A adoção de materiais didáticos inadequados contribui para a crise do ensino da Matemática no Brasil. Apesar de os Parâmetros Curriculares Nacionais terem sido publicados na década de 1990, muito professores ainda desconhecem os diferentes significados da adição e da subtração, como demonstrado por Magina (2011), que avaliou 103 professores das séries iniciais, da rede pública de São Paulo. A pesquisadora verificou que 88,43% dos problemas elaborados pelos docentes foram de busca do terceiro estado de uma combinação e de busca do estado final de uma transformação. Etcheverria (2010) também observou resultados semelhantes em um estudo realizado na Bahia: 68,7% dos problemas elaborados pelos professores foram de busca do terceiro estado de uma combinação e de busca do estado final de uma transformação. Essa situação é preocupante, pois os significados da adição/subtração que os professores conhecem são os tipos mais frequentes no livro didático analisado neste estudo: busca do terceiro estado de uma combinação e busca do estado final de uma transformação. CONSIDERAÇÕES FINAIS O livro didático analisado, do 2º ano do Ensino Fundamental, permite trabalhar parcialmente as recomendações dos PCN para a área da Matemática, porque propõe apenas situações de transformação negativa, de combinação e de comparação. Alguns subtipos de problemas são privilegiados, como, por exemplo, de busca do todo de uma combinação, enquanto outros não são abordados. Não há, também, nenhuma orientação dos autores do livro didático aos professores sobre a importância dos invariantes e das representações simbólicas. Portanto, é limitada a contribuição do material ao desenvolvimento do campo conceitual aditivo dos alunos.

8 REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília, DF, 1997a. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília, DF, 1997b. ETCHEVERRIA, T. C. Um estudo sobre o campo conceitual aditivo nos anos iniciais do ensino fundamental. In: 33ª Reunião Anual da Anped, 2010, Caxambu. Disponível em: < Acesso em: 04 set MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM, MAGINA, S. A pesquisa na sala de aula de matemática das séries iniciais do ensino fundamental. Contribuições teóricas da psicologia. Educar em Revista, Curitiba, p , MARSICO, M. T. et al. Marcha criança: matemática, segundo ano, 2, ensino fundamental. São Paulo: Scipione, MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em ensino de ciências. Porto Alegre, v.7, n.1, p VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas de ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed. da UFPR, VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. (Ed.). Didáctica das matemáticas. Lisboa: Portugal: Instituto Piaget, p VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In: HIEBERT, H.; BEHR, M. (Eds.). Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale: N. J.; Lawrence Erlbaum, p