Operações fundamentais: contribuições de Vergnaud e Duval Paulo Meireles Barguil

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ FACULDADE DE EDUCAÇÃO LABORATÓRIO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA LEDUM PACTO NACIONAL PELA ALFABETIZAÇÃO NA IDADE CERTA PNAIC Operações fundamentais: contribuições de Vergnaud e Duval Paulo Meireles Barguil

2 Conforme Carraher, Carraher e Schliemann (1990, p. 42), são esses os motivos do fracasso da escola no ensino e na aprendizagem da Matemática: i) desconhecimento dos processos da criança na elaboração dos conceitos; ii) não identificação das estruturas cognitivas das crianças; e iii) incapacidade de ajudar a criança a relacionar a Matemática do cotidiano com a Matemática escolar.

3 O professor deverá favorecer que os estudantes desenvolvam e dominem uma ampla gama de competências interpretar, representar e resolver referentes às operações fundamentais: i) interpretar as situações, identificando a relação entre as informações e determinando a operação; ii) representar as situações com registros variados linguagem natural, figural, diagrama, material concreto e simbólico (aritmético ou algébrico); e iii) resolver a operação, compreendendo os respectivos procedimentos, realizando a contagem ou o cálculo e dominando as propriedades do Sistema de Numeração Decimal.

4 Os erros discentes mais frequentes nas operações fundamentais são: i) não identificação da operação o estudante não compreende o problema ou o compreende de modo insatisfatório, trocando a relação entre as informações; ii) representação errada da conta em linguagem matemática o estudante compreende adequadamente o problema, mas não sabe representá-lo corretamente com os símbolos matemáticos; e

5 Os erros discentes mais frequentes nas operações fundamentais são: (cont.) iii) resolução insatisfatória da conta o estudante compreende e representa adequadamente o problema, mas falha na resolução, por algum motivo: erro na contagem ou no cálculo, equívoco na efetivação do algoritmo ou incompreensão do Sistema de Numeração Decimal SND.

6 O desconhecimento docente da gênese do conhecimento científico contribui para que o professor, sem querer, atrapalhe o desenvolvimento discente mediante práticas que impedem o estudante de enfrentar os respectivos obstáculos epistemológicos. Exemplo disso são as famosas continhas que o professor escreve no quadro, as quais retiram da criança a possibilidade de interpretar e representar, valorizando somente o resolver.

7 O desenvolvimento das duas primeiras habilidades interpretar e representar requer um cuidadoso acompanhamento pedagógico por parte do professor, no sentido de auxiliar o estudante a superar os desafios de natureza afetivo-cognitiva.

8 É fundamental destacar o fato de que a interpretação e a representação são competências complementares, ou seja, uma auxilia o aprimoramento da outra. O discente, portanto, deve ser incentivado a desenvolver ambas ao mesmo tempo. As teorias de Vergnaud e Duval são poderosas no sentido de auxiliar o professor a implementar uma prática que permita os estudantes a interpretarem e representarem as situações.

9 Há de se enfatizar, também, a necessidade de que o estudante compreenda as propriedades do SND. Nesse sentido, Rosas e Selva (2007) alertam para a necessidade de que o pedagogo que ensina o sistema de numeração decimal SND amplie os seus saberes.

10 A Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida por Gérard Vergnaud, defende que o núcleo do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização do real. Para Vergnaud, o conhecimento está organizado em campos conceituais, cujo domínio, por parte do aprendiz, ocorre ao longo de um largo período de tempo, mediante experiência, maturidade e aprendizagem.

11 Um problema é uma situação em que o sujeito deve descobrir relações, explorá-las, elaborar hipóteses e verificá-las. Os campos conceituais expressam a relação [...] entre um conjunto interligado de conceitos e um conjunto de situações de utilização desses conceitos. (PESSOA, 2003). Um campo conceitual é um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados. (VERGNAUD, 1983).

12 O esquema é uma estratégia de solução, ação sobre um problema, uma situação. Ele é fruto de uma concepção, um entendimento sobre algo. Essa conceitualização, por vezes, é implícita. Um esquema é composto de invariantes operatórios (conceitos e teoremas em ação), antecipações, regras em ação e inferências. Um campo conceitual é composto de (classes de) problemas, de situações que, para serem solucionados, utilizam conceitos, procedimentos e representações simbólicas.

13 C = (S, I, R) Campo conceitual (Vergnaud, 1995): (LORENZATO, 2006, p. 28) {Situações} = problemas. Devem ser distintas e diferenciadas entre si, permitindo a compreensão do conceito. São os referentes do conceito; {Invariantes} = objetos, propriedades e relações. Regularidades e procedimentos que definem um objeto. São o significado do conceito; {Representações simbólicas} = linguagem natural, gráficos, diagramas, sentença formal... Explicitam os invariantes, bem como as situações e os procedimentos. São os significantes do conceito.

14 A Teoria dos Registros de Representações Semióticas, formulada por Raymond Duval, enaltece a necessidade de que os estudantes sejam encorajados, desde o início da sua vida escolar, a representarem (desenho, texto, material concreto, símbolos) as suas compreensões do conhecimento.

15 Para Duval (2009), os registros podem ser multifuncionais (os tratamentos não são algoritmizáveis) e monofuncionais (os tratamentos são, principalmente, algoritmos), enquanto a representação pode ser discursiva e não discursiva.

16 Um objeto matemático pode ser representado com registros em linguagem natural, concreto, simbólico (numérico ou algébrico) e figural (contínuo ou discreto). Duval (2009) afirma que a diversidade de representações de um objeto amplia as estruturas mentais e as representações mentais do sujeito. O objeto matemático, portanto, é compreendido pelo estudante mediante várias representações, as quais podem ser mentais e subjetivas, internas e semióticas.

17 Os registros de representação semiótica têm três funções: i) comunicação (expressão das representações mentais representação semiótica); ii) objetivação (possibilidade do uso das representações semióticas como instrumento para compreender o saber construído representação mental); e iii) tratamento (transformação da representação interna em um registro de representação representação semiótica).

18 As representações mentais exercem a função objetivação, as internas estão relacionadas com a função de tratamento e as semióticas com a função de comunicação e de tratamento.

19 As representações semióticas propiciam três atividades cognitivas: i) formação (respeitar as regras do sistema); ii) tratamento (transformar um registro, de acordo com as regras, mantendo o seu tipo); e iii) conversão (transformar a representação de um objeto, situação ou informação expressa num registro em uma representação do mesmo objeto, situação ou informação num outro tipo de registro). De modo geral, a conversão, em relação às demais atividades, recebe pouca atenção da escola, embora seja a mais difícil (DUVAL, 2009).

20 Essas Teorias, portanto, indicam a necessidade de o professor: i) propor problemas, situações com variada complexidade, para permitir a criança desenvolver os conceitos matemáticos mediante a ampliação da sua capacidade interpretativa; e ii) incentivar a criança a produzir símbolos, marcas, desenhos para as quantidades, transitando de elaborações pessoais para os símbolos matemáticos; iii) utilizar diagramas e material concreto, como etapas anteriores ao registro aritmético.

21 Ensino e aprendizagem das operações fundamentais: diversidade de registros Língua materna Desenho Diagrama Concreto Aritmético

22 Conforme Vergnaud, as situações aditivas podem ser classificadas em: composição de quantidades, transformação de quantidade, comparação de quantidades, composição de duas transformações, composição de relações e transformação de relações. As três primeiras são mais simples, enquanto as outras envolvem duas das primeiras situações.

23 São esses os símbolos utilizados para representar as situações aditivas: Número natural Número relativo Composição de elementos de mesma natureza Transformação ou relação (composição de elementos de natureza diferente)

24 Composição de quantidades juntar. Duas partes se compõem gerando um todo. O todo ou uma das partes pode ser desconhecido. Parte 1 (Composição) Parte 2 = Todo

25 Conjuntura 1: João tem 5 carros de ferro e 8 carros de plástico. No total, ele tem 13 carros. Todo desconhecido: (Complexidade 1) João tem 5 carros de ferro e 8 carros de plástico. Qual é o total de carros que ele? Uma das partes desconhecida: (Complexidade 2) João tem 13 carros de ferro e de plástico. Sabendo que ele tem 5 carros de ferro, quantos são os carros de plástico? João tem 13 carros de ferro e de plástico. Sabendo que ele tem 8 carros de plástico, quantos são os carros de ferro?

26 Transformação de quantidade alterar. Uma quantidade é transformada (positiva ou negativamente) gerando outra quantidade. A quantidade final, a transformação ou a quantidade inicial pode ser desconhecida. Quantidade inicial (Transformação) Quantidade Final

27 Conjuntura 2: Maria tinha 7 bonecas e ganhou 5 bonecas de seu pai. Agora, ela tem 12 bonecas. (Transformação positiva) Quantidade final desconhecida: (Complexidade 1) Maria tinha 7 bonecas e ganhou 5 bonecas de seu pai. Quantas bonecas ela tem agora? Transformação positiva desconhecida: (Complexidade 2) Maria tinha 7 bonecas. Ela ganhou algumas bonecas de seu pai e agora tem 12 bonecas. Quantas bonecas ela ganhou? Quantidade inicial desconhecida: (Complexidade 5) Maria tinha algumas bonecas. Ela ganhou 5 bonecas de seu pai e agora tem 12 bonecas. Quantas bonecas ela tinha no início?

28 Conjuntura 3: Maria tinha 15 bonecas e deu 6 bonecas para sua irmã. Agora, Maria tem 9 bonecas. (Transformação negativa) Quantidade final desconhecida: (Complexidade 1) Maria tinha 15 bonecas e deu 6 bonecas para sua irmã. Quantas bonecas Maria tem agora? Transformação negativa desconhecida: (Complexidade 2) Maria tinha 15 bonecas e deu algumas bonecas para sua irmã e agora tem 9 bonecas. Quantas bonecas Maria deu? Quantidade inicial desconhecida: (Complexidade 5) Maria tinha algumas bonecas e deu 6 bonecas para sua irmã e agora tem 9 bonecas. Quantas bonecas Maria tinha no início?

29 Comparação de quantidades comparar. Duas quantidades (referente e referido) são comparadas, podendo a relação ser de excesso (mais que) ou de falta (menos que). O referente, o referido ou a relação pode ser desconhecido. Referente (Relação) Referido

30 Conjuntura 4: Ana tem 7 bilas e Samuel, que tem 8 bilas a mais do que ela, tem 15 bilas. (Relação de excesso) Referido desconhecido: (Complexidade 3) Ana tem 7 bilas e Samuel tem 8 bilas a mais do que ela. Quantas bilas Samuel tem? Relação desconhecida: (Complexidade 4) Ana tem 7 bilas e Samuel tem 15 bilas. Quem tem mais bilas? Quantos bilas a mais? Ana tem 7 bilas e Samuel tem 15 bilas. Quem tem menos bilas? Quantas bilas a menos?

31 Referente desconhecido: (Complexidade 5) Ana tem algumas bilas e Samuel tem 8 bilas a mais do que ela. Sabendo que Samuel tem 15 bilas, quantas bilas Ana tem?

32 Conjuntura 5: Ana tem 18 bilas e Samuel, que tem 12 bilas a menos do que ela, tem 6 bilas. (Relação de falta) Referido desconhecido: (Complexidade 3) Ana tem 18 bilas e Samuel tem 12 bilas a menos que Ana. Quantas bilas Samuel tem? Relação desconhecida: (Complexidade 4) Ana tem 18 bilas e Samuel tem 6 bilas. Quem tem mais bilas? Quantos bilas a mais? Ana tem 18 bilas e Samuel tem 6 bilas. Quem tem menos bilas? Quantos bilas a menos?

33 Referente desconhecido: (Complexidade 5) Ana tem algumas bilas e Samuel tem 12 bilas a menos que Ana. Sabendo que Samuel tem 6 bilas, quantas bilas Ana tem?

34 Referências CARRAHER, Terezinha Nunes; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na Vida dez, na escola zero. 4. ed. São Paulo: Cortez, DUVAL, Raymond. Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. São Paulo: Editora Livraria da Física, LORENZATO, Sergio. Educação infantil e percepção Matemática. Campinas: Editores Associados, PESSOA, Cristiane Azevêdo dos Santos. Resolução de problemas: uma análise do papel da interação social na superação de dificuldades. XI Conferência Interamericana de Educação Matemática Anais. Blumenau.

35 Referências (cont.) ROSAS, Maria Luiza Laureano; SELVA, A. C. V.. Ensino do Sistema de Numeração Decimal: O que falam as professoras?. In: IX ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. Anais do IX ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática, VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In: LESH, R.; LANDAU, M. (Eds.). Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc

36 Bibliografia MAGINA, Sandra Maria; CAMPOS, Tânia Maria Mendonça; NUNES, Terezinha; GITIRANA, Verônica (Orgs.). Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. 3. ed. São Paulo: PROEM, O longo e o curto prazo na aprendizagem da Matemática. Educar em Revista [online]. Curitiba, UFPR, 2011, n. Especial 1, pp Disponível em Acesso: 31 mar VERGNAUD, Gérard. A Criança, a Matemática e a realidade. Tradução Maria Lucia Faria Moro. Curitiba: Ed. UFPR, 2009.

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